Локальная таблица муавра лапласа таблица: таблицы функций Лапласа, вероятностей распределения Пуассона

alexxlab / / Разное

Таблица значений функции Лапласа | matematicus.ru

Artman Таблицы

Таблица значений функции Муавра Лапласа

     

xФ(x)xФ(x)xФ(x)xФ(x)xФ(x)xФ(x)
0,000,000000,500,191461,000,341341,500,433192,000,477253,000,49865
0,010,003990,510,194971,010,343751,510,434482,020,478313,050,49886
0,020,007980,520,198471,020,346141,520,435742,040,479323,100,49903
0,030,011970,530,201941,030,348491,530,436992,060,48030
3,15		0,49918
0,040,015950,540,205401,040,350831,540,438222,080,481243,200,49931
0,050,019940,550,208841,050,353141,550,439432,100,482143,250,49942
0,060,023920,560,21226
1,06		0,355431,560,440622,120,483003,300,49952
0,070,027900,570,215661,070,357691,570,441792,140,483823,350,49960
0,080,031880,580,219041,080,359931,580,442952,160,48461
3,40		0,49966
0,090,035860,590,222401,090,362141,590,444082,180,485373,450,49972
0,100,039830,600,225751,100,364331,600,445202,200,486103,500,49977
0,110,043800,610,22907
1,11		0,366501,610,446302,220,486793,550,49981
0,120,047760,620,232371,120,368641,620,447382,240,487453,600,49984
0,130,051720,630,235651,130,370761,630,448452,260,488093,65
0,49987
0,140,055670,640,238911,140,372861,640,449502,280,488703,700,49989
0,150,059620,650,242151,150,374931,650,450532,300,489283,750,49991
0,160,063560,660,245371,16
0,376981,660,451542,320,489833,800,49993
0,170,067490,670,248571,170,379001,670,452542,340,490363,850,49994
0,180,071420,680,251751,180,381001,680,453522,360,490863,90
0,49995
0,190,075350,690,254901,190,382981,690,454492,380,491343,950,49996
0,200,079260,700,258041,200,384931,700,455432,400,491804,000,49997
0,210,083170,710,261151,21
0,386861,710,456372,420,492244,050,49997
0,220,087060,720,264241,220,388771,720,457282,440,492664,100,49998
0,230,090950,730,267301,230,390651,730,458182,460,493054,15
0,49998
0,240,094830,740,270351,240,392511,740,459072,480,493434,200,49999
0,250,098710,750,273371,250,394351,750,459942,500,493794,250,49999
0,260,102570,760,276371,26
0,396171,760,460802,520,494134,300,49999
0,270,106420,770,279351,270,397961,770,461642,540,494464,350,49999
0,280,110260,780,282301,280,399731,780,462462,560,494774,400,49999
0,290,114090,790,285241,290,401471,790,463272,580,495064,450,50000
0,300,117910,800,288141,300,403201,800,464072,600,495344,500,50000
0,310,121720,810,291031,310,404901,810,464852,620,495604,550,50000
0,320,125520,820,293891,320,406581,820,465622,640,495854,600,50000
0,330,129300,830,296731,330,408241,830,466382,660,496094,650,50000
0,340,133070,840,299551,340,409881,840,467122,680,496324,700,50000
0,350,136830,850,302341,350,411491,850,467842,700,496534,750,50000
0,360,140580,860,305111,360,413091,860,468562,720,496744,800,50000
0,370,144310,870,307851,370,414661,870,469262,740,496934,850,50000
0,380,148030,880,310571,380,416211,880,469952,760,497114,900,50000
0,390,151730,890,313271,390,417741,890,470622,780,497284,950,50000
0,400,155420,900,315941,400,419241,900,471282,800,497445,000,50000
0,410,159100,910,318591,410,420731,910,471932,820,49760
0,420,162760,920,321211,420,422201,920,472572,840,49774
0,430,166400,930,323811,430,423641,930,473202,860,49788
0,440,170030,940,326391,440,425071,940,473812,880,49801
0,450,173640,950,328941,450,426471,950,474412,900,49813
0,460,177240,960,331471,460,427851,960,475002,920,49825
0,470,180820,970,333981,470,429221,970,475582,940,49836
0,480,184390,980,336461,480,430561,980,476152,960,49846
0,490,187930,990,338911,490,431891,990,476702,980,49856

32505

интегральная, локальная, таблицы, примеры задач

Содержание:

  • Личность Пьер-Симона Лапласа
  • Интегральная теорема Муавра-Лапласа
  • Локальная теорема Муавра-Лапласа
  • Таблицы
  • Примеры решения задач

Содержание

  • Личность Пьер-Симона Лапласа
  • Интегральная теорема Муавра-Лапласа
  • Локальная теорема Муавра-Лапласа
  • Таблицы
  • Примеры решения задач

Личность Пьер-Симона Лапласа

Пьер-Симон Лаплас известен в качестве ученого из Франции, который изучал и добился высоких результатов в таких научных областях, как математика, механика, физика, астрономия. Популярность исследователю принести труды в области небесной механики, анализ дифференциальных математических соотношений. Лаплас являлся одним из авторов вероятностной теории.

Сложно переоценить заслуги ученого в математических и астрономических дисциплинах. Благодаря исследованиям великого научного деятеля, были качественно доработаны практически все направления перечисленных областей. Пьер-Симон Лаплас состоял во Французском Географическом обществе, шести научных академиях и королевских организациях, в числе которых Академия Петербурга (1802 г). Исследователь заслужено был удостоен звания величайшего ученого Франции. С этим перечнем великих научных деятелей можно ознакомиться при посещении Эйфелевой башни в Париже.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

В процессе разбора теоремы для наглядности приведем простой пример. Предположим, что имеется тысяча деталей. Пусть усредненная концентрация бракованных товаров, которыми нельзя пользоваться, составляет 10%. При этом некорректно сделать вывод о наличии 100 единиц брака в рассматриваемой основной партии, так как записанный процент является средним. Возможно, что некачественных деталей всего 101, 98 или другое число. Вычислить, каковы шансы найти в партии ровно 100 изделий с браком, можно с помощью теоремы Муавра-Лапласа в интегральном виде. Данный подход значительно упрощает и сокращает расчеты.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Если число опытов равно n, то шансы на успешный результат в интервале от \({K}_{1}\) до \({K}_{2}\) определены таким соотношением: \({{P}_{n}}\left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} \right)\approx F\left( \frac{{{K}_{2}}-np}{\sqrt{npq}} \right)-F\left( \frac{{{K}_{1}}-np}{\sqrt{npq}} \right)\)

В данном случае функцию F, которая включена в запись выражения, называют функцией Муавра-Лапласа. Ее расчет построен по такому принципу: \(F\left( x \right)=\frac{2}{\sqrt{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{{\int\limits_{0}^{x}{e}}^{-\frac{{{t}^{2}}}{2}}}dt\)

 

Примечание 1

Заметим, что в процессе вычислений вероятнее всего возникнут сложности с интегрированием. {2}}{2}}\right)\)

Таблицы

Таблица значений локальной функции Лапласа:

 

 

 

Таблица значений интегральной функции Лапласа:

 

 

Примеры решения задач

Задача 1

Около 5% учащихся вуза ходят в очках. Требуется проанализировать группу из 200 людей, из которых как минимум 10% в очках. Необходимо определить, какова вероятность собрать аудиторию с таким условиями.

Решение

Заметим, что в данном случае целесообразно воспользоваться теоремой Муавра-Лапласа в интегральной форме, то есть:

\({{P}_{n}}\left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} \right)\approx F\left( \frac{{{K}_{2}}-np}{\sqrt{npq}} \right)-F\left( \frac{{{K}_{1}}-np}{\sqrt{npq}} \right)\)

Здесь также целесообразно воспользоваться следующим соотношением, с которым мы уже успели познакомиться в начале темы:

\(F\left( x \right)=\frac{2}{\sqrt{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{{\int\limits_{0}^{x}{e}}^{-\frac{{{t}^{2}}}{2}}}dt\)

Запишем условия задачи, чтобы было удобно выполнять подстановку числовых значений величин в записанную ранее формулу:

n=200

p=0,05

1-0,05=0,95

Далее определим значение \(\sqrt{npq}\):

\(\sqrt{npq}=\sqrt{200\cdot 0,05\cdot 0,95}=\sqrt{9,5}\approx 3,08\)

Затем вычислим, чему равно np:

\(np=200\cdot 0,05=10\)

Путем подстановки продолжим расчет:

\({{P}_{n}}\left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} \right)\approx F\left( \frac{200-10}{3,08} \right)-F\left( \frac{20-10}{3,08} \right)= F\left( 61,7 \right)-F\left( 3,25 \right)\)

\(F\left( x \right)=\frac{2}{\sqrt{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}}{{\int\limits_{0}^{x}{e}}^{-\frac{{{t}^{2}}}{2}}}dt\)

\({{P}_{n}}\left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} \right)\approx 0,5-0,49942=0,00058=5,8\cdot {{10}^{-4}}\)

Ответ: \(5,8\cdot {{10}^{-4}}\)

Задача 2

Театральный зал вместимостью в тысячу человек оснащен парой входов, которые доступны без исключения всем зрителям. Каждый вход расположен около гардероба. Нужно вычислить количество вешалок в любом из гардеробов, чтобы с вероятностью в 0,99 каждый человек имел возможность оставить верхнюю одежду.

Решение

Запишем данные из условия задачи:

n=1000

\(p=\frac{1}{2}\)

\(q=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Воспользуемся рассмотренными ранее формулами и выполним соответствующие вычисления:

\({{P}_{1000}}\left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} \right)=0,99\)

Заметим, что при определении интервала значений событий напрашивается следующий вывод:

\({{K}_{1}}=0\)

В таком случае необходимо вычислить, чему соответствует \({K}_{2}\). Обратимся к формулировке теоремы Муавра-Лапласса:

\({{P}_{1000}}\left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} \right)\approx F\left( \frac{{{K}_{2}}-np}{\sqrt{npq}} \right)-F\left( \frac{{{K}_{1}}-np}{\sqrt{npq}} \right)\)

Отметим, что в данном случае справедливым является следующее равенство:

\(np=1000\cdot \frac{1}{2}=500\)

В результате:

\(\sqrt{npq}=\sqrt{1000\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=\sqrt{250}=5\sqrt{10}=15,8\)

Путем подстановки численных значений, которые были определены ранее, учитывая, что \({K}_{1}=0\), получим следующее соотношение:

\({{P}_{1000}}\left( {{K}_{1}};{{K}_{2}} \right)\approx F\left( \frac{{{K}_{2}}-500}{15,8} \right)-F\left( \frac{0-500}{15,8} \right)=0,99\)

Рассчитаем значение функции по доказательству:

\(F\left( \frac{-500}{15,8} \right)=-F\left( 31,6 \right)=0,5\)

Таким образом:

\(F\left( \frac{{{K}_{2}}-500}{15,8} \right)+0,5=0,99\)

\(F\left( \frac{{{K}_{2}}-500}{15,8} \right)=+0,49\)

С помощью табличной формы определим близкие к 0,49 значения функции. Таковым соответствуют точки 2,32 и 2,34. Выполним вычисления:

\(F\left( 2,32 \right)=0,48983\)

\(F\left( 2,34 \right)=0,49036\)

\(\frac{{{K}_{2}}-500}{15,8}=2,33\)

\({{K}_{2}}-500=2,33\cdot 15,8\)

\({{K}_{2}}-500=36,8\)

\({{K}_{2}}\approx 536,8=537\)

Ответ: 537.

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Поиск по содержимому

pr.probability — Количественная теорема де Муавра–Лапласа (запрос ссылки)

спросил

Изменено 8 лет, 6 месяцев назад

Просмотрено 2к раз

$\begingroup$

Классическая теорема де Муавра-Лапласа утверждает, что мы можем аппроксимировать нормальное распределение дискретным биномиальным распределением: 92 / (2npq)}. $$

У меня такой вопрос: существуют ли в литературе более точные количественные версии этой теоремы? Есть ли хорошие оценки, как измерить ошибку? К сожалению, я не знаком с предметом, но мне нужен результат такого типа.

Конечно, всегда есть возможность просмотреть существующие доказательства и проверить детали, а также превратить их из «мягких» в «жесткие», но я подозреваю, что это уже должно быть сделано. А может это и не оптимально, может есть хорошие доступные способы.

Может ли кто-нибудь указать мне хорошую ссылку в этом направлении?

  • ссылка-запрос
  • пр.вероятность
  • на.численный-анализ

$\endgroup$

6

$\begingroup$

Во-первых, я думаю, что под «качественным» вы подразумеваете «количественный». Во-вторых, хотя по количественным версиям центральной предельной теоремы имеется огромная литература, канонические результаты можно найти в томе 2 Феллера. Для центра распределения есть теорема Берри-Эссеена, для хвостов — большие теория отклонений, введение в которую также охвачено Феллером.

РЕДАКТИРОВАТЬ Если вас действительно волнует конкретная аппроксимация бинома нормальным (или наоборот ), вы просто говорите о более высоких членах в приближении Стирлинга к факториалу (и, следовательно, к биномиальным коэффициентам). Вы можете прочитать все об этом, например, в Concrete Math Грэма/Кнута/Паташника.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Вас может заинтересовать эта статья (очень точная оценка, очевидно, упущенная из виду большинством людей!)

Дж. Э. Литтлвуд, О вероятности хвоста двучлена дистрибьюция, админ. заявл. Проб. 1 (1969) 43–72.

пересмотрено и исправлено Маккеем

Брендан Д. Маккей, Об оценке Литтлвуда для бинома Распространение, Достижения в области прикладной теории вероятностей, Vol. 21, № 2 (июнь, 1989), стр. 475-478

$\endgroup$

$\begingroup$

Вам просто нужна локальная предельная теорема для суммы i.i.d. Случайные величины Бернулли. Стандартным справочником (не только по Бернулли с.в.!) являются «Суммы независимых случайных величин» Петрова, в частности глава VII, §3.

$\endgroup$

$\begingroup$

http://www.johndcook.com/normal_ приблизительно_to_binomial.html

$\endgroup$

2

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

теория вероятностей — Нахождение оценки ошибки для теоремы Де Муавра – Лапласа

спросил

Изменено 4 года, 9 месяцев назад

Просмотрено 1к раз

$\begingroup$

Контекст моего вопроса: В одной части моей диссертации я пытаюсь найти верхнюю границу ошибки в нормальном приближении биномиального распределения, следуя стандартному доказательству теоремы Де Муавра–Лапласа с помощью формулы Стирлинга. Для конкретики: пусть $B_n$ имеет биномиальное распределение, а $N$ имеет стандартизированное нормальное распределение. Я хочу найти верхнюю границу для $$\epsilon_n = \sup_{a

Я хочу сравнить эту ошибку с самой известной оценкой ошибки теоремы Берри-Эсси для биномиального распределения. Пока я нашел только доказательство, которое показывает, что $\epsilon_n \in O\left(\frac 1{\sqrt n}\right)$. См. это доказательство Мартона Балаша и Балинта Тота (которые также только что рассмотрели $\left|\mathcal P\left(a\le \frac{B_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le b\ right)-\mathcal P(a \le N \le b)\right|$ без супремума). Другие доказательства вообще не исследуют ошибку (см., например, это доказательство в Википедии).

Мой вопрос: Знаете ли вы какое-нибудь доказательство в учебнике/статье/статье, где теорема Муавра и Лапласа доказывается с помощью формулы Стирлинга и оценивается полная ошибка? Значение любых встречающихся констант в оценке ошибки также должно быть рассчитано. Можете ли вы указать мне на это доказательство?

Обновление: Я повторно задал вопрос в МО, см. https://mathoverflow.net/questions/219253/finding-an-error-estimation-for-the-de-moivre-laplace-theorem-with-stirlings-

  • теория вероятностей
  • статистика
  • эталонный запрос
  • нормальное распределение
  • оценка

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Фактически, из статьи Балаша и Тота следует, что $$ \sup_{a_n\le c $$ 9{3/2} n}{\sqrt{n}}\right), $$ который не резкий, конечно, но хотя бы равномерный.

$\endgroup$

5

$\begingroup$

(Примечание: Я ошибся автором. Теперь это исправлено.)

IIRC, Книга Успенского «Введение в математическую вероятность». (опубликовано, возможно, в 1937 г.) имеет доказательство Центральная предельная теорема с явными ограничениями на срок ошибки.

Результат довольно сложный.

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Наилучшие двусторонние неравенства для биномиальной функции распределения можно найти в Теория Вероятность. Appl., 57(3), 539–544. (6 страниц) Полное доказательство универсальных неравенств для функции распределения биномиального закона Опубликовано онлайн: 04 сентября 2013 г.

No related posts.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *