Логарифмы примеры и решения 10 класс: Свойства логарифмов и примеры их решений (ЕГЭ — 2021)

{\frac{1}{2}}}=\sqrt{4}=2\)), а вот \( \displaystyle {{\log }_{-4}}2\) не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное.

Значит, аргумент должен быть положительным.

Например, \( \displaystyle {{\log }_{2}}\left( -4 \right)\) не существует, так как \( 2\) ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому \( \displaystyle {{\log }_{2}}0\) тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. 

Приведу пример:

Решим уравнение \( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)=2\).

Вспомним определение: логарифм \( \displaystyle {{\log }_{x}}\left( x+2 \right)\) – это степень, в которую надо возвести основание \( x\), чтобы получить аргумент \( \displaystyle \left( x+2 \right)\).

И по условию, эта степень равна \( 2\): \( \displaystyle {{x}^{2}}=x+2\).{2}}-x-2=0\).

Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна \( 1\), а произведение \( -2\). Легко подобрать, это числа \( 2\) и \( -1\).

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу на ЕГЭ.

Почему?

Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

\( \displaystyle x=2\text{: }{{\log }_{2}}\left( 2+2 \right)={{\log }_{2}}4=2\) – верно.

\( \displaystyle x=-1\text{: }{{\log }_{-1}}\left( -1+2 \right)=2\) – это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень \( x=-1\) – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1\\x+2>0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>0\\x\ne 1.\end{array} \right.\)

Тогда, получив корни \( x=2\) и \( x=-1\), сразу отбросим корень \( -1\), и напишем правильный ответ.

Пример 1 (попробуй решить самостоятельно)

Найдите корень уравнения \( \displaystyle {{\log }_{x+1}}\left( 2x+5 \right)=2\). Если корней несколько, в ответе укажите меньший из них.

Решение:

\( \displaystyle {{\log }_{x+1}}\left( 2x+5 \right)=2\).

В первую очередь напишем ОДЗ:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+1>0\\x+1\ne 1\\2x+5>0\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>-1\\x\ne 0\\x>-\frac{5}{2}\end{array} \right.\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left\{ \begin{array}{l}x>-1\\x\ne 0.\end{array} \right.\)

Теперь вспоминаем, что такое логарифм: в какую степень нужно возвести основание \( \displaystyle x+1\), чтобы получить аргумент \( \displaystyle 2x+5\)?

Хотите читать учебник без ограничений? Зарегистрируйтесь:

Во вторую. То есть:

\( \displaystyle {{\left( x+1 \right)}^{2}}=2x+5\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}+2x+1=2x+5\text{ }\Leftrightarrow \text{ }{{x}^{2}}-4=0\text{ }\Leftrightarrow \text{ }\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-2.\end{array} \right.\)

Казалось бы, меньший корень равен \( \displaystyle -2\). Но это не так: согласно ОДЗ корень \( \displaystyle x=-2\) – сторонний, то есть это вообще не корень данного уравнения. Таким образом, уравнение имеет только один корень: \( \displaystyle x=2\).

Ответ: \( \displaystyle x=2\).

Урок 27. логарифмические уравнения — Алгебра и начала математического анализа — 10 класс

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 27. Логарифмические уравнения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Понятие простейшего логарифмического уравнения

2) Основные способы решения логарифмический уравнений

3) Общие методы в решении логарифмических уравнений

Глоссарий по теме

Простейшее логарифмическое уравнение. Уравнение вида , где, a > 0, a ≠ 1.

Основные способы решения логарифмических уравнений

1. , где, a > 0, a ≠ 1, то , при условии, что

2. .

Общие методы для решения логарифмических уравнений

1. Разложение на множители.
2. Введение новой переменной.
3. Графический метод.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014.–384с.

Открытые электронные ресурсы:

http://fipi.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Уравнение вида , где, a > 0, a ≠ 1 называют простейшим логарифмическим уравнением.

Данное уравнение имеет единственное решение, которое мы можем получить графически или по определению логарифма: .

Способы решения логарифмических уравнений:

1. Если , то (где, a > 0, a ≠ 1,

Пример 1.

.

Воспользуемся определением логарифма

;

.

Оба корня удовлетворяют неравенству

Ответ: – 8; 1.

1. Если

Если ,

Пример 2.

.

;

_;

;

_;

Ответ: 1.

Пример 3.

.

В данном уравнении систему с ограничивающими условиями можно не составлять, сделав в конце проверку о существовании логарифмов для конкретных значений х.

Сумму логарифмов в левой части заменим логарифмом произведения:

.

Подставим каждый корень в исходное уравнение, получаем верные числовые равенства.

Ответ: 3; 4.

Встречаются уравнения, когда нельзя сразу использовать 1 или 2 правило. В этом случае сначала используют общие методы решения уравнений.

1. Разложение на множители.

Пример 4.

Перенесем все в левую часть:

Можно увидеть общий множитель: .

Для этого приведем к основанию первый логарифм:

.

Вынесем за скобку общий множитель:

Имеем произведение равное нулю. (Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю)

, два простейших логарифмических уравнения.

;

Выполняем проверку. Оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: 3; 5.

1. Введение новой переменной.

Пример 5.

Замена: тогда

Обратная замена:

Оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: ; 5.

1. Графический способ решения.

Строим графики левой и правой частей уравнения, определяем абсциссы точек пересечения графиков.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Решите уравнение:

Решение.

Дважды используем определение логарифма:

Ответ: 6.

№2 Укажите промежуток, содержащий нули функции

.

Возможные варианты ответа:

Решение: Чтобы найти нули функции, приравниваем ее к нулю.

Приведем логарифмы к основанию 5: .

Две равные дроби с равными знаменателями, следовательно, равны и числители. Т. е. Слева и справа логарифмы по одинаковому основанию, значит .

Ответ: 4

Логарифмические уравнения. 10-11 класс

Стоит напомнить всем, что логарифмическими называют уравнения, в которых переменная или функция от «икс» находится под знаком логарифма.
При равносильных преобразованиях справедливая формула перехода от логарифмического до простого уравнения
log_af(x)=c⇔f(x)=a^c.
ОДЗ: основание логарифма должно быть больше нуля и не равняться единице,
функция – положительной
{x>0, x≠1, f(x)>0}.
Важно знать частные случаи простейших логарифмических уравнений:
правая сторjна равна нулю (с=0) или единицы (с=1):
логарифм основания равен единице
c=1⇔log_aa=1⇔f(x)=a.
логарифм единицы равен нулю
c=1⇔log_a1=0⇔f(x)=1.
Эти формулы Вы должны знать на память, поскольку их чаще всего применяют при сведении логарифмов до простейшего типа.
С целью научить Вас раскрывать логарифмические уравнения, а также подготовить к ВНО тестированию нами решены 40 примеров, которые в полной мере охватывают все известные методы решения логарифмических уравнений, которые Вас учат в 10-11 классе школьной программы, и дальше на первых курсах в ВУЗ-ах.

Схема вычисления логарифмических уравнений

1. если возможно, выписать область допустимых значений логарифмов и функций, которые в него входят.
2. свести уравнение к простейшему типу путем элементарных преобразований, которые заключаются в вынесении степени из основания логарифма (или наоборот), логарифмированию и потенцированию (возведение в степень по основанию (экспонента, основы =10, 2, π)
3. в случаях сложных уравнений вводят замену переменных и сводят к квадратным или другим известным уравнениям.

Вычисление уравнений с логарифмом

Пример 16.1 Решить уравнение log_ax=c.

Решение: Имеем простейшее логарифмическое уравнение, которое решается методом сведения к одному основанию логарифмов:
log_ax=c
(здесь a>0, a≠1),
log_ax=c•1,
log_ax=c•log_aa,
log_ax= log_aa^c
Здесь использовали свойства логарифма, единицу расписали как логарифм основания, после чего множитель c внесли под логарифм.
Далее опустили основы и приравняли выражения в логарифмах:
x=a^c.
ОДЗ: x>0.
Ответ: a^c – Г.

 

Пример 16.2 Решить уравнение log_1/2(x)=-4.

А	Б	В	Г	Д
ø	-16	1/16	1/16; 16	16

Решение: ОДЗ функции под логарифмом: x>0.
Сводим уравнение к одному основанию логарифмов

При равных основах приравниваем выражения под логарифмами:
x=(1/2)^-4,
x=2⁴,
x=16.
Ответ: 16 – Д.

 

Пример 16.3 Решить уравнение log₂(-x)=5.

А	Б	В	Г	Д
ø	32	-32	1/32	-1/32

Решение: Выполняем раскрытия логарифмов по данной в начале инструкции:
ОДЗ – -x>0,x<0.
Упростим уравнения
log₂(-x)=5
log₂(-x)=5•1
log₂(-x)=5• log₂2
log₂(-x)= log₂2⁵
опустим основы и приравняем логарифмические выражения:
-x=2⁵,
-x=32,
x=-32.
Ответ: -32 – У.

 

Пример 16.4 Решить уравнение lg(x²-x)=1-lg(5).

А	Б	В	Г	Д
ø	-3; 2	-2; 1	-2; 3	-1; 2

Решение: ОДЗ: x²-x>0,
x(x-1)>0
Решим неравенство методом интервалов
x(x-1)=0,
x₁=0,
x₂=1.

x∈(-∞;1)∪(1;+∞).
На этом множестве значений и ищем решение уравнения, сперва сведя к одной основе логарифмы

по теореме Виета:
x₁+x₂=1,
x₁•x₂=-2.
x₁=-1,
x₂=2.
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Ответ: -1; 2 – Д.

ОДЗ неравенства могут быть сложнее, чем сами уравнения, тогда достаточно сами корни уравнения подставить в неравенство (или систему неравенств) и определить, принадлежат ли корни области допустимых значений логарифмческого уравнения.

Пример 16.5 Сколько корней имеет уравнение lg(x⁴-10x²)=lg₃x³?

А	Б	В	Г	Д
Ни одного	один	два	три	четыре

Решение: В логарифме имеем биквадратное выражение, которое при условиях на ОДЗ требует вычислений.2)=lg₃x³ имеет один корень.
Ответ: один – Б.

 

Пример 16.6 Решить уравнение log₆(x-2)+log₆(x-1)=1 и указать промежуток, которому принадлежит его корень.

Решение: Выпишем систему неровностей для ОДЗ:

По правилу, что сумма логарифмов чисел равна логарифму их произведения ln(a)+ln(b)=ln(a•b) и свойству log₆6=1, сведем логарифмы к общему основанию:

При преобразованиях получили квадратное уравнение, корни которого находим по теореме Виета:
x₁+x₂=3
x₁•x₂=-4.
x₁=-1<2 (не принадлежит ОДЗ)
x₂=4.
x=4 – единственный корень заданного уравнения, он принадлежит промежутку (3,9;4,1).
Ответ: (3,9;4,1) – Б.

 

Пример 16.9 Решить уравнение (log₂x)²-2log₂x-3=0 и указать сумму его корней.

Решение: ОДЗ: x>0.
логарифмическое уравнение
(log₂x)²-2log₂x-3=0
сведем к квадратному заменой log₂x=t.
t²-2•t-3=0
По формулам Виета имеем:
t₁+t₂=2 – сумма корней уравнения;
t₁•t₂=3 – их произведение, тогда
t₁=-1 и t₂=3 – корни квадратного уравнения.
Возвращаемся к замене, и вычисляем простые логарифмические уравнения

Оба корня принадлежат ОДЗ, по условию найдем их сумму:
x₁+x₂=0,5+8=8,5.
Ответ: 8,5 – Д.

С простых примеров на раскрытие логарифмических уравнений Вы увидели, что достаточно знать несколько формул и базовые свойства логарифма и уже можно самостоятельно решать уравнения. Для простых условий это работает, но напоминаем, что курс ВНО подготовки содержит 40 примеров, причем ряд задач сочетают в себе не только логарифмы, но и корни, модули, показательные выражения. Вы научитесь сводить уравнения к квадратным, логарифмировать и еще много чего нового.

Алгебра 10 класс — Личный сайт учителя Чендевой Ю.А.

Логарифмы

 

Логарифм числа b по основанию а – это показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Формула	Примеры
loga b = c (при a > 0, a ≠ 1, b > 0). Это означает, что ac = b.	log5 25 = 2 Читается так: логарифмом числа 25 по основанию 5 является 2. Число 2 является показателем степени. Это означает, что 52 = 25.   log464 = 3 Логарифмом числа 64 по основанию 4 является 3. Это означает, что 43 = 64

 

 Говоря иначе, логарифмирование – это действие, обратное возведению в степень.

Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом.

Примеры десятичного логарифма:

log₁₀ 100

log₁₀ 5

log₁₀ 0,01

Десятичный логарифм обозначают символом lg. Таким образом:

вместо log₁₀ 100 следует писать lg 100;

вместо log₁₀ 5 пишем lg 5;

вместо log₁₀ 0,01 пишем lg 0,01.

Логарифмирование и потенцирование.

Логарифмирование – это нахождение логарифмов заданных чисел или выражений.

                                                            b
Пример: Найдем логарифм x = a² · — .
                                                            c

Решение.

Последовательно воспользуемся сразу всеми тремя основными свойствами логарифмов, которые изложены выше (логарифм произведения, логарифм частного и логарифм степени):
                      b
lg x = lg (a² · —) = lg a² + lg b – lg c = 2lg a + lg b – lg c.
                      c

Потенцирование – это нахождение чисел или выражений по данному логарифму числа (выражения).

Потенцировать – значит освобождаться от значков логарифмов в процессе решения логарифмического выражения.

Например, надо решить уравнение log₂ 3x = log₂ 9.

Убираем значки логарифмов – то есть потенцируем:

3х = 9.

В результате получаем простое уравнение, которое решается за несколько секунд:

х = 9 : 3 = 3.

Но потенцирование не сводится к простому и произвольному убиранию значков логарифмов. Для этого в обоих частях уравнения как минимум должно быть одинаковое значение основания (в нашем случае это число 2). Подробнее о потенцировании и его правилах – в следующем разделе.

Урок по математике на тему «Решение логарифмических уравнений» (10 класс)

Тема: Решение логарифмических уравнений (10 класс)

Цель урока: повторить понятие и свойства логарифма; повторить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

Задачи:

— обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;

-развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;

-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету

Тип урока: урок повторения и закрепления ранее изученного материала.

Ход урока:

1. Организационный момент.

Проверка готовности обучающихся и кабинета к занятию. Объявление темы.

2. Устная работа.

Повторение понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

Разминка по теории:

1. Дайте определение логарифма.

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log_0,8 x является возрастающей или убывающей? Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов.

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать?

3. Работа по карточкам:

   Карточка №1:

   Вычислить: а) log₆4 + log₆9 =

   б) log_1/336 – log_1/312 =

   Решить уравнение:

   log₅х = 4 log₅3 – 1/3 log₅27

   Карточка №2:

   Вычислить: а) log211 – log244 =

   б) log1/64 + log1/69 =

   Решить уравнение:

   log₇х = 2 log₇5 + 1/2 log₇36 – 1/3log₇125.

4. Фронтальный опрос класс

Вычислить:

log₂16

lоg₃ √3

log₇1

log₅ (¹/₆₂₅)

log₂11 — log ₂44

1. log₈14 + log ₈32/7

2. log₃5 ∙ log₅3

3. 5 ^log₅ ⁴⁹

4. 8 ^lоg ₈^{5 — 1}

5. 25 ^–log 

   ₅¹⁰

Сравнить числа:

1. log_½ е и log_½π;

2. log₂ √5/2 и log₂√3/2.

Выяснить знак выражения log_0,83 · log₆2

5. Повторение решения логарифмических уравнений.

Класс делится на группы по 4 человека. Каждый из четырех членов группы выбирает один из способов решения, разбирается с ним (при затруднении можно обратиться к учителю), проводит взаимообучение с остальными тремя товарищами. Далее вместе прорешивают четыре примера, ответы проверяются учителем.

1. Решение уравнений на основании определения логарифма.

 имеет решение .

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

• по данным основаниям и числу определяется логарифм,

• по данному логарифму и основанию определяется число,

• по данному числу и логарифму определяется основание.

Ответ: 7

Ответ: 8

Ответ: 3

2.Метод потенцирования.

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е. , то , при условии, что .

Пример: Решите уравнение 

3

 — неверно

Ответ: решений нет.

ОДЗ:

3.Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества.

Пример: Решите уравнение 

 – не принадлежит ОДЗ

 – принадлежит ОДЗ

Ответ: х=2

ОДЗ:

1. 6. Домашнее задание: Решить задание на карточке.

1. 6. Подведение итогов, рефлексия

Музыка может возвышать или умиротворять душу

Живопись – радовать глаз,

Поэзия – пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни,

А математика способна достичь всех этих целей.

Конспект урока по Математике «Способы решения логарифмических уравнений» 10 класс

Тема: «Способы решения логарифмических уравнений».

Цель урока: повторить знания учащихся о логарифме числа, его свойствах; изучить способы решения логарифмических уравнений и закрепить их при выполнении упражнений.

Задачи:

— обучающие: повторить определение и основные свойства логарифмов, уметь применять их в вычислении логарифмов, в решении логарифмических уравнений;

-развивающие: формировать умение решать логарифмические уравнения;

-воспитательные: воспитывать настойчивость, самостоятельность; прививать интерес к предмету

Тип урока: урок изучения нового материала.

Необходимое техническое оборудование: компьютер, проектор, экран.

Структура и ход урока:

1. Организационный момент.

Учитель.

— Здравствуйте, садитесь! Сегодня тема нашего урока «Решение логарифмических уравнений», на котором мы познакомимся со способами их решения, используя определение и свойства логарифмов. (слайд № 1)

2. Устная работа.

Закрепление понятия логарифма, повторение его основных свойств и свойств логарифмической функции:

1. Разминка по теории:

1. Дайте определение логарифма. (слайд № 2)

2. От любого ли числа можно найти логарифм?

3. Какое число может стоять в основании логарифма?

4. Функция y=log_0,8x является возрастающей или убывающей?Почему?

5. Какие значения может принимать логарифмическая функция?

6. Какие логарифмы называют десятичными, натуральными?

7. Назовите основные свойства логарифмов. (слайд № 3)

8. Можно ли перейти от одного основания логарифма к другому? Как это сделать? (слайд № 4)

2. Работа по карточка(3-4 ученика):

Карточка №1: Вычислить: а) log₆4 + log₆9 =

б) log_1/336 – log_1/312 =

Решить уравнение: log₅х = 4 log₅3 – 1/3 log₅27

Карточка №2:

Вычислить: а) log211 – log244 =

б) log1/64 + log1/69 =

Решить уравнение: log₇х = 2 log₇5 + 1/2 log₇36 – 1/3 log₇125.

Фронтальный опрос класса (устные упражнения)

Вычислить: (слайд № 5)

1. log₂16

2. lоg₃√3

3. log₇1

4. log₅ (¹/₆₂₅)

5. log₂11 — log ₂44

Сравнить числа: (слайд № 6)

1. log_½ е и log_½π;

2. log₂ √5/2 и log₂√3/2.

Выяснить знак выражения log_0,83 · log₆2/3. (слайд № 7)

3. Проверка домашнего задания:

На дом были задания следующие упражнения: №327(неч.), 331(неч.), 333(2) и 390(6). Проверить ответы к данным заданиям и ответить на вопросы учащихся.

4. Изучение нового материала:

Определение: Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим.

Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение
log_a х =с (а > 0, а≠ 1)
Способы решения логарифмических уравнений: (слайд № 8)

1. Решение уравнений на основании определения логарифма. (слайд № 9)

log_a х = с (а > 0, а≠ 1) имеет решение х = а^с.

На основе определения логарифма решаются уравнения, в которых:

• по данным основаниям и числу определяется логарифм,

• по данному логарифму и основанию определяется число,

• по данному числу и логарифму определяется основание.

Примеры:

log₂ 128= х, log₁₆х = ¾, log_х 27= 3,

2^х= 128, х =16 ^¾ , х³ =27,

2^х = 2⁷, х =2 ³ , х³ = 3³ ,

х =7 . х = 8. х =3.

С классом решить следующие уравнения:

а) log₇(3х-1)=2 (ответ: х=3 1/3)

б) log₂(7-8х)=2 (ответ: х=3/8).

2. Метод потенцирования. (слайд № 10)

Под потенцированием понимается переход от равенства, содержащего логарифмы, к равенству, не содержащему их т.е.

log_a f(х) = log_a g(х), то f(х) = g(х), при условии, что f(х)>0, g(х)>0 , а > 0, а≠ 1.

Пример:

Решите уравнение =

ОДЗ:

3х-1>0; х>1/3

6х+8>0.

3х-1=6х+8

-3х=9

х=-3

-3 >1/3 — неверно

Ответ: решений нет.

С классом решить следующее уравнение:

lg(х²-2) = lg х (ответ: х=2)

3. Уравнения, решаемые с помощью применения основного логарифмического тождества. (слайд №11)

Пример:

Решите уравнение =log₂(6-х)

ОДЗ:

6-х>0;

х>0;

х≠1;

log₂х²>0;

х²>0.

Решение системы: (0;1)Ụ (1;6).

= log₂(6-х)

х² = 6-х

х²+х-6=0

х=-3 не принадлежит ОДЗ.

х=2 принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=2

С классом решить следующее уравнение:

^{= (ответ: х=1)}

4. Метод приведения логарифмов к одному и тому же основанию. (слайд № 12)

Пример:

Решите уравнение log₁₆х+ log₄х+ log₂х=7

ОДЗ: х>0

¼ log₂х+½ log₂х+ log₂х=7

7/4 log₂х=7

log₂х=4

х=16 – принадлежит ОДЗ.

Ответ: х=16.

С классом решить следующее уравнение:

^{+ =3 (ответ: х=5/3)}

5. Уравнения, решаемые с помощью применения свойств логарифма. (слайд № 13)

Пример:

Решите уравнение log₂ (х +1) — log₂ (х -2 ) = 2.

ОДЗ:

х+1>0;

х-2>0. х>1.

Воспользуемся формулой преобразования разности логарифмов логарифм частного, получаем log₂= 2, откуда следует = 4.

Решив последнее уравнение, находим х = 3, 3>1 — верно

Ответ: х = 3.

С классом решить следующие уравнения:

а)log₅ ^{(х +1) + log₅ (х +5) = 1 (ответ: х=0).}

б)log₉( 37-12х ) log_7-2х 3 = 1,

37-12х >0, х

7-2х >0, х

7-2х≠ 1; х≠ 3; х≠ 3;

log₉( 37-12х ) / log₃ (7-2х ) = 1,

½ log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х ) ,

log₃( 37-12х ) = log₃ (7-2х )² ,

37-12х= 49 -28х +4х² ,

4х²-16х +12 =0,

х²-4х +3 =0, Д=19, х₁=1, х₂=3, 3 –посторонний корень .

Ответ: х=1 корень уравнения.

в) lg(х²-6х+9) — 2lg(х — 7) = lg9.

(х²-6х+9) >0, х≠ 3,

х-7 >0; х >7; х >7.

lg ((х-3)/(х-7))² = lg9

((х-3)/(х-7))² = 9,

(х-3)/(х-7) = 3, (х-3)/(х-7)= — 3 ,

х- 3 = 3х -21 , х -3 =- 3х +21,

х =9. х=6 — посторонний корень.

Проверка показывает 9 корень уравнения.

Ответ : 9

6. Уравнения, решаемые введением новой переменной. (слайд № 14)

Пример:

Решите уравнение lg²х — 6lgх+5 = 0.

ОДЗ: х>0.

Пусть lgх = р, тогда р²-6р+5=0.

р₁=1, р₂=5.

Возвращаемся к замене:

lgх = 1, lgх =5

х=10, 10>0 – верно х=100000, 100000>0 – верно

Ответ: 10, 100000

С классом решить следующее уравнение:

log₆² х + log₆ х +14 = (√16 – х²)² +х²,

16 – х² ≥0 ; — 4≤ х ≤ 4;

х >0 , х >0, О.Д.З. [ 0,4).

log₆² х + log₆ х +14 = 16 – х² +х²,

log₆² х + log₆ х -2 = 0

заменим log₆ х = t

t ² + t -2 =0 ; D = 9 ; t₁ =1 , t₂ = -2.

log₆ х = 1 , х = 6 посторонний корень .

log₆ х = -2, х = 1/36 , проверка показывает 1/36 является корнем .

Ответ : 1/36.

7. Уравнения, решаемые с помощью разложения на множители. (слайд № 15)

Пример:

Решите уравнение log₄(2х-1)∙ log₄х=2 log₄(2х-1)

ОДЗ:

2х-1>0;

х >0. х>½.

log₄(2х-1)∙ log₄х — 2 log₄(2х-1)=0

log₄(2х-1)∙(log₄х-2)=0

log₄(2х-1)=0 или log₄х-2=0

2х-1=1 log₄х = 2

х=1 х=16

1;16 – принадлежат ОДЗ

Ответ: 1;16

С классом решить следующее уравнение:

log₃х ∙log₃(3х-2)= log₃(3х-2) (ответ: х=1)

8. Метод логарифмирования обеих частей уравнения. (слайд № 16)

Пример:

Решите уравнения

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3.

Получим log₃ = log₃ (3х)

.

получаем : log₃ х² log₃ х = log₃ (3х),

2log₃ х log₃ х = log₃ 3+ log₃ х,

2 log₃² х = log₃ х +1,

2 log₃² х — log₃ х -1=0,

заменим log₃ х = р , х >0

2 р ² + р -2 =0 ; D = 9 ; р₁ =1 , р₂ = -1/2

log₃ х = 1 , х=3,

log₃ х = -1/ 2 , х= 1/√3.

Ответ: 3 ; 1/√3

С классом решить следующее уравнение:

log₂ х — 1

х = 64 (ответ: х=8 ; х=1/4)

9. Функционально – графический метод. (слайд № 17)

Пример:

Решите уравнения: log₃ х = 12-х.

Так как функция у= log₃ х возрастающая , а функция у =12-х убывающая на (0; + ∞ ) то заданное уравнение на этом интервале имеет один корень.

Построим в одной системе координат графики двух функций: у= log₃ х и у =12-х.

При х=10 заданное уравнение обращается в верное числовое равенство 1=1. Ответ х=10.

С классом решить следующее уравнение:

1-√х =ln х (ответ : х=1).

5. Подведение итогов, рефлексия (раздать кружочки, на которых ребята отмечают свое настроение рисунком). (слайд № 18,19)

Определить метод решения уравнения:

6. Домашнее задание: 340(1), 393(1), 395(1,3), 1357(1,2), 337(1), 338(1), 339(1)

Литература

1. Рязановский, А.Р. Математика. 5 – 11 кл.: Дополнительные материалы к уроку математики/ А.Р.Рязановский, Е.А.Зайцев. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа,2002

2. Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 1997. № 1, 10, 46, 48; 1998. № 8, 16, 17, 20, 21, 47.

3. Скоркина, Н.М. Нестандартные формы внеклассной работы. Для средних и старших классов/ Н.М. Скоркина. – Волгоград: Учитель, 2004

4. Зив, Б.Г., Гольдич,В.А. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса./Б.Г.Зив, В.А.Гольдич. – 3-е изд., исправленное. – СПб.: «ЧеРо-на-Неве», 2004

5. Алгебра и начала анализа: математика для техникумов/под ред. Г.Н.Яковлева.-М.: Наука, 1987

6

Предмет	Алгебра и начала математического анализа
Класс	10
Тема урока	«Способы решения логарифмических уравнений», 2 часа
Базовый учебник	Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. / М. Просвещение 2014
log814 + log 832/7 log35 ∙ log53 5 log5 49 8 lоg85 — 1 25 –log 510

Изучение логарифмов в старшей школе

Понятие логарифма

При решении показательных уравнений удается представить обе части уравнения в виде степеней с одинаковыми основаниями и рациональными показателями. Так, например, при решении уравнения мы заменяем степенью и из равенства степеней с одинаковыми основаниями делаем вывод о равенстве показателей: х = −5/6. Однако, чтобы решить, казалось бы, более простое уравнение 2^х = 3, стандартных знаний оказывается недостаточно. Дело в том, что число 3 нельзя представить в виде степени с основанием 2 и рациональным показателем.

Действительно, если бы равенство , где m и n — натуральные числа, было верным, то, возведя его в степень n, мы должны были бы получить верное равенство 2^m = 3ⁿ. Но последнее равенство неверно, так как левая его часть является четным числом, а правая — нечетным. Значит, не может быть верным и равенство .

С другой стороны, график непрерывной функции y = 2^x пересекается с прямой y = 3, и, значит, уравнение 2^x = 3 имеет корень. Таким образом, перед нами стоят два вопроса: «Как записать этот корень?» и «Как его вычислить?».

Показатель степени, в которую нужно возвести число a (a > 0, a ≠ 1), чтобы получить число b, называется логарифмом b по основанию a и обозначается log_ab.

Теперь мы можем записать корень уравнения 2^х = 3:

х = log_a3

Равенства a^x = b и x = log_ab, в которых число a положительно и не равно единице, число b положительно, а число x может быть любым, выражают одно и то же соотношение между числами a, b и x. Подставив в первое равенство выражение x из второго, получим основное логарифмическое тождество.

Понятие логарифма в методическом пособии

Задание

Решите уравнение: а) 2^x = 64; б) ; в) ; г) 4^x = 0; д) 7^x = −12.

После проверки ученикам предлагается ответить на вопрос, какое из заданий показалось им наиболее трудным. Вероятный ответ: 2 (в), так как в нем нужно было приводить дробь к степени числа 5. Затем школьникам предлагается высказать мнение о сравнительной с заданием 2 (в) трудности уравнения 2^x = 3. На первый взгляд кажется, что это уравнение проще, однако представить 3 в виде степени числа 2 школьникам не удается.

Дальше изучение нового материала проводится в соответствии с учебником. При этом в зависимости от уровня класса рассматривается или не рассматривается дополнительный материал о невозможности представления 3 в виде 2^r , где r = m/n.

После этого диалог с классом можно строить примерно так:

— Как вы думаете, имеет ли уравнение 2^x = 3 корень? Ответ обоснуйте. [Если построить график функции у = 2^x и провести прямую у = 3, то они пересекутся в одной точке, значит, уравнение имеет один корень.]
— Что можно сказать о корне уравнения a^x = b, где а > 0 и а ≠ 1? При всех ли значениях b оно имеет корни?

Затем вводится определение логарифма числа b по основанию а и записывается основное логарифмическое тождество . При этом выписывание равенства происходит синхронно с повторным чтением определения теперь уже в обратном, по сравнению с учебником, порядке. Теперь можно записать корень уравнения 2^х = 3: х = log_a3 и предложить школьникам серию самостоятельных работ.

Логарифмическая функция

Выразим x из равенства y = log_ax, получим x = a^y. Последнее равенство задает функцию x = a^y, график которой симметричен графику показательной функции y = a^x относительно прямой y = x.

Показательная функция x = a^y является монотонной, и, значит, разные значения y соответствуют разным значениям x, но это говорит о том, что y = log_ax, в свою очередь, является функцией x.

Показательная функция y = a^x и логарифмическая функция y = log_ax являются взаимно обратными. Сравнивая их графики, можно отметить некоторые основные свойства логарифмической функции.

Свойства функции y = log_ax, a > 0, a ≠ 11:

1. Функция y = log_ax определена и непрерывна на множестве положительных чисел.
2. Область значений функции y = log_ax — множество действительных чисел.
3. При 0 < a < 1 функция y = log_ax является убывающей; при a > 1 функция y = log_ax является возрастающей.
4. График функции y = log_ax проходит через точку (1; 0).
5. Ось ординат — вертикальная асимптота графика функции y = log_a.

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс. Учебник

Учебник входит в учебно-методический комплекс по математике для 10–11 классов, изучающих предмет на углубленном уровне. Теоретический материал в нем разделен на обязательный и дополнительный. Каждая глава завершается домашней контрольной работой, а каждый пункт главы — контрольными вопросами и заданиями. Учебник соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту среднего (полного) общего образования, имеет гриф «Рекомендовано» и включен в Федеральный перечень учебников.

Купить

Решение логарифмических уравнений и неравенств на основе свойств логарифмической функции

Освобождаясь от внешнего логарифма, имеющего основание 3, мы ссылаемся на возрастание соответствующей логарифмической функции, то есть на то, что большему значению логарифма соответствует большее значение выражения, стоящего под его знаком. Однако следует иметь в виду, что если функцию y = log₃ log_0,5(2x + 1) считать логарифмической, то ее аргумент не переменная x, а все выражение log_0,5(2x + 1). Если же все-таки рассматривать x как аргумент функции y = log₃ log_0,5(2x + 1), то эта функция окажется убывающей, так как при увеличении значения x увеличивается значение выражения 2x + 1, уменьшается значение выражения log_0,5(2x + 1) и, соответственно, уменьшается значение самой функции.

Свойства логарифмов

Связь двух форм записи соотношения между числами a, b и x (речь о a^x = b и x = log_ab) позволяет получить свойства логарифмов, основываясь на известных свойствах степеней.

Рассмотрим, например, произведение степеней с одинаковым основанием: a^xa^y. Пусть a ^x = b и a ^y = c. Перейдем к логарифмической форме: x = log_ab и y = log_ac, тогда bc = a ^log_a^b × a ^log_a^c = a ^log_a^{b + log}_a^c. От показательной формы равенства bc = a ^log_a^{b + log}_a^c перейдем к логарифмической форме:

log_a(bc) = log_ab + log_ac

Заметим, что в левой части формулы числа a и b могут быть отрицательными. Тогда формула будет выглядеть так:

log_a(bc) = log_a|b| + log_a|c|

Аналогично можно получить еще два свойства для логарифмов частного и степени.

• логарифм произведения log_a (bc) = log_a |b| + log_a |c|
• логарифм частного
• логарифм степени log_ab^p = p log_a|b|

Последнее свойство дает возможность вывести важную формулу, с помощью которой можно выразить логарифм с одним основанием через логарифм с другим основанием.

Пусть log_ab = x. Перейдем к показательной форме a^x = b. Прологарифмируем это равенство по основанию c, т.е. найдем логарифмы с основанием c обеих частей этого равенства: log_ca^x = log_cb. Применяя к левой части свойство логарифма степени, получим x log_ca = log_cb или , откуда .

Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Полезно запомнить частный случай формулы перехода, когда одно из оснований является степенью другого:

Рассмотренные свойства и формула перехода «работают», конечно, только когда все входящие в них выражения имеют смысл.

Что ещё почитать?

Логарифмы на ЕГЭ

Логарифмы встречаются на ЕГЭ: как во второй части (обычно, это задание 15), так и, реже, в первой части. Задания из аттестации — одно из средств мотивации детей на уроках. Зная, что упражнение на доске аналогично заданию ЕГЭ, ученик будет внимательнее следить за его решением.

Разберем несколько таких заданий.

Из первой части (определение логарифма на ЕГЭ профильного уровня)

Решите уравнение log₃(x+1)² + log₃|x+1| = 6 . Если корней несколько, укажите наименьший из них.

Решение. Решаем квадратное относительно log₃|x+1| уравнение. Его корни 2 и −3.

log₃|x+1| = 2, |x+1| = 9, x = −10 — это наименьший из корней.

Ответ: −10.

Из второй части (логарифмическое неравенство на ЕГЭ профильного уровня)

Решите неравенство .

Решение. ОДЗ: x > 0, x ≠ 1. Перейдем к логарифмам по основанию 10:

;

;

Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы уйти от радикала:

;

Нули числителя: 2/3, 3, с учетом положительности x, нуль заменяется на 1.

Ответ:

Алгебра в таблицах. 7-11 классы. Справочное пособие

Пособие содержит таблицы по всем наиболее важным разделам школьного курса арифметики, алгебры, начал анализа. В таблицах кратко изложена теория по каждой теме, приведены основные формулы, графики и примеры решения типовых задач. В конце книги помещен предметный указатель. Пособие будет полезно учащимся 7-11 классов, абитуриентам, студентам, учителям и родителям.

Купить

Из второй части (логарифмическое уравнение с параметром на ЕГЭ профильного уровня)

Найдите все значения a, для которых при любом положительном значении b уравнение имеет хотя бы одно решение, меньше 1/3.

Решение. Найдем ОДЗ:

Стандартно приводим логарифмы к одному основанию

,

.

Получили квадратное уравнение относительно .

Оно должно иметь корень при

Обозначим, что и рассмотрим квадратичную функцию y = t² — bt — 2a.

Ветви ее графика направлены вверх, а вершина, поскольку b > 0, расположена в левой координатной полуплоскости. Первая ветвь параболы пересекает ось абсцисс правее t = 0, значит при t = 0 y < 0. Получаем −2a < 0 a > 0.

Ответ: a > 0.

Учебник «Алгебра и начала математического анализа. Углубленный уровень. 10 класс» схож по структуре с учебником базового уровня, однако предполагает больше часов на изучение сложных задач. Эти и другие издания линейки вы можете апробировать прямо сейчас, воспользовавшись акцией «5 учебников бесплатно». Методическое пособие представлено в свободном доступе. Приглашаем познакомиться с другими вебинарами экспертов и порекомендовать нам интересующую вас тему для последующих трансляций.

---

#ADVERTISING_INSERT#

Решение логарифмических функций — объяснения и примеры

В этой статье мы узнаем, как вычислять и решать логарифмические функции с неизвестными переменными.

Логарифмы и экспоненты — две тесно связанные между собой темы в математике. Поэтому полезно взять краткий обзор показателей.

Показатель степени — это форма записи многократного умножения числа на само себя. Показательная функция имеет вид f (x) = b ^y , где b> 0

Например, , 32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2 ² .

Экспоненциальная функция 2 ² читается как « два в степени пяти, » или « два в возведении в пятерку » или « два в пятой степени. ”

С другой стороны, логарифмическая функция определяется как функция, обратная возведению в степень. Снова рассмотрим экспоненциальную функцию f (x) = b ^y , где b> 0

y = журнал _b x

Тогда логарифмическая функция имеет вид;

f (x) = log _b x = y, где b — основание, y — показатель степени, а x — аргумент.

Функция f (x) = log _b x читается как «log base b of x». Логарифмы полезны в математике, потому что они позволяют нам выполнять вычисления с очень большими числами.

Как решать логарифмические функции?

Для решения логарифмических функций важно использовать экспоненциальные функции в данном выражении.Натуральное бревно или ln — это обратное значение e . Это означает, что один может отменить другой, то есть

ln (e ^x ) = x

e ^{ln x} = x

Чтобы решить уравнение с логарифмом (ами), важно знать их свойства.

Свойства логарифмических функций

Свойства логарифмических функций — это просто правила для упрощения логарифмов, когда входные данные имеют форму деления, умножения или показателя степени логарифмических значений.

Некоторые из объектов недвижимости перечислены ниже.

Правило произведения логарифмов гласит, что логарифм произведения двух чисел, имеющих общее основание, равен сумме отдельных логарифмов.

⟹ log _a (p q) = log _a p + log _a q.

Правило частного логарифмов гласит, что логарифм отношения двух чисел с одинаковыми основаниями равен разности каждого логарифма.

⟹ log _a (p / q) = log _a p — log _a q

Правило степени логарифма утверждает, что логарифм числа с рациональной экспонентой равен произведению показателя степени и его логарифма.

⟹ журнал _a (p ^q ) = q журнал _a p

⟹ журнал _a p = журнал _x p ⋅ журнал _a x

⟹ log _q p = log _x p / log _x q

⟹ журнал _p 1 = 0.

Другие свойства логарифмических функций включают:

• Основания экспоненциальной функции и ее эквивалентной логарифмической функции равны.
• Логарифмы положительного числа по основанию того же числа равны 1.

журнал _a a = 1

• Логарифмы от 1 до любого основания равны 0.

log _a 1 = 0

• Журнал _a 0 не определено
• Логарифмы отрицательных чисел не определены.
• Основание логарифмов никогда не может быть отрицательным или 1.
• Логарифмическая функция с основанием 10 называется десятичным логарифмом. Всегда принимайте основание 10 при решении с помощью логарифмических функций без маленького индекса для основания.

Сравнение экспоненциальной функции и логарифмической функции

Каждый раз, когда вы видите логарифмы в уравнении, вы всегда думаете о том, как отменить логарифм, чтобы решить уравнение. Для этого вы используете экспоненциальную функцию . Обе эти функции взаимозаменяемы.

В следующей таблице описан способ записи и перестановки экспоненциальных функций и логарифмических функций . В третьем столбце рассказывается о том, как читать обе логарифмические функции.

Экспоненциальная функция	Логарифмическая функция	Читать как
8 2 = 64	журнал 8 64 = 2	журнал, основание 8 из 64
10 3 = 1000	журнал 1000 = 3	лог по основанию 10 из 1000
10 0 = 1	журнал 1 = 0	лог по основанию 10 из 1
25 2 = 625	журнал 25 625 = 2	бревно, база 25 из 625
12 2 = 144	журнал 12 144 = 2	бревно, основание 12 из 144

Давайте воспользуемся этими свойствами для решения пары задач, связанных с логарифмическими функциями.

Пример 1

Записываем экспоненциальную функцию 7 ² = 49 в ее эквивалентную логарифмическую функцию.

Раствор

Дано 7 ² = 64.

Здесь основание = 7, показатель степени = 2 и аргумент = 49. Следовательно, 7 ² = 64 в логарифмической функции;

⟹ лог ₇ 49 = 2

Пример 2

Запишите логарифмический эквивалент 5 ³ = 125.

Раствор

База = 5;

показатель степени = 3;

и аргумент = 125

5 ³ = 125 ⟹ лог ₅ 125 = 3

Пример 3

Решить относительно x в журнале ₃ x = 2

Раствор

журнал ₃ x = 2
3 ² = x
⟹ x = 9

Пример 4

Если 2 log x = 4 log 3, найдите значение «x».

Раствор

2 журнала x = 4 журнала 3

Разделите каждую сторону на 2.

журнал x = (4 журнал 3) / 2

журнал x = 2 журнал 3

журнал x = журнал 3 ²

журнал x = журнал 9

х = 9

Пример 5

Найдите логарифм 1024 по основанию 2.

Раствор

1024 = 2 ¹⁰

журнал ₂ 1024 = 10

Пример 6

Найдите значение x в журнале ₂ ( x ) = 4

Раствор

Перепишите логарифмическую функцию log ₂ ( x ) = 4 в экспоненциальную форму.

2 ⁴ = x

16 = x

Пример 7

Найдите x в следующей логарифмической функции log ₂ (x — 1) = 5.

Решение
Записываем логарифм в экспоненциальной форме как;

журнал ₂ (x — 1) = 5 ⟹ x — 1 = 2 ⁵

Теперь решите относительно x в алгебраическом уравнении.
⟹ х — 1 = 32
х = 33

Пример 8

Найдите значение x в логарифме x 900 = 2.

Раствор

Запишите логарифм в экспоненциальной форме как;

х ² = 900

Найдите квадратный корень из обеих частей уравнения, чтобы получить;

x = -30 и 30

Но поскольку основание логарифмов никогда не может быть отрицательным или 1, то правильный ответ — 30.

Пример 9

Решить относительно заданного x, log x = log 2 + log 5

Раствор

Используя правило продукта Log _b (m n) = log _b m + log _b n получаем;

⟹ журнал 2 + журнал 5 = журнал (2 * 5) = журнал (10).

Следовательно, x = 10.

Пример 10

Журнал решения _x (4x — 3) = 2

Раствор

Записываем логарифм в экспоненциальной форме, чтобы получить;

x ² = 4x — 3

Теперь решите квадратное уравнение.
x ² = 4x — 3
x ² — 4x + 3 = 0
(x -1) (x — 3) = 0

x = 1 или 3

Поскольку основание логарифма никогда не может быть 1, единственное решение — 3.

Практические вопросы

1. Выразите следующие логарифмы в экспоненциальной форме.

а. 1ог ₂ 6

г. журнал ₉ 3

г. журнал ₄ 1

г. журнал ₆ 6

e. журнал ₈ 25

ф. журнал ₃ (-9)

2. Найдите x в каждом из следующих логарифмов

а. журнал ₃ (x + 1) = 2

г. журнал ₅ (3x — 8) = 2

г.журнал (x + 2) + журнал (x — 1) = 1

г. журнал x ⁴ — журнал 3 = журнал (3x ² )

3. Найдите значение y в каждом из следующих логарифмов.

а. журнал ₂ 8 = y

г. журнал ₅ 1 = y

г. журнал ₄ 1/8 = y

г. журнал y = 100000

4. Решите относительно xif log _x (9/25) = 2.

5. Решить журнал ₂ 3 — журнал ₂ 24

6. Найдите значение x в следующем логарифме log ₅ (125x) = 4

7.Учитывая, что Log ₁₀ 2 = 0,30103, Log ₁₀ 3 = 0,47712 и Log ₁₀ 7 = 0,84510, решите следующие логарифмы:

а. журнал 6

г. журнал 21

г. журнал 14

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Вопросы по логарифму — Вопросы, основанные на логарифме и решениях

В доске CBSE главы логарифма включены в программу 9, 10 и 11 класса.Учащимся 9 класса впервые будут представлены вопросы и ответы по логарифму. Следовательно, тщательная практика решения логарифмических задач и ответов требует времени.

Однако, прежде чем перейти к главе, посвященной логарифму, учащиеся должны быть абсолютно ясны в основных понятиях. Только тогда решение сложных логарифмических вопросов станет значительно проще.

Вопросы, основанные на логарифме

Вот несколько вопросов, связанных с логарифмом, которые могут дать учащимся некоторое представление.

Вопрос 1: Найдите неверное утверждение снизу —

(a) log (1 + 2 + 3) = log 1 + log 2 + log 3

(b) log (2 + 3) = log (2 x 3)

(c) log10 10 = 1

(d) log10 1 = 0

Решение: ответ: вариант (b) log (2 + 3) = log (2 x 3).

Вопрос 2: Каково значение log5512, когда log 2 = 0,3010 и log 3 = 0,4771?

(а) 3,912

(б) 3,876

(в) 2,967

(г) 2,870

Решение: ответ — вариант (б) 3.876.

Вопрос 3: Найдите значение log 9, когда log 27 составляет 1,431.

(а) 0,954

(б) 0,945

(в) 0,958

(г) 0,934

Решение: ответ — вариант (а) 0,954.

Вопрос 4. Каково значение log2 10, когда log10 2 = 0,3010?

(a) 1000/301

(b) 699/301

(c) 0,6990

(d) 0,3010

Решение: ответ — вариант (a) 1000/301.

Вопрос 5: Каково значение log10 80, когда log10 2 = 0.3010?

(a) 3,9030

(b) 1,9030

(c) 1,6020

(d) Ни один из вышеперечисленных вариантов

Решение: Ответ — вариант (b) 1.9030.

Вопрос 6: Сколько цифр в 264, если log 2 = 0,30103?

(a) 21

(b) 20

(c) 18

(d) 19

Решение: ответ — вариант (b) 20.

Вопрос 7: Что из следующего верно, если топор = по?

(a) log a / log b = x / y

(b) log a / b = x / y

(c) log a / log b = y / x

(d) Ничего из вышеперечисленного option

Решение: Ответ: вариант (c) log a / log b = y / x.

Вопрос 8: Каково значение log2 16?

(a) 8

(b) 4

(c) 1/8

(d) 16

Решение: Ответ: (b) 4.

Вопрос 9: Найдите значение y, если logx y = 100 и log2 x = 10.

(a) 21000

(b) 210

(c) 2100

(d) 210000

Решение: ответ — вариант (a) 21000.

Вопрос 10: Найдите значение log10 (0,0001).

(a) — 1/4

(b) 1/4

(c) 4

(d) — 4

Решение: ответ — вариант (d) — 4.

Вопрос 11: Каково значение x, когда log2 [log3 (log2x)] = 1?

(a) 512

(b) 12

(c) 0

(d) 128

Решение: ответ — вариант (a) 512.

Вопрос студентов по логарифмическим вопросам можно пояснить в Веданту. онлайн-классы. У вас также есть возможность скачать материалы в формате PDF с официального сайта. Загрузите приложение сегодня!

Log-Base-10 — Алгебра II

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Обогащение: подробнее о логарифмах | Функции

\ (\ log_ {3} {a} — \ log {\ text {1,2}} = 0 \)

\ begin {align *} \ log_ {3} {a} — \ log {\ text {1,2}} & = 0 \\ \ log_ {3} {a} & = \ log {\ text {1,2}} \\ \ text {Перейти к экспоненциальной форме:} & \\ 3 ^ {\ log {\ text {1,2}}} & = a \\ \ поэтому a & = \ text {1,09} \ end {выровнять *}

Альтернативный (более длинный) метод:

\ begin {align *} \ log_ {3} {a} — \ log {\ text {1,2}} & = 0 \\ \ log_ {3} {a} & = \ log {\ text {1,2}} \\ \ frac {\ log {a}} {\ log {3}} & = \ log {\ text {1,2}} \\ \ log {a} & = \ log {3} \ times \ log {\ text {1,2}} \\ \ log {a} & = \ text {0,037} \ ldots \\ \ поэтому a & = \ text {1,09} \ end {выровнять *}

\ (\ log_ {2} {(a — 1)} = \ text {1,5} \)

\ begin {align *} \ log_ {2} {(a — 1)} & = \ text {1,5} \\ \ text {Перейти к экспоненциальной форме:} & \\ 2 ^ {\ text {1,5}} & = a — 1 \\ 2 ^ {\ text {1,5}} + 1 & = a \\ \ поэтому a & = \ text {3,83} \ end {выровнять *}

Альтернативный (более длинный) метод:

\ begin {align *} \ log_ {2} {(a — 1)} & = \ text {1,5} \\ \ frac {\ log {(a — 1)}} {\ log {2}} & = \ text {1,5} \\ \ log {(a — 1)} & = \ log {2} \ times \ text {1,5} \\ \ поэтому a — 1 & = \ text {2,83} \ ldots \\ \ поэтому a & = \ text {3,83} \ end {выровнять *}

\ (\ log_ {2} {a} — 1 = \ text {1,5} \)

\ begin {align *} \ log_ {2} {a — 1} & = \ text {1,5} \\ \ log_ {2} {a} & = \ text {2,5} \\ \ text {Перейти к экспоненциальной форме:} & \\ 2 ^ {\ text {2,5}} & = а \\ \ поэтому a & = \ text {5,66} \ end {выровнять *}

Альтернативный (более длинный) метод:

\ begin {align *} \ log_ {2} {a} — 1 & = \ text {1,5} \\ \ frac {\ log {a}} {\ log {2}} & = \ text {2,5} \\ \ log {a} & = \ log {2} \ times \ text {2,5} \\ \ поэтому a & = \ text {5,66} \ end {выровнять *}

\ (3 ^ {a} = \ text {2,2} \)

\ begin {align *} 3 ^ {a} & = \ text {2,2} \\ \ поэтому a & = \ log_ {3} {\ text {2,2}} \\ & = \ frac {\ log {\ text {2,2}}} {\ log {3}} \\ \ поэтому a & = \ text {0,72} \ end {выровнять *}

\ (2 ^ {(a + 1)} = \ text {0,7} \)

\ begin {align *} 2 ^ {(a + 1)} & = \ text {0,7} \\ \ поэтому a + 1 & = \ log_ {2} {\ text {0,7}} \\ \ поэтому a & = \ frac {\ log {\ text {0,7}}} {\ log {2}} — 1 \\ & = — \ text {1,51} \ end {выровнять *}

\ ((\ text {1,03}) ^ {\ frac {a} {2}} = \ text {2,65} \)

\ begin {align *} (\ text {1,03}) ^ {\ frac {a} {2}} & = \ text {2,65} \\ \ поэтому \ frac {a} {2} & = \ log _ {\ text {1,03}} {\ text {2,65}} \\ \ поэтому a & = 2 \ times \ frac {\ log {\ text {2,65}}} {\ log {\ text {1,03}}} \\ & = \ text {65,94} \ end {выровнять *}

\ ((\ text {9}) ^ {(1 — 2a)} = \ text {101} \)

\ begin {align *} (\ text {9}) ^ {(1 — 2a)} & = \ text {101} \\ \ поэтому 1 — 2a & = \ log _ {\ text {9}} {\ text {101}} \\ \ поэтому 1 — \ frac {\ log {\ text {101}}} {\ log {\ text {9}}} & = 2a \\ — \ text {1,10} \ ldots & = 2a \\ \ поэтому — \ text {0,55} & = a \ end {выровнять *}

Свойства логарифмов | Колледж алгебры

Результаты обучения

• Перепишите логарифмическое выражение, используя правило степени, правило произведения или правило частного. {1} = 5 [/ latex].{{\ mathrm {log}} _ {e} 7} = 7 [/ латекс].

  Наконец, у нас есть свойство однозначно .

  [латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} M = {\ mathrm {log}} _ {b} N \ text {тогда и только тогда, когда} \ text {} M = N [/ latex]

  Мы можем использовать однозначное свойство для решения уравнения [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (3x \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (2x + 5 \ right) [/ latex] для x . Поскольку основы одинаковы, мы можем применить свойство «один к одному», установив равные аргументы и решив для x :

  [латекс] \ begin {array} {l} 3x = 2x + 5 \ hfill & \ text {Установите равные аргументы} \ text {.} \ hfill \\ x = 5 \ hfill & \ text {Вычесть 2} x \ text {.} \ hfill \ end {array} [/ latex]

  А как насчет уравнения [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (3x \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (2x + 5 \ right) = 2 [/латекс]? Свойство «один к одному» в данном случае нам не помогает. {a + b} [/ латекс].У нас есть аналогичное свойство для логарифмов, которое называется правилом произведения для логарифмов , которое гласит, что логарифм произведения равен сумме логарифмов. Поскольку бревна — это экспоненты, и мы умножаем их как основания, мы можем складывать экспоненты. Мы будем использовать обратное свойство для вывода правила произведения ниже.

  Для любого действительного числа x и положительных вещественных чисел M , N и b , где [latex] b \ ne 1 [/ latex], мы покажем

  [латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (MN \ right) \ text {=} {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (M \ right) + {\ mathrm { log}} _ {b} \ left (N \ right) [/ latex].{m + n} \ right) \ hfill & \ text {Применить правило продукта для показателей степени}. \ hfill \\ \ hfill & = m + n \ hfill & \ text {Применить обратное свойство журналов}. \ hfill \ \ \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (M \ right) + {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (N \ right) \ hfill & \ text {Заменить на } m \ text {и} n. \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Обратите внимание, что повторное применение правила произведения для логарифмов позволяет упростить логарифм произведения любого количества факторов. Например, рассмотрим [латекс] \ mathrm {log} _ {b} (wxyz) [/ latex].Используя правило продукта для логарифмов, мы можем переписать этот логарифм продукта как сумму логарифмов его множителей:

  [латекс] \ mathrm {log} _ {b} (wxyz) = \ mathrm {log} _ {b} w + \ mathrm {log} _ {b} x + \ mathrm {log} _ {b} y + \ mathrm { log} _ {b} z [/ латекс]

  Общее примечание: правило произведения логарифмов

  Правило произведения для логарифмов можно использовать для упрощения логарифма произведения, переписав его как сумму отдельных логарифмов.

  [латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (MN \ right) = {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (M \ right) + {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (N \ right) \ text {for} b> 0 [/ latex]

  Пример: использование правила произведения для логарифмов

  Разверните [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (30x \ left (3x + 4 \ right) \ right) [/ latex].

  Показать решение

  Начнем с написания уравнения равных сумм логарифмов каждого множителя.

  [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (30x \ left (3x + 4 \ right) \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (30x \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (3x + 4 \ right) = {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (30 \ right) + {\ mathrm {log}} _ { 3} \ left (x \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (3x + 4 \ right) [/ latex]

  Последнее расширение выглядит так. Обратите внимание, как коэффициент [латекс] 30x [/ latex] можно разложить до суммы двух логарифмов:

  [латекс] {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (30 \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (x \ right) + {\ mathrm {log}} _ {3} \ left (3x + 4 \ right) [/ латекс]

  Попробуйте

  Разверните [латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (8k \ right) [/ latex].{a-b} [/ латекс]. Правило частного для логарифмов говорит, что логарифм частного равен разности логарифмов. Как и в случае с правилом произведения, мы можем использовать обратное свойство для получения правила частного.

  Для любого действительного числа x и положительных вещественных чисел M , N и b , где [latex] b \ ne 1 [/ latex], мы покажем

  [латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (\ frac {M} {N} \ right) \ text {=} {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (M \ справа) — {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (N \ right) [/ latex].{2} + 6x} {3x + 9} \ right) & = \ mathrm {log} \ left (\ frac {2x \ left (x + 3 \ right)} {3 \ left (x + 3 \ right)} \ right) \ hfill & \ text {Разложите числитель и знаменатель на множители}. \ hfill \\ & \ text {} = \ mathrm {log} \ left (\ frac {2x} {3} \ right) \ hfill & \ text {Отменить общие множители}. \ Hfill \ end {array} [/ latex]

  Затем мы применяем правило частного, вычитая логарифм знаменателя из логарифма числителя. Затем применяем правило продукта.

  [латекс] \ begin {array} {lll} \ mathrm {log} \ left (\ frac {2x} {3} \ right) & = \ mathrm {log} \ left (2x \ right) — \ mathrm {log } \ left (3 \ right) \ hfill \\ \ text {} & = \ mathrm {log} \ left (2 \ right) + \ mathrm {log} \ left (x \ right) — \ mathrm {log} \ слева (3 \ справа) \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Общее примечание: Правило частного для логарифмов

  Правило частного для логарифмов можно использовать для упрощения логарифма или частного, переписав его как разность отдельных логарифмов.

  [латекс] {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (\ frac {M} {N} \ right) = {\ mathrm {log}} _ {b} M — {\ mathrm {log}} _ {b} N [/ латекс]

  Как сделать: учитывая логарифм частного, используйте правило частного логарифмов, чтобы записать эквивалентную разницу логарифмов

  1. Выразите аргумент в наименьших числах, разложив числитель и знаменатель на множители и исключив общие термины.
  2. Напишите эквивалентное выражение, вычтя логарифм знаменателя из логарифма числителя.
  3. Убедитесь, что каждый член полностью раскрыт. Если нет, примените правило произведения для логарифмов, чтобы полностью раскрыть логарифм.

  Пример: использование правила частного для логарифмов

  Разверните [латекс] {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (\ frac {15x \ left (x — 1 \ right)} {\ left (3x + 4 \ right) \ left (2-x \ right)} \ right) [/ латекс].

  Показать решение

  Сначала отметим, что частное факторизуется в наименьших значениях, поэтому мы применяем правило частного.

  [латекс] {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (\ frac {15x \ left (x — 1 \ right)} {\ left (3x + 4 \ right) \ left (2-x \ right) )} \ right) = {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (15x \ left (x — 1 \ right) \ right) — {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (\ left (3x + 4 \ right) \ left (2-x \ right) \ right) [/ латекс]

  Обратите внимание, что полученные члены являются логарифмами произведений.Для полного расширения мы применяем правило продукта.

  [латекс] \ begin {array} {l} {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (15x \ left (x — 1 \ right) \ right) — {\ mathrm {log}} _ {2 } \ left (\ left (3x + 4 \ right) \ left (2-x \ right) \ right) \\\ text {} = \ left [{\ mathrm {log}} _ {2} \ left (15 \ right) + {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (x \ right) + {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (x — 1 \ right) \ right] — \ left [ {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (3x + 4 \ right) + {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (2-x \ right) \ right] \ hfill \\ \ text {} = {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (15 \ right) + {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (x \ right) + {\ mathrm {log}} _ { 2} \ left (x — 1 \ right) — {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (3x + 4 \ right) — {\ mathrm {log}} _ {2} \ left (2-x \ right) \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Анализ решения

  В этом и последующих примерах есть исключения. {2} + 21x} {7x \ left (x — 1 \ right) \ left (x — 2 \ right)} \ right) [/ латекс].{2} \ right) \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} \ left (x \ cdot x \ right) \ hfill \\ \ hfill & = {\ mathrm {log}} _ {b} x + {\ mathrm {log}} _ {b} x \ hfill \\ \ hfill & = 2 {\ mathrm {log}} _ {b} x \ hfill \ end {array} [/ latex]

  Обратите внимание, что мы использовали правило произведения для логарифмов , чтобы найти решение для приведенного выше примера. Таким образом, мы вывели правило мощности для логарифмов , которое гласит, что логарифм степени равен экспоненте, умноженной на логарифм основания. Имейте в виду, что хотя вход логарифма не может быть записан как степень, мы можем изменить его на степень.{2}} \ right) [/ латекс].

  Показать решение

  [латекс] -2 \ mathrm {ln} \ left (x \ right) [/ latex]

  Внесите свой вклад!

  У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

  Улучшить эту страницуПодробнее

  Основы — примеры проблем с решениями

  Логарифм
  

  Логарифм положительного числа x по основанию a (a — положительное число, не равное 1) — это степень y, до которой необходимо возвести основание a, чтобы получить число x.

  
  log _a x = y, потому что a ^y = x a> 0 и a ≠ 1

  Свойства логарифмов:

  ---

  1. Запишем в виде логарифмов:

  
  10 ² = 100 лог ₁₀ 100 = 2
  4 ⁵ = 1024 журнал ₄ 1024 = 5
  13 ⁰ = 1 лог ₁₃ 1 = 0
  10 ^-3 = 0,001 лог ₁₀ 0,001 = -3
  64 ^0,5 = 8 лог ₆₄ 8 = 0,5
  5 ^-2 = 0,04 лог ₅ 0,04 = -2
  

  ---

  2.Решите и объясните причину:

  
  журнал ₁₀ 1000 журнал ₁₀ 1000 = 3, потому что 10 ³ = 1000
  журнал ₃ 81 журнал ₃ 81 = 4, потому что 3 ⁴ = 81
  log ₂ 0,5 log ₂ 0,5 = -1, потому что 2 ^-1 = 0,5
  журнал ₁₇ 1 журнал ₁₇ 1 = 0, потому что 17 ⁰ = 1
  журнал ₁₁ 11 журнал ₁₁ 11 = 1, потому что 11 ¹ = 11
  log ₅ 0,2 log ₅ 0,2 = -1, потому что5 ^-1 = 0,2
  журнал ₁₅ 0 журнал ₁₅ 0 =
  журнал ₅ (-25) журнал ₅ (-25) = n0
  log _0,4 0,4 ​​log _0,4 0,4 ​​= 1, потому что 0,4 ¹ = 0,4
  журнал ₁ 49 журнал ₁ 49 = 0 не определено
  

  ---

  3.Определите x:

  
  журнал ₂ x = 3 x = 2 ³ = 8
  журнал ₁₀ x = -4 x = 10 ^-4 = 0,0001
  журнал ₁₆ x = 0,5 x = 16 ^0,5 = 4
  журнал ₂₀ x = 1 x = 20 ¹ = 20
  журнал ₂₅ x = -0,5 x = 25 ^-0,5 = 0,2
  журнал _0,2487 x = 0 x = 0,2487 ⁰ = 1
  

  ---

  4. Определите:

  
  журнал _a 25 = 2 a = 5
  журнал _a 81 = 4 a = 3
  журнал _a 100000 = 5 a = 10
  журнал _a 512 = 3 a = 8
  журнал _a 0,01 = -2 a = 10
  журнал _a 5 = 0,5 a = 25
  журнал _a 36 = 2 a = 6
  журнал _a 64 = 1 a = 64

  ---

  5.Логарифмируем следующие выражения (с основанием a)

  ---

  6. Определите x:

  ---

  7. Пронумеруйте выражение:

  
  

  Решение:
  

  Причина:

  
  

  ---

  8. Логарифмируем выражение (с основанием a):
  

  Решение:
  

  
  

  ---

  9. Пронумеруйте выражение:

  
  

  Решение:
  

  Причина:

  
  

  ---

  10.Перечислите выражение:

  
  

  Решение:
  

  
  

  Причина:

  
  

  ---

  11. Используйте десятичный логарифм, чтобы решить уравнение:

  
  

  Решение:
  

  
  

  ---

  12. Используйте десятичный логарифм, чтобы решить уравнение:

  
  

  Решение:
  

  
  

  ---

  13. Используйте десятичный логарифм, чтобы решить уравнение:

  
  

  Решение:
  

  
  

  ---

  14.За t = 50 часов активность радиоактивного натрия снижается до 1/10 от исходного значения. x \), где \ (x \) представляет количество недель, в течение которых прошли.Икс . \ nonumber \]

  Хотя мы создали экспоненциальные модели и использовали их для прогнозов, вы, возможно, заметили, что решение экспоненциальных уравнений еще не упоминалось. Причина проста: ни один из рассмотренных до сих пор алгебраических инструментов не достаточен для решения экспоненциальных уравнений. Рассмотрим уравнение 2 ^x = 10 выше. Мы знаем, что 2 ³ = 8 и 2 ⁴ = 16, поэтому ясно, что x должно быть некоторым значением от 3 до 4, поскольку g ( x ) = 2 ^x — это увеличивается.Мы могли бы использовать технологию для создания таблицы значений или графика, чтобы лучше оценить решение, но мы хотели бы найти алгебраический способ решения уравнения.

  Нам нужна операция, обратная возведению в степень, чтобы найти переменную, если переменная находится в экспоненте. Как мы узнали на уроке алгебры (предварительное условие для этого конечного курса математики), обратная функция для экспоненциальной функции является логарифмической функцией.

  Мы также узнали, что экспоненциальная функция имеет обратную функцию, потому что каждое выходное значение (y) соответствует только одному входному значению (x).Этому свойству присвоено имя «один к одному».

  Источник: Материал в этом разделе учебника взят из книги Дэвида Липпмана и Мелони Расмуссен, Книжный магазин Open Text, Precalculus: Исследование функций, «Глава 4: Экспоненциальные и логарифмические функции» под лицензией Creative Commons CC BY-SA 3.0 лицензия. Приведенный здесь материал основан на материалах, содержащихся в этом учебнике, но был изменен Робертой Блум в соответствии с этой лицензией.

  Логарифм

  Логарифм (основание b ), записанный журнал _b ( x ), является обратной экспоненциальной функции (основание b ), b ^x .{\ log_ {b} (x)} = x \ nonumber \]

  Поскольку журнал является функцией, его наиболее правильно записать как журнал _b ( c ), используя круглые скобки для обозначения оценки функции, как и в случае с f (c) . {- 3} = \ frac {1} {1000} \)

Решение

а.{2} = 9 \)

Установив связь между экспоненциальными и логарифмическими функциями, теперь мы можем решать основные логарифмические и экспоненциальные уравнения путем переписывания.

Пример \ (\ PageIndex {3} \)

Журнал решения ₄ ( x ) = 2 для x .

Решение

Переписав это выражение в экспоненту, 4 ² = x , поэтому x = 16

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Решите 2 ^x = 10 для x .

Решение

Переписав это выражение в виде логарифма, мы получим x = log ₂ (10)

Хотя это и определяет решение, вы можете найти его несколько неудовлетворительным, поскольку трудно сравнить это выражение с десятичной оценкой, которую мы сделали ранее. Кроме того, предоставление точного выражения для решения не всегда полезно — часто нам действительно нужно десятичное приближение к решению. К счастью, это задача, с которой калькуляторы и компьютеры неплохо справляются.К несчастью для нас, большинство калькуляторов и компьютеров оценивают только логарифмы двух оснований: 10 и и . К счастью, это не проблема, так как вскоре мы увидим, что можем использовать формулу «изменения основания» для вычисления логарифмов для других оснований.

Обычный и натуральный логарифмы

Общий журнал представляет собой логарифм с основанием 10 и обычно записывается как \ (\ log (x) \), а иногда как \ (\ log_ {10} (x) \). Если база не указана в функции журнала, то используется база b \ (b = 10 \).

натуральный логарифм — это логарифм с основанием \ (e \), обычно записывается как \ (\ ln (x) \).

Обратите внимание, что для любой другой базы b, кроме 10, база должна быть указана в виде \ (\ log_b (x) \).

Пример \ (\ PageIndex {5} \)

Оцените \ (\ log (1000) \), используя определение общего журнала.

Решение

В таблице приведены значения общего журнала

номер	число в виде экспоненты	журнал (номер )
1000	10 3	3
100	10 2	2
10	10 1	1
1	10 0	0
0.1	10 -1	–1
0,01	10 -2	-2
0,001	10 -3	-3

Чтобы оценить log (1000), мы можем сказать

\ [x = \ log (1000) \ nonumber \]

Затем перепишите уравнение в экспоненциальной форме, используя общий логарифм с основанием 10

. 5 \)
• \ (\ ln \ sqrt {e} \)

Решение

а.{1/2} \ right) = 1/2 \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {8} \)

Оцените следующее с помощью калькулятора или компьютера:

1. \ (\ лог 500 \)
2. \ (\ ln 500 \)

Решение

а. Используя кнопку LOG на калькуляторе для вычисления логарифмов по основанию 10, мы вычисляем LOG (500)

Ответ: \ (\ log 500 \ приблизительно 2.69897 \)

г. Используя клавишу LN на калькуляторе для вычисления натуральных логарифмов , , мы вычисляем LN (500)

Ответ: \ (\ ln 500 \ примерно 6.{x} = \ log _ {c} A \).

Теперь используется свойство экспоненты для журналов с левой стороны,
\ [x \ log _ {c} b = \ log _ {c} A \ nonumber \]

Разделив, мы получим \ (x = \ frac {\ log _ {c} (A)} {\ log _ {c} (b)} \), который является заменой базовой формулы.

Вычисление логарифмов

С изменением базовой формулы \ (\ log _ {b} (A) = \ frac {\ log _ {c} (A)} {\ log _ {c} (b)} \) для любых оснований \ (b \), \ (c> 0 \), мы наконец можем найти десятичное приближение к нашему вопросу с начала раздела.х = 10 \) для \ (х \).

Решение

Перепишите экспоненциальное уравнение 2 ^x = 10 в виде логарифмического уравнения

\ [x = \ log _ {2} (10) \ nonumber \]

Используя формулу изменения базы, мы можем переписать логарифм по основанию 2 как логарифм любого другого основания. Поскольку наши калькуляторы могут вычислять натуральный логарифм, мы можем использовать натуральный логарифм, который является логарифмической базой e :

.

Используя наши калькуляторы, чтобы оценить это, \ (\ frac {\ ln (10)} {\ ln (2)} = \ mathrm {LN} (10) / \ mathrm {LN} (2) \ приблизительно 3.3219 \)

Это, наконец, позволяет нам ответить на наш первоначальный вопрос из начала этого раздела:
Для популяции из 50 мух, которая удваивается каждую неделю, потребуется примерно 3,32 недели, чтобы вырасти до 500 мух.

Пример \ (\ PageIndex {10} \)

Вычислить \ (\ log_ {5} (100) \), используя изменение базовой формулы.

Решение

Мы можем переписать это выражение, используя любую другую основу.

Метод 1: Мы можем использовать натуральный логарифм с основанием e с заменой основной формулы

\ [\ log _ {5} (100) = \ frac {\ ln (100)} {\ ln (5)} = \ mathrm {LN} (100) / \ mathrm {LN} (5) \ приблизительно 2 .861 \ nonumber \]

Метод 2: Мы можем использовать десятичный десятичный логарифм с заменой формулы основания,

\ [\ log _ {5} (100) = \ frac {\ log (100)} {\ log (5)} = \ operatorname {LOG} (100) / \ mathrm {LOG} (5) \ около 2,861 \ nonumber \]

Резюмируем взаимосвязь между экспоненциальными и логарифмическими функциями

Логарифмы

Логарифм (основание b ), записанный журнал _b ( x ), является обратной экспоненциальной функции (основание b ), b ^x .{q} \ right) = q \ log _ {b} (A) \ nonumber \)

Свойства журналов: изменение базы: \ (\ log _ {b} (A) = \ frac {\ log _ {c} (A)} {\ log _ {c} (b)} \ text { для любого основания} b, c> 0 \ nonumber \)

Обратное, экспоненциальное и изменение основных свойств, указанных выше, позволит нам решить уравнения, которые возникают в задачах, с которыми мы сталкиваемся в этом учебнике. Сформулируем для полноты картины еще несколько свойств логарифмов

.

Сумма логов: \ (\ log _ {b} (A) + \ log _ {b} (C) = \ log _ {b} (A C) \)

Разница в свойствах журналов: \ (\ log _ {b} (A) — \ log _ {b} (C) = \ log _ {b} \ left (\ frac {A} {C} \ справа) \)

Журналы взаимных вычислений: \ (\ log _ {b} \ left (\ frac {1} {C} \ right) = — \ log _ {b} (C) \)

Взаимные основы: \ (\ log _ {1 / b} C = — \ log _ {b} (C) \)

Источник: материалы в этом разделе учебника взяты из книги Дэвида Липпмана и Мелони Расмуссен, Книжный магазин Open Text, Precalculus: An Investigation of Functions, «Глава 4: Экспоненциальные и логарифмические функции» под лицензией Creative Commons CC BY-SA 3 .0 лицензия. Приведенный здесь материал основан на материалах, содержащихся в этом учебнике, но был изменен Робертой Блум в соответствии с этой лицензией.

.

No related posts.