Матрица m n: Матрицы в математике: определения и применение

Матрицы: определение и основные понятия.

Навигация по странице:

• Определение матрицы
• Обозначение матрицы
• Элементы матрицы
• Диагонали матрицы

Онлайн калькуляторы с матрицами.

Упражнения с матрицами.

Определение матрицы

Определение.

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами.

Количество строк и столбцов задают размеры матрицы.

Обозначение

Матрица — это таблица данных, которая берется в круглые скобки:

A =		4	1	-7
		-1	0	2

Матрица обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавитв. Матрица содержащая n строк и m столбцов, называется матрицей размера n×m.

При необходимости размер матрицы записывается следующим образом: A_n×m.

Элементы матрицы

Элементы матрицы A обозначаются a_ij, где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.

Пример.

Элементы матрицы A_4×4:

A =		4	1	-7	2
		-1	0	2	44
		4	6	7	9
		11	3	1	5

a₁₁ = 4

Определение.

Строка матрицы называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Определение.

Если хотя бы один из элементов строки матрицы не равен нулю, то строка называется

ненулевой.

не не нулевой столбец

Диагонали матрицы

Определение.

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол.

Определение.

Побочной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого нижнего угла матрицы в правый верхний угол.

Пример.

Демонстрация главной и побочной диагонали матрицы:

	0	1	-7		— главнаяпобочная диагональ
	0	0	2

	0	1	-7		— главнаяпобочная диагональ
	0	0	2
	8	2	9

Определение.

Следом матрицы называется сумма диагональных элементов матрицы.

Обозначение.

След матрицы обозначается trA = a₁₁ + a₂₂ + … + a_nn.

Онлайн калькуляторы с матрицами.

Упражнения с матрицами.

6. МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Естественные науки / Краткий справочник по математическим моделям (в примерах и задачах) / 6.  МАТРИЦЫ. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ. ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

Прямоугольная таблица, составленная из mxn элементов a_ii (i = 1,2,3,…n; j = 1,2,3,…m

) некоторого множества, называется матрицей размера mxn.

Матрицы обозначают большими латинскими буквами А, В… Например:

.

Элементы а₁₁, а₁₂,…, а_{1n образуют первую строку; а11, а21,…,аm1 – первый столбец. Строки и столбцы называют рядами. Произвольный элемент матрицы обозначают aij. Краткая форма записи матрицы:  (aij)mn, а числа i, j называют индексами элемента. Элементы а11,  a22, …,amn  образуют главную диагональ матрицы.  Если m = n, то матрица  называется квадратной.}

Две матрицы (а_ij)_mn

и  (b_ij)_pq называют равными, если  p = m, q = n  и a_ij = b_ij, то есть они одних размеров и их соответствующие элементы равны.

Матрица, состоящая из одной строки или одного столбца, соответственно называется матрицей-строкой или матрицей-столбцом.

Матрица, всё элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается буквой О.

Порядком матрицы называется число её строк (для квадратной матрицы).

Квадратная матрица называется симметрической, если а_ij = a_ji.

Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы не принадлежащей главной диагонали равны нулю, и обозначается символом:

.

Единичной называется диагональная матрица, все элементы главной диагонали которой равны единице, и обозначается

Е или I:

.

Матрица, полученная из данной матрицы А заменой каждой её строки соответствующим  столбцом, называется транспонированной и обозначается А^Т.

, .

Например:

, .

Линейные операции над матрицами

К линейным операциям относятся: сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на  число. Сложение и вычитание определяется только для матриц одинаковых размеров.

Суммой (разностью) матриц А = (а_ij)_mnи В = (b_ij)_mn называется матрица С = (с_{ij =} а_ijb_ij). Например, если

, , .

Произведением матрицы А = (а_ij)_mn на число  называется матрица:

В = А   В = (а_ij)_mn,

то есть каждый элемент матрицы А умножается на число .

Произведение матриц

Произведение определяется для квадратных матриц одного и того же порядка, а также для прямоугольных матриц, у которых число столбцов множимого равно числу строк матрицы множителя. Обозначается:

С = , т.е., если А = (а_ij)_mn,  В = (b_ij)_nl, то С_ml = (С_ij)_ml ,

где                                                    С_ij = а_i1

b_1j + а_i2b_2j+…+ а_inb_nj =

(элемент матрицы С_ij  равен сумме произведений элементов i-строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В). Заметим, что не всегда =.

Например:

,      .

Определители. Минор и алгебраическое дополнение

Определители вводятся для квадратных матриц.

Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число, равное а₁₁а₂₂ — а₁₂а₂₁,  обозначается символом:

.

Имеют место свойства определителей и теоремы, которые касаются их вычисления.

Определителем квадратной матрицы

А = (а_ij)_3x3  (третьего порядка) называют число:

.

Правило знаков:

Минором элемента a_ijопределителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Минор элемента a_ijобозначается М_ij.

Алгебраическим дополнением элемента a_ijопределителя называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j,  обозначается символом A_ij:

.

Для определителей вводится понятие порядка «по принципу порядка матрицы».

Если определитель имеет порядок выше трех, то пользуются для его вычисления важным для определителей свойством «разложения» определителя по строке или столбцу.

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например:

.

Коротко можно записать так:

  — разложение определителя по элементам i-й строки.

На практике часто используют теорему вычисления определителя от произведения матриц.

Она утверждает: определитель произведения двух квадратных матриц А и В одного порядка равен произведению определителей перемножаемых матриц:

.

Пример 14. Вычислить определитель по правилу «разложения»:

Объяснения:

1) разложим определитель по элементам четвёртого столбца, который содержит три «нулевых» элемента, которые впоследствии умножаются на алгебраические дополнения (не важно, какие они имеют значения), и за счёт этого имеем выигрыш в  вычислении всего определителя;

2) вычисляем алгебраическое дополнение

А₄₄ по правилу треугольника (заметим, что можно было и далее вычислять этот определитель 3-го порядка по правилу разложения, но в целях экономии времени пользуемся правилом, которое знаем для определителя 3-го порядка).

Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Если система является невырожденной, т.е. , то она имеет единственное решение

,

где А^-1— матрица, обратная матрице А, а

.

Линейные системы уравнений

Линейная система

              ,

называется невырожденной, если . Тогда эта система имеет единственное решение:

 ;

.

Эти формулы называются формулами Крамера.

Из формул Крамера следует, что если однородная линейная система

имеет ненулевое решение, то её определитель det А = 0.

Решение однородной системы двух уравнений.

Пусть дана система:

Решения даются формулами:

,

где  — алгебраические дополнения матрицы 3-го порядка, составленные из коэффициентов при неизвестных данной системы.

Решения однородной системы трех линейных уравнений:

если det А = 0, А₃₃, находятся из подсистемы    по предыдущим формулам (см. предыдущий пункт).

Пример 15: Решить систему с помощью определителей:

Решение: Найдем det A = =1+45+45-25+9+9=84,

Ответ:                                                      

Пример 16: Решить однородную систему:

Решение: 1) Найдем det А:

2) Найдем                                       

3) Решим систему:

Решение системы матричным методом

Пусть det А ≠ 0, тогда А×А^-1 = Е; система имеет вид АХ = В, где А – матрица системы; , ;

Пример 17: Решить систему матричным методом:

Решение: Матрица системы, матрица-столбец неизвестных и матрица–столбец свободных имеют соответственно вид:

Обратная матрица А^-1 = . Следовательно, матричное решение будет:

.

Ответ:                                                      

О нашей компании | Matrix-NDI

История Matrix-NDI

Matrix-NDI предлагает передовые решения «под ключ» для поддержки клиентов любого размера и из любой отрасли. Мы специализируемся на структурированных кабельных сетях, облачных и хостинговых решениях, решениях для голосовой связи и контакт-центров, решениях для телекоммуникаций, распознавании лиц, освещении PoE, проектировании и развертывании ИТ-сетей, ИТ-безопасности, безопасности помещений и управляемых услугах для поддержки всего этого. Мы можем внедрять наши решения и услуги по всей стране, чтобы продвигать ваш бизнес вперед. Наши команды по продажам, проектированию и управлению проектами будут работать рука об руку с вашей командой, чтобы настроить решение, которое будет соответствовать вашему бюджету и срокам.

История

01 мая

Весна 2019

Компания Matrix-NDI названа одной из 150 лучших рабочих мест в Миннесоте.

01 января

Январь 2019 г.

Matrix и NDI объединились в Matrix-NDI. Это слияние позволяет нам быть лидером в области интеллектуальных строительных технологий, объединяя опыт обеих сторон. Кроме того, теперь мы можем предоставлять эти индивидуальные решения на национальном уровне. В рамках умного здания мы вместе можем предложить полный портфель услуг, связанных со структурированной кабельной системой, облачными и хостинговыми решениями, решениями для голосовой связи и контакт-центров, решениями для телекоммуникаций, распознаванием лиц, освещением PoE, проектированием и развертыванием ИТ-сетей, ИТ-безопасностью, помещениями Безопасность и управляемые услуги для поддержки всего этого.

Сентябрь 01

Сентябрь 2018

Чарли Эйхер ушел с поста президента, сохранив за собой право собственности. Брайан Финнвик заменил Чарли на посту президента Matrix и NDI.

01 мая

Весна 2018

Компания Matrix Communications входит в число 150 лучших рабочих мест в Миннесоте

01 января

Январь 2000

Компания Matrix начала предлагать решения для сетей передачи данных. В ответ на появляющиеся решения для передачи голоса по IP (VoIP) компания Matrix сосредоточилась на решениях для коммутации данных, безопасности брандмауэра, маршрутизации и беспроводной связи. Среди наших партнеров Extreme Data Networks, Cisco, Aruba, SonicWall и AdTran.

Зима 1997 г.

Статья InfoLine от 1997 года, посвященная присоединению компании Network Design Inc. Щелкните здесь, чтобы просмотреть полный документ

01 мая

Май 1997

Компания Network Design, Inc. начала предлагать комплексные решения для структурированных кабельных систем. Это был запуск нашего предложения крупных низковольтных и волоконно-оптических решений. На этом этапе Matrix Communications и Network Design, Inc. смогли работать вместе, предлагая нашим клиентам комплексные системы передачи информации (ITS).

01 января

1996

«Матрица» была показана в сегменте «Истории успеха» CBS в Миннеаполисе.

01 мая

Май 1995

Компания Network Design, Inc. (NDI) была создана Майком Эллисом и Чарли Эйхером. NDI — это профсоюзная организация по низковольтному оборудованию и обеспечению безопасности помещений, которая занимается структурированной кабельной системой, развертыванием сетей на нескольких площадках в масштабах всей страны, проектированием и развертыванием центров обработки данных, безопасностью помещений и видеонаблюдением.

01 января

1992

Чарли Эйчер присоединился к Майку Эллису в качестве совладельца Matrix Communications. Чарли Эйкер и Майк Эллис вместе работали над расширением предложений услуг и решений Matrix Communications для охвата всех отраслей.

01 января

1990

Наше партнерство с US West положило начало развитию наших сетевых услуг. US West была приобретена компанией Qwest в 2000 г., которая впоследствии объединилась с CenturyLink в 2011 г.

01 января

19 января89

Началось наше сотрудничество с NEC Corporation of America. NEC — известная корпорация информационных и коммуникационных технологий, работающая по всему миру уже почти 120 лет. Мы гордимся тем, что до сих пор сотрудничаем с ними как с одним из ведущих дилеров Triple Diamond в Соединенных Штатах.

01 декабря

Декабрь 1985 г.

Matrix Communications, Inc. (Matrix), основанная Майком Эллисом как частная компания телефонных систем и голосовых сетей. Мы начали обслуживать и ориентироваться на клиентов в индустрии гостеприимства и гостиничного бизнеса. Нашей основной задачей было внедрение телефонных систем Hitachi для наших клиентов путем предоставления полных сетевых услуг голосовой связи и тонального набора.

• 2019
• 2018
• 2000
• 1997
• 1996
• 1994
• 1992
• 1990
• 1989
• 1985

Vendita Online macchine da caffè

• Наличие:1 шт.
• Код: MATRIMN1IL5
• EAN: MATRIMN1IL5
• Марка: Bezzera

MATRIX MN — 2 PID

Термический баланс без компромиссов. Новая модель MATRIX представляет собой новую концепцию в мире полуавтоматических кофемашин для приготовления эспрессо. Он сочетает в себе традиционную технологию «LEVA» с самым совершенным программным обеспечением и электроникой, что позволяет с помощью 3,5-дюймового сенсорного дисплея управлять системой двойного котла и выбором цвета кузова в соответствии со стилем окружающей среды.
Работает с традиционной ручной группой levetta: потянув рычаг вверх, активируется насос, и начнется подача кофе, он остановится, если потянуть рычаг вниз при желаемом количестве кофе в чашке.
Группа обогревается термосифонной системой циркуляции горячей воды, вода поступает из небольшого бойлера, предназначенного для экстракции кофе. Температура контролируется PID-термостатом, который гарантирует оптимальную термостабильность в диапазоне 88-96°C.
Контур пара/воды подключен к независимому бойлеру, управляемому PID-термостатом, который позволяет максимизировать мощность пара даже в случае интенсивного использования.
Система водоснабжения, которая питает роторный насос промышленного класса, может использовать внутренний резервуар для воды объемом 4 л или может быть подключена к водопроводной сети

Особенности: 
— Двойной бойлер (кофеварка 0,5 л, сервисный бойлер 1 л)
— Ротационный насос
— PID с сенсорным дисплеем
— Кофейная группа E61
— Термосифонная система
— Прямое подключение к воде
— Съемный резервуар для воды емкостью 4 л
— Автоматическая программа обратной промывки
— Ежедневное автоматическое включение/выключение настройка
— Дисплей TFT 3,5″
— Корпус Aisi 304
— Боковые стенки из прозрачного ПВХ с подсветкой
— Кофейный бойлер 800 Вт
— Паровой бойлер 1200 Вт
— 220-230 В, 50-60 Гц

Аксессуары в комплекте : один носик портафильтр с деревянной ручкой, портафильтр с двойным носиком и деревянной ручкой, корзина с фильтром на 1 чашку, корзина с фильтром на 2 чашки, глухая корзина с фильтром, пластиковая трамбовка, пластиковая ложка, щетка для очистки группы и руководство по эксплуатации.  

Ширина 310 мм Высота 420 мм Глубина 470 мм
Вес нетто 34 кг
Гарантия 2 года (ознакомьтесь с условиями)

• Цена: 1.925,41 € (Цена без НДС)

Чтобы увидеть стоимость доставки в вашей стране, вы должны выбрать свою страну в меню в правом верхнем углу. Пожалуйста, внимательно прочитайте ЭТУ СТРАНИЦУ

• Характеристики
• Фотографии и документы

• Брошюра Matrix.pdf
• Bezzera-Matrix-Duo.pdf

Люди, которые купили этот товар, также купили

Плоское основание трамбовки 9В778

24,00 €

Одинарная корзина фильтра IMS B70 1 T h34,5 ( B701Th34,5N )

14,50 €

Корзина одинарного фильтра IMS B70 1 T h36,5 E ( B701Th36,5E )

14,50 €

Кофемолка EUREKA Mignon SPECIALITA’ 16CR Хромированная

376,23 €

Корзина фильтра двойная ИМС Б70 2ТС h36 Е ( Б702ТЧ36Е )

14,50 €

Кофемолка EUREKA Mignon SPECIALITA’ 16CR БЕЛАЯ

339,34 €

Подставка для держателя фильтра + деревянная трамбовка

69,00 €

Держатель фильтра без дна Bezzera E61 5965635R

47,00 €

Клиенты, которые просматривали этот товар, также просматривали

Блокнот MOTTA INOX 110 мм

39,00 €

Одинарная корзина фильтра IMS B70 1 T h34,5 ( B701Th34,5N )

14,50 €

QUICK MILL Кофемашина VETRANO 2B LED

2.