Математика матрицы и определители: DSpace at Saint Petersburg State University: Invalid Identifier

Пример:

3) Определители n-ого порядка.

Минором элемента определителя называется определитель, который получается из данного вычёркиванием строки и столбца, проходящих через данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента определителя n-ого порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком .

Пример. Пусть .

Найдём

Правило 1. Если в определите n-ого порядка все элементы I-ой строки (j-ого столбца), кроме равны нулю, то такой определитель равен произведению элемента на его алгебраическое дополнение.

Пример.

Вычислить определитель

Преобразуем определитель так, чтобы все элементы четвёртого столбца, кроме первого равнялись нулю. Для этого умножим все элементы первой строчки на –1 и сложим со второй и третьей, затем умножим первую строчку на – 3 и сложим с четвёртой. В результате получим

.

Затем, применяя правило, получим:

.

Прибавляя к третьей строчки вторую, получим

Правило 2. Определитель n-ого порядка равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки на их алгебраические дополнения.

Разложение определителя

Пример. Вычислить

Вычислим определитель, разложив его сначала по элементам третьей строки, затем по элементам второго столбца.

Литература

1. Энциклопедия “Аванта +”, “Математика”, 2003 год.
2. Блох Э. Л. “Основы линейной алгебры” – М., 1979.
3. Хедли Л. “Линейная алгебра” — М., 1992.

Детерминанты и матрицы

Матрицы и определители являются важными темами для экзаменов 12-го класса, JEE и различных других конкурсных экзаменов. Наши заметки о матрицах и определителях и решенные примеры помогут вам понять основные идеи, связанные с этой главой, такие как типы матриц и определение определителя. Возникает главный вопрос: что такое матрица? Упорядоченный прямоугольный массив чисел, функций, символов или объектов называется матрицей. Матрица имеет порядок m×n, если в ней m строк и n столбцов.

Такая матрица размера m×n представлена ​​следующим образом:

\[\begin{bmatrix}a1 & \cdots  & an  \\\vdots  & \ddots  & \vdots  \\am & \cdots  & amn \\ \end{ bmatrix}\]

Типы матриц

• Диагональная матрица – Квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов на главной диагонали, равны нулю -\[\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end {bmatrix}\], \[\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{bmatrix}\] 9{-1}\]A = I, где I — единичная матрица.

  Определитель квадратной матрицы не должен быть равен нулю.

  Операции на матрицах

  Следующие операции могут быть выполнены между двумя или более матрицами:

  • Добавление матрицы

  • Сборка Matrix

  • Multiplication MATRIX

  • 9
  • 2. .

  Решенные примеры матричных операций:

  Добавление матрицы 

  1. Если A=\[\begin{bmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 4 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\] и B =\[\begin{bmatrix } 3 & 2 & 4 \\ -1 & 5 & 2 \\ \end{bmatrix}\], 

  , тогда A + B  = \[\begin{bmatrix} 2 & 5 & -1 \\ -1 & 5 & 2 \\ \end{bmatrix}\] +\[\begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 \\ -1 & 5 & 2 \\ \end{bmatrix}\] 

  =\[\begin{bmatrix } 2+3 и 5+2 и -1+4 \\ 4-1 и 1+5 и 3+2 \\ \end{bmatrix}\] 

  =\[\begin{bmatrix} 5 & 7 & 3 \\ 3 & 6 & 5 \\ \end{bmatrix}\] 

  Вычитание матрицы 

  2. Если A = \[\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 4 & 7 & 5 \\ \end{bmatrix}\]

  и B =\[\begin{bmatrix} -2 & 1 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \\ \end{bmatrix}\] 

  , тогда A-B = A+(-B) =\[\begin{bmatrix} 1 & 3 & -2 \\ 4 & 7 & 5 \\ \end{bmatrix}\] + \[ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -3 & -5 & -2 \\ \end{bmatrix}\]

  = \[\begin{bmatrix} 1+2 & 3-1 & -2+1 \\ 4-3 & 7-5 & 5-2 \\ \end{bmatrix}\]

  = \[\ begin{bmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\]

  Умножение матрицы

  3. Если A=\[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}\] и B  = \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end{bmatrix}\], 

  Затем 

  AB = \[\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \\ \end {bматрица}\]

  =\[\begin{bmatrix} 1\times 1+1\times 2 & 1\times 2+1\times 2 \\ 0\times 1+2\times 2 & 0\times 2+2\times 2 \\ 1\times 1+1\times 2 & 1\times 2+1\times 2 \\ \end{bmatrix}\] \[\begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 4 & 4 \\ 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\]

  Определитель матрицы

  Далее мы узнаем определение определителя матрицы. Определитель матрицы определяется как скалярное значение, которое может быть вычислено из элементов квадратной матрицы. Он кодирует некоторые свойства линейного преобразования, описываемого матрицей, и обозначается как det A, det (A) или |A|. Поясним это дальше:

  Квадратная матрица A определенного порядка имеет связанное с ней число, и это число называется определителем матрицы A. Для того чтобы определитель был связан с матрицей, последняя должна быть квадратной матрицей.

  Таким образом, для квадратной матрицы 2×2

  A=\[\begin{bmatrix} a1 & b1 \\ a2 & b2 \\ \end{bmatrix}\]

  символ |A|=\[\ begin{bmatrix} a1 & b1 \\ a2 & b2 \\ \end{bmatrix}\]

  означает определитель второго порядка.

  Его значение определяется как: \[\begin{bmatrix} a1 & b1 \\ a2 & b2 \\ \end{bmatrix}\]= a1b2−a2b1

  Аналогично, для квадратной матрицы 3 x 3 A=\ [\begin{bmatrix} a1 & b1 & c1 \\ a2 & b2 & c2 \\ a3 & b3 & c3 \\ \end{bmatrix}\]

  символ |A|=\[\begin{bmatrix} a1 & b1 & c1 \\ a2 & b2 & c2 \\ a3 & b3 & c3 \\ \end{bmatrix}\]

  означает определитель третьего порядка.

  Значение определяется как:

  |A|=a1\[\begin{vmatrix} b2 & c2 \\ b3 & c3 \\ \end{vmatrix}\] −b1\[\begin{vmatrix} a2 & c2 \\ b3 & c3 \\ \ end{vmatrix}\] +c1\[\begin{vmatrix} a2 & b2 \\ a3 & b3 \\ \end{vmatrix}\]

  Решено Пример:

  1. Найти определитель матрицы A, если A =\[\begin{bmatrix} 2 и 5 \\ 1 и 3 \\ \end{bmatrix}\] 

  Решение: |A|= \[\begin{bmatrix} 2 и 5 \\ 1 и 3 \\ \end{bmatrix}\] 

  (2 x 3) — (5 x 1) = 6 — 5 = 1

  Свойства определителя 9{x+y} N_{x,y}\]

  Значение матриц и определителей в математике

  Матрицы и определители используются для вычисления линейных уравнений с двумя или тремя переменными. Матрицы и определители также используются, чтобы определить, является ли система стабильной или нет. Определитель можно использовать для решения линейных уравнений, для определения того, как линейные преобразования изменяют площадь или объем, а также для изменения переменных в численных методах. Определитель можно рассматривать как функцию с квадратной матрицей в качестве источника и целым числом в качестве результата. Детерминант — это значащее число, которое присваивается любой квадратной матрице и имеет геометрическое и математическое значение, и, следовательно, они составляют важную тему для изучения математики в реальных приложениях, а также с точки зрения экзамена.

  Значение матриц в бизнес-администрировании

  Матрица решений может помочь вам не только в вынесении сложных суждений, но и в расстановке приоритетов, решении проблем и обосновании предыдущего решения. Это отличный метод принятия решений, если вы выбираете между несколькими похожими вариантами на основе множества количественных параметров.

  Значение определителя матрицы всегда положительно.

  Определитель квадратной матрицы можно найти, применяя функции строк для получения треугольной версии матрицы, что означает, что все входные данные выше или ниже оси равны 0. Определитель является результатом элементов на главной оси треугольной формы.

  История определителей и матриц

  Происхождение матриц и определителей можно проследить вплоть до 2-го века до нашей эры, с намеками на середину 4-го века до нашей эры. Тем не менее, только во второй половине 17 века концепции вновь всплыли на поверхность и начался настоящий прогресс. Неудивительно, что исследование процессов линейных уравнений привело к разработке матриц и определителей. Вавилоняне исследовали проблемы, которые привели к параллельным линейным уравнениям, и некоторые из них были записаны на глиняных табличках.

  Заключение 

  Здесь мы подробно представили концепции и решения вопросов темы Детерминанты и матрицы. Вы можете найти все, что ищете, в одном месте. В PDF-файлах, которые также можно загрузить бесплатно, учащиеся могут внимательно изучить концепции, определения и вопросы и понять концепции, используемые для решения этих вопросов. Это очень поможет студентам на экзаменах.

  Матрицы и определители: формулы, темы, примечания, вопросы

  1. Дом
  2. org/ListItem»> Математика
  3. Матрицы и определители

  Что такое матрицы и определители

  Матрицы и определители: 

  В математике одна из интересных, простых и важных тем — матрицы и определители. Каждый год вы будете получать по крайней мере 1-3 вопроса на основном экзамене JEE и других экзаменах, прямо или косвенно, концепция этой главы будет задействована во многих других главах, таких как интегральное и дифференциальное исчисление. Концепция этой главы будет использоваться для концепции трансформации осей. Эта глава совершенно новая с точки зрения студента, так как вы увидите эту главу непосредственно в 12-й главе. Таким образом, некоторые учащиеся могут счесть Матрицы и Определитель немного сложными для понимания и решения задач на начальном этапе. Но по мере того, как вы будете решать все больше и больше задач в этой главе, вы будете знакомиться с концепциями и главой в целом, а затем обнаружите, что это одна из самых простых глав.

  После этого вопросы покажутся вам легкими. Часть «Матрицы» может показаться немного сложнее, чем «Определитель», но, в конце концов, вы обнаружите, что и то, и другое легко понять,
  Почему Матрицы и определители:

  Матрицы и определители находят широкое применение в реальных задачах, например, в программном обеспечении Adobe Photoshop матрицы используются для обработки линейного преобразования для визуализации изображений. Квадратная матрица используется для представления линейного преобразования геометрического объекта. В компьютерном программировании матрицы и их обратные используются для шифрования сообщений, для хранения данных, выполнения запросов и используются в качестве структуры данных для решения алгоритмических задач и т. д. В робототехнике движение робота программируется с помощью вычислений на основе матриц.

   

   

  После изучения этой главы:

  1. Вам будет легко понять концепцию массива в информатике (если вы изучали информатику в +2).

  2. Это поможет вам решить задачу, связанную с одновременным уравнением с таким же количеством неизвестных переменных, как и уравнений.

  3. Определитель поможет вам решить задачи, связанные с площадями и объемами, такие как площадь треугольника и объем тетраэдра.

  4. Это поможет вам лучше организовать свою работу в виде матриц и, следовательно, поможет вам сохранять ясность ума в повседневной жизни.

  5. И, очевидно, сама глава поможет вам получить некоторые оценки на экзамене, так как она имеет около 7% веса на джи-мейн и примерно такой же вес на других экзаменах.

  
  

  Важные темы: матрицы и определители

  1. Матрица и операции с матрицами

  2. Типы матриц

  3. Транспонирование матрицы, симметричной и кососимметричной матрицы

  4. Сопряжение матрицы, эрмитовой и косоэрмитовой матрицы

  5. Определитель матрицы

  6. Минор и кофактор элемента матрицы/детерминанта

  7. Сопряженная и обратная матрицы

  8. Элементарные операции со строками и их использование для нахождения обратной матрицы

  9. Система линейных уравнений и правило Крамера

  10. Система однородных линейных уравнений

   

  Обзор матрицы и определителя:

  Матрица: Набор чисел или объектов или символов, представленных в виде прямоугольного массива, называется матрицей. Порядок матрицы определяется количеством строк и количеством столбцов, присутствующих в прямоугольном массиве представления. Например 

  Матрица   имеет 2 строки и 3 столбца, поэтому говорят, что ее порядок равен 2 × 3.

  Любой общий элемент матрицы представлен ,  где представляет элементы i-й строки и j-го столбца.

   

  Операции с матрицами: Алгебраические операции с матрицами, такие как сложение, вычитание, умножение и деление, будут изучаться последовательно в подробной главе, и мы обнаружим, что их очень легко понять.

  Транспонирование матрицы: Если A является матрицей, то матрица, полученная заменой столбцов матрицы строками или строками столбцов, называется транспонированием матрицы.

  Например:

   

  Сопряженная матрица: Если матрица A имеет в качестве элемента комплексное число, то матрица, полученная заменой этих комплексных чисел на сопряженное, называется сопряженной матрицей A, и она обозначается .

   

  Определитель матрицы: число, которое вычисляется из матрицы. Чтобы определитель существовал, матрица A должна быть квадратной матрицей. Определитель матрицы обозначается det A или |A|.

   

  Минор и сомножитель элемента в матрице/детерминанте: Минор любого элемента, где i – количество строк, j – количество столбцов, это det матрицы, оставшийся после удаления i-го строку и j-й столбец.

   

  Сопряжение матрицы: транспонирование кофактора элемента матрицы известно как сопряжение матрицы.

  Обратная матрица: неособая квадратная матрица «А» называется обратимой, если существует невырожденная квадратная матрица В такая, что АВ = I=ВА, а матрица В называется обратной матрицей А.

  
  

  Как подготовить матрицы и определители: 

  Матрицы и определители — это тема, полезная при преобразовании координат и в некоторых концепциях дифференциальных уравнений, а также в биномиальной теореме. эти понятия, а также это поможет вам получить несколько легких оценок на основных экзаменах.

  1. Начните с понимания основных понятий, таких как определение матрицы, алгебра матрицы, транспонирование матрицы и т. д.

  2. Затем переходим к сложному понятию, такому как сопряженная матрица и обратная матрица, 

  А затем система уравнений, определитель, правила Крамера и однородные уравнения.

  3. После изучения этих понятий просмотрите решенные примеры, а затем перейдите к MCQ и попрактикуйтесь в решении задачи, чтобы убедиться, что вы поняли тему.

  4. Решите вопросы по книгам, за которыми вы следите, а затем перейдите к работам предыдущего года.

  5. Вы можете сначала изучить матрицу, затем определитель или сначала определитель, а затем матрицу. В разных книгах соблюдается разный порядок, вы можете выбрать свой собственный порядок или порядок коучинга или материала, которому вы следуете.

  6. При изучении концепции убедитесь, что вы понимаете вывод формул, и попробуйте вывести их самостоятельно, так как часто вам не понадобится точная формула, но некоторые шаги вывода будут очень полезны для решения проблемы, если вы понять вывод, это повысит вашу скорость в решении проблем.

  7.Поскольку эта тема требует больших расчетов, потренируйтесь как можно больше и при этом помните об общем весе, который она имеет (7%).

  8. В конце главы попробуйте сделать свои собственные краткие заметки для быстрого повторения, составьте список формул для быстрого повторения перед экзаменами или в любое время, когда вам нужно пересмотреть главу, это сэкономит вам много времени.

   

  Лучшие книги для подготовки к этому комплексному числу и квадратным уравнениям:

  Во-первых, закончите все концепции, примеры и вопросы, данные в NCERT Maths Book. Вы должны тщательно изучить теорию NCERT. Затем вы можете обратиться к книге «Алгебра, Арихант» доктора С.К. Гояла или Р.Д. Шармы или Cengage Mathematics Algebra, но убедитесь, что вы следуете любой из них, а не всем. Матрица и определитель очень хорошо объясняются в этих книгах, и есть достаточное количество вопросов с кристально ясными понятиями. Выбор справочника зависит от человека к человеку, найдите книгу, которая подходит вам лучше всего, в зависимости от того, насколько хорошо вы разбираетесь в концепциях и сложности вопросов, которые вам нужны.
  

  Математика по главам Примечания к инженерным экзаменам

  Темы из матриц и определителей

  • Матрицы, алгебра матриц, типы матриц [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (112 концепций)
  • Сопряжение и вычисление обратной квадратной матрицы с помощью определителей и элементарных преобразований [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (28 концепций)
  • Тест на непротиворечивость и решение совместного линейного уравнения с двумя или тремя переменными с использованием определителей и матриц [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (30 концепций)
  • Определители и матрицы второго и третьего порядка [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (4 концепции)
  • Свойства определителей, вычисление определителей [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (28 концепций)
  • Матрицы и типы матриц [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (8 концепций)
  • Математическая операция над матрицами [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (10 концепций)
  • Специальные матрицы и их свойства [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (22 концепции)
  • Элементарные операции со строками и обратная матрица с помощью элементарных операций со строками [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (6 концепций)
  • определитель [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (4 концепции)
  • Примыкание к матрице [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (8 концепций)
  • Обратная матрица (с использованием сопряженной) [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (10 концепций)
  • Умножение определителя [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (2 концепции)
  • Свойства определителей [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (6 концепций)
  • Система одновременных линейных уравнений [REST_COUNT]+ Еще’> ( АЕЕЕ, JEE Главная, КОМЕДК УГЕТ, КЕАМ ) (8 концепций)

  Частые сомнения в матрицах и определителях

  •  Количество действительных значений λ, для которых система линейных уравнений

    2x+4y−λz=0

    4x+λy+2z=0

    λx+2y+2z=0

    имеет бесконечно много решений, это:

    • Опция 1)

      0

    • Вариант 2)

      1

    • Вариант 3)

      2

    • Вариант 4)

      3

     

  •  Пусть A любая обратимая матрица 3×3.

    No related posts.