Математическое ожидание как найти: Математическое Бюро. Страница 404

Содержание

Математическое ожидание | Онлайн калькулятор

Все калькуляторы

Учеба и наука

Математика

/ Математическое ожидание

Данный калькулятор предназначен для вычисления математического ожидания дискретной случайной величины онлайн.
Оценка математического ожидания и дисперсии случайной величины имеет большое значение в теории вероятности.
Математическое ожидание — среднее значение случайной величины. Чтобы найти математическое ожидание случайной величины, следует вычислить сумму парных произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие им вероятности.

Свойства математического ожидания заключаются в следующем. Во-первых, математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий.

Во-вторых, математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Как найти среднее значение , формула (на примере следующих величин):
x_i= 1 ; 2 ; 5 ; 6 (случайные величины)
p_i = 0.1 ; 0.3 ; 0.1 ; 0.5 (вероятность)

M[X] = x₁p₁ + x₂p₂ + x₃p₃ + x₄p₄ = 1×0.1 + 2×0.3 + 5×0.1 + 6×0.5 = 0.1 + 0.6 + 0.5 + 3 = 4.2

i	значение x_i	вес p_i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30

Количество величин 23456789101112131415161718192021222324252627282930

Разделитель групп разрядов Округлить донет01234567891011121314 Число прописью нетпри наведениивсегда

Select rating12345

Рейтинг: 2. 8 (Голосов 91)

Сообщить об ошибке

Смотрите также

Математическое ожидание — что это, формулы, как его найти, примеры и свойства

Математическое ожидание — это ожидаемый результат от какого-то действия.

Например, можно рассчитать ожидаемую стоимость инвестиции в определённый момент в будущем. Рассчитывая математическое ожидание перед тем, как инвестировать, можно выбрать наилучший сценарий который, по мнению инвестора, даст наилучший результат.

Случайная величина может быть двух типов:

Дискретной: число возможных значений X — это числимое конечное или бесконечное множество точек; пример: количество дефектных устройств в производстве фабрики.
Непрерывной: X может принимать любое значение в заданном диапазоне; пример: концентрация углекислого газа в воде.

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается этой формулой:

M(X) = ∑ xi × pi
Где:
М — математическое ожидание,
X — случайная величина,
p — вероятность появления случайной величины.

Математическое ожидание дискретной случайной величины рассчитывается:
1. Сначала нужно умножить каждое из возможных результатов на свою вероятность (например: вероятность, что выпадет «1» — 1/6, «2» — 1/3, значит умножаем 1 на 1/6, 2 на 1/3, и т.д.),
2. Затем суммируем все эти значения (1 × 1/6 + 2 × 1/3 и т.д.).

Для непрерывной случайной величины используется эта формула:

M(X) = ∫ f(x) × x.dx
Где:
М — математическое ожидание
f (x) — функция (которая будет предоставлена в условии задачи)
x — случайная величина
dx — элемент интегрирования

В этом случае рассчитывается интеграл в заданном интервале.

Примеры вычисления математического ожидания

Кратко:

если в задаче даётся таблица с данными, то перемножаем каждое событие на его вероятность и потом всё складываем;
если в задаче дают функцию с заданным интервалом, то вычисляем интеграл с этим интервалом.

Пример 1

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	−1	1	2	3	4
pi	0,1	0,2	0,3	0,1	0,3

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = −1×0,1+ 1×0,2 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,3 = −0,1 + 0,2 + 0,6 + 0,3 + 1,2 = 2,2

Пример 2

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = 2x, при x∈(0,1) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Пример 3

Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х со следующими данными:

xi	1	2	3	4	5
pi	0,3	0,3	0,1	0,1	0,2

Используется формула для дискретной случайной величины:

M(X) = ∑ xi×pi = 1×0,3 + 2×0,3 + 3×0,1 + 4×0,1 + 5×0,2 = 0,3 + 0,6 + 0,3 + 0,4 + 1 = 2,6

Пример 4

Найти математическое ожидание для величины Х, распределённой непрерывно с плотностью f(x) = (1/10).(3x²+1), при x∈(0,2) и f(x) = 0 в остальных точках.

Используется формула для непрерывной случайной величины:

Узнайте больше про Интегралы.

Основные свойства математического ожидания

Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной: М(c)=c.
Математическое ожидание сложения/вычитания двух случайных величин равно сумме/вычитанию их математических ожиданий: пусть X и Y — две случайные величины, значит М (X ± Y) = М (X) ± М (Y).
Если умножить случайную величину X на c, её среднее значение также умножается на эту константу (c): М (cX) = cМ (X).
Если добавить или вычесть c из случайной величины X, то произойдёт та же операция (сложение или вычитание константы) с её средним значением: М (X ± c) = М (X) ± c.

Если X и Y — две независимые случайные величины, значит: М(XY)=М(X)×М(Y).

Узнайте больше про Теорию вероятностей.

Дата обновления 22/02/2021.

Другие значения и понятия, которые могут вас заинтересовать

Интеграл
Теория вероятностей
Стандартное отклонение
Корреляция
Гипербола в математике
Магнитная индукция
Магнитное поле
Модуль Юнга
Парадокс
Число Рейнольдса

Узнай Что Такое: узнайте значения, понятия и определения.

ПоследниеПопулярныеКонтактыПолитика КонфиденциальностиО нас

2018 — 2022 © 7Graus

Математическое ожидание и дисперсия – выпуск математики уровня A к вероятности наступления этого события. Ожидаемое значение X обычно записывается как E(X) или m.

Е(Х) = S х Р(Х = х)

Таким образом, ожидаемое значение равно сумме: [(каждый из возможных результатов) × (вероятность возникновения результата)].

Говоря более конкретно, ожидание — это то, что вы ожидаете от результата эксперимента в среднем.

Пример

Каково математическое ожидание, когда мы бросаем правильную кость?

Возможны шесть исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность каждого из них равна 1/6. Пусть X представляет собой результат эксперимента.

Следовательно, P(X = 1) = 1/6 (это означает, что вероятность того, что результат эксперимента равен 1, равна 1/6)
P(X = 2) = 1/6 (вероятность выпадения двойки равна 1/6)
P(X = 3) = 1/6 (вероятность выпадения тройки равна 1/6)
P (X = 4) = 1/6 (вероятность того, что вы выбросите 4, равна 1/6)
P(X = 5) = 1/6 (вероятность того, что вы выбросите 5, равна 1/6)
P(X = 6) = 1/6 (вероятность того, что выпадет шестерка, равна 1/6)

E(X) = 1×P(X = 1) + 2×P(X = 2) + 3×P(X = 3) + 4×P(X=4) + 5×P(X=5) + 6×P(X=6)

Следовательно, E(X) = 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6 = 7/2

Таким образом, математическое ожидание равно 3,5. Если подумать, 3,5 находится на полпути между возможными значениями, которые может принять кубик, и это то, чего вы должны были ожидать.

Ожидаемое значение функции X

Чтобы найти E[ f(X) ], где f(X) — функция X, используйте следующую формулу:

Пример

5 Для приведенного выше эксперимента (с кубиком) вычислите E(X ² )

Используя приведенные выше обозначения, f(x) = x ²

f(1) = 1, f(2) = 4, f(3) = 9, f(4) = 16, f(5) = 25, f(6) = 36
P(X = 1) = 1/6, P(X = 2) = 1/6 и т. д. + 36/6 = 91/6 = 15,167

Ожидаемое значение константы — это просто константа, поэтому, например, E(1) = 1. Умножение случайной величины на константу умножает ожидаемое значение на эту константу, поэтому E [2Х] = 2Е[Х].

Полезная формула, где a и b — константы:

[Это говорит о том, что ожидание — линейный оператор].

Дисперсия

Дисперсия случайной величины говорит нам о разбросе возможных значений переменной.

Для дискретной случайной величины X дисперсия X записывается как Var(X).

Это также может быть записано как:

Var(X) = E(X ² ) – m ²

Стандартное отклонение от X равно квадратному корню из Var(X).

Обратите внимание, что дисперсия не ведет себя так же, как математическое ожидание, когда мы умножаем и добавляем константы к случайным переменным. На самом деле:

Вы, потому что: Var[aX + b] = E[ (aX + b) ² ] — (E [aX + b]) ² .

= Е[ а ² X ² + 2abX + b ² ] — (aE(X) + b) ²
= a ² E(X 9X^{2 ) ) + b ² — a ² E ² (X) — 2abE(X) — b ²
= a ² E(X ² ) — 7 5 E 9090 2 ^{(X) = a ² Var(X)}}

вероятность — Ожидание произведения случайных величин

Задавать вопрос

спросил 1 год, 1 месяц назад

Изменено 1 год, 1 месяц назад

Просмотрено 225 раз

$\begingroup$

Урна содержит $n$ карт, помеченных от $1$ до $n$.