Matlab решение системы уравнений: 1.11 Решение систем линейных уравнений

1.11 Решение систем линейных уравнений

MATLAB позволяет работать с объектами линейной алгебры, т. е. векторами и матрицами, настолько просто, насколько это вообще возможно.

Яркий пример этому – решение систем линейных уравнений.

Пример:

Пусть дана система линейных уравнений

Решить систему с применением оператора обратного деления матриц < \ >.

Решение:

В матричной записи система имеет вид Ах = b, где

A = , b = , х =

– соответственно матрица из коэффициентов при незвестных, вектор-столбец из свободных членов и вектор-столбец из неизвестных.

Введем матрицу А и вектор-столбец свободных членов b:

>> А=[1 3 0;-2 -2 5;1 0 -5]

А =

1 3 0

-2 -2 5

1 0 -5

>> b=[-2;10;-9]

b =

-2

10

-9

Известно, что система имеет единственное решение, если определитель матрицы А не равен нулю (│A│ = det(A) ≠ 0). Вычислим определитель матрицы А:

>> disp(det(A))

-5

Определитель не равен нулю. Находим решение системы с помощью оператора обратного деления матриц < \ >:

>> x=А\b

x =

1

-1

2

Проверим полученное решение x₁ = 1, x₂

= -1, x₃ = 2 подстановкой в систему уравнений:

>> disp(A*x)

-2.0000

10.0000

-9.0000

В результате проверки получен вектор-столбец свободных членов. Значит, система решена верно.

Найдем теперь решение системы х = A^-1b с помощью обратной матрицы. Вначале вычислим обратную матрицу A^-1:

>> A1=inv(A)

A1 =

-2. 0000 -3.0000 -3.0000

1.0000 1.0000 1.0000

-0.4000 -0.6000 -0.8000

Находим решение системы:

>> A1*b

ans =

1.0000

-1.0000

2.0000

Отметим, что решение системы с помощью обратной матрицы требует больше времени и памяти, к тому же этот способ может дать большую погрешность решения. Поэтому для решения линейных систем рекомендуется применять оператор обратного деления < \ >.

Пример:

Решить систему линейных уравнений

Решение:

>> A=[1 3 0;-2 -2 5;1 0 5]

A =

1 3 0

-2 -2 5

1 0 5

>> b=[-2 10 -9]

b =

-2 10 -9

>> disp(det(A))

35

Находим решение системы:

>> x=A\b’

x =

-7. 5714

1.8571

-0.2857

Заметим, что обратное деление произведено на вектор-столбец b‘, поскольку вектор b введен как вектор-строка. Получили приближенное решение системы. Вычислим обратную матрицу A^-1:

>> disp(inv(A))

-0.2857 -0.4286 0.4286

0.4286 0.1429 -0.1429

0.0571 0.0857 0.1143

Точное решение системы и точная обратная матрица выражаются через рациональные дроби:

>> format rat

>> x=A\b’

x =

-53/7

13/7

-2/7

>> disp(inv(A))

-2/7 -3/7 3/7

3/7 1/7 -1/7

2/35 3/35 4/35

1. Какие окна имеет интерфейс MATLAB и каково их назначение

2. Какова структура командного окна Command Window

3. Как называется отображение в командном окне сеанса работы с системой На какие зоны подразделяется текстовое поле окна Command Window

4. Для чего служат в MATLAB клавиши <↑> и <↓>

5. Для чего применяется команда disp

6. Как можно ввести слишком длинную команду в окне C

ommand Window

7. Какая информация сохраняется в окнах Command History и Workspase после применения команды очистки экрана clc

8. Как получить справку по выбранной команде MATLAB

9. В каких форматах представляются в MATLAB вещественные числа

10. Какие форматы отображения вещественных чисел используются в MATLAB

11. Как в в MATLAB осуществляются операции с комплексными числами

12. В чем измеряются аргументы встроенных тригонометрических функций

13. Какая команда осуществляет векторизацию символьного выражения

14. Как MATLAB реагирует на ошибки ввода

15. Как обнаружить и устранить семантическую ошибку ввода

16. Как в MATLAB создаются векторы и матрицы

17. Как осуществляется просмотр и редактирование переменных в окне Workspase

18. Как в MATLAB осуществляются матричные и поэлементные операции над векторами и матрицами

19. Что вычисляют команды dot и cross

20. Как решается система линейных уравнений с помощью оператора обратного деления < \ >

лаба 5 (Решение уравнений и систем уравнений в Matlab)

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Санкт-Петербургский государственный

электротехнический университет

«ЛЭТИ» им. В.И. Ульянова (Ленина)

Кафедра ВТ

отчет

по лабораторной работе №5

по дисциплине «Информатика»

Тема: Решение уравнений и систем уравнений в Matlab.

Студентка гр. 9494		Лобазев Н.А.
Преподаватель		Гречухин М.Н.

Санкт-Петербург

2019

Цель работы 2

Основные теоретические положения 3

Вывод 11

Научиться решать уравнения и системы линейных уравнений в Matlab.

Требования и рекомендации к выполнению задания:

Нумерация вариантов соответствует номеру студенческого билета. При этом 9-й билет решает 1 вариант, 10й – 2й вариант, 11й – 3й и так далее.

1. Решить уравнение задана в таблице 4.1.

2. Решить систему уравнений, заданную в таблице 4.2 методом обратной матрицы, Крамера и Гаусса. Вывести на экран все три результата и убедиться, что они совпадают.

1. Решение уравнений вида

Для нахождения корней многочлена в Matlab используется функция roots. Полином задаётся в виде вектора коэффициентов при степенях , т. е. имеет вид .

2. Решение систем линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений в самом общем случае имеет вид:

Для вычислений в Matlab удобно представлять такую систему в виде матрицы коэффициентов и вектора свободных членов :

Тогда систему (1) можно записать в виде:

где – вектор-столбец неизвестных.

Метод обратной матрицы.

Если , то тогда система (1) имеет единственное решение, которое выражается как

Таким образом, нам необходимо посчитать обратную матрицу для матрицы коэффициентов и перемножить её со столбцом свободных членов.

Метод Крамера.

Суть метода Крамера состоит в следующем. Если для представления системы уравнений (1.1) соблюдается условие , то система имеет единственное решение следующего вида:

и т. д., где

т. е. определитель матрицы А (1.1), в которой столбец заменён столбцом свободных членов .

Метод Гаусса.

Метод Гаусса предполагает проведение преобразований с так называемой расширенной матрицей системы уравнений, т. е. с матрицей вида с целью приведения её к виду . Последний столбец будет содержать значения неизвестных. Система будет иметь единственное решение, когда

В Matlab для решения систем уравнений методом Гаусса используется встроенная функция rref.

Ход работы.

Решение уравнений вида

Задание 1

f=[1 -15 78 -178 177 63]

f =

1 -15 78 -178 177 63

>> roots(f)

ans =

6.7223 + 0.0000i

4.9844 + 0.0000i

1.7827 + 1.9317i

1.7827 — 1.9317i

-0.2721 + 0.0000i

>>

Решение систем линейных уравнений

1. Метод обратной матрицы.

A=[3 -3 -1 5 -3; -1 3 4 0 -1; 3 5 3 4 3; 3 -2 -4 1 4; -1 2 4 -4 3]

A =

3 -3 -1 5 -3

-1 3 4 0 -1

3 5 3 4 3

3 -2 -4 1 4

-1 2 4 -4 3

>> b=[-2; 0; -5; -4; -4]

b =

-2

0

-5

-4

-4

>> x=inv(A)*b

x =

15. 4000

8.8000

-5.4000

-11.8000

-10.6000

2.Метод Крамера.

A=[3 -3 -1 5 -3; -1 3 4 0 -1; 3 5 3 4 3; 3 -2 -4 1 4; -1 2 4 -4 3]

A =

3 -3 -1 5 -3

-1 3 4 0 -1

3 5 3 4 3

3 -2 -4 1 4

-1 2 4 -4 3

>> b=[-2; 0; -5; -4; -4]

b =

-2

0

-5

-4

-4

>> rank(A)

ans =

5

>> A1 = A

A1 =

3 -3 -1 5 -3

-1 3 4 0 -1

3 5 3 4 3

3 -2 -4 1 4

-1 2 4 -4 3

>> A2 = A

A2 =

3 -3 -1 5 -3

-1 3 4 0 -1

3 5 3 4 3

3 -2 -4 1 4

-1 2 4 -4 3

>> A3 = A

A3 =

3 -3 -1 5 -3

-1 3 4 0 -1

3 5 3 4 3

3 -2 -4 1 4

-1 2 4 -4 3

>> A4 = A

A4 =

3 -3 -1 5 -3

-1 3 4 0 -1

3 5 3 4 3

3 -2 -4 1 4

-1 2 4 -4 3

>> A5 = A

A5 =

3 -3 -1 5 -3

-1 3 4 0 -1

3 5 3 4 3

3 -2 -4 1 4

-1 2 4 -4 3

>> A1(:,1) = b

A1 =

-2 -3 -1 5 -3

0 3 4 0 -1

-5 5 3 4 3

-4 -2 -4 1 4

-4 2 4 -4 3

>> A2(:,2) = b

A2 =

3 -2 -1 5 -3

-1 0 4 0 -1

3 -5 3 4 3

3 -4 -4 1 4

-1 -4 4 -4 3

>> A3(:,3) = b

A3 =

3 -3 -2 5 -3

-1 3 0 0 -1

3 5 -5 4 3

3 -2 -4 1 4

-1 2 -4 -4 3

>> A4(:,4) = b

A4 =

3 -3 -1 -2 -3

-1 3 4 0 -1

3 5 3 -5 3

3 -2 -4 -4 4

-1 2 4 -4 3

>> A5(:,5) = b

A5 =

3 -3 -1 5 -2

-1 3 4 0 0

3 5 3 4 -5

3 -2 -4 1 -4

-1 2 4 -4 -4

>> x1 = det(A1) / det(A)

x1 =

15. 4000

>> x2 = det(A2) / det(A)

x2 =

8.8000

>> x3 = det(A3) / det(A)

x3 =

-5.4000

>> x4 = det(A4) / det(A)

x4 =

-11.8000

>> x5 = det(A5) / det(A)

x5 =

-10.6000

>> x=[x1;x2;x3;x4;x5]

x =

15.4000

8.8000

-5.4000

-11.8000

-10.6000

3.Метод Гаусса.

A=[3 -3 -1 5 -3; -1 3 4 0 -1; 3 5 3 4 3; 3 -2 -4 1 4; -1 2 4 -4 3]

A =

3 -3 -1 5 -3

-1 3 4 0 -1

3 5 3 4 3

3 -2 -4 1 4

-1 2 4 -4 3

>> b=[-2; 0; -5; -4; -4]

b =

-2

0

-5

-4

-4

>> C = [A b]

C =

3 -3 -1 5 -3 -2

-1 3 4 0 -1 0

3 5 3 4 3 -5

3 -2 -4 1 4 -4

-1 2 4 -4 3 -4

>> D = rref(C)

D =

1. 0000 0 0 0 0 15.4000

0 1.0000 0 0 0 8.8000

0 0 1.0000 0 0 -5.4000

0 0 0 1.0000 0 -11.8000

0 0 0 0 1.0000 -10.6000

>> x = D(:,6)

x =

15.4000

8.8000

-5.4000

-11.8000

-10.6000

Я научился решать уравнения и системы уравнений в Matlab. По ходу работы у меня получилось так, что всеми 3 способами решения систем уравнений вышли одинаковые ответы, получается, что я все сделал правильно.

MATLAB Tutor, часть 10

MATLAB Tutor, часть 10

Репетитор MATLAB

Часть 10.

Решение линейных задач Системы

Предположим, мы хотим решить линейную система

        x 2y +    z =  0
               2 года 8z =  8
     -4x + 5y + 9z = -9

Мы можем решить эту систему за несколько способы в MATLAB; вы узнаете два из них в этой части и еще один в следующей часть.

1. Сначала нам нужно сохранить коэффициенты системы в матрице, а правый вектор в другой матрице. Введите

        A = [1 -2 1
                0 2 -8
               -4 5 9]
        b = [0; 8; -9]

   и затем введите

        X = A\b

   Три числа, которые вы видите, являются значениями решения x , y и z .

2. Вы можете легко проверить, решение правильное. Матричный продукт A умножить на X должно быть равно правая сторона b . Имеет ли это? Проверьте это.
3. Если у вас есть символьная математика MATLAB Toolkit, вы также можете использовать команду «решить» для решения вышеуказанной системы. Введите

        syms x y z
        eq1 = ‘x — 2*y + z = 0’;
        eq2 = ‘2*y — 8*z = 8’;
        eq3 = ‘-4*x + 5*y + 9*z = -9’;
        [x,y,z] = решить(eq1, eq2, eq3)

4. Если у вас есть система с меньше уравнений, чем неизвестных, можно найти символьное решение для некоторых переменных в терминах других, которые мы могли бы назвать «свободными» переменными. Рассмотрим следующую систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными.

           x 2 года + г + 2н =  0
                 2 года 8z +    w  =  8
        -4x + 5y + 9z —    w  = -9

   Мы можем вычислить x , y и z через w . Последняя запись в команде «решить» сообщает, для каких переменных нужно решить, и следовательно, какая переменная будет свободной. Введите

        syms x y z w
        eq1 = ‘x — 2*y + z + 2* w = 0’;
        eq2 = ‘2*y — 8*z + w = ​​8’;
        eq3 = ‘-4*x + 5*y + 9*z — w = -9’;
        [x,y,z] = решить(eq1, eq2, eq3, ‘x,y,z’)

5. Попробуйте те же два метода решение по системе

          x + 4y + 3z = 10
        2x +   y   z =  -1
        3x   y 4z = 11

   О чем говорят результаты? Мы рассмотрим этот пример более внимательно в следующей части.

---

| Главная | Материалы | линейная алгебра | Содержание модуля | Назад | Вперед |

модули на math.duke.edu

Copyright CCP и автор(ы), 1999 г.

Решение системы линейных уравнений в Matlab

Позвольте мне объяснить как решить систему линейных уравнений в Matlab . Видите ли, все дело в матричных и векторных вычислениях.

Позвольте мне привести практический пример для иллюстрации.

Рассмотрим эту систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

$$ \begin{cases} x+5y-3 = 0 \\ \\ 2x-4y+8=0 \end{cases} $$

Обратите внимание, что система уравнений является линейной, когда наивысшая степень неизвестные равны 1.

Мы можем переписать систему в стандартной форме ax+by=c, переместив константы в правую часть, а переменные в левую часть каждого уравнения.

$$ \begin{cases} x+5y=3 \\ \\ 2x-4y=-8 \end{cases} $$

Теперь мы можем преобразовать систему уравнений в векторную форму .

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} $$

Матрица в левой части представляет собой матрицу с коэффициентами для неизвестных x и y.

$$ A = \begin{pmatrix} 1 и 2 \\ 2 & -4 \end{pmatrix} $$

Первый вектор — это вектор неизвестных .

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} $$

Последний вектор — это вектор констант из уравнений.

$$ \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -8 \end{pmatrix} $$

Теперь давайте посмотрим, как преобразовать эту информацию в переменные в рабочей среде Matlab.

Чтобы определить матрицу коэффициентов в Matlab, мы создаем двумерный массив, набрав A = [1,2;2,-4] в командной строке.

>> А = [ 1 , 2 ; 5 , -4 ]
А =
1 2
5 -4

Чтобы определить постоянный вектор в Matlab, мы создаем одномерный массив bt, набрав b = [ 3 ; -8 ]

>> б = [ 3 ; -8 ]
б =
3
-8

Система уравнений в векторной форме представляет собой произведение матрицы и вектора.

$$ A \cdot \vec{x} = \vec{b} $$ 9{-1} \cdot \vec{b} $$

Символ A ^-1 является обратной матрицей матрицы коэффициентов A системы уравнений.

Чтобы решить систему уравнений, нам нужно найти обратную матрицу коэффициентов A, что мы можем сделать в Matlab, набрав inv(A) , а затем умножить ее на вектор констант b.

>> инв(А)*б
ответ =
-2
1

Результатом будет вектор неизвестных x.

$$ \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Таким образом, мы имеем найдено решение системы уравнений .

$$ x=-2 $$

$$ y=1 $$

Итак, решением системы уравнений является x=-2 и y=1.