Гантмахер Ф. Р. Теория матриц ОНЛАЙН
Алгебра и геометрия, теория чисел, криптография / Математика / Математика для студентов, аспирантов и научных работников
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е изд. — М., 2004. — 560 с.
Книга посвящена матричному исчислению. В ней наряду с собственно теорией матриц содержится изложение ряда математических проблем, решение которых достигается применением развитой матричной техники. Большое внимание уделено вопросам интегрирования и проблеме устойчивости систем дифференциальных уравнений.
Четвертое издание — 1988 г.
Для студентов старших курсов и аспирантов (математиков, механиков, физиков и др.), а также для математиков, программистов, механиков, физиков и инженеров, использующих матричный математический аппарат.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие автора к первому изданию.
…………………………………………………7
Предисловие редактора ко второму изданию…………………………………………….10
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ОСНОВЫ ТЕОРИИ
ГЛАВА I. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
§ 1. Матрицы. Основные обозначения……………………………………………………11
§ 2. Сложение и умножение прямоугольных матриц………………………………….13
§ 3. Квадратные матрицы………………………………………………………………….22
§ 4. Ассоциированные матрицы. Миноры обратной матрицы…………………………27
§ 5. Обращение прямоугольных матриц. Псевдообратная матрица………………….30
ГЛАВА II. АЛГОРИТМ ГАУССА И НЕКОТОРЫЕ ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ
§ 1. Метод исключения Гаусса…………………………………………………………….39
§ 2. Механическая интерпретация алгоритма Гаусса………………………………….43
§ 3. Детерминантное тождество Сильвестра.
……………………………………………45
§ 4. Разложение квадратной матрицы на треугольные множители………………….47
§ 5. Разбиение матрицы на блоки. Техника оперирования с блочными матрицами.
Обобщенный алгоритм Гаусса ……………………………………………………….53
ГЛАВА III ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В n-МЕРНОМ ВЕКТОРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Векторное пространство………………………………………………………………63
§ 2. Линейный оператор, отображающий n-мерное пространство в ш-мерное … 67
§ 3. Сложение и умножение линейных операторов……………………………………..69
§ 4. Преобразование координат…………………………………………………………….71
§ 5. Эквивалентные матрицы. Ранг оператора. Неравенства Сильвестра…………..72
§ 6. Линейные операторы, отображающие n-мерное пространство само в себя … 76
§ 7. Характеристические числа и собственные векторы линейного оператора .
.. 79
§ 8. Линейные операторы простой структуры…………………………………………..81
ГЛАВА IV. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ И МИНИМАЛЬНЫЙ МНОГОЧЛЕНЫ
МАТРИЦЫ
§ 1. Сложение и умножение матричных многочленов………………………………….84
§ 2. Правое и левое деления матричных многочленов. Обобщенная теорема Безу . 86
§ 3. Характеристический многочлен матрицы. Присоединенная матрица…………89
§ 4. Метод Д.К. Фаддеева одновременного вычисления коэффициентов характеристического многочлена и присоединенной матрицы ………………………………93
§ 5. Минимальный многочлен матрицы………………………………………………….95
ГЛАВА V. ФУНКЦИИ МАТРИЦЫ
§ 1. Определение функции матрицы……………………………………………………..99
§ 2. Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра …………….103
§ 3. Другие формы определения f{A). Компоненты матрицы А………….106
§4. Представление функций матриц рядами .
……………………111
§ 5. Некоторые свойства функций от матриц…………………….114
§ 6. Применение функций от матрицы к интегрированию системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами…………119
§ 7. Устойчивость движения в случае линейной системы……………..125
ГЛАВА VI. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МНОГОЧЛЕННЫХ МАТРИЦ. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ДЕЛИТЕЛЕЙ
§ 1. Элементарные преобразования многочленной матрицы ……………130
§ 2. Канонический вид Л-матрицы…………………………..133
§ 3. Инвариантные многочлены и элементарные делители многочленной матрицы 137
§ 4. Эквивалентность линейных двучленов………………………142
§ 5. Критерий подобия матриц……………………………..144
§ 6. Нормальные формы матрицы……………………………145
§ 7. Элементарные делители матрицы f(A)……………………..149
§ 8. Общий метод построения преобразующей матрицы.
……………..152
§ 9. Второй метод построения преобразующей матрицы ……………..156
ГЛАВА VII. СТРУКТУРА ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В п-МЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ (ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ДЕЛИТЕЛЕЙ)
§ 1. Минимальный многочлен вектора, пространства (относительно заданного линейного оператора)………………………………….165
§ 2. Расщепление на инвариантные подпространства с взаимно простыми минимальными многочленами………………………………167
§ 3. Сравнения. Надпространство……………………………169
§ 4. Расщепление пространства на циклические инвариантные подпространства . 171
§ 5. Нормальная форма матрицы ……………………………175
§ 6. Инвариантные многочлены. Элементарные делители……………..178
§ 7. Нормальная жорданова форма матрицы……………………..181
§ 8. Метод А.Н. Крылова преобразования векового уравнения…………..183
ГЛАВА VIII МАТРИЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнение АХ = ХВ.
……………………………….193
§ 2. Частный случай: А = В. Перестановочные матрицы……………..197
§ 3. Уравнение АХ -ХВ = С……………………………..200
§ 4. Скалярное уравнение f{X) = 0…………………………..201
§ 5. Матричное многочленное уравнение……………………….202
§ 6. Извлечение корня n-й степени из невырожденной матрицы…………205
§ 7. Извлечение корня n-й степени из вырожденной матрицы ………….208
§ 8. Логарифм матрицы………………………………….212
ГЛАВА IX. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В УНИТАРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Общие соображения…………………………………215
§ 2. Метризация пространства……………………………..215
§ 3. Критерий Грама линейной зависимости векторов……………….218
§ 4. Ортогональное проектирование ………………………….220
§ 5. Геометрический смысл определителя Грама и некоторые неравенства…..222
§ 6. Ортогонализация ряда векторов.
…………………………225
§ 7. Ортонормированный базис……………………………..230
§ 8. Сопряженный оператор……………………………….232
§ 9. Нормальные операторы в унитарном пространстве………………235
§ 10. Спектр нормальных, эрмитовых, унитарных операторов…………..237
§ 11. Неотрицательные и положительно определенные эрмитовы операторы…..240
§ 12. Полярное разложение линейного оператора в унитарном пространстве. Формулы Кэли ………………………………………242
§ 13. Линейные операторы в евклидовом пространстве……………….246
§ 14. Полярное разложение оператора и формулы Кэли в евклидовом пространстве 252
§ 15. Коммутирующие нормальные операторы…………………….255
§ 16. Псевдообратный оператор……………………………..257
ГЛАВА Х. КВАДРАТИЧНЫЕ И ЭРМИТОВЫ ФОРМЫ
§ 1. Преобразование переменных в квадратичной форме ……………..259
§ 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов.
Закон инерции…..261
§ 3. Метод Лагранжа приведения квадратичной формы к сумме квадратов. Формула Якоби………………………………………263
§ 4. Положительные квадратичные формы………………………268
§ 5. Приведение квадратичной формы к главным осям ………………271
§ 6. Пучок квадратичных форм…………………………….272
§ 7. Экстремальные свойства характеристических чисел регулярного пучка форм 277
§ 8. Малые колебания системы с п степенями свободы ………………284
§ 9. Эрмитовы формы…………………………………..288
§ 10. Ганкелевы формы…………………………………..293
ЧАСТЬ ВТОРАЯ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ И ПРИЛОЖЕНИЯ
ГЛАВА XI. КОМПЛЕКСНЫЕ СИММЕТРИЧЕСКИЕ, КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ И ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
§ 1. Некоторые формулы для комплексных ортогональных и унитарных матриц . 301
§ 2. Полярное разложение комплексной матрицы ………………….305
§ 3. Нормальная форма комплексной симметрической матрицы.
………..307
§ 4. Нормальная форма комплексной кососимметрической матрицы………309
§ 5. Нормальная форма комплексной ортогональной матрицы…………..314
ГЛАВА XII. СИНГУЛЯРНЫЕ ПУЧКИ МАТРИЦ
§ 1. Введение………………………………………..318
§ 2. Регулярный пучок матриц……………………………..319
§ 3. Сингулярные пучки. Теорема о приведении…………………..321
§ 4. Каноническая форма сингулярного пучка матриц……………….326
§ 5. Минимальные индексы пучка. Критерий строгой эквивалентности пучков . . 328
§ 6. Сингулярные пучки квадратичных форм…………………….330
§ 7. Приложения к дифференциальным уравнениям ………………..334
ГЛАВА XIII. МАТРИЦЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
§ 1. Общие свойства……………………………………337
§ 2. Спектральные свойства неразложимых неотрицательных матриц……..339
§ 3. Разложимые матрицы………………………………..349
§ 4.
Нормальная форма разложимой матрицы…………………….356
§ 5. Примитивные и импримитивные матрицы……………………360
§ 6. Стохастические матрицы………………………………364
§ 7. Предельные вероятности для однородной цепи Маркова с конечным числом
состояний……………………………………….368
§ 8. Вполне неотрицательные матрицы………………………..376
§ 9. Осцилляционные матрицы……………………………..380
ГЛАВА XIV. РАЗЛИЧНЫЕ КРИТЕРИИ РЕГУЛЯРНОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ
§ 1. Критерий регулярности Адамара и его обобщения ………………387
§ 2. Норма матрицы……………………………………390
§ 3. Распространение критерия Адамара на блочные матрицы ………….392
§ 4. Критерий регулярности Фидлера…………………………394
§ 5. Круги Гершгорина и другие области локализации……………….395
ГЛАВА XV. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ МАТРИЦ К ИССЛЕДОВАНИЮ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1.
Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Общие понятия……………………………….399
§ 2. Преобразование Ляпунова……………………………..402
§ 3. Приводимые системы………………………………..403
§ 4. Каноническая форма приводимой системы. Теорема Еругина………..405
§ 5. Матрицант………………………………………408
§ 6. Мультипликативный интеграл. Инфинитезимальное исчисление Вольтерра . . 412
§ 7. Дифференциальные системы в комплексной области. Общие свойства…..416
§ 8. Мультипликативный интеграл в комплексной области…………….418
§ 9. Изолированная особая точка ……………………………422
§ 10. Регулярная особая точка………………………………427
§ 11. Приводимые аналитические системы ………………………439
§ 12. Аналитические функции многих матриц и их применение к исследованию
дифференциальных систем. Работы И. А. Лаппо-Данилевского.
………442
ГЛАВА XVI. ПРОБЛЕМА РАУСА-ГУРВИЦА И СМЕЖНЫЕ ВОПРОСЫ
§ 1. Введение………………………………………..445
§ 2. Индексы Коши…………………………………….446
§ 3. Алгоритм Рауса……………………………………449
§ 4. Особые случаи. Примеры………………………………452
§ 5. Теорема Ляпунова………………………………….455
§ 6. Теорема Рауса-Гурвица……………………………….459
§ 7. Формула Орландо…………………………………..464
§ 8. Особые случаи в теореме Рауса-Гурвица…………………….466
§ 9. Метод квадратичных форм. Определение числа различных вещественных корней многочлена……………………………………469
§ 10. Бесконечные ганкелевы матрицы конечного ранга ………………471
§ 11. Определение индекса произвольной рациональной дроби через коэффициенты
числители и знаменателя………………………………473
§ 12.
Второе доказательство теоремы Рауса-Гурвица………………..480
§ 13. Некоторые дополнения к теореме Рауса-Гурвица. Критерий устойчивости Лье-
нара и Шипара…………………………………….483
§ 14. Некоторые свойства многочлена Гурвица. Теорема Стилтьеса. Представление
многочленов Гурвица при помощи непрерывных дробей……………487
§ 15. Область устойчивости. Параметры Маркова…………………..493
§ 16. Связь с проблемой моментов……………………………496
§ 17. Связь между определителями Гурвица и определителями Маркова…….499
§ 18. Теоремы Маркова и Чебышева…………………………..501
§ 19. Обобщенная задача Рауса-Гурвица………………………..507
ДОБАВЛЕНИЕ. НЕРАВЕНСТВА ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ И СИНГУЛЯРНЫХ
ЧИСЕЛ (В. Б. Лидский)
§ 1. Мажорирующие последовательности……………………….509
§ 2. Неравенства Неймана-Хорна……………………………512
§ 3. Неравенства Вейля….
………………………………516
§ 4. Максимально-минимальные свойства сумм и произведений собственных чисел эрмитовых операторов……………………………..518
§ 5. Неравенства для собственных и сингулярных чисел сумм и произведений операторов …………………………………………524
§ 6. Другая постановка задачи о спектре суммы и произведения эрмитовых операторов …………………………………………527
Примечания…………………………………………533
Список литературы…………………………………….539
Предметный указатель…………………………………..555
Часть 1
Часть 2
ТегиГантмахерпроблема устойчивоститеория матрицчитать онлайнГенерация случайных матриц — Онлайн математические инструменты
Скоро Эти математические инструменты уже в пути
Функции построения графиков
Рисовать графики математических функций.
Рисование формулы LaTeX
Создание изображения из выражения LaTeX.
Найти n-ю цифру
Вычислить n-ю цифру числа Эйлера.
Найти n-ю цифру золотого сечения
Вычислить n-ю цифру золотого сечения.
Найти n-ю цифру числа пи
Вычислите n-ю цифру числа Пи.
Вычислить сумму e цифр
Найти сумму e цифр.
Вычислить сумму цифр золотого сечения
Найти сумму цифр золотого сечения.
Вычислить сумму пи цифр
Найти сумму пи цифр.
Генерировать цифры Чамперноуна
Генерировать цифры константы Чамперноуна.
Найти n-ю цифру Чамперноуна
Вычислить n-ю цифру константы Чамперноуна.
Выполни обратную операцию над последовательностью «посмотри и скажи».
Создание P-адических расширений
Вычисление p-адических расширений произвольных чисел.
Создать последовательность панцифровых чисел
Создать список панцифровых чисел.
Создать последовательность номеров Стэнли
Создать список номеров Стэнли.
Создать последовательность номеров звонков
Создать список номеров звонков.
Генерация последовательности чисел Кармайкла
Создание списка номеров Чармишеля.
Создать последовательность каталонских номеров
Создать список каталонских номеров.
Создать последовательность треугольных чисел
Создать список треугольных чисел.
Создать последовательность составных чисел
Создать список составных чисел.
Создать последовательность секущих чисел
Создать список секущих чисел.
Создать последовательность чисел Голомба
Создать список чисел Голомба-Сильвермана.
Создать последовательность чисел Эйлера Тотиент
Создать список фи-чисел Эйлера.
Создать последовательность номеров жонглеров
Создать список номеров жонглеров.
Создать последовательность счастливых номеров
Создать список счастливых номеров.
Создать последовательность номеров Моцкина
Создать список номеров Моцкина.
Создать последовательность номеров Padovan
Создать список номеров Padovan.
Создать последовательность псевдосовершенных чисел
Создать список полусовершенных чисел.
Создать последовательность номеров Ulam
Создать список номеров Ulam.
Создать последовательность странных чисел
Создать список странных чисел.
Создать последовательность суперсовершенных чисел
Создать список суперсовершенных чисел.
Продолжить числовую последовательность
Найти закономерность в числовой последовательности и расширить ее.
Раздел номер
Найти все разделы заданного целого числа.
Создать последовательность номеров разделов
Создать список номеров функций разделов.
Создание арифметической прогрессии
Создание арифметической последовательности чисел.
Создание геометрической прогрессии
Создание геометрической последовательности чисел.
Создание полиномиальной прогрессии
Создание полиномиальной последовательности чисел.
Создать последовательность натуральных чисел
Создать список натуральных чисел.
Создание степеней двойки
Создание списка чисел степеней двойки.
Создание степеней десяти
Создание списка чисел в степени десятка.
Создание плотной матрицы
Создание матрицы с очень небольшим количеством нулевых элементов.
Создать разреженную матрицу
Создать матрицу с очень небольшим количеством ненулевых элементов.
Умножение матрицы на скаляр
Умножение всех элементов матрицы на число.
Проверить, является ли матрица единственной.
Определить, является ли матрица вырожденной.
Найти матрицу кофакторов
Для заданной матрицы найти ее матрицу кофакторов.
Найдите вспомогательную матрицу
По заданной матрице найдите ее дополнение.
LU Factor a Matrix
Разложить матрицу на LU-факторы.
Найти собственные значения матрицы.
Украсьте матрицу
Украсьте матрицу, аккуратно выровняв все ее столбцы.
Переформатировать матрицу
Преобразовать матрицу из одного формата в другой формат.
Рисование архимедовой спирали
Создание архимедовой спирали.
Рисование спирали Эйлера
Создание кривой спирали Корню (полиномиальной спирали).
Рисование спирали Фибоначчи
Создание кривой спирали Фибоначчи.
Рисование спирали Теодора
Создание спирали квадратного корня.
Нарисуйте спираль Ферма
Создайте кривую в виде параболической спирали.
Рисование прямоугольников Фибоначчи
Создание рисунка прямоугольников Фибоначчи.
Нарисуйте головку семени Фибоначчи
Создайте головку цветка Фибоначчи.
Нарисовать фрактал Падована
Создать фрактал равнобуквенных треугольников Падована.
Нарисуйте аполлонову прокладку
Создайте фрактал аполлоновой прокладки.
Нарисовать фрактал Мандельброта
Создать фрактал Мандельброта.
Нарисовать фрактал Юлии
Создать фрактал Джулии.
Нарисовать фрактал Рози
Создать фрактал Рози.
Нарисовать кривую фрактала Бланманже
Создать фрактал Бланманже.
Рисование функции Вейерштрасса
Создание фрактала Вейерштрасса.
Нарисовать кривую Минковского в виде вопросительного знака
Создать фрактал Минковского в виде вопросительного знака.
Нарисуйте функцию Тома
Создайте функцию Тома (также известную как функция попкорна или капли дождя).
Нарисуйте функцию Дирихле
Создать функцию Дирихле.
Нарисуйте рог Гавриила
Нарисуйте геометрическую фигуру с бесконечной площадью поверхности и конечным объемом.
Преобразование слов в числа
Преобразование чисел из английского текста в реальные цифры.
Преобразование чисел в слова
Преобразование чисел в письменный текст на английском языке.
Преобразование десятичной записи в экспоненциальную запись
Преобразование чисел, записанных в десятичной форме, в экспоненциальную форму.
Преобразование научного представления в десятичное представление
Преобразование чисел, записанных в научной форме, в десятичную форму.
Округление чисел вверх
Применение операции ceil к числам.
Округление чисел в меньшую сторону
Применить операцию пола к числам.
Анализ чисел
Подсчитайте, сколько раз встречается каждое число.
Преобразование числа в виде суммы
Создайте сумму, которая в сумме равна заданному числу.
Создать таблицу умножения
Нарисовать таблицу умножения n×m.
Нарисовать круговую диаграмму
Нарисовать круговую диаграмму и показать относительные размеры данных.
Визуализация процентов
Нарисуйте диаграмму, показывающую проценты.
Подбрось монетку
Подбрось монетку и выпадет орел или решка.
Бросьте кубик
Бросьте кубик и получите число на его стороне.
Как изучать математику онлайн с помощью Matrix+
Мы знаем, что сейчас трудные и тревожные времена. Однако это не означает, что ваше изучение математики должно прекратиться! Matrix посвящен непрерывности обучения с нашими онлайн-курсами Matrix+. В этой статье мы объясним, как изучать математику онлайн с помощью Matrix+.
В этой статье мы обсудим:
- Что такое Matrix+?
- Изучение математики с помощью онлайн-метода обучения Matrix+
Что такое Matrix+?
Matrix+ — это наши обучающие онлайн-курсы, проверенные онлайн-ресурсы, которые помогут вам подготовиться к экзамену. Matrix+ поможет вам добиться успеха с помощью четких, структурированных онлайн-курсов, проводимых экспертами в предметной области, чтобы вы могли учиться у лучших, не выходя из дома.
Это та же Матрица, только онлайн!
Matrix+ — это структурированный онлайн-курс, который преподают эксперты в данной области и состоит из следующих компонентов:
- Книга по теории матриц и рабочая тетрадь
- Четкие, структурированные онлайн-видеоуроки по теории
- Онлайн-доска вопросов и ответов для индивидуальной помощи
- Онлайн-викторины и задания для оценки домашних заданий
- Тест по теме
Давайте посмотрим, что учащиеся системы Matrix+ получают в помощь своему обучению:
1.
Учебник и рабочая тетрадь по матричной математикеКниги по матричной теории — это тщательно разработанные ресурсы, написанные учеными и исследователями в области образования. Каждая книга по теории охватывает соответствующие аспекты новой учебной программы NSW по математике, поэтому вам не нужно беспокоиться об их качестве.
Каждому учащемуся Matrix+ Теоретическая тетрадь и Рабочая тетрадь высылаются непосредственно по почте.
На каждом уроке объясняется, какое отношение содержание имеет к учебной программе штата Новый Южный Уэльс по математике или математическому модулю NESA. Чтобы убедиться, что учащиеся понимают материал, на уроках есть регулярные основные вопросы и вопросы для размышления, чтобы учащиеся могли проверить свои знания теорий и концепций и определить свои сильные и слабые стороны.
Этот управляемый подход означает, что учащиеся имеют структурированную учебную среду для развития своих навыков письма и критического мышления, даже если они находятся за пределами класса.
2. Четкие, структурированные онлайн-видеоуроки по теории
Вам не нужно беспокоиться о плохо структурированных и подготовленных видеоуроках по теории и концепциям математики.
Вместо этого учитесь у экспертов в данной области.
Ведущие Matrix+ Mathematics преподносят содержание урока в ясной и понятной форме. Они обеспечивают пошаговое раскрытие всех концепций математических теорий и моделей, чтобы вы понимали теорию и способы решения задач.
Каждый урок построен на основе Теоретического учебника и Домашнего задания в Рабочем журнале, чтобы учащиеся ознакомились с математическими понятиями и не были предоставлены самим себе.
Учителя математики расскажут о возможных решениях и методах, чтобы учащиеся могли учиться на опытных примерах.
Временные метки, связанные с содержанием книги по теории, означают, что учащиеся могут легко перемещаться по уроку, чтобы максимально использовать его и находить решения, когда они им нужны.
Учащиеся системы Matrix+ могут учиться в своем собственном темпе благодаря понятным объяснениям основных понятий и пошаговым методам, которыми делятся учителя.
3. Онлайн-доска вопросов и ответов для индивидуальной помощи
Студенты чувствуют себя оторванными, когда учатся дома. Но ученикам не нужно учиться самостоятельно.
Онлайн-дискуссионные доски Matrix+ для каждого онлайн-класса по математике предоставляют учащимся возможность получить необходимую им помощь по сложным понятиям.
Предоставление учащимся онлайн-среды, в которой они могут обратиться за помощью, означает, что они всегда будут чувствовать поддержку и руководство. Учащиеся могут задавать вопросы своим учителям математики, работать со своими сверстниками над сложными понятиями и делиться своими мыслями.
Учителя и репетиторы Matrix Math наблюдают за досками и отвечают в течение 1 рабочего дня.
4. Еженедельные онлайн-викторины и домашние задания
Учащиеся Matrix+ Math еженедельно отправляют домашние задания и проходят онлайн-викторины. Еженедельная обратная связь и мгновенные результаты викторин означают, что учащиеся чувствуют поддержку благодаря практическим отзывам.
Теперь, когда школа в значительной степени перешла в онлайн, учащиеся говорят, что им сложнее, чем когда-либо, получить содержательную обратную связь. Но Matrix+ предназначен для того, чтобы направлять учащихся, поэтому мы заботимся о том, чтобы предоставить действенную обратную связь о ваших знаниях и навыках по математике.
Совершенствуйте свои методы и критическое мышление с проницательной обратной связью от вашего учителя для постоянного улучшения.
Матрица+ Математика Домашние задания назначаются для развития мастерства и уверенности в содержании уроков Теоретической книги.
Опытные преподаватели Matrix будут отмечать отправленные домашние задания по математике онлайн-пошаговыми решениями ваших ошибок, чтобы вы могли учиться на своих ошибках.
5. Тематический тест
Тематический тест в конце каждого курса Matrix+ позволяет вам оценить свои знания и навыки. Это означает, что вам не нужно задавать вопросы или гадать, где вы находитесь со своими знаниями и навыками решения проблем, когда вы учитесь дома.
Вы не уверены в том, улучшилось ли ваше применение методов или знание уравнений, или действительно ли вы понимаете концепции своего Модуля? В настоящее время многие студенты по всему миру чувствуют себя так.
Тематические тесты — это прекрасная возможность узнать, над какими слабыми сторонами вам нужно поработать, а какие сильные стороны вы можете укрепить перед экзаменами в школе.
Вам нужна помощь в изучении математики дома?
Учиться дома может быть сложно, а изучение математики даже в лучшие времена может сбивать с толку.
Не все понимают лучшие методы изучения онлайн-курса.
Помните, что онлайн-курсы по математике Matrix+ предоставляют вам необходимую структуру и мотивацию:
- Четкие, структурированные видеоролики с уроками по теории , которые помогут вам пройти уроки из книги по теории .
- Дискуссионные форумы , где вы можете задавать вопросы, чтобы вернуться на правильный путь и не сбиться с пути .
- Текущая оценка с помощью викторин, оценок домашних заданий и тематических тестов сообщит вам сроки выполнения задач, которые вам нужны , чтобы сохранять мотивацию .
Узнайте больше о Matrix+ здесь.
Как изучать математику онлайн с помощью Matrix+
У вас проблемы с изучением математики? Считаете ли вы, что теперь, когда обучение онлайн, вам все труднее разобраться в сложных концепциях? Не волнуйтесь, Matrix+ здесь, чтобы поддержать вас.
Программа Matrix+ была разработана в связи с учебным процессом, чтобы учащиеся максимально эффективно использовали свое время и получали необходимое обучение и поддержку в режиме онлайн.
Метод онлайн-обучения математике Matrix+ требует, чтобы учащиеся:
- Просматривали видео урока теории с учебником по теории
- Выполните домашнее задание с помощью Matrix Work Book и сверьтесь с решениями
- Задавайте вопросы на интерактивной доске вопросов и ответов, чтобы заполнить пробелы в знаниях
- Проверьте свои знания с помощью викторин и теста по теме в конце курса
Хотя этот процесс может показаться сложным, это не так. Это просто методично. Мы в Matrix знаем, что вы не сможете эффективно освоить математические навыки без четкого процесса.
Давайте посмотрим, как этот процесс сделает домашнее обучение эффективным и целенаправленным, а не бесцельным и разочаровывающим. Мы объясним, как работает этот процесс и почему он поможет вам в обучении.
Шаг 1. Просмотрите видео-урок по теории с учебником по теории
Почему?
Учащиеся часто обнаруживают, что другие образовательные онлайн-видео не содержат четкой информации. Они также не структурируют информацию для онлайн-урока математики в логической или доступной форме. Видеоуроки по матричной теории созданы на основе содержания уроков по теоретической книге.
Вам необходимо активно участвовать в онлайн-уроке теории, чтобы извлечь из него максимальную пользу.
Преимущества?
Книга Matrix Theory Book позволяет учащимся проводить структурированные уроки дома. Подробное академическое содержание знакомит учащихся с концепциями и позволяет им развивать свои знания с помощью фокусных вопросов и вопросов для размышления.
Процесс Matrix+:
Убедитесь, что у вас есть Теоретическая книга и маркер, ручки, калькулятор и другие инструменты.
Во время просмотра видеоурока по теории необходимо:
- Войти в LMS и перейти на вкладку ресурсов.
- Посмотрите видео-урок по теории, а также просмотрите или прочитайте любые соответствующие ресурсы.
- Следуйте содержанию своей книги по теории.
- Ответьте на вопросы из учебника по теории, когда вас подскажет учитель.
- Записывайте ключевые идеи и концепции (не все, что говорит ваш учитель!).
- Перечислите запутанные или трудные области и вещи, которые вы не понимаете.
- Делайте заметки и обобщайте содержание урока.
- Не забывайте записывать вопросы, чтобы попросить разъяснения у учителя! Запишите временную метку частей, с которыми вы боретесь.
Преимущество онлайн-видео в том, что вы можете приостанавливать и воспроизводить видео в любое время.
Пересмотрите области, которые сбивают с толку, или приостановите их, если вам нужно больше времени для написания ответов и заметок.
Учащиеся также могут воспроизводить видео с удвоенной скоростью, когда они сталкиваются со знакомыми понятиями или находят понятия для простых.
Советы по составлению заметок по математике
В конце каждого урока мы разработали сложные вопросы, чтобы расширить ваши возможности и выносливость. Большинство сложных вопросов требуют глубокого понимания основ — поэтому постарайтесь применить даже самую простую концепцию, чтобы адаптироваться к тому, что перед вами! Цель:
- Используйте эти сложные вопросы, чтобы уточнить, что вы знаете и чего не знаете
- Разработайте книгу ошибок и типичных проблем.
- Запишите проблемы, с которыми вы боролись, их правильные рабочие решения и места, где вы ошиблись.
Это гарантирует, что ваши заметки по математике станут бесценным инструментом во время оценки!
Очень важно, чтобы через пару месяцев вы смогли прочитать свои заметки и легко освежить в памяти то, что вы узнали.
Шаг 2. Выполните домашнее задание в рабочей тетради
Почему?
При обучении дома учащиеся часто чувствуют, что они могут самостоятельно улучшить свои математические навыки и знания.
Онлайн-обучение должно быть умнее этого.
Домашние задания Matrix+ предназначены для того, чтобы направлять и стимулировать учащихся в процессе обучения!
Ваши учителя математики обучены давать откровенные, но ободряющие отзывы, чтобы помочь вам развиваться и учиться.
Преимущества?
Рабочая тетрадь в стиле экзамена подготовит вас к экзаменам и оценкам, чтобы укрепить ваши знания математических понятий и формул. Мы понимаем, что вы можете работать заранее, поэтому решения для всех уроков доступны для справки с первого дня. Обязательно попробуйте сначала ответить на вопросы из рабочей тетради, прежде чем обращаться к готовым решениям.
Процесс Matrix+:
Чтобы максимально использовать возможности Matrix+, выполните следующие действия:
- Выполните домашние задания в рабочей тетради.
- Прежде чем обратиться к рабочему решению, обязательно попробуйте ответить на вопросы из рабочей тетради.
- Вы должны отметить ответы в рабочей тетради, используя решения в LMS
- Просмотрите отработанные решения.
- Для проблем, когда вы не можете понять работающее решение или увидеть, где вы ошиблись. Или для типов проблем, с которыми вы просто боретесь, делайте заметки, чтобы задать их на доске вопросов и ответов для урока.
Совет для профессионалов, как максимально эффективно выполнять домашнюю работу
Ошибки — это нормально!
Ничего страшного, если есть новая концепция, которую вы не понимаете или с которой боретесь.
Однако важно понимать, что вы пытаетесь изучить. Если вы обнаружите ошибки или пробелы в своих знаниях, обратите внимание. Затем обязательно поднимите эти вопросы на доске вопросов и ответов для урока!
Шаг 3. Задавайте вопросы на интерактивной доске вопросов и ответов
Почему?
Учащиеся, обучающиеся онлайн дома, часто чувствуют себя без поддержки и не могут задавать вопросы о частях математических теорий, которые они не понимают.
Кроме того, учащимся часто не хватает поддержки сверстников и коллегиальной среды, которую обеспечивают групповые обсуждения. Очень важна способность учащихся работать над сложными математическими понятиями вместе.
Преимущества?
Вы можете задать те неотложные задачи по математике, с которыми вы застряли, на интерактивной доске вопросов и ответов.
Среда форума позволяет вашим учителям быстро реагировать (в течение 1 рабочего дня), а ваши коллеги также могут давать идеи и советы.
То, что вы не в классе, не означает, что вы должны потерять поддержку своих сверстников.
Процесс Matrix+:
Проработав первые два шага, вы составите список вопросов, опасений и проблем, с которыми вам приходится сталкиваться. Сейчас самое время обратиться к своим учителям, турам и сверстникам. Помните, что ваши учителя Matrix находятся на расстоянии одного клика!
- Нажмите на обсуждения и выберите обсуждение, в котором вы хотите принять участие.
- Прочтите другие вопросы и ответы на форуме. Если кто-то задал один из ваших вопросов, прочитайте ответы на него и посмотрите, решит ли это вашу проблему.
- Определите вопросы из своих заметок и книги по теории, с которыми вам нужна помощь. Вы можете обратиться за разъяснениями, методами, советами по работе или советами по улучшению ваших навыков решения математических задач!
- Задавая вопросы, предоставьте как можно больше контекста (страница книги по теории, страница текста, временная метка видео, номер вопроса или проблемы)
- Если вы задаете несколько вопросов, убедитесь, что вы четко перечислили их и пронумеровали каждый. Это облегчит ответ вашему учителю и сверстникам.
- Пока вы ждете ответов, найдите время, чтобы прочитать другие вопросы и принять участие в обсуждениях!
Шаг 4. Проверьте свои знания с помощью викторин и в конце курса Тест по теме
Почему?
Учащиеся выполняют работу последовательно, но не видят прогресса.
Часто время школьной оценки слишком поздно, чтобы обнаружить, что в вашей игре по математике есть огромные дыры!
Преимущества?
Регулярные оценочные задания, выполняемые в условиях экзамена, дают учащимся возможность честно оценить, на каком уровне они находятся на самом деле.
Даже если отзыв критический и указывает на существенные недостатки, он положителен, потому что учащиеся учатся исправлять эти недостатки перед важными оценками или экзаменами!
Процесс Matrix+?
Чтобы использовать викторины и тест по теме для оценки и закрепления вашего обучения.
Выполните следующие действия для викторин:
- Войдите в LMS и перейдите на домашнюю страницу курса.
- На вкладке «Урок» вы найдете тест, который вам следует пройти. Мы рекомендуем учащимся пройти тест предыдущего урока, прежде чем переходить к следующему уроку.
Тесты будут только на младших курсах
- Установите 10-минутный таймер и сдайте викторину.
- Сверьте свои ответы с предложенными решениями.
- Запишите все допущенные вами ошибки и вопросы, с которыми вы столкнулись, и поднимите их на доске обсуждений для этого урока.
Выполните следующие действия для тематических тестов:
- При попытке завершить тематический тест курса вы найдете научный тематический тест в формате PDF, который вы можете открыть. Но пока не читайте вопросы!
- Когда будете готовы, запустите таймер чтения, а затем откройте тест по научной теме. Прочитайте вопросы.
- Пройди тест по теме и ответь на вопросы.
- После прохождения теста отметьте свои ответы рядом с решениями, опубликованными в LMS.
- Прочитайте сработанные решения и сравните свои ответы, чтобы увидеть, что вам нужно улучшить.
- Напишите список проблем и теоретических концепций, с которыми вы сталкиваетесь.
- Сосредоточьтесь на этих областях в своей ревизии!
Тематические тесты и викторины в условиях экзамена!
Вы хотите, чтобы тест по теме имитировал реальные условия экзамена.
Для этого:
- Установите место, где вас никто не побеспокоит в течение отведенного времени.
- Приготовьте ручки, карандаши, бумагу, линейку, калькулятор.
- Установите себе таймер на отведенное время – время чтения + время записи!
Важно, чтобы вы были честны сами с собой в отношении соблюдения установленного срока.
Самообман здесь лишает вас ценного опыта при сдаче экзаменов и тестов.
Это то, что вам нужно для сдачи полугодовых и выпускных экзаменов, а также для HSC!
Советы Oak’s Pro для тематических тестов
Академический координатор по математике Оак Укрит рекомендует учащимся сделать следующее, чтобы максимально использовать свои оценки в Matrix:
- Тематические тесты Matrix охватывают мельчайшие детали содержания. Прежде чем приступить к тесту по теме, обязательно внимательно изучите содержание своей теории.
- Я продолжаю повторяться снова и снова, но книга с выводами и ошибками действительно поможет вам ускорить процесс изучения математики.
