Решение матричных уравнений онлайн
Назначение сервиса. Матричный калькулятор предназначен для решения систем линейных уравнений матричным способом (см. пример решения подобных задач).- Шаг №1
- Шаг №2
- Видеоинструкция
- Оформление Word
- Также решают
Инструкция. Для онлайн решения необходимо выбрать вид уравнения и задать размерность соответствующих матриц.
Вид уравнения:A·X = B
X·A = B
A·X·B = C
Размерность матрицы А 12345678910 x 12345678910
Размерность матрицы B 12345678910 x 12345678910
Размерность матрицы C 12345678910 x 12345678910
где А,В,С — задаваемые матрицы, Х — искомая матрица.
A·X - B = C, то необходимо, сначала сложить матрицы C + B, и находить решение для выражения A·X = D, где D = C + B. Если задано выражение A*X = B2, то предварительно матрицу B надо возвести в квадрат.
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
По координатам вершин треугольника найти площадь, уравнения сторон, уравнение медианы, уравнение биссектрисы
Координаты вектора в базисе
По координатам вершин пирамиды найти
Построение графика функции методом дифференциального исчисления
Экстремум функции двух переменных
Вычисление пределов
Вычисление интеграловРекомендуется также ознакомиться с основными действиями над матрицами.
Пример №1. Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение. Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X·B = C.
Определитель матрицы А равен detA=-1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе части уравнения на A-1:Умножаем обе части этого равенства слева на A-1 и справа на B-1: A-1·A·X·B·B-1 = A-1·C·B-1. Так как A·A-1 = B·B-1 = E и E·X = X·E = X, то X = A-1·C·B-1
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT:
Найдем обратную матрицу B-1.
Транспонированная матрица BT:
Обратная матрица
| B-1 = -½ |
|
Матрицу X ищем по формуле: X = A-1·C·B-1
| X = — |
| * |
| -½ |
| = |
Ответ:
Пример №2.
Задание. Решить матричное уравнение
Решение. Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=0
Так как A вырожденная матрица (определитель равен 0), следовательно уравнение решения не имеет.
Пример №3. Задание. Найти решение матричного уравнения
Решение. Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: X·A = B.
Определитель матрицы А равен detA=-60
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим справа обе части уравнения на A-1: X·A·A-1 = B·A-1, откуда находим, что X = B·A-1
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT:
Обратная матрица A
Матрицу X ищем по формуле: X = B·A-1
Ответ:
Пример №4. Задание. Решить матричное уравнение
Решение.
Обозначим:
Тогда матричное уравнение запишется в виде: A·X = B.
Определитель матрицы А равен detA=1
Так как A невырожденная матрица, то существует обратная матрица A-1. Умножим слева обе части уравнения на A-1: A-1·A·X = A-1·B, тогда получим E·X = A-1·B, или X = A-1·B.
Найдем обратную матрицу A-1.
Транспонированная матрица AT:
Обратная матрица A-1:
Матрицу Х ищем по формуле: X = A-1·B
Ответ:
Матричный метод решения систем линейных уравнений
Матричный метод может применяться в решении систем линейных уравнений, в которых число неизвестных равно числу уравнений, то есть систем линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов при неизвестных.
Другое условие применимости матричного метода — невырожденность матрицы коэффициентов
при неизвестных, то есть неравенство нулю определителя этой матрицы.
Систему линейных уравнений, при выполнении вышеназванных условий, можно представить в матричном виде, а затем решить её путём отыскания обратной матрицы к матрице системы.
Решение систем линейных уравнений матричным методом основано на следующем свойстве обратной матрицы: произведение обратной матрицы и исходной матрицы равно единичной матрице. Обратная матрица обозначается символом .
Пусть нужно решить систему линейных уравнений:
Запишем эту систему уравнений в матричном виде:
Обозначим отдельно как A матрицу коэффициентов при неизвестных и как B матрицу неизвестных и матрицу свободных членов
.
Тогда
То есть, для нахождения решений системы нужно обе части уравнения
умножить на матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных
и приравнять соответствующие элементы полученных матриц.
Алгоритм решения системы линейных уравнений матричным методом разберём на следующем примере системы линейных уравнений второго порядка.
Пример 1. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Решение состоит из следующих шагов.
Шаг 1.
Составляем следующие матрицы.Матрица коэффициентов при неизвестных:
Матрица неизвестных:
Матрица свободных членов:
Это сделано для того, чтобы применить в решении уже записанные закономерности, основанные на свойстве обратной матрицы:
По выведенному выше последнему равенству и будем вычислять решения данной системы.
Но сначала проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной, то есть можем ли вообще применять матричный метод:
.
Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.
Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
.
Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:
Итак, получили решение:
.
Сделаем проверку:
Следовательно, ответ правильный.
Для второго примера выберем систему линейных уравнений третьего порядка.
Пример 2. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Шаг 1. Составляем следующие матрицы.
Матрица коэффициентов при неизвестных:
Матрица неизвестных:
Матрица свободных членов:
Проверим, не является ли матрица коэффициентов при неизвестных вырожденной:
.
Определитель этой матрицы не равен нулю, следовательно, можем применять матричный метод.
Шаг 2. Находим матрицу, обратную матрице коэффициентов при неизвестных:
.
Шаг 3. Находим матрицу неизвестных:
Итак, получили решение:
.
Сделаем проверку:
Следовательно, ответ правильный.
Решить систему уравнений матричным методом самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 3. Решить матричным методом систему линейных уравнений:
Посмотреть правильное решение и ответ.
| Назад | Листать | Вперёд>>> |
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
К началу страницы
Пройти тест по теме Системы линейных уравнений
Всё по теме «Системы уравнений и неравенств»
Решение систем линейных уравнений методом подстановки и методом сложения
Решение систем линейных уравнений методом Крамера
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Условие совместности системы линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли
Решение систем линейных уравнений матричным методом (обратной матрицы)
Системы линейных неравенств и выпуклые множества точек
Начало темы «Линейная алгебра»
Определители
Матрицы
Поделиться с друзьями
Система уравнений в матричной форме Калькулятор
Калькуляторы Алгебра
Инструкции: Используйте этот калькулятор, чтобы найти матричное представление данной системы уравнений, которую вы предоставляете. Укажите систему
линейное уравнение, предварительно изменив размер, если это необходимо.
Затем заполните коэффициенты, связанные со всеми переменными и правым размером, для каждого из уравнений. Если переменная отсутствует в одном конкретном уравнении, введите «0» или оставьте поле пустым.
Икс + у + г + ты + в «=»
Икс + у + г + ты + в «=»
Икс + у + г + ты + в «=»
Икс + у + г + ты + в «=»
Икс + у + г + ты + в «=»
Подробнее об этом калькуляторе системы уравнений для матричной формы
Одной из важнейших способностей при решении систем линейных уравнений является
иметь возможность перейти от традиционного формата линейных систем к матрицам.
Если у вас есть матричное представление линейной системы, вы можете либо применить метод Крамера Правило или вы можете решить систему, сначала найдя обратную соответствующую матрицу коэффициентов.
Или, с матричным представлением, вы можете построить расширенную матрицу и применить метод поворота Гаусса, в зависимости от того, что вам больше подходит.
Во-первых: Как записать систему уравнений в матричной форме?
Шаг 1: Определите каждое уравнение в системе. Каждое уравнение будет соответствовать строке в матричном представлении.
Шаг 2: Работайте над каждым уравнением.
Для каждого из них определите левую и правую части уравнения.
Шаг 3: То, что находится в левой части, будет частью матрицы А, а то, что в правой части, будет частью вектор б
Шаг 4: Коэффициенты слева должны быть определены отдельно в зависимости от того, какой коэффициент умножает каждую переменную.
Шаг 5: Каждое уравнение представляет строку, а каждая переменная представляет столбец матрицы A.
Как использовать матрицу для решения системы уравнений?
Когда у вас есть система в матричной форме, вы можете приступить к ее решению различными способами. Обычно вы начинаете сначала с
вычисление определителя матрицы, в качестве начального критерия, позволяющего узнать о
решения системы.
Если \(\det A \ne 0\), то мы знаем, что система имеет единственное решение. Теперь, когда \(\det A = 0\), это не значит, что у вас нет решений, это означает только то, что если есть решения, то они не единственны.
Действительно, когда \(\det A = 0\), вы не можете использовать метод Крамера или обратный метод для решения системы уравнений. В таком случае вы лучше использовать метод поворота Гаусса.
Как решать матричные уравнения
Часто вам дают систему уравнений непосредственно в матричном формате. Если это так, и число уравнений равно
так же, как количество переменных, вы можете попробовать использовать обратный метод или правило Крамера. В противном случае вы можете использовать
Метод Гаусса.
Теперь вы можете использовать этот калькулятор для выражения системы в традиционной форме, если задана матричная форма.
Калькулятор системы уравнений для матричной формы Система уравнений в матричной форме преобразовать систему в матрицу
Калькулятор преобразования матрицы в систему уравнений
Калькуляторы Алгебра
Инструкции: Воспользуйтесь этим онлайн-калькулятором, чтобы получить систему линейных уравнений из ее матричного представления, показав все шаги.
Сначала нажмите на один
из кнопок ниже, чтобы указать размерность матричного представления, то необходимо указать \(A\) и \(b\).
Для каждой матрицы и вектора щелкните первую ячейку и введите значение, а затем перемещайтесь по матрице, нажимая «TAB» или щелкая соответствующие ячейки, чтобы определить ВСЕ значения матрицы.
\(A\) = \begin{bmatrix} & \\ & \end{bmatrix}
\(b\) = \begin{bmatrix} \\ \end{bmatrix}
Часто у вас будет система в матричной форме с \(Ax = b\), и вы захотите фактически выразить матричную форму в
обычная форма линейного уравнения, просто чтобы увидеть уравнения в более ясном виде.
Если вам предоставлена матричная форма, возможно, вы захотите решить систему с помощью правила Крамера или, может быть, захотите решить ее. с помощью обратного метода.
Зачем переходить от матричной формы к системе форм уравнений
Эти две формы полностью взаимозаменяемы, но, возможно, система форм уравнений позволяет более четко интерпретировать ситуацию вы сталкиваетесь, особенно в тех случаях, когда настройка линейного уравнения привязана к реальным переменным.
Как преобразовать матричную форму в форму системы уравнений
Простой. Вам нужно взглянуть на матрицу \(A\), строку за строкой. Каждая строка \(A\) соответствует уравнению. Теперь каждый столбец этих строк
связана с определенной переменной.