Математическая прогрессия примеры: Арифметическая прогрессия

Реферат на тему » Арифметическая прогрессия»

Реферат на тему:

«Арифметическая

прогрессия».

Автор:

 Козлова Кристина ученица 9  класса МКОУ  «Борковская основная общеобразовательная школа» Суджанского района Куврской области

Руководитель:

Барсова Мария Ивановна, учитель, математики первой квалификационной категории

МКОУ  «Борковская основная общеобразовательная школа» Суджанского района Куврской области

                                                         

                                                 

                                                     Содержание

Аннотация……………………………………………………………………………………….. 2

Введение …………………………………………………………………………………………3

1.Определения и формулы……………………………………………………………………..3

2. Примеры решения заданий на Тему: «Нахождение разности, суммы и п-го члена

арифметической прогрессии»………………………………………………………………….. 4

З. Решение задач на формулы арифметической прогрессии…………………………  …6  

Заключение……………………………………………………………………………………. . 7

                                                                   

                                                     Аннотация.

Тема актуальна, имеет широкое практическое применение. Арифметические прогрессии и их свойства изучались математиками с древних времен. Автор стремится, раскрыть в полной мере свои познания в этой области умело совершает экскурс в историю, решал задачу немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Хотя задачи на нахождение последовательностей начинают решать в 9 классе, автор выбрал эту тему, потому что математика имеет постоянно дело с бесконечностью. Опровержение известного изречения нельзя объять необъятное, мы не только научимся задавать такие необъятные объекты, как бесконечные последовательности, но сумеем выделить некоторые их группы, такие как арифметическая прогрессия, но и опишем отдельные свойства. Знание свойств арифметической прогрессии позволяет решить немало различных задач. В работе автор уделил достаточное место теме арифметическая прогрессия: определению, свойствам делает вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Рассмотрены примеры решения заданий на тему:

«Нахождение разности, суммы и n-го члена арифметической прогрессию». Решены задачи на формулы арифметической прогрессии.

Автор исследует актуальную тему математики, решал сознательно задачи об арифметической прогрессии. Тема дана блоком. Идет отработка вычислительных навыков, даны задания трех уровней сложности, в том числе предлагаемые на ЕГЭ. Затем идет отработка применения знаний при решении задач практического содержания.

В работе подробно освещена теоретическая часть, доказаны теоремы, рассмотрен аналитический способ решения арифметической последовательности.

Особый интерес у автора вызвало решение нестандартных задач. Приведены примеры решения последовательности из сборника Подготовка к «малому ЕГЭ)» М.: Эксмо, 2008. Использована обширная литература. Данная работа заслуживает интерес, и лишь начало в исследовании важной и интересной темы. Эти исследования обеспечат молодому автору развитие математических способностей и знаний.

(Барсова М. И.)

                                                               

                                                           Введение.

Я выбрала эту тему потому, что людям свойственно подмечать закономерности в окружающих явлениях.

С последовательностями люди столкнулись в древнейшие времена, считая тройками, десятками, дюжинами….

Мир чисел — не исключение. Простейших навыков счета достаточно, чтобы подметить систему в последовательности: 1, 7, 13, 19… или 1, 2,4, 8…

Встретив новое понятие, хочется узнать о происхождении названия. Почему прогрессия? Почему арифметическая?

Ответ на первый вопрос почти очевиден. Члены такой последовательности все время прогрессируют на одно и тоже число (1, т.е. либо все ниже опускаются (при dО). Возможно, конечно, когда (d=0, это последовательность из одинаковых чисел.

Ну, а арифметической прогрессия названа потому, что в ней каждый член, кроме первого, равен среднему арифметическому двух соседних с ним — предыдущего и последующего.

Цель работы:

Рассмотреть определение и свойства арифметической прогрессии. Уделить внимание выводу формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Рассмотреть примеры решения заданий на тему: «Нахождение разности, суммы и n-го члена арифметической прогрессию», раскрыть в полной мере свои познания в этой области; совершить экскурс в историю, решить задачу немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Решить задачи на формулы арифметической прогрессии.

Задача:

Сознательно овладеть системой знаний и умений об арифметической прогрессии.

Рассмотреть свойства и задания на тему: «Нахождение разности, суммы и n-го члена арифметической прогрессии», сознательно решить задачи об арифметической прогрессии.

                                             1.Определения и формулы.

Определение: арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

Любая арифметическая прогрессия может быть задана формулой вида:

an=kn+b, (1)

где k и b — некоторые числа.

Верно и обратное, что последовательность (аn ), заданная формулой вида:

an=kn+b,

где k и b — некоторые числа, является арифметической прогрессией.

Действительно, найдем разность (n-1)-го и n-го членов последовательности (аn ):

аn+1- an =(n +1)+ b —(kn+b)= kn+k+ b — kn — b = k.

Значит, при любом n справедливо равенство аn+1=аn + k, и по определению последовательность (аn) является арифметической прогрессией, причем разность этой прогрессии равна k

Рассмотрим последовательность (аn), каждый член которой, начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом а, называемым разностью прогрессии. Чтобы найти разность арифметической прогрессии нужно из второго члена вычесть первый:

d=а2—а1 (2)

Также для нахождения разности верно неравенство:

d = аn+1 — an (З)

для любого натурального числа n характерна рекуррентная формула:

аn+1 = an + d(4)

где d — некоторое число.

Легко найти явное выражение an через n. При переходе к очередному элементу его значение возрастет на разность — по сравнению с предыдущим. Чтобы добраться от первого члена прогрессии до n-го, нужно n-1 таких переходов, вследствие чего an , превышает а1 на (n-1) d, 1т.е.

а а1 на — (n -1) d. (5)

Последнее равенство позволяет вычислить сумму n —первых членов арифметической прогрессии: Sn а1+ а2 + .. .+ аn-1 + an

Говорят, немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, еще, будучи школьником, сумел за считанные секунды найти сумму всех натуральных чисел от 1 до 100. Он заметил, что суммы равностоящих от концов чисел равны: 1+100 = 2 +99 = 3 +98=.. .=50+51=101.

Всего получается 50 пар чисел, и сумма каждой пары 101, поэтому общая сумма 50*101= 5050.

действительно, последовательность натуральных чисел является арифметической прогрессией. Здесь а1 = d и d =1.

Гаусс рассматривал четное количество слагаемых, поэтому он сумел разбить их на пары. У нас же n любое натуральное число. Неужели придётся рассматривать отдельно случаи чётного и нечётного n? Нет, сделаем по-другому. Возьмем ещё одну такую же сумму, но слагаемые запишем в обратном порядке:

S n = an+ аn-1+…+ а1+ а2

далее, сложим её почленно с исходной суммой, причём слагаемые сразу попарно

сгруппируем. Получим

2 Sn= (а1 + an) + (а2+ аn-1)+…+( аn-1 +а2)+( an +а1).

В каждых скобках заключена сумма двух равноотстоящих от концов членов прогрессии, которая, как мы знаем, равна 2 а1 + (n -1) d . Всего же таких сумм n, поэтому

2 S n =n (2а1+(n -1) d) = 2na1 + n (n -1) d,

Откуда (6)

Таким образом, сумма n первых членов арифметической прогрессии выражается через первый член и разность. Арифметическая прогрессия возрастает пропорционально n, а сумма первых n её членов — гораздо быстрее, примерно как n 2 /2. И это не случайность, а «далёкий отзвук> интегрального исчисления. Теперь найдём выражение для суммы первых n членов арифметической прогрессии, если известны лишь первый и последний члены, т. е. аi и а Рассмотрим ещё раз равенство

2 Sn= (а1 + an)+(а2+ аn-1)+. ..+( аn-1 +а2)+( an +а1).

Суммы в каждой из скобок равны между собой, значит,

2 Sn= n(а1 + an),

Sn = (7)

Наконец, дадим ещё более простое выражение для Snпригодное, правда, лишь для нечетных n, т.е. для n = 2k — 1. Поскольку при этом 1+n1+(2k-1)= 2k=k+k, то в силу раннее найденною свойства арифметической прогрессии а1 + аn = аk+ аk=2 аk

Поэтому S n =  S n = n * аk (8)

2. Примеры решения заданий на тему: «Нахождение разности, суммы и n-го члена арифметической прогрессии».

Пример 1 При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основание положить 12

бревен?

Дано: а. n: а1=12, а2 =11, an = 1

Найти : Sn- ?

Решение : а а1 + — , где — а1 1

12+( n—1)(-1) =1

12 — n+1=1

2) Найдем S n

Sn = 

S n = 

Ответ : 78 бревен в одной кадке.

Пример2 Свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло дна шахты через 5 секунд после начала падения”.

Дано: а. n: а1 = 49м, d1 =9,8м n1= 5с.

Найти : S 5 — ?

Решение:

Sn = 

S 5 = 

Ответ: глубина шахты 122,5 м.

Пример З Сколько отрицательных членов содержит арифметическая прогрессии (аn):

-18; -17,3;…?

Нам требуется найти отрицательные члены прогрессии, т.е. требуется найти n. Запишем формулу n-го члена для данной прогрессии, аn = -18 + (n -1) d.

Найдем разность прогрессии:

d = а2 — а1

d= -17,3— (-18)=0.7.

Подставим значение d в формулу n-го члена: а -18 + 0,7 (n-1). Так как n члены

прогрессии отрицательные, то они будут меньше 0, т.е. аn 

Решим неравенство, аn 

-18+ 0,7 (n-1)

-18,7 + 0,7 n 

7 n

n

Значит, двадцать шестой член прогрессии — последний отрицательный член прогрессии, а двадцать седьмой — положительный. В этом можно убедиться, используя формулу n-го

члена.

a26 = 18+ 0,7 (26-1) = — 18 +0,7*25 = -0,5

а27= 18+0, 7(27-1) = — 18 +0,7*26=0,2

Ответ: 26.

Пример 4 В арифметической прогрессии (аn ) а1 -5, a15 -30.

Найдите сумму пятнадцатых членов прогрессии.

Сумму пятнадцатых членов прогрессии найдем по формуле нахождения суммы n-го члена арифметической прогрессии:

Sn = S 15 = 

Ответ: S 15=262,5.

Пример 5 Известно, что в арифметической прогрессии (an ) а1 +а5 = -4, а2*а6= -16. Найдите разность и первый член прогрессии.

По условию известно, что

Чтобы решить систему уравнений, выразим каждый из членов прогрессии через а1 и d.

Используем формулу n-го члена для а2, а5, а6.

а2 = а1 + d

а5 = а1 + 4 d

а6=а1 + 5 d

Подставим в систему:

Решим систему методом подстановки, для этого выразим из первого уравнения а1 и

подставим во второе уравнение:

Решим второе уравнение системы — квадратное уравнение относительно переменной 1.

(-2 — d) * (-2 +3d) = -16

4+ 2 d — 6 d – 3d2=-16

-3d2+4d+20=0

3d2+4d-20=0

Его корни: 2 и -3 . Система имеет два решения:

Ответ : 

                          З. Решение задач на формулы арифметической прогрессии.

Задача 1

Хозяин нанял работника на неделю (с понедельника по воскресенье включительно), повышая ему каждый день зарплату на одну и ту же величину. Сколько всего получил работник, если за четверг ему заплатили 3 рубля?

В этой задаче угадывается арифметическая прогрессия, но кажется, что не хватает данных. Известно только число членов n = 7 и значение четвертого члена а4 = 3. Зная разность прогрессии или первый член, мы легко определили бы все что требуется. А так не найдем.

И все — таки попробуем ее решить. 1 способ.

Пусть а — первый член прогрессии, а d — разность. Запишем заработок по дням в виде таблицы:

За неделю работник получил 7а +21 d = 7(а +3 d). Но а +3 d —это оплата за четверг, т.е. 3 рубля. Значит, всего он заработал 21 рубль.

2 способ.

Зарплата за неделю — это сумма нечетного числа первых членов арифметической прогрессии. Заметим, что если нужно найти сумму 7 членов, то 4-Ый член как раз является средним. Поэтому можно применить формулу

S n = n *ak

где n= 2k— 1. Так что общая зарплата за неделю равна 7а4 =7*3= 21 рубль.

Ответ: 21 рубль.

Задача 2

Турист, поднимаясь в гору, достиг в первый час высоты 580м., а каждый следующий час поднимался на высоту на 40м. меньшую, чем предыдущий. Через сколько часов он достигнет высоты 2500м?

Высоты, на которые поднимался турист каждый час, образуют арифметическую прогрессию с первым членом равным 580 и разностью — 40. Пусть n — количество часов, через которое он достигнет высоты 2500м, тогда по формуле суммы первых n членов арифметической прогрессии, получаем

Sn =  2500=  2

В результате получаем квадратное уравнение 20n2 — 600n + 2500 =0. Решаем уравнение и находим корни n=5 и n= 25. Второй корень не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: 5часов.

Заключение.

В ходе проведенного исследования была проведена большая работа по изучению и овладению знаниями об арифметической прогрессии.

В опровержение известного изречения «Нельзя объять необъятное», мы не только научились задавать такие необъятные объекты, как бесконечные последовательности, и сумели вычислить некоторые их группы, но и описали отдельные свойства. Знание свойств арифметической прогрессии позволяет решить немало различных задач. Однако настоящая революция в постижении природы бесконечности связана с понятием предела.

                                                                   

Урок №3 Арифметическая и геометрическая прогрессия

Сегодня, мы рассмотрим тему «Прогрессии», которую большинство в школе либо не понимают, либо после забывают, хотя делать этого не нужно!

Числовые последовательности

Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое действительное число , то говорят, что задана числовая последовательность (или просто последовательность):

Кратко последовательность обозначают символом {} или (), число называют членом или элементом этой последовательности, а — номером члена .

Последовательности обычно задаются формулами, при помощи которых можно вычислить каждый ее член по соответствующему номеру. Также последовательности задаются рекуррентными формулами, позволяющей находить члены последовательности по известным предыдущим.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность {}, которая определяется рекуррентной формулой:

,

где и — заданный числа; число — разность арифметической прогрессии.

Для того чтобы найти n-ый член арифметической прогрессии используют формулу:

Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому его соседних членов, т.е. при справедливо следующее равенство:

Сумму первых n-членов арифметической прогрессии находят по формуле:

Пример №1 Найти седьмой член арифметической прогрессии: 13,4; 14,7;…

Чтобы решить данное задание, в первую очередь, найдем шаг (разницу) прогрессии, т. е. вычислим :

А теперь, когда все данные известны, согласно формуле найдем седьмой член прогрессии:

Ответ: седьмой член заданной арифметической прогрессии равен — 21,2

Пример №2 Вычислим сумму первых десяти четных чисел.

Можно, конечно, посчитать сумму чисел привычным для нас образом: 2+4+6+8+ и т.д. Но ведь не всегда в задачах такие простые условия, поэтому мы воспользуемся формулой суммы первых n-членов арифметической прогрессии.

Чтобы воспользоваться формулой нам нужно знать шаг и последний член прогрессии, поэтому вычисляем их:

Подставляем полученные данные в формулу:

Ответ: сумма первых десяти четных чисел равна 110.

Ну, думаю, здесь хватит…

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность , которая определяется рекуррентной формулой:

,

где и — заданные числа, не равные нулю; — знаменатель геометрической прогрессии.

Чтобы найти n-ый член геометрической прогрессии используют формулу:

Квадрат каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению его соседних членов, т.е. при справедливо следующее равенство:

,

и сразу очевидно, что, для того чтобы найти нужно вычислить квадратный корень из .

Сумму первых n-членов геометрической прогрессии находят по формуле:

, если q≠1

Пример №3 Вычислить пятый член прогрессии: 1,5; 1,8; 2,16;…

Здесь сразу видно, что прогрессия геометрическая, потому что числа в ряду увеличиваются неровно, как в арифметической прогрессии.

Поэтому для вычисления нужно найти знаменатель :

Ну а теперь, вычислим пятый член прогрессии:

Ответ: пятый член геометрической прогрессии — 3,1104

Пример №4 В геометрической прогрессии b(1)=1,5; q=1,2. Вычислить сумму первых трех членов прогрессии.

Здесь вообще все просто, у нас есть все данные, просто подставим их в формулу:

= = = = =

Ответ: сумма первых трех членов прогрессии — 5,46

 

Как вы видите, в принципе, особо сложного тут ничего нет, но бывает, что попадаются задачки запутанные, но на это не нужно обращать внимания, а просто «разматывать ниточки» и искать решение.

Задания для самостоятельной работы

Ответы и решения на задания прошлого урока

На прошлом уроке вам было дано одно задание с несколькими пунктами, давайте посмотрим, насколько вы справились с ним

Задача №1 Выяснить, какое из утверждений А и В следует из другого, используя символы ⇒ и ⇔:

1) А ≡ {каждое из чисел а, b делится на 7}, В ≡ {сумма а + b делится на 7};

Ответ: А ⇒ В

2) А ≡ {последняя цифра числа а четная}, В ≡ {число А делится на 4};

Ответ: В ⇒ А

3) А ≡ {треугольник равнобедренный}, В ≡ {две медианы треугольника равны между собой};

Ответ: А ⇔ В

4) А ≡ {из отрезков, длины которых равны а, b, с, можно составить треугольник}, В ≡ {положительные числа а, b, с связаны неравенствами а + b > с, b + с > а, с + а > b}.

Ответ: А ⇔ В

Если вам не понятно, откуда взялись такие ответы, пишите в комментариях.

На следующий урок задам вам пару задач:

Задания на следующий урок

Задание №1 Вычислить номер члена прогрессии 2,1; 3,3; 4,5; … , равный 11,7.

Задание №2 В геометрической прогрессии b(8) = 1,3. Вычислить b(6)*b(10).

Ответы на задания вы найдете в следующем уроке «Суммирование. Бином Ньютона»

 

 

Если у вас остаются вопросы по теории или по практической части смело задавайте их в комментариях.

Арифметическая последовательность — математика GCSE

Введение

Что такое арифметические последовательности?

Как продолжить арифметическую последовательность

Рабочий лист арифметических последовательностей

Формула арифметической последовательности

Практикуйте вопросы арифметической последовательности: продолжайте последовательность

Как найти пропущенные числа в арифметической прогрессии

Практикуйте вопросы арифметической последовательности: найдите пропущенные числа

Как сгенерировать арифметическую последовательность

Практикуйте вопросы по арифметическим последовательностям: сгенерируйте последовательность

Вопросы GCSE по арифметической последовательности

Распространенные заблуждения

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Индивидуальные занятия по математике, созданные для успеха KS4

Еженедельные онлайн-уроки повторения математики GCSE теперь доступны

Узнать больше

Введение

Что такое арифметические последовательности?

Как продолжить арифметическую последовательность

Рабочий лист арифметических последовательностей

Формула арифметической последовательности

Практикуйте вопросы арифметической последовательности: продолжайте последовательность

Как найти пропущенные числа в арифметической прогрессии

Практикуйте вопросы арифметической последовательности: найдите пропущенные числа

Как сгенерировать арифметическую последовательность

Практикуйте вопросы по арифметическим последовательностям: сгенерируйте последовательность

Вопросы GCSE по арифметической последовательности

Распространенные заблуждения

Контрольный список обучения

Следующие уроки

Все еще застряли?

Здесь мы узнаем, что такое арифметическая последовательность, как продолжить арифметическую последовательность, как найти пропущенные члены в арифметической последовательности и как создать арифметическую последовательность.

В конце вы найдете рабочие листы арифметической последовательности, основанные на экзаменационных вопросах Edexcel, AQA и OCR, а также дополнительные указания о том, что делать дальше, если вы все еще застряли.

Что такое арифметическая прогрессия?

Арифметическая последовательность представляет собой упорядоченный набор чисел, которые имеют общую разность между каждым последовательным членом.

Например, в арифметической последовательности 3, 9, 15, 21, 27 общая разность равна 6.

Арифметическая последовательность может быть известна как арифметическая прогрессия. Разница между последовательными терминами в арифметической последовательности всегда одинакова.

Если мы прибавим или вычтем из одного и того же числа каждый раз, чтобы составить последовательность, то получится арифметическая последовательность .

Правило от термина к термину говорит нам, как мы переходим от одного термина к другому.

Вот несколько примеров арифметических последовательностей:

2

Первый термин	Правило с термином к терминам	Первые 5 терминов
3	Добавить 6	3,	3 2	Добавить 6	3,	21, 21, 27, 21, 27, 27, 27, 21, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 27, 270104	. , …
8	Вычитание 2	8, 6, 4, 2, 0,…
12	Добавить 7	12, 19, 26, 33, 40104
.	Вычитание 5	-4, -9, -14, -19, -24,…
½	Добавить ½	½, 1, 1 сена. последовательности Арифметические последовательности также известны как линейные последовательности. Если бы мы представили арифметическую последовательность на графике, она образовала бы прямую линию, каждый раз поднимаясь (или опускаясь) на одну и ту же величину. Линейный значит прямой. Что такое арифметические последовательности? Как продолжить арифметическую последовательность Для того чтобы продолжить арифметическую последовательность , вы должны быть в состоянии обнаружить или вычислить правило перехода от члена к термину. Это делается путем вычитания двух последовательных членов, чтобы найти общую разницу. Общая разность арифметической последовательности одинакова для каждого последующего члена и может определить, является ли последовательность возрастающей или убывающей. Возьмите два последовательных члена последовательности. Вычтите первый член из следующего, чтобы найти общую разность d. Добавьте общую разность к последнему члену последовательности, чтобы найти следующий член. Повторите для каждого нового термина. Объясните, как продолжить арифметическую последовательность в 3 шага Рабочий лист арифметической последовательности Получите бесплатный рабочий лист по арифметической последовательности, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы. СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО Икс Рабочий лист арифметической последовательности Получите бесплатный рабочий лист арифметической последовательности, содержащий более 20 вопросов и ответов. Включает рассуждения и прикладные вопросы. СКАЧАТЬ БЕСПЛАТНО Чтобы узнать больше о различных типах последовательностей и о том, как отвечать на вопросы, связанные с последовательностями, вам может быть полезно просмотреть урок «Введение в последовательности» или один из других уроков в этом разделе. Последовательности NTH TERM Квадратичные последовательности Квадратичный N -й термин Геометрическая последовательность Арифметическая формула Арифметическая форма. a_{1} — первый термин n — позиция термина d — общая разность Мы получаем формулу арифметической последовательности, глядя на следующий пример: Мы видим, что общая разность (d) равна 6 , так что d = 6 . a_{1} — первый член, равный 3 a_{2} — второй член, равный 9 a_{3} — третий член, равный 15 и т. д. Однако мы можем записать это, используя общая разность 6 , Примеры арифметической последовательности: продолжить последовательность Пример 1: продолжить арифметическую последовательность Вычислить следующие три члена последовательности 4, 7, 10, 13, 16, … Возьмем два последовательные члены последовательности. Здесь мы возьмем числа 10 и 13. Вычтем первый член из следующего, чтобы найти общую разность, d . d = 13 − 10 = 3 Добавьте общую разность к последнему члену последовательности, чтобы найти следующий член. Повторите для каждого нового термина. 16 + 3 = 19 19 + 3 = 22 22 + 3 = 25 Следующие три члена последовательности 19, 22 и 25. отрицательные числа Вычислите следующие три члена последовательности -3, -9, -15, -21, -27, … Возьмите из последовательности два последовательных члена. Здесь мы возьмем числа -15 и -21. Вычтите первый член из следующего, чтобы найти общую разность, d . d = -21 − (-15) = -21 + 15 = -6 Добавьте общую разность к последнему числу в последовательности, чтобы найти следующий член. Повторите для каждого нового термина. -27 + (-6) = -27 — 6 = -33 -33 + (-6) = -33 — 6 = -39 -39 + (-6) = -39 — 6 = -45 Следующие три члена: -33, -39 и — 45. Пример 3: продолжение арифметической последовательности с десятичными знаками Вычислите следующие три члена последовательности 0,1, 0,3, 0,5, 0,7, 0,9, … Возьмите два последовательных члена последовательности. Здесь мы возьмем числа 0,7 и 0,9. Вычтите первый член из следующего, чтобы найти общую разность, д . d = 0,9 − 0,7 = 0,2 Добавьте общую разность к последнему члену последовательности, чтобы найти следующий член. Повторите для каждого нового термина. 0,9 + 0,2 = 1,1 1,1 + 0,2 = 1,3 1,3 + 0,2 = 1,5 Следующие три члена — 1,1, 1,3 и 1,5. Пример 4: продолжение арифметической последовательности, включающей дроби Вычислить следующие три члена последовательности \[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1, \frac{5} {4}, \frac{3}{2}, \ldots\] Возьмите два последовательных члена последовательности. Здесь мы возьмем числа \[\frac{5}{4} \text { и } \frac{3}{2}\] Вычтем первый член из следующего, чтобы найти общую разность , д . \[d=\frac{3}{2}-\frac{5}{4}=\frac{6}{4}-\frac{5}{4}=\frac{1}{4} \] Добавьте общую разность к последнему члену последовательности, чтобы найти следующий член. Повторите для каждого нового термина. \[\begin{выровнено} \frac{3}{2}+\frac{1}{4}=\frac{6}{4}+\frac{1}{4}&=\frac{7}{4} \\\\ \frac{7}{4}+\frac{1}{4}=\frac{8}{4}&=2 \\\\ 2+\frac{1}{4}=2 \frac{1}{4}&=\frac{9{4} \end{align}\] Следующие три термина: \[\frac{7}{4}, 2, \text { и } \frac{9}{4}\] Практика арифметической последовательности Вопросы: Продолжить последовательность 0,42, 0,32, 0,22 0,62, 0,72, 0,82 0,52, 0,62, 0,72 0,63, 0,64, 0,65 Общая разница, D = 0,32-0,22 = 0,1.   0,52+0,1=0,62   0,62+0,1=0,72   0,72+0,1=0,82 -5, -7, -9 -5, -3, -1 5, 7, 9 -1, 1, 3 Общая разность, d = 3-5 = -2 .   -3+(-2)=-5   -5+(-2)=-7   -7+(-2)=-9 -7, -1, 5 -7, 1, 7 7, 13, 19 -19, -25, -31 Общая разность, d=-31-(-37) = 6 .   -13+6=-7   -7+6=-1   -1+6=5 \frac{12}{4}, \frac{13}{4}, \frac{14}{4} \frac{13}{5}, \frac{15}{6}, \frac {17}{7} \frac{13}{4}, \frac{15}{4}, \frac{17}{4} \frac{9}{4}, \frac{7} {4}, \frac{5}{4} Общая разность, d=\frac{5}{4} – \frac{3}{4} = \frac{2}{4} \начать{массив}{л} \frac{11}{4} + \frac{2}{4} =\frac{13}{4}\\\\ \frac{13}{4} + \frac{2}{4} =\frac{15}{4}\\\\ \frac{15}{4} + \frac{2}{4} =\frac{17}{4} \конец{массив} Как найти пропущенные числа в арифметической последовательности Чтобы найти пропущенные числа в арифметической последовательности , мы используем общую разность. Это может быть полезно, когда вас просят найти большие термины в последовательности, и вам дан порядковый номер термина, который вы пытаетесь вычислить. Вычислите общую разность между двумя последовательными терминами. Добавьте общую разность к предыдущему члену перед пропущенным значением. Вычтите общую разность из члена после пропущенного значения. Повторяйте шаги 2 и 3, пока не будут вычислены все недостающие значения. Возможно, вам потребуется использовать только шаг 2 или 3 в зависимости от того, какие условия вам были предоставлены. Объясните, как найти пропущенные числа в арифметической прогрессии за 3 шага Примеры арифметической последовательности: найти пропущенные числа Пример 5: найти пропущенные числа в арифметической последовательности Вставьте пропущенные термины в последовательности 5, 8, …, …, 17.  Найдите общую разницу между двумя последовательными терминами. d = 8 − 5 = 3 Добавьте общую разность к предыдущему члену перед пропущенным значением. 8 + 3 = 11 Вычесть общую разность из члена после пропущенного значения. 17 − 3 = 14 Пропущены члены 11 и 14. Примечание. Здесь можно повторить шаг 2, используя 11 + 3 = 14. Пример 6: нахождение пропущенных чисел в арифметической последовательности, включая отрицательные числа и десятичные дроби Нахождение пропущенных значений в последовательности …, -0,6, …, -1,0, -1,2. Найдите общую разницу между двумя последовательными терминами. d = -1,2 − (-1,0) = -1,2 + 1 = -0,2 Добавьте общую разность к предыдущему члену перед пропущенным значением. -0,6 + (-0,2) = -0,6 − 0,2 = -0,8 Вычесть общую разность из члена после пропущенного значения. -0,6 − (-0,2) = -0,6 + 0,2 = -0,4 Отсутствующие члены равны -0,4 и -0,8. Пример 7: найти пропущенные числа в арифметической последовательности, когда пропущено несколько последовательных членов Найти пропущенные значения в последовательности -6, …, …, 3, …. Найдите расстояние между двумя известными терминами. 3 − (-6) = 3 + 6 = 9 Вычислите обыкновенную разность. Чтобы получить от -6 до 3, мы прыгаем через 3 члена. : Это расстояние имеет значение 9. Нам нужно разделить общее расстояние на количество сделанных прыжков. Здесь 9 ÷ 3 = 3. Это означает, что общая разность равна +3. Добавляйте общую разность к первому известному члену, пока не будут вычислены все члены. -6 + 3 = -3 -3 + 3 = 0 0 + 3 = 3 (Примечание: это один из приведенных терминов) 3 + 3 = 6 Отсутствующие термины — 3, 0 и 6. Пример 8: найти пропущенные числа в арифметической последовательности, включая смешанные числа Найдите пропущенные значения в последовательности \[\ldots, \ldots, \frac{15}{16}, 1 \frac{1}{2}, \ldots\] Запишите свои ответы в виде дробей в простейшая их форма. Найдите общую разницу между двумя последовательными терминами. \[\begin{выровнено} d &=1 \frac{1}{2}-\frac{15}{16} \\\\ &=\frac{3}{2}-\frac{15}{16} \\\\ &=\frac{24}{16}-\frac{15}{16} \\\\ &=\фракция{9}{16} \end{aligned}\] Добавьте общую разницу к термину перед отсутствующим значением. \[\begin{выровнено} &1 \frac{1}{2}+\frac{9}{16} \\\\ &=\frac{24}{16}+\frac{9}{16} \\\\ &=\frac{33}{16}=2 \frac{1}{16} \end{aligned}\] Вычесть общую разницу из члена после пропущенного значения. \[\begin{выровнено} &\frac{15}{16}-\frac{9}{16} \\\\ &=\frac{6}{16}=\frac{3}{8} \end{aligned}\] Повторите этот шаг, чтобы найти первый член в этой последовательности. \[\begin{выровнено} &\frac{3}{8}-\frac{9}{16} \\\\ &=\frac{6}{16}-\frac{9{16} \\\\ &=\фракция{-3}{16} \end{aligned}\] В последовательности отсутствуют следующие элементы: \[\frac{-3}{16}, \frac{3}{8}, \text { и } 2 \frac{1 }{16}\] Практика арифметических последовательностей: найти недостающие числа 20, 34 35, 42 17, 37 21, 35 Общая разность, 4-7 = 7.   14+7=21   28+7=35 1 \frac{5}{10}, 1 \frac{9}{10} 1 \frac{13}{10}, 1 \frac{17}{10} 1 \frac{3} {10}, 1 \frac{7}{10} 1 \frac{4}{10}, 1 \frac{8}{10} Общая разность, d= \frac{9}{ 10} – \frac{5}{10} = \frac{4}{10}   \begin{выровнено} \frac{9}{10} + \frac{4}{10} &= \frac{13}{10}\\\\ &=1 \frac{3}{10}\\\\ \frac{13}{10}+\frac{4}{10}&=\frac{17}{10}\\\\ &=1\разрыв{7}{10} \end{выровнено} 0,9, 0,4 1,09, 1,04 1, 0,6 1,39, 1,34 Общая разность, d=1,4-1,9 = -0,5 .   1,4+(-0,5)=0,9   0,9+(-0,5)=0,4 12,4, -4 -36, -28, -20 -30, -24, -18 -20, -28, -36 Общая разность, d=-4 – – 12 = 8 .   Работа в обратном порядке: 3-й член: -12-8=-20   2-й член: -20-8=-28   1-й член: -28-8=-36 Как сгенерировать арифметическую последовательность Чтобы сгенерировать арифметическую последовательность , нам нужно знать n терм . Термин n th — это имя или правило, которому должна следовать последовательность для создания упорядоченного списка чисел. Мы можем вычислить любое количество членов арифметической последовательности, подставляя значения в n -й триместр. Первый член находится при n = 1, второй член при n = 2, пятый член при n = 5, десятый член при n = 10 и так далее. Это известно как правило позиции к термину , так как вы можете вычислить термин, учитывая его позицию в последовательности. Найдите первый член последовательности, подставив n = 1 в n -й -й член. Найдите второй член, подставив n = 2 в n -й триместр. Продолжайте подставлять значения n до тех пор, пока не будут вычислены все необходимые члены последовательности. Полезный совет: После того, как вы вычислите первый член последовательности, просто продолжайте добавлять коэффициент n, чтобы сгенерировать последовательность! Объясните, как сгенерировать арифметическую последовательность за 3 шага Примеры арифметических последовательностей: создание последовательности Пример 9: создание арифметической последовательности с помощью n -й член Сгенерируйте первые 5 членов последовательности 5n − 7.  Найдите первый член последовательности, подставив n = 1 в n -й член. Когда n = 1, (5 × 1) − 7 = -2 Найдите второй член, подставив n = 2 в член n th . Когда n = 2, (5 × 2) − 7 = 10 − 7 = 3 Продолжайте подставлять значения n , пока не будут вычислены все необходимые члены последовательности. При n = 3, (5 × 3) − 7 = 15 − 7 = 8 При n = 4, (5 × 4) − 7 = 20 − 7 = 13 При n = 5, (5 × 5) − 7 = 25 − 7 = 18 Первые 5 членов последовательности 5n − 7 равны -2, 3, 8, 13 и 18. ИЛИ Совет: n-й член = 5n − 7 Когда n = 1, (5 × 1) − 7 = -2 Коэффициент при n равен 5, поэтому мы прибавим 5 к -2, а затем продолжим прибавлять 5 для создания последовательности. Example 10: generate an arithmetic sequence using a table Complete the table for the first 5 terms of the arithmetic sequence 6 − n n 1 2 3 4 5 6 — N Найдите первый термин в последовательности по обороту n

. 0643-й триместр.

When n = 1,
6 − 1 = 5.

n	1	2	3	4	5
6 − n	5

Найдите второй член, подставив n = 2 в n ^-й член.

Когда n = 2,
6 − 2 = 4

n	1	2	3	4	5
6 − n	5	4

Continue to substitute values ​​for n until all the вычисляются искомые члены последовательности.

При n = 3,
6 − 3 = 3

При n = 4,
6 − 4 = 2

При n = 5,
6 − 5 = 1

n	1	2	3	4	5
6 − n	5	4	3	2	1

OR

Top подсказка: n-й член = 6 – n

Когда n = 1,
6 – 1 = 5

Коэффициент n равен -1, поэтому мы собираемся вычесть -1 из 5, затем продолжаем вычитать -1 для создания последовательности.

Пример 11: создание более крупных членов в арифметической последовательности

Красные и синие фишки помещаются в последовательность, показанную ниже.

Красные фишки имеют n ^th член 2n.

Синие фишки имеют n ^-й член 3n − 3.

Укажите количество красных фишек в шаблонах 4 и 10. Укажите количество синих фишек в шаблонах 27.

Вычислите четвертый член в шаблонах последовательность, подставив n = 4 в n ^-й триместр 2 н .

Когда n = 4,
2 × 4 = 8

В шаблоне 4 8 красных фишек.

Когда n = 10,
2 × 10 = 20

В шаблоне 10 20 красных жетонов.

Когда n = 27,
3n − 3 = (3 × 27) − 3 = 81− 3 = 78

В шаблоне 27 78 синих счетчиков.

Пример 12: создать арифметическую последовательность с алгебраическими членами.

n ^th член последовательности равен (3a + b)n. Обозначьте первые 5 членов последовательности через a и b.

Найдите первый член последовательности, подставив n = 1 в n ^-й член.

Когда n = 1,
(3a + b) × 1 = 3a + b

Найдите второй член, подставив n = 2 в член n ^-й .

Когда n = 2,
(3a + b) × 2 = 6a + 2b

Продолжайте подставлять значения для n , пока не будут вычислены все необходимые члены последовательности.

При n = 3,
(3a + b) × 3 = 9a + 3b

При n = 4,
(3a + b) × 4 = 12a +4 b

При n = 5,
(3a + б) × 5 = 15а + 5б

Первые 5 членов последовательности:
3а + б, 6а + 2б, 9а + 3б, 12а + 4б и 15а + 5б.

Практика арифметических последовательностей: составить последовательность

-4, 3, 10, 17, 24, 31

7, 3, -1, -5, -9, -13

3, 10, 17, 24 , 31, 38

1, 8, 15, 22, 29, 36

\begin{align} 7 \ умножить на 1 — 4 &= 3\\ 7 \ умножить на 2 — 4 &= 10 \\ 7 \ умножить на 3 — 4 &= 17\\ 7 \ умножить на 4 — 4 &= 24\\ 7 \ умножить на 5 — 4 &= 31\\ 7 х 6 – 4 &= 38 \end{выровнено}

\begin{выровнено} &\quad n \quad \quad 1 \quad \quad 2 \quad \quad 3 \quad \quad 4 \quad \quad 5\\ &2 — 3n \;\; -1 \четверка -4 \четверка -7 \;\; -10 \;\; -13 \end{выровнено}

\begin{выровнено} &\quad n \quad \quad 1 \quad \quad 2 \quad \quad 3 \quad \quad 4 \quad \quad 5\\ &2 — 3n \;\; -1 \четверка -3 \четверка -5 \четверка -7 \;\; \; -9 \end{выровнено}

\begin{выровнено} &\quad n \quad \quad 1 \quad \quad 2 \quad \quad 3 \quad \quad 4 \quad \quad 5\\ &2 — 3n \quad \; 5 \quad \quad 8 \quad \quad 11 \quad \;\; 14\четверка\;17 \end{выровнено}

\begin{выровнено} &\quad n \quad \quad 1 \quad \quad 2 \quad \quad 3 \quad \quad 4 \quad \quad 5\\ &2 − 3n \quad \;\: 1 \quad \quad 4 \quad \quad 7 \quad \;\; 10 \квадрат\;\; 13 \end{выровнено}

\begin{выровнено} 2-3 \раз 1 &= – 1\\ 2-3 \умножить на 2 &= – 4\\ 2-3 \умножить на 3 &= – 7\\ 2-3 \умножить на 4 &= – 10\\ 2-3 х 5 &= – 13 \end{выровнено}

1-й член: 4 × 1-25=-21

 

10-й член: (4 × 10)-25=15

 

100-й член: (4 × 100)-25=37

 

1000-й член: (4 × 1000)-25=3975

 

-21+15+375+3975=4344

Так как треугольников 2n и их 12, то

\begin{выровнено} 2n&=12\\ п&=6 \end{выровнено}

 

В шаблоне номер 6 12 треугольников .

 

Количество строк 4n+1 .

 

Когда n=6 ,
(4 х 6) + 1 = 25 .

Арифметическая последовательность Вопросы GCSE

1. N-й член последовательности равен 4n + 5 .

 

Укажите первые 5 членов последовательности.

(2 балла)

Показать ответ

не менее 3 терминов

(1 )

9, 13, 17, 21, 25

(1)

2. Пропустите пропущенные значения в следующей последовательности:

 

17, ….., ….., 32, ….

(2 балла)

Показать ответ

\begin{align} d&=\frac{32-17}{3}\\\\ д&=5 \end{выровнено}

(1)

 

22, 27, 37

(1)

3. Вот первые четыре члена арифметической прогрессии

2, 7, 12, 17

 

Вот первые пять членов другой арифметической прогрессии

-4, -1, 2, 5, 8

 

Найдите два числа, которые входят в обе числовые последовательности.

(2 балла)

Показать ответ0003

Распространенные заблуждения

• Умножение значения термина для получения другого термина в последовательности
  Напр.
  Давайте посмотрим на последовательность 4, 10, 16, 22, 28.
  Третий член последовательности равен 16 .
  Тридцатый член не равен третьему члену, умноженному на 10 или 160 (поскольку 16 × 10 = 160). Тридцатый член равен 178.

• Арифметические последовательности с отрицательными членами не всегда уменьшаются
  Напр.
  Последовательность -48, -40, -32, -24, -16 имеет общую разность +8.
  Это означает, что хотя последовательность показывает отрицательные целые числа, а не положительные целые числа, она увеличивается.

• Добавление константы в член n ^th вместо общей разности
  Напр.
  n ^-й член 3n − 7 даст последовательность чисел, общая разность которых равна 3. Неправильное представление возникнет, если следующий член будет найден путем вычитания 7, а не прибавления 3.

• Неправильное упрощение термина n ^th
  Напр.
  Неправильное упрощение 6n + 2 для получения 8n.
  Это неверно для любого значения, кроме n = 1.

Контрольный список обучения

Теперь вы научились: правило термина

Все еще застряли?

Подготовьте своих учеников KS4 к успешной сдаче выпускных экзаменов по математике с помощью программы Third Space Learning. Еженедельные онлайн-уроки повторения GCSE по математике, которые проводят опытные преподаватели математики.

Узнайте больше о нашей программе повторения GCSE по математике.

Мы используем необходимые и необязательные файлы cookie для улучшения работы нашего веб-сайта. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie, чтобы узнать, как мы используем файлы cookie и как управлять вашими настройками файлов cookie или изменять их. как AP, представляет собой последовательность чисел в определенном или определенном порядке. В нашей повседневной жизни мы часто сталкиваемся с несколькими примерами прогрессии. Например, номера классов в классе, месяцы в году, дни в неделе и так далее.

В математике модель последовательностей и рядов была обобщена и известна как прогрессии. Итак, давайте познакомимся с тем, что такое арифметическая прогрессия, а также с терминами, широко используемыми в рамках этого понятия, включая первый член ряда, общую разность, n-й член и т. д.

Что такое арифметическая прогрессия?

Прогрессия относится к исключительному типу последовательности, для которой мы можем найти и получить формулу для n-го члена. В математике наиболее часто используемой последовательностью является арифметическая прогрессия или AP, и она имеет формулы, которые довольно легко понять. Понятие AP можно понять с помощью трех различных определений, а именно:

• Определение 1: Арифметическая прогрессия или АР — это математическая последовательность, имеющая постоянную разницу между двумя последовательными элементами.

• Определение 2: Арифметическая прогрессия или AP — это последовательность чисел, в которой второе число может быть получено путем добавления постоянного или фиксированного числа к первому для каждой пары последовательных членов.

• Определение 3: Фиксированное или постоянное число, которое прибавляется к любому члену арифметической прогрессии или AP для получения следующего члена, называется «обычной разностью» AP.

Понимание понятий общей разности и первого члена

В арифметической прогрессии или AP для данного ряда или последовательности широко используемые термины включают первый член AP, его общую разность и n-й член.

Предположим, что последовательность  \[a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4},…a_{n}\] является AP.

Мы можем получить общую разность ‘d’, используя приведенную ниже формулу:

\[ d = a_{2} — a_{1} = a_{3} — a_{2} =  a_{4} — a_ {3} = a_{n} — a_{n-1} \], где ‘d’ относится к общей разности, которая может быть положительной, отрицательной или нулевой.

С точки зрения общей разности арифметическая прогрессия может быть выражена или записана как:

\[a, a + d, a +2d, a +3d……a + (n — 1)d \], где «a» относится к первому члену AP.

Как найти n-ю часть арифметической прогрессии или AP?

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии или AP формула выглядит следующим образом:

an= a + (n — 1)d, где

‘a’ — первый член, d — общая разность, n относится к количеству терминов, а an = n-му термину.

Необходимо отметить тот факт, что последовательность арифметической прогрессии зависит от ее общей разности, то есть d.

Если общая разность или d положительна, то члены АП будут расти в положительную сторону от бесконечности. С другой стороны, если общая разность или d отрицательна, то члены АР будут расти в отрицательную сторону бесконечности.

Как найти сумму первых n членов арифметической прогрессии или АП?

Формула для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии или AP:

\[ S = \frac{n}{2}(2a + (n-1) \times d)\] , где

a — первое слагаемое, d — общая разность, n — количество слагаемых, а S — сумма первых n слагаемых AP.

Формулы арифметической прогрессии 

Для решения математических задач, основанных на рядах и последовательностях АП, необходимо знать, понимать и выучить формулы, указанные ниже:

а, а + d, а + 2d, а + 3d …… а + (n — 1)d

ан= а + (n — 1)d

\[ S = \frac{ n}{2}(2a + (n-1) \times d)\], 

\[\frac{n}{2}\](a + l), где ‘a’ — первый член, и ‘l’ — последний термин.

d = a2-a1 или d=an-an-1, где a1 — первый член, а a2 — второй член. Точно так же an — это последний термин, а an-1 — предпоследний термин.

Решенные примеры на арифметическую прогрессию

Вопрос 1

В арифметической прогрессии или АР a = 10, d = 5 и an = 95. Найдите значение n.

Ответ 1

Дано – первый член арифметической прогрессии или АП равен 10 (а = 10), общая разность равна 5 (d = 5), а ан = 95. 

Мы знаем формулу – а _n = a + (n – 1)d

Подставим имеющиеся значения и определим значение n (количество слагаемых)

95 = 10 + (n – 1)5

95 = 10 + 5n – 5

95 = 5n + 5

95 – 5 = 5n

90 = 5n

n = 18

Следовательно, количество членов в этой арифметической прогрессии равно 18.

Вопрос 2

Найдите 20-й член указанной ниже арифметической прогрессии:

3, 5, 7, 11, 13, 15……….

Ответ 2

Начнем с нахождения первого члена и общей разности данной арифметической прогрессии.

n = 20 (дано)

a = первый член AP = 3

d = общая разность = разница между двумя последовательными терминами = 5 – 3 = 2

Итак, мы должны найти.

an= a + (n – 1)d

an = 3 + (20 – 1)2

an = 3 + (19)2

an = 3 + 38

an = 41

Следовательно, 20-й член данного AP равен 41. 

Важные моменты, которые следует помнить

• Арифметическая прогрессия – это ряд, в котором сохраняется постоянная разница между любыми двумя последовательными числами

• В арифметической прогрессии «а» представляется как первый термин, «n» представлен как количество терминов, «d» — общая разность, Sn — сумма терминов AP, а tn — n-й термин AP

• Арифметическая прогрессия может быть представлена ​​как a, a+d, a+2d, a+3d ….

  No related posts.