Логарифмы сложные примеры решения: Логарифмы примеры решения задач, формулы и теоретический материал

Тишин В.И. Логарифмические уравнения

1. Файлы
2. Абитуриентам и школьникам
3. Математика
4. Подготовка к экзамену по математике

Математика

• 6 класс

• Алгебра

• Геометрия

• Для внеклассного чтения

• Домашняя работа по математике

• Задачники по математике для школьников

• Математика в начальной школе

• Подготовка к экзамену по математике

• Школьные математические олимпиады

Практикум

• формат doc
• размер 5. 56 МБ
• добавлен 21 сентября 2010 г.

Методическое пособие для средней школы. Брянск, 2002 г. 45 страниц.
Методика изложения решений логарифмических уравнений выдержана в таком же стиле, как и решение показательных уравнений.
Примеры систематизируются по видам и методам их решения. Делается попытка охватить все основные виды уравнений, а также показать оригинальные методы решения, которые не изучаются в курсе средней школы.

Конечная задача остается прежней — помочь учащимся подготовиться к поступлению в вузы и дать материал учителям для дополнительных занятий.

Содержание.
Логарифмические тождества.
Логарифм.
Свойства логарифмов.
Логарифмическая функция, её свойства и график.
Логарифмические уравнения.
Вид: простейшие логарифмические уравнения. Метод решения: по определению логарифма. Логарифмо-показательные уравнения.
Вид: уравнения, содержащие суммы и разности логарифмов, умножение логарифма на число. Метод решения: применение свойств логарифмов.
Вид: степени логарифма. Одно основание — одно выражение под логарифмом. Метод решение: введение новой переменной и приведение к алгебраическим.
Вид: степени логарифма. Одно основание — разные выраже-ния под логарифмом. Метод решение: введение новой переменной и сведение к алгебраическим.
Вид: степени логарифма. Разные основания логарифмов. Метод решение: переход к логарифмам одного основания с использованием формулы перехода от логарифма одного основания к логарифмам другого.

Логарифмические уравнения с применением тригонометрии.
Показательно-логарифмические уравнения.
Системы уравнений.
Разные уравнения.
Ответы к заданиям по теме «Логарифмические уравнения».

Смотрите также

Контрольная работа

• формат rar
• размер 1. 94 МБ
• добавлен 26 сентября 2010 г.

Факультет довузовской подготовки. Задачи разделены на 3 группы сложности (А, В, С). К задачам даны ответы. Разделы: Действительные числа. Задачи на прогрессии. Иррациональные уравнения. Линейные, квадратные и дробно-рациональные уравнения. Логарифмическая функция. Логарифмические неравенства. Логарифмические уравнения. Неравнства. содержащие модуль. Обратные тригонометрические функции. Перпендикулярные прямые. Планиметрия. Показательная функция….

• формат jpg
• размер 5.05 МБ
• добавлен 30 сентября 2009 г.

1 таблица из 4. Профессионально составленные таблицы от компании ИНФОПЛАСТ. Таблица представляет в сжатом виде основные алгебраические формулы и типовые уравнения. Предназначается для всех тех, кто хочет иметь на своем столе удобный математический справочник для эффективного решения задач. Таблица состоит из двух частей. Особенно полезна для школьников и студентов. Основные разделы: — Логарифмы — Графики некоторых элементарных функций — Квадра…

• формат jpg
• размер 1.18 МБ
• добавлен 30 сентября 2009 г.

2 таблица из 4. Профессионально составленные таблицы от компании ИНФОПЛАСТ. Таблица представляет в сжатом виде основные алгебраические формулы и типовые уравнения. Предназначается всем тем, кто хочет иметь под рукой удобный математический справочник. Таблица состоит из двух частей. Особенно полезна для школьников и студентов. Основные разделы: — Логарифмы — Графики некоторых элементарных функций — Квадратные уравнения — Уравнения с модулем -…

• формат djvu
• размер 2. 22 МБ
• добавлен 01 февраля 2011 г.

ПКФ «БАО», Донецк, 1997г. Содержание: Введение. Тождественные преобразования алгебраических выражений. Целые рациональные выражения. Дробные рациональные выражения. Иррациональные выражения. Примеры с модулями. Алгебраические уравнения. Уравнения высших степеней. Иррациональные уравнения. Уравнения с модулями. Алгебраические неравенства с одной переменной. Решение квадратных неравенств. Метод интервалов для решения рациональных неравенств. Систем…

• формат djvu
• размер 3.35 МБ
• добавлен 20 июня 2009 г.

Изложены ключевые методы решения задач по математике; объяснение логики решений, подробный анализ типичных ошибок абитуриентов. Освещены следующие темы: решение алгебраических уравнений и неравенств, тригонометрические уравнения и неравенства, текстовые задачи, логарифмические и показательные уравнения и неравенства, задачи с параметрами, свойства функций и графики и др.

• формат djvu
• размер 1.55 МБ
• добавлен 12 февраля 2011 г.

Система тренировочных задач и упражнений по математике / А. Я. Симонов, Д. С. Бакаев, А. Г. Эпельман и др. — М.: Просвещение, 1991. — 208 с.: ил — ISBN 5-09-002848-6. В сборник включено более 2000 задач и упражнений по всем основным разделам школьного курса математики. Каждый раздел начинается с краткого изложения соответствующего теоретического материала и разбора наиболее типичных примеров по данной теме. Задачи разделены по сложности на две г…

• формат djvu
• размер 1.59 МБ
• добавлен 13 сентября 2009 г.

Под ред. Шабунина М. А В методическое пособие включены задачи по математике, предлагавшиеся абитуриентам на вступительных экзаменах в Московском физико-техническом институте с 1991 по 2004 год. Для систематизации знаний и удобства задачи структурированы по тематическим разделам. Для школьников старших классов и преподавателей, абитуриентов, а также студентов технических вузов, техникумов, студентов младших курсов вузов и лиц, занимающихся самообр…

pottee

• формат jpg
• размер 748.37 КБ
• добавлен 21 января 2008 г.

Формулы сокращенного умножения. Свойства арифметических корней. Прогрессия. Производная. Первообразная и интеграл. Тригонометрия. Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Квадратные неравенства. Неравенства с модулем. Иррациональные неравенства. Показательные неравенства. Логарифмические неравенства. Логарифмы. Квадратные уравнения. Уравнения с модулем. Показательные уравнения. Тригонометрические уравнения. Логарифмические уравнения. Граф…

• формат exe
• размер 1.22 МБ
• добавлен 12 февраля 2010 г.

Автор неизвестен Теоретический материал и примеры решений тестовых заданий составлены коллективом интернет-ресурса www.allexamen.com — Москва, 2004 Содержание Действия со степенями и радикалами и арифметические вычисления Тождественные преобразования алгебраических выражений Исследование квадратного трехчлена Квадратное уравнение и приложения теоремы Виета Рациональные уравнения и системы Рациональные неравенства Иррациональные уравнения и нерав…

1.11: Журнал функций (z) — Mathematics LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

50404

• Джереми Орлофф
• Массачусетский технологический институт через MIT OpenCourseWare 9{i \тета} \\[4pt] &= z \end{align*}\]

  Поскольку \(r = |z|\) и \(\theta = \text{arg} (z)\) мы пришли к нашему определению.

  Определение: функция сложного журнала

  Функция \(\text{log} (z)\) определяется как

  \[\text{log} (z) = \text{log} (|z|) + i \text{arg} (z),\]

  где \(\text{log} (|z|)\) — обычный натуральный логарифм положительного действительного числа.

  Примечания.

  1. Поскольку \(\text{arg} (z)\) имеет бесконечно много возможных значений, то и \(\text{log} (z)\) тоже.
  2. \(\text{log} (0)\) не определен. (И то, и другое, потому что \(\text{arg} (0)\) не определено и \(\text{log} (|0|)\) не определено.)
  3. Выбор ветви для \(\text{arg} (z)\) делает \(\text{log} (z)\) однозначным. Обычная терминология гласит, что мы выбрали ветвь логарифмической функции.
  4. Основная ветвь журнала происходит от основной ветви arg. То есть

  \(\text{log} (z) = \text{log} (|z|) + i \text{arg} (z)\), где \(-\pi < \text{arg} (z ) \le \pi\) (главная ветвь).

  Пример \(\PageIndex{2}\)

  Вычислить все значения \(\text{log} (i)\). Укажите, какой из них исходит из основной ветки.

  Решение

  Имеем, что \(|i| = 1\) и \(\text{arg} (i) = \dfrac{\pi}{2} + 2n \pi\), поэтому

  \[ \begin{align*} \text{log} (i) &= \text{log} (1) + i \dfrac{\pi}{2} + i 2n \pi \\[4pt] &= i \dfrac{\pi}{2} + i2n\pi, \end{align*}\]

  , где \(n\) — любое целое число.

  Основная ветвь \(\text{arg} (z)\) находится между \(-\pi\) и \(\pi\), поэтому \(\text{Arg} (i) = \pi / 2\). Следовательно, значение \(\text{log} (i)\) из основной ветви равно \(i \pi /2\).

  Пример \(\PageIndex{3}\)

  Вычислить все значения \(\text{log} (-1 — \sqrt{3} i)\). Укажите, какой из них исходит из основной ветки.

  Решение

  Пусть \(z = -1 — \sqrt{3} i\). Тогда \(|z| = 2\) и в главной ветви \(\text{Arg} (z) = -2\pi /3\). Итак, все значения \(\text{log} (z)\) равны

  \[\text{log} (z) = \text{log} (2) — i \dfrac{2\pi}{3 } + i2n \pi.\]

  Значение из основной ветви равно \(\text{log} (z) = \text{log} (2) — i 2\pi /3\).

  Рисунки, показывающие \(w = \text{log} (z)\) как отображение

  На рисунках ниже показаны различные аспекты отображения, заданного \(\text{log}(z)\).

  На первом рисунке мы видим, что точка \(z\) отображается в (бесконечно) множество значений \(w\). В этом случае мы показываем \(\text{log} (1)\) (синие точки), \(\text{log} (4)\) (красные точки), \(\text{log} (i)\ ) (синий крест) и \(\text{log} (4i)\) (красный крест). Значения в главной ветви находятся внутри заштрихованной области в \(w\)-плоскости. Обратите внимание, что значения \(\text{log}(z)\) для данного \(z\) размещаются с интервалами \(2\pi i\) в \(w\)-плоскости.

  
  Отображение \(\text{log} (z): \text{log} (1), \text{log} (4), \text{log} (i), \text{log} (4i) \)

  На следующем рисунке показано, что главная ветвь логарифма отображает проколотую плоскость в горизонтальную полосу \(-\pi < \text{Im} (w) \le \pi\). Мы снова показываем значения \(\text{log} (1), \text{log} (4), \text{log} (i), \text{log} (4i)\). Поскольку мы выбрали ветвь, для каждого журнала отображается только одно значение.

  
  Отображение \(\text{log} (z)\): главная ветвь и проколотая плоскость

  На третьем рисунке показано, как круги с центром в 0 отображаются в вертикальные линии, а лучи из начала координат отображаются в горизонтальные линии. Если ограничиться главной ветвью, окружности отображаются в вертикальные отрезки, а лучи — в одну горизонтальную линию в главной (заштрихованной) области \(w\)-плоскости.

  
  Отображение \(\text{log} (z)\): отображение окружностей и лучей

  Комплексные степени

  Мы можем использовать функцию журнала для определения комплексных степеней. 9{(\frac{i \pi }{4})} \\[4pt] &= \sqrt{2} \frac{(1 + i)}{\sqrt{2}} \\[4pt] &= 1 + я. \end{align*}\]

  Другое отличное значение, когда \(n = 1\), дает минус значение чуть выше.

  Пример \(\PageIndex{5}\)

  Кубические корни: Вычисление всех кубических корней \(i\). Дайте значение, которое исходит из основной ветви \(\text{log} (z)\).

  Решение

  Имеем \(\text{log} (i) = i \dfrac{\pi}{2} + i 2n \pi\), где \(n\) — любое целое число. Итак, 9я = 1\).

  ---

  Эта страница под названием 1.11: Журнал функций (z) распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Джереми Орлоффом (MIT OpenCourseWare) посредством исходного содержимого, которое было отредактировано для стиль и стандарты платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

  1. Наверх
  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или Страница

     Автор

     Джереми Орлофф

     Лицензия

     CC BY-NC-SA

     Версия лицензии

     4,0

     Программа OER или Publisher

     MIT OpenCourseWare

     Показать страницу TOC

     нет

  2. Теги

     1. функция комплексного журнала
     2. source@https://ocw. mit.edu/courses/mathematics/18-04-complex-variables-with-applications-spring-2018

  Логарифм комплексного числа

  Если нам нужно найти квадратный корень из отрицательных чисел, то комплексные числа полезны. Сумма действительного числа и мнимого числа называется комплексным числом.

  Комплексное число = действительное число + мнимое число.

  Например, 5 + 2i

  Здесь 5 — действительное число

  Тогда как 2i — мнимая часть , 

  z представляет комплексное число

  a представляет действительную часть

  b представляет собой мнимую часть

  ib представляет собой мнимое число

   

  Кроме того, если мы хотим найти отрицательные корни квадратного уравнения, то комплекс числа очень полезны.

  Логарифм комплекса числа

  Пусть z и w — два комплексных числа,

  , соединенные с помощью z = ew

  EW = Z,

  Тогда мы можем сказать, что w — логарифм z с базовым

  .

  w = logez

   

  Примечание. Когда основание не упоминается, всегда понимается основание e.

  Мы знаем, что:

  eiθ = cosθ + isinθ

  1) θ = π0034

          = -1

   

  (Note- cosnπ = (-1n)

             sinnπ = 0)

   

  2) θ = 2nπ

     ei*2nπ = cos2nπ + isin2nπ

             = 1+0

  = 1

   

  Кроме того, 

  ax = N, тогда x — логарифм N по основанию «a»,

  Записывается как x = logaN

  2x = 10, тогда x = log210 4 

  , мы знаем,

  Z = x + iy

  y — действительное число

  i — мнимое число

  W = -1+ √1i / 2

  Теперь, чтобы показать, что logez является многозначным fn,

  z = ew = w = logez является определением логарифма,

  let n € z

  2nπi = cos2nπ + isin2nπ

  = 1 + 0i

  = 1

  Кроме того, E2Nπi = 1 -1st Уравнение

  Z = EWW *

  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  =
  . ew * e2nπi                                – из уравнения 1-го

  = EW + 2Nπi

  W + 2Nπi = Logez F n € Z

  Logez = W + 2nπi n € Z

  Общее и основное значение Logez

  IF Z = EW, тогда значение w + EW. 2nπi называется общим значением logez

  Т.е. Logez = w + 2nπi

   

  Logez = logez  + 2nπi

  Теперь положим n = 0

  Logez = logez      – главное значение

   

  Как это работает?

  • First, we find principal value and add 2nπi = General value

   

  logez + 2nπi = Logez

  Some properties of logarithm

  • logz1 * z2  = logz1 + logz2
  • logz1 / logz2 = logz1 – logz2
  • log (z1)z2 = z2logz1
  • logz2z1 = logz1 / logz2
  • loge (x + iy) = 1/2log (x² + y²) + i tan-1 y / x
  • loge (x – iy) = 1/2log (x² + y²) + i tan-1 (-y / x)

  Примеры логарифмирования комплексного числа

  1. Q) Найдите общее и главное значение логарифма
  1. 1+i√3
  2. -5

   

  1)1+i√3 = sinr (cosθ9+1√3 , r = √12 + (√32) = 2

           θ = tan-1 √3 = π/3

  Следовательно, log (1 + i√3)

  = log2 + (2nπ + π/3)            – Общее

   

  Следовательно, log (1 + i√3)

  = log2 + iπ/3                        – частный

   

  2) -5 = x + iy

    r (cosθ + sinθ)

    r (cosπ + sinπ)

    5 (cosπ + sinπ)

   

  Следовательно, r = 4π,

  -5) = log5 + i (2nπ + π)  – Общее

  Log (-5) = log5 + iπ               –  частное

   

  1. Q) Покажите, что loge (a + bi / a – bi) = 2i tan- 1 b/a

   

  loge ( a + ib)  – loge ( a – ib)

  {1/2log (a² + b² ) + itan-1 (b/a)}

  — {1/2log (a² + b² ) + itan-1 (- b/a)}

   

  1/2log (a² + b² ) + itan-1 (b/a) – 1/2log (a² + b² ) + itan-1 b/a

  = 2 itan-1 b/a

  Заключение

  В этой теме мы обсудили логарифм комплексных чисел, их определение, показали, что логез является многозначной фн, обсудили общее и главное значение логез и показали, как он работает.

  No related posts.