Матрица решение 3 на 3: Онлайн калькулятор. Определитель матрицы. Детерминант матрицы.

детерминант матрицы 3 на 3

Вы искали детерминант матрицы 3 на 3? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как в матрице найти определитель, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «детерминант матрицы 3 на 3».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как детерминант матрицы 3 на 3,как в матрице найти определитель,как вычислить определитель в матрице,как вычислить определитель матрицы 3 на 3,как вычислять матрицы,как искать определитель матрицы,как найти в матрице определитель,как найти детерминант матрицы 3 на 3,как находить определитель матрицы,как посчитать определитель матрицы 3 на 3,как решать матрицу 3 на 3,как решать матрицы 3х3,как решить матрицу 3 на 3,как считать определитель матрицы 3 на 3,матрица 3 на 3 пример,матрицы 3 на 3,матрицы определитель формула,нахождение определителя матрицы формула,определители,определитель в матрице как найти,определитель как решать,определитель матрицы 2х2,определитель матрицы как вычислить,определитель матрицы как найти,определитель матрицы примеры,правило треугольника матрица,формула нахождение определителя матрицы,формула определитель матрицы,формула определителя матрицы. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и детерминант матрицы 3 на 3. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как вычислить определитель в матрице).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же детерминант матрицы 3 на 3 Онлайн?

Решить задачу детерминант матрицы 3 на 3 вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Matrices & Linear Algebra | Mathematica & Wolfram Language for Math Students—Fast Intro

В Языке Wolfram матрицы представляются как списки списков:

 {{1, 2}, {3, 4}}

Их можно вводить в табличном виде, используя CTRL+ ENTER для добавления строк и CTRL+ , для добавления столбцов:

{
 {a, b},
 {c, d}
}

Функция MatrixForm позволяет отобразить матрицу в классическом виде:

MatrixForm[{{a, b}, {c, d}}]

Матрицы можно создавать с помощью итерационных функций:

Table[x + y, {x, 1, 3}, {y, 0, 2}]

Или импортировать данные, которые представляют собой матрицу:

Import["data.csv"]

IdentityMatrix, DiagonalMatrix и другие встроенные функции используются для создания матриц специального вида.

Стандартные матричные операции работают поэлементно:

{1, 2, 3} {a, b, c}

Вычисление произведения двух матриц:

{{1, 2}, {3, 4}}.{{a, b}, {c, d}}

Вычисление детерминанта:

Det[{{a, b}, {c, d}}]

Поиск обратной матрицы:

Inverse[{{1, 1}, {0, 1}}]

Функция LinearSolve используется для решения систем линейных уравнений:

LinearSolve[{{1, 1}, {0, 1}}, {x, y}]

Реализованы также функции для минимизации и декомпозиции матриц.

Справочная информация: Матрицы и линейная алгебра »

Hands–on Start to
Wolfram Mathematica »

Полная документация »

Demonstrations Project »

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$

— квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число

$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}.2+5x+4=0:$

$D=25-16=9$

$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4;\qquad x_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$

Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$

 {jumi[*4]}

3.13. $\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}.$

Решение.

$\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}=3\cdot 7\cdot8+(-5)\cdot 8\cdot(-1)+4\cdot(-2)\cdot2-(-5)\cdot7\cdot2-$

$-4\cdot8\cdot8-3\cdot(-2)\cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$

Ответ: $0.$

3.16. $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}.$

 Решение.

 $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma-$

$-\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta=$

$=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).T=\det A.$

2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.

4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.

5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.

6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).

Примеры:

3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.$

Доказательство.

$\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$

 $\begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\\a_2&a_2-b_2x&c_2\\a_3&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\\b_2x&a_2-b_2x&c_2\\b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$=\begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ 

$-2\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.{3+4}\begin{vmatrix}2&-3&4\\4&-2&3\\3&-1&4\end{vmatrix}=$

$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$

$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$

$=8a+15b+12c-19d.$

Ответ: $8a+15b+12c-19d.$

   {jumi[*4]}

3.61. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$

Решение.

 Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:

$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два 

$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394.2.$

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

3.51. $\begin{vmatrix}-1&5&2\\0&7&0\\1&2&0\end{vmatrix}.$

Ответ: $-14.$

3.52. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}.$

Ответ: $4.$

3.54. (б) $\begin{vmatrix}5&a&2&-1\\4&b&4&-3\\2&c&3&-2\\4&d&5&-4\end{vmatrix}.$

Ответ: $2a-8b+c+5d.$

3.62. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{vmatrix}.$

Ответ: $665.$

  {jumi[*4]}

1.3.4. Примеры решения задач по теме «Обратная матрица»

Задача 1.

Найти обратную матрицу для матрицы

И проверить выполнение условий ­А А-1 = А-1А = Е.

Указание

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Решение

Убедимся, что матрица А – невырожденная. ΔА = 1·4 — 2·(-1) ≠ 0, следовательно, А-1 существует.

Вычислим алгебраические дополнения к элементам А:

Применим способ вычисления обратной матрицы:

.

Найдем произведения ­А А-1 и А-1А:

Таким образом, найденная матрица А-1 отвечает определению обратной матрицы.

Ответ: .

Задача 2.

Найти обратную матрицу для матрицы

.

Указание

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Решение

Следовательно, матрица А невырожденная, и обратная матрица существует.

Вычислим алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

Обратная матрица имеет вид:

Ответ: .

Задача 3.

Найти обратную матрицу для матрицы

.

Указание

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Решение

Вычислим определитель матрицы А разложением по первому столбцу:

.

Следовательно, обратная матрица для матрицы А существует.

Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы А:

Значит,

.

Ответ: .

Задача 4.

Найти обратную матрицу для матрицы

.

Указание

Убедитесь, что матрица А – невырожденная, и примените способ вычисления обратной матрицы.

Решение

.

Ответ:

Задача 5.

При каких X, Y, Z матрица

Является обратной к матрице

Указание

Необходимым условием того, что В = А-1, является требование АВ = Е.

Решение

Проверим невырожденность матрицы А:

Необходимым условием того, что В = А-1, является требование АВ = Е.

Найдем АВ:

Для того, чтобы выполнялось условие АВ = Е, X, Y, Z должны быть решением системы уравнений

Проверим, будет ли равно единичной матрице произведение ВА:

Значит, при найденных значениях X, Y, Z В = А-1.

Ответ: X = -3, Y = -3, Z = 4.

Определитель матрицы: алгоритм, примеры вычисления, правила

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А=(aij)n×n. 

|А|, ∆, det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

А=1-231.

Решение:

det A=1-231=1×1-3×(-2)=1+6=7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника 

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

• правило треугольника;
• правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

А=13402115-1

Решение:

det A=13402115-1=1×2×(-2)+1×3×1+4×0×5-1×2×4-0×3×(-1)-5×1×1=(-2)+3+0-8-0-5=-12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

• дописать слева от определителя два первых столбца;
• перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
• перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

А=134021-25-11302-25=1×2×(-1)+3×1×(-2)+4×0×5-4×2×(-2)-1×1×5-3×0×(-1)=-2-6+0+16-5-0=3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

• разложением по элементам строки;
• разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Разложение матрицы по элементам строки:

det A=ai1×Ai1+ai2×Ai2+…+аin×Аin

Разложение матрицы по элементам столбца:

det A=а1i×А1i+а2i×А2i+…+аni×Аni

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

А=01-132100-24513210

Решение:

• раскладываем по 2-ой строке:

А=01-132100-24513210=2×(-1)3×1-13-251310=-2×1-13451210+1×0-13-251310

• раскладываем по 4-му столбцу:

А=01-132100-24513210=3×(-1)5×210-245321+1×(-1)7×01-1210321=-3×210-245321-1×01-1210321

Свойства определителя

Свойства определителя:

• если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
• если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
• определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

А=134021005

Решение:

det А=134021005=1×5×2=10

Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Линейная алгебра на Python. [Урок 4]. Определитель матрицы

Четвертый урок из цикла “Линейная алгебра на Python“, посвящен понятию определителя матрицы и его свойствам.

Определитель матрицы размера (n-го порядка) является одной из ее численных характеристик. Определитель матрицы A обозначается как |A| или det(A), его также называют детерминантом. Рассмотрим квадратную матрицу 2×2 в общем виде:

Определитель такой матрицы вычисляется следующим образом:

➣ Численный пример

Перед тем, как привести методику расчета определителя в общем виде, введем понятие минора элемента определителя. Минор элемента определителя – это определитель, полученный из данного, путем вычеркивания всех элементов строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент. Для матрицы 3×3 следующего вида:

Минор M₂₃ будет выглядеть так:

Введем еще одно понятие – алгебраическое дополнение элемента определителя – это минор этого элемента, взятый со знаком плюс или минус:

В общем виде вычислить определитель матрицы можно через разложение определителя по элементам строки или столбца. Суть в том, что определитель равен сумме произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Для матрицы 3×3 это правило будет выполняться следующим образом:

Это правило распространяется на матрицы любой размерности.

➣ Численный пример

➤ Пример на Python

На Python определитель посчитать очень просто. Создадим матрицу A размера 3×3 из приведенного выше численного примера:

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]

Для вычисления определителя этой матрицы воспользуемся функцией det() из пакета linalg.

>>> np.linalg.det(A)
-14.000000000000009

Мы уже говорили про особенность работы Python с числами с плавающей точкой, поэтому можете полученное значение округлить до -14.

Свойства определителя матрицы.

Свойство 1. Определитель матрицы остается неизменным при ее транспонировании:

➤Пример на Python

Для округления чисел будем использовать функцию round().

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]
>>> print(A.T)
[[-4 10 8]
[-1 4 3]
[ 2 -1 1]]

>>> det_A = round(np.linalg.det(A), 3)
>>> det_A_t = round(np.linalg.det(A.T), 3)
>>> print(det_A)
-14.0
>>> print(det_A_t)
-14.0

Свойство 2. Если у матрицы есть строка или столбец, состоящие из нулей, то определитель такой матрицы равен нулю:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 0 0 0; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[ 0 0 0]
[ 8 3 1]]
>>> np.linalg.det(A)
0.0

Свойство 3. При перестановке строк матрицы знак ее определителя меняется на противоположный:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]

>>> B = np.matrix('10 4 -1; -4 -1 2; 8 3 1')
>>> print(B)
[[10 4 -1]
[-4 -1 2]
[ 8 3 1]]

>>> round(np.linalg.det(A), 3)
-14.0
>>> round(np.linalg.det(B), 3)
14.0

Свойство 4. Если у матрицы есть две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; -4 -1 2; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[-4 -1 2]
[ 8 3 1]]
>>> np.linalg.det(A)
0.0

Свойство 5. Если все элементы строки или столбца матрицы умножить на какое-то число, то и определитель будет умножен на это число:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]

>>> k = 2
>>> B = A.copy()
>>> B[2, :] = k * B[2, :]
>>> print(B)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[16 6 2]]

>>> det_A = round(np.linalg.det(A), 3)
>>> det_B = round(np.linalg.det(B), 3)

>>> det_A * k
-28.0
>>> det_B
-28.0

Свойство 6. Если все элементы строки или столбца можно представить как сумму двух слагаемых, то определитель такой матрицы равен сумме определителей двух соответствующих матриц:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; -4 -1 2; 8 3 1')
>>> B = np.matrix('-4 -1 2; 8 3 2; 8 3 1')
>>> C = A.copy()
>>> C[1, :] += B[1, :]
>>> print(C)
[[-4 -1 2]
[ 4 2 4]
[ 8 3 1]]
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[-4 -1 2]
[ 8 3 1]]
>>> print(B)
[[-4 -1 2]
[ 8 3 2]
[ 8 3 1]]
>>> round(np.linalg.det(C), 3)
4.0
>>> round(np.linalg.det(A), 3) + round(np.linalg.det(B), 3)
4.0

Свойство 7. Если к элементам одной строки прибавить элементы другой строки, умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменится:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> k = 2
>>> B = A.copy()
>>> B[1, :] = B[1, :] + k * B[0, :]
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]
>>> print(B)
[[-4 -1 2]
[ 2 2 3]
[ 8 3 1]]
>>> round(np.linalg.det(A), 3)
-14.0
>>> round(np.linalg.det(B), 3)
-14.0

Свойство 8. Если строка или столбец матрицы является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель такой матрицы равен нулю:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]

>>> k = 2
>>> A[1, :] = A[0, :] + k * A[2, :]
>>> round(np.linalg.det(A), 3)
0.0

Свойство 9. Если матрица содержит пропорциональные строки, то ее определитель равен нулю:

➤ Пример на Python

>>> A = np.matrix('-4 -1 2; 10 4 -1; 8 3 1')
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[10 4 -1]
[ 8 3 1]]
>>> k = 2
>>> A[1, :] = k * A[0, :]
>>> print(A)
[[-4 -1 2]
[-8 -2 4]
[ 8 3 1]]
>>> round(np.linalg.det(A), 3)
0.0

Вводные уроки по “Линейной алгебре на Python” вы можете найти соответствующей странице нашего сайта. Все уроки по этой теме собраны в книге “Линейная алгебра на Python”.

Если вам интересна тема анализа данных, то мы рекомендуем ознакомиться с библиотекой Pandas.  Для начала вы можете познакомиться с вводными уроками. Все уроки по библиотеке Pandas собраны в книге “Pandas. Работа с данными”.

Действия с матрицами

Сложение матриц

Сложение определено для матриц одного типа, т.е. для матриц, у которых число строк и столбцов совпадает. Сумма матриц \(A=\{A_{ik}\}\) и \(B=\{B_{ik}\}\), матрица \(A+B\), определяется следующим образом: \((A+B)_{ik}=A_{ik}+B_{ik}\), \(1 \leq i \leq m, 1 \leq k \leq n\). Иными словами: складываются элементы матриц \(A\) и \(B\), стоящие на одинаковом месте (т.е. на пересечении одинаковых строк и столбцов) и записываются в то же место.

Пример. Пусть \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \end{array} \right) , \] \[ B=\left( \begin{array}{ccc} 2 &1 & 0 \\ 1 & 3 & 4 \end{array} \right) , \] тогда \[ A+B=\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -1 \\ 4 & -3 & 11 \end{array} \right) . \]

Умножение матрицы на число

Пусть \(A=\{a_{ik}\}\) — матрица типа \((m,n)\), \(\lambda\) — произвольное число. Тогда матрица \(\{\lambda a_{ik}\}\) называется произведением числа \(\lambda \) на матрицу \(A\) и обозначается \(\lambda \cdot A\).

Пример. Пусть \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &4 & -1 \\ 7 & 5 & 2 \\ 3 & -6 & 7 \end{array} \right) , \] тогда \[ 5A=\left( \begin{array}{ccc} 5 &20 & -5 \\ 35 & 25 & 10 \\ 15 & -30 & 35 \end{array} \right) .T\) (это выражение занимает меньше места).

Элементарные свойства операций с матрицами

Введенные операции обладают многими естественными арифметическими свойствами. Перечислим ряд из них.

1. Для любых матриц \(A,B,C\) одного типа \((A+B)+C=A+(B+C)\)(ассоциативность сложения).

2. Для любых матриц \(A,B\) одного типа \(A+B=B+A\) (коммутативность сложения).

3. Пусть \((m,n)\)-матрица \(O\) состоит из нулей. Такая матрица играет роль нуля при сложении матриц типа \((m,n)\), \(A+O=A\), \(0\cdot A=O\) для любой матрицы \(A\) того же типа.

4. Для любых чисел \(c_1,c_2\) и любой матрицы \(A\) верно \((c_1+c_2)A=c_1A+c_2A\).

5. Для любых матриц \(A,B\) одного типа и любого числа \(c\) верно \(c(A+B)=cA+cB\).

6. Для любых чисел \(c_1,c_2\) и любой матрицы \(A\) верно \((c_1c_2)A=c_1(c_2A)\).

7. Для любой матрицы \(A\) верно \(1\cdot A=A\).

8. Для любых матриц \(A,B\) одного типа \((A+B)^T=A^T+B^T\).na_{im}b_{mk}. \] Таким образом следует вычислить все \(mp\) элементов матрицы \(C\). Еще раз подчеркнем, что для того, чтобы можно было перемножать матрицы \(A\) и \(B\), их типы должны быть согласованы!

Пример. Пусть \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &4 & -1 \\ 3 & -6 & 7 \end{array} \right) , B=\left( \begin{array}{cc} 2 &1 \\ 1 & 3 \\ -3 &5 \end{array} \right) . \]

В данном случае матрица \(A\) имеет тип (2,3), матрица \(B\) имеет тип (3,2), так что типы матриц согласнованы и в результате умножения \(A\) на \(B\) получим матрицу типа \((2,2)\). Получаем: \[ AB=\left ( \begin{array}{cc} 1\cdot 2 +4 \cdot 1+(-1)\cdot (-3) & 1\cdot 1 +4 \cdot 3+(-1)\cdot 5\\ 3\cdot 2 +(-6) \cdot 1+7\cdot (-3) &3\cdot 1 +(-6) \cdot 3+7\cdot 5 \end{array} \right )= \left( \begin{array}{cc} 9 & 8\\ -21 & 20 \end{array} \right).T\).

6. Для квадратных матриц \(A,B\) одного типа \(det(AB)=detA \cdot detB\).

7. Рассмотрим квадратную матрицу порядка \(n\), \(E=diag\{1,1,1,…,1\}\). Такая матрица играет выделенную роль в умножении матриц: для любых матриц \(A,B\) имеем \(EA=A\), \(BE=B\). Матрица \(E\) называется единичной матрицей порядка \(n\). Согласно описанным выше результатам, \(detE=1\).

1. Умножить матрицы:

а) \[ \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{array} \right). \]

б) \[ \left( \begin{array}{ccc} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{array} \right)\cdot \left( \begin{array}{ccc} 1 &1 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right). \]

2. Вычислить \[ \left( \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ -4 & -2 \end{array} \right)^5.{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left( \begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array} \right). \]

Таким образом, для матрицы порядка 2 формулы для обратной матрицы достаточно простые. Для больших порядков формулы становятся существенно более громоздкими.

Найти обратную матрицу для матрицы

1. \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 2 &2 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 1 \end{array} \right). \]

2. \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 2 &-1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{array} \right). \]

3. \[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 &1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 4 \end{array} \right). \]

Матричные уравнения

Матричными уравнениями называются уравнения вида \[ AX=G, \quad \quad(12)\] \[ XB=G, \quad \quad(13)\] \[ AXB=G, \quad \quad(14)\] где матрицы \(A,B,G\) заданы и требуется построить матрицу \(X\).{-1}. \]

1. Найти решение матричного уравнения (12), если \[ A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 6 \\ -9 & 3 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} -26 & -50 \\ 27 & -15 \end{array} \right) . \]

2. Найти решение матричного уравнения (12), если \[ A=\left( \begin{array}{cc} 8 & -7 \\ -5 & 4 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} 25 & -34 \\ -16 & 22 \end{array} \right) . \]

3. Найти решение матричного уравнения (13), если \[ B=\left( \begin{array}{cc} -8 & -5 \\ -9 & 5 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} -20 & 30 \\ -19 & 20 \end{array} \right) . \]

4. Найти решение матричного уравнения (13), если \[ B=\left( \begin{array}{cc} 9 & 8 \\ -3 & 7 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} -72 & 23 \\ 0 & 58 \end{array} \right) . \]

5. Найти решение матричного уравнения (14), если \[ A=\left( \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 3 & -4 \end{array} \right) , B=\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ -2 & -1 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} 20 & -50 \\ 26 & 23 \end{array} \right) . \]

6. Найти решение матричного уравнения (14), если \[ A=\left( \begin{array}{cc} -4 & -2 \\ -3 & 3 \end{array} \right) , B=\left( \begin{array}{cc} 3 & 4 \\ 4 & 3 \end{array} \right) , G=\left( \begin{array}{cc} 132 & 134 \\ 18 & 24 \end{array} \right) . \]

Определитель матрицы 3×3 — ChiliMath

Стандартная формула для определения определителя матрицы 3 × 3 представляет собой разбиение меньших задач определителя 2 × 2 , с которыми очень легко справиться. Если вам нужно напомнить что-то новое, посмотрите мой другой урок о том, как найти определитель 2 × 2. Предположим, нам дана квадратная матрица A, где,

Определитель матрицы A вычисляется как

Вот ключевые моменты:

• Обратите внимание, что элементы верхней строки, а именно a, b и c, служат скалярными умножителями для соответствующей матрицы 2 на 2.

• Скаляр a умножается на матрицу 2 × 2 оставшихся элементов, созданную, когда сегменты вертикальной и горизонтальной линии проходят через a.

• Тот же процесс применяется для построения матриц 2 × 2 для скалярных множителей b и c.

Определитель матрицы 3 x 3 (анимированный)

Примеры определения определителя матрицы 3 × 3

Пример 1: Найдите определитель матрицы 3 × 3 ниже.

Приведенная ниже настройка поможет вам найти соответствие между общими элементами формулы и элементами реальной проблемы.

Применяя формулу,

Пример 2: Вычислите определитель матрицы 3 × 3 ниже.

Будьте очень осторожны при замене значений в правильные места в формуле. Распространенные ошибки возникают, когда ученики становятся небрежными на начальном этапе подстановки значений.

Вдобавок убедитесь, что ваша арифметика верна.В противном случае одна ошибка в вычислении приведет к неверному ответу.

С,

наше вычисление определителя становится…

Пример 3: Найдите определитель матрицы 3 × 3 ниже.

Наличие нуля (0) в первой строке должно значительно упростить наши вычисления. Помните, что эти элементы в первой строке действуют как скалярные множители. Следовательно, умножение нуля на что-либо приведет к исчезновению всего выражения.

Вот снова настройка, показывающая соответствующее числовое значение каждой переменной в формуле.

По формуле имеем…

Вас также может заинтересовать:

Детерминанты матрицы 2 × 2

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Вычисление определителя матрицы 3 × 3

Найти определитель матрицы 2 × 2 несложно, но найти определитель матрицы 3 × 3 сложнее.Один из способов — увеличить матрицу 3 × 3 повторением первых двух столбцов, получив матрицу 3 × 5. Затем мы вычисляем сумму произведений записей на по каждой из трех диагоналей (от верхнего левого угла к нижнему правому) и вычитаем произведения записей на по каждой из трех диагоналей (от нижнего левого угла к верхнему правому). Это легче понять с помощью наглядного пособия и примера.

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {ccc} {a} _ {1} & {b} _ {1} & {c} _ {1} \\ {a} _ {2} & {b} _ {2} & {c} _ {2} \\ {a} _ {3} & {b} _ {3} & {c} _ {3} \ end {array} \ right] [/ латекс]

1. Дополните [латекс] A [/ латекс] первыми двумя столбцами.

   [латекс] \ mathrm {det} \ left (A \ right) = | \ begin {array} {ccc} {a} _ {1} & {b} _ {1} & {c} _ {1} \ \ {a} _ {2} & {b} _ {2} & {c} _ {2} \\ {a} _ {3} & {b} _ {3} & {c} _ {3} \ end {array} | \ begin {array} {c} {a} _ {1} \\ {a} _ {2} \\ {a} _ {3} \ end {array} \ begin {array} {c } {b} _ {1} \\ {b} _ {2} \\ {b} _ {3} \ end {array} | [/ latex]

2. С верхнего левого угла в нижний правый: умножение значений по первой диагонали. Добавьте результат к произведению записей по второй диагонали. Добавьте этот результат к произведению записей по третьей диагонали.
3. От левого нижнего угла до правого верхнего: вычтите произведение входов вверх по первой диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов вверх по второй диагонали. Из этого результата вычтите произведение входов до третьей диагонали.

Рисунок 2

Алгебра выглядит следующим образом:

[латекс] | A | = {a} _ {1} {b} _ {2} {c} _ {3} + {b} _ {1} {c} _ {2} {a} _ {3 } + {c} _ {1} {a} _ {2} {b} _ {3} — {a} _ {3} {b} _ {2} {c} _ {1} — {b} _ {3} {c} _ {2} {a} _ {1} — {c} _ {3} {a} _ {2} {b} _ {1} [/ latex]

Пример 3: Нахождение определителя матрицы 3 × 3

Найдите определитель матрицы 3 × 3 для данного

[латекс] A = \ left [\ begin {array} {ccc} 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \ end {array} \ right] [/ latex]

Решение

Дополните матрицу первыми двумя столбцами, а затем следуйте формуле.Таким образом,

[латекс] \ begin {array} {l} | A | = | \ begin {array} {ccc} 0 & 2 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \ end {array} | \ begin {array} {c} 0 \\ 3 \\ 4 \ end {array} \ begin {array} {c} 2 \\ -1 \\ 0 \ end {array} | \ hfill \\ = 0 \ left (-1 \ right ) \ влево (1 \ вправо) +2 \ влево (1 \ вправо) \ влево (4 \ вправо) +1 \ влево (3 \ вправо) \ влево (0 \ вправо) -4 \ влево (-1 \ вправо) \ left (1 \ right) -0 \ left (1 \ right) \ left (0 \ right) -1 \ left (3 \ right) \ left (2 \ right) \ hfill \\ = 0 + 8 + 0 + 4 — 0-6 \ hfill \\ = 6 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Попробуй 2

Найдите определитель матрицы 3 × 3.

[латекс] \ mathrm {det} \ left (A \ right) = | \ begin {array} {ccc} 1 & -3 & 7 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \ end {array} | [/ latex ]

Вопросы и ответы

Можем ли мы использовать тот же метод, чтобы найти определитель большей матрицы?

Нет, этот метод работает только для [latex] 2 \ text {} \ times \ text {} 2 [/ latex] и [latex] \ text {3} \ text {} \ times \ text {} 3 [/ латексные] матрицы. Для больших матриц лучше всего использовать графическую утилиту или компьютерное программное обеспечение.

Использование правила Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными

Теперь, когда мы можем найти определитель матрицы 3 × 3, мы можем применить Правило Крамера для решения системы трех уравнений с тремя переменными .Правило Крамера простое и следует шаблону, соответствующему правилу Крамера для матриц 2 × 2. Однако по мере увеличения порядка матрицы до 3 × 3 требуется гораздо больше вычислений.

Когда мы вычисляем, что определитель равен нулю, правило Крамера не дает никаких указаний на то, что у системы нет решения или есть бесконечное количество решений. Чтобы выяснить это, мы должны выполнить устранение в системе.

Рассмотрим систему уравнений 3 × 3.

Рисунок 3

[латекс] x = \ frac {{D} _ {x}} {D}, y = \ frac {{D} _ {y}} {D}, z = \ frac {{D} _ {z} } {D}, D \ ne 0 [/ латекс]

где

Рисунок 4

Если мы записываем определитель [latex] {D} _ {x} [/ latex], мы заменяем столбец [latex] x [/ latex] на столбец констант.Если мы пишем определитель [latex] {D} _ {y} [/ latex], мы заменяем столбец [latex] y [/ latex] постоянным столбцом. Если мы пишем определитель [latex] {D} _ {z} [/ latex], мы заменяем столбец [latex] z [/ latex] постоянным столбцом. Всегда проверяйте ответ.

Пример 4: Решение системы 3 × 3 с использованием правила Крамера

Найдите решение данной системы 3 × 3, используя правило Крамера.

[латекс] \ begin {array} {c} x + y-z = 6 \\ 3x — 2y + z = -5 \\ x + 3y — 2z = 14 \ end {array} [/ latex]

Решение

Используйте правило Крамера.

[латекс] D = | \ begin {array} {ccc} 1 & 1 & -1 \\ 3 & -2 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \ end {array} |, {D} _ {x} = | \ begin { array} {ccc} 6 & 1 & -1 \\ -5 & -2 & 1 \\ 14 & 3 & -2 \ end {array} |, {D} _ {y} = | \ begin {array} {ccc} 1 & 6 & -1 \\ 3 & -5 & 1 \\ 1 & 14 & -2 \ end {array} |, {D} _ {z} = | \ begin {array} {ccc} 1 & 1 & 6 \\ 3 & -2 & -5 \\ 1 & 3 & 14 \ end {array} | [/ latex]

Затем,

[латекс] \ begin {array} {l} x = \ frac {{D} _ {x}} {D} = \ frac {-3} {- 3} = 1 \ hfill \\ y = \ frac { {D} _ {y}} {D} = \ frac {-9} {- 3} = 3 \ hfill \\ z = \ frac {{D} _ {z}} {D} = \ frac {6} {-3} = — 2 \ hfill \ end {array} [/ latex]

Решение [латекс] \ left (1,3, -2 \ right) [/ latex].

Попробовать 3

Используйте правило Крамера, чтобы решить матрицу 3 × 3.

[латекс] \ begin {array} {r} \ hfill x — 3y + 7z = 13 \\ \ hfill x + y + z = 1 \\ \ hfill x — 2y + 3z = 4 \ end {array} [/ латекс]

Пример 5: Использование правила Крамера для решения несовместимой системы

Решите систему уравнений, используя правило Крамера.

[латекс] \ begin {array} {l} 3x — 2y = 4 \ text {} \ left (1 \ right) \\ 6x — 4y = 0 \ text {} \ left (2 \ right) \ end {массив } [/ latex]

Решение

Начнем с нахождения определителей [латекс] D, {D} _ {x}, \ text {и} {D} _ {y} [/ latex].

[латекс] D = | \ begin {array} {cc} 3 & -2 \\ 6 & -4 \ end {array} | = 3 \ left (-4 \ right) -6 \ left (-2 \ right) = 0 [/ латекс]

Мы знаем, что нулевой определитель означает, что либо система не имеет решения, либо имеет бесконечное количество решений. Чтобы узнать, какой из них, мы используем процесс исключения. Наша цель — исключить одну из переменных.

1. Умножьте уравнение (1) на [латекс] -2 [/ латекс].
2. Добавьте результат в уравнение [латекс] \ left (2 \ right) [/ latex].

[латекс] \ begin {array} \ text {} \ hfill − 6x + 4y = −8 \\ \ hfill6x − 4y = 0 \\ \ hfill \ text {_____________} \\ \ hfill 0 = 8 \ end { array} [/ latex]

Получаем уравнение [латекс] 0 = -8 [/ латекс], которое неверно.Следовательно, у системы нет решения. График системы показывает две параллельные линии.

Рисунок 5

Пример 6. Использование правила Крамера для решения зависимой системы

Решите систему с бесконечным количеством решений.

[латекс] \ begin {array} {rr} \ hfill x — 2y + 3z = 0 & \ hfill \ left (1 \ right) \\ \ hfill 3x + y — 2z = 0 & \ hfill \ left (2 \ right) \\ \ hfill 2x — 4y + 6z = 0 & \ hfill \ left (3 \ right) \ end {array} [/ latex]

Решение

Давайте сначала найдем определитель.Создайте матрицу, дополненную первыми двумя столбцами.

[латекс] | \ begin {array} {rrr} \ hfill 1 & \ hfill -2 & \ hfill 3 \\ \ hfill 3 & \ hfill 1 & \ hfill -2 \\ \ hfill 2 & \ hfill -4 & \ hfill 6 \ end { array} \ text {} | \ text {} \ begin {array} {rr} \ hfill 1 & \ hfill -2 \\ \ hfill 3 & \ hfill 1 \\ \ hfill 2 & \ hfill -4 \ end {array} | [ / латекс]

Затем,

[латекс] 1 \ влево (1 \ вправо) \ влево (6 \ вправо) + \ влево (-2 \ вправо) \ влево (-2 \ вправо) \ влево (2 \ вправо) +3 \ влево (3 \ вправо) \ влево (-4 \ вправо) -2 \ влево (1 \ вправо) \ влево (3 \ вправо) — \ влево (-4 \ вправо) \ влево (-2 \ вправо) \ влево (1 \ вправо) -6 \ влево (3 \ вправо) \ влево (-2 \ вправо) = 0 [/ латекс]

Поскольку определитель равен нулю, решения либо нет, либо существует бесконечное количество решений.Чтобы выяснить это, нам нужно провести отбор.

1. Умножьте уравнение (1) на [латекс] -2 [/ латекс] и добавьте результат к уравнению (3):

   [латекс] \ frac {\ begin {array} {r} \ hfill -2x + 4y — 6x = 0 \\ \ hfill 2x — 4y + 6z = 0 \ end {array}} {0 = 0} [/ latex ]

2. Получение ответа [latex] 0 = 0 [/ latex], утверждение, которое всегда верно, означает, что система имеет бесконечное количество решений. Изобразив систему, мы видим, что две плоскости одинаковы, и обе они пересекают третью плоскость по прямой.

Рисунок 6

Матрица, обратная 3 на 3 — решенные примеры

Найти обратную матрицу 3 на 3 онлайн

Обратная матрица 3 на 3 — немного сложная задача, но ее можно оценить, выполнив шаги, указанные ниже. Матрица 3 на 3 включает 3 строки и 3 столбца. Элементами матрицы являются числа, образующие матрицу. Единственная матрица — это матрица, определитель которой не эквивалентен нулю. Для каждой квадратной матрицы x x x существует обратная матрица.Матрица, обратная x * x, представлена ​​как X. Матрицу, обратную матрице, нелегко вычислить с помощью калькулятора и метода быстрого доступа.

XX-1 = X-1 X = I2

В приведенном выше свойстве I2 указывает матрицу x * x. Например, возьмем матрицу 2 * 2 как

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {bmatrix} \]

Любая квадратная матрица X x * x, которая всегда имеет нулевой определитель. включает инверсию X-1.

Это подходит почти для всех квадратных матриц и определяется как XX-1 = X-1 X = I2

Как найти обратную матрицу 3 на 3?

Здесь вы можете увидеть обратные шаги матрицы 3 на 3, чтобы найти в Интернете обратную матрицу 3 на 3

1. Оценить определитель данной матрицы

2. Найти транспонирование данной матрицы

3. Вычислить определитель матрицы 2 x 2.

4. Подготовьте матрицу сомножителей

5. Наконец, разделите каждый член сопряженной матрицы на определитель

Формула обратной матрицы

Первым шагом является вычисление определителя матрицы 3 * 3 и затем найдите его сомножители, миноры и присоединенный элемент, а затем включите результаты в формулу обратной матрицы, приведенную ниже.

A-1 = 1 / | A | Adj (A)

Пример, обратный матрице 3 X3

Давайте решим матрицу 3 X 3

\ [\ begin {bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \ end {bmatrix} \]

Изучите данную матрицу 3 X 3

A = \ [\ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \ end {bmatrix} \]

Давайте узнаем, как найти обратную матрицу 3 X 3 онлайн.

Проверим, является ли данная матрица обратимой.

Это можно доказать, если ее определитель не равен нулю.Если определитель данной матрицы равен нулю, то обратной данной матрице не будет.

det (A) = 1 (0-24) — 2 (0-20) + 3 (0-5)

det (A) = -24 + 40-15

det (A) = 1

Поскольку определитель значения равен 1, мы можем сказать, что данная матрица имеет обратную матрицу.

Нахождение транспонирования данной матрицы

Чтобы найти транспонирование заданной матрицы 3 X 3

Следовательно, A-1 = \ [\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 6 \ \ 3 & 4 & 0 \ end {bmatrix} \]

Определение определителей младших матриц 2 X 2.

Теперь мы определим определитель каждой без исключения второстепенных матриц 2 X 2.

Для элементов первой строки

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 6 \\ 4 & 0 \ end {bmatrix} \] = -24

\ [\ begin {bmatrix} 12 & 6 \\ 3 & 0 \ end {bmatrix} \] = -18

\ [\ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} \] = 5

Для элементов второй строки

\ [\ begin {bmatrix } 0 & 5 \\ 4 & 0 \ end {bmatrix} \] = -20

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 5 \\ 3 & 0 \ end {bmatrix} \] = -15

\ [ \ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} \] = 4

Для элемента третьей строки

\ [\ begin {bmatrix} 10 & 65 \\ 14 & 60 \ end {bmatrix} \] = -5

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 6 \ end {bmatrix} \] = -4

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \ end {bmatrix} \] = 1

Теперь новая матрица —

\ [\ begin {bmatrix} -24 & -18 & 5 \\ -20 & -15 & 4 \\ -5 & 14 & 1 \ end {bmatrix} \]

Создание матрицы сомножителей

Чтобы сформулировать сопряженную или сопряженную матрицу, поменяйте знак чередующихся членов, как показано ниже:

Мы получаем новую матрицу как

A = \ [\ begin {bmatrix} -24 & -18 & 5 \\ -20 & -15 & 4 \\ -5 & 14 & 1 \ end {bmatrix} \]

Adj (A) = новая матрица

A = \ [\ begin {bmatrix} -24 & -18 & 5 \\ -20 & -15 & 4 \\ -5 & 14 & 1 \ end {bmatrix} \] X \ [\ begin {bmatrix} + & — & + \\ — & + & + \\ + & — & + \ end {bmatrix} \]

Adj (A) = \ [\ begin {bmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \]

Нахождение обратной матрицы 3 x 3

Теперь, если мы заменим значение из det (A) и adj (A) в формуле:

A-1 = [1 / det (A)] Adj (A)

A-1 = (1/1) = \ [\ begin { bmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \]

Следовательно, обратная матрица для данной матрицы равна

A-1 = ( 1/1) = \ [\ begin {bmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \ end {bmatrix} \]

Решенные примеры

1.Найдите матрицу, обратную следующей

1 \ [\ begin {bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \ end {bmatrix} \]

Решение:

-2 \ [\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \ end {bmatrix} \] -1 \ [\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \ end {bmatrix} \] + 1 \ [\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix} \]

| A | = 2 [2 — (- 1)] -1 [2-1] +1 [-1-1]

= 2 [2 + 1] -1 [1] +1 [-2]

= 2 [ 3] -1-2

= 6 — 3

= 3

| A | = 3

As, A — невырожденная матрица.Существует -1

Младший и кофакторы строки 1

Младший из 2

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 2 \ end {bmatrix} \]

= [2 — (- 1)]

= [2 + 1]

= (3)

= 3

Кофактор 2 = + (3)

= 3

Младший из 1

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \ end {bmatrix} \]

= [2-1]

= (2)

= 2

Кофактор 1 = (-1)

= -1

Незначительный из 1

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix} \]

= [- 1-1]

= (-2)

= -2

Кофактор 1 = + (-2)

= -2

Минор и кофакторы строки 2

Минор 1

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \ end {bmatrix} \]

= [-2-1]

= -3

Кофактор 1 = — (-3)

= -3

Незначительное число 1

\ [\ begin {bmatrix} 2 & 1 \ \ 1 & 2 \ end {bmatrix} \]

= [4-1] 90 007

= (3)

= 3

Кофактор 1 = — (-3)

= -3

Незначительное число 1

\ [\ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix} \]

[-2-1]

= (-3)

= -3

Кофактор 1 = — (-3)

= 3

Второстепенные и сомножители строки 3

Незначительное число из 1

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \ end {bmatrix} \]

= [1-1]

= 0

Кофактор 1 = + (0)

= 0

Незначительное число -1

\ [\ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \ end {bmatrix} \]

= [2-1]

= 1

Кофактор -1 = — (1)

= -1

Младший из 2

\ [\ begin {bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \ end {bmatrix} \]

= [2-1]

= 1

Кофактор 2 = + (1)

= 1

Матрица кофакторов

\ [\ begin {bmatrix} 3 & -1 & -2 \\ -3 & 3 & 3 \\ 0 & — 1 & 1 \ end {bmatrix} \]

Сопряженная матрица 90 007

\ [\ begin {bmatrix} 3 & -3 & 0 \\ -1 & 3 & -1 \\ -2 & 3 & 1 \ end {bmatrix} \]

Следовательно, матрица, обратная данной матрице

A-1 = ⅓ \ [\ begin {bmatrix} -3 & 3 & 0 \\ 1 & -3 & 1 \\ 2 & -3 & -1 \ end {bmatrix} \]

1.Найдите матрицу, обратную следующей

\ [\ begin {bmatrix} 6 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \\ 10 & 3 & 4 \ end {bmatrix} \]

Решение:

-6 \ [\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} \] -2 \ [\ begin {bmatrix} 3 & 1 \\ 10 & 4 \ end {bmatrix} \] +3 \ [ \ begin {bmatrix} 13 & 1 \\ 10 & 3 \ end {bmatrix} \]

| A | = 2 [2 — (- 1)] -1 [2-1] +1 [-1-1]

= 2 [2 + 1] -1 [1] +1 [-2]

= 2 [ 3] -1-2

= 6 — 3

= 3

| A | = 3

As, A — невырожденная матрица.A -1 существует

| A | = 6 [4-3] — 2 [12-10] + 3 [9-10]

= 6 [1] — 2 [2] + 3 [-1]

= 6 — 4 — 3

= 6-7

= -1

| A | = -1 ≠ 0

Младший и сомножители строки 1

Младший из 6

\ [\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} \]

= [4-3]

= (1)

= 1

Кофактор 6 = + (1)

= 1

Незначительный из 2

\ [\ begin {bmatrix} 3 & 1 \\ 10 & 4 \ end {bmatrix } \]

= [12-10]

= (2)

= 2

Кофактор 2 = (-2)

= -2

Младший из 3

\ [\ begin {bmatrix} 3 & 1 \\ 10 & 3 \ end {bmatrix} \]

[9-10]

= (-1)

= -1

Кофактор 3 = + (-1)

= -1

Младший и сомножители строки 2

Младший из 3

\ [\ begin {bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix} \]

= [8-9]

= (- 1)

= -1

Кофактор 3 = — (-1)

= 1

Младший из 1

\ [\ begin {bmatrix} 6 & 3 \\ 10 & 4 \ end {bmatrix} \ ]

= [24-30]

= -6

Кофактор 1 = + (-6)

= -6

Незначительное число 1

\ [\ begin {bmatrix} 6 & 2 \\ 10 & 3 \ end {bmatrix} \]

[18-20]

= (-2)

-2

Кофактор 1 = — (-2)

= 2

Минор и кофакторы строки 3

Второстепенный из 10

\ [\ begin {bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 1 \ end {bmatrix} \]

= [2-3]

= -1

Кофактор 1 = + (-1)

= (-1)

= -1

Незначительное число из 3

\ [\ begin {bmatrix} 6 & 3 \\ 3 & 1 \ end {bmatrix} \]

= [6-9]

= (-3)

= -3

Кофактор 3 = — (-3)

= 3

Незначительный из 4

\ [\ begin {bmatrix} 6 & 2 \\ 3 & 1 \ end {bmatrix} \]

= [6-6]

= (0)

= 0

Кофактор 4 = + (0)

= 0

Матрица кофакторов

\ [\ begin {bmatrix} 1 & -2 & -1 \\ -1 & -6 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \ end {bmatrix} \]

Присоединенный к матрице

= \ [\ begin {bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -2 & -6 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \ конец {bmatrix} \]

A-1 = 1/1 = \ [\ begin {bmatrix} -1 & -1 & 1 \\ 2 & 6 & -3 \\ 1 & -2 & 0 \ end {bmatrix } \]

Обратная матрица 3 на 3

Как вы знаете, каждая матрица A 2 на 2, которая не является сингулярной (то есть чей определитель не равен нулю), имеет обратную матрицу A ^ {- 1} со свойством, которое

A \, A ^ {- 1} = A ^ {- 1} A \, = \, I_ {2},

где I_ {2} — это единичная матрица 2 на 2, \ left (\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {array} \ right).{-1} A \, = \, I_ {n}.

Если мы знаем это обратное, это в целом очень полезно. Например, оказывается, что обратная матрица

\ left (\ begin {array} {ccc} 0 & -3 & -2 \\ 1 & -4 & -2 \\ — 3 & 4 & 1 \ end {array} \ right)

является

\ left (\ begin {array} {ccc} 4 & -5 & -2 \\ 5 & -6 & -2 \\ — 8 & 9 & 3 \ end {array} \ right),

как можно быстро проверить:

\ left (\ begin {array} {ccc} 0 & -3 & -2 \\ 1 & -4 & -2 \\ — 3 & 4 & 1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {ccc} 4 & — 5 & ​​-2 \\ 5 & -6 & -2 \\ — 8 & 9 & 3 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {ccc} 0-15 + 16 & 0 + 18-18 & 0 + 6-6 \\ 4 -20 + 16 & -5 + 24-18 & -2 + 8-6 \\ — 12 + 20-8 & 15-24 + 9 & 6-8 + 3 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} { ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {array} \ right).

Теперь рассмотрим систему уравнений

\ left (\ begin {array} {ccc} 0 & -3 & -2 \\ 1 & -4 & -2 \\ — 3 & 4 & 1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {c} x \ \ y \\ z \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} 2 \\ 5 \\ — 9 \ end {array} \ right). {- 1} \ left (\ begin {array} {c} 2 \\ 5 \\ — 9 \ end {array} \ right) = \ left ( \ begin {array} {ccc} 4 & -5 & -2 \\ 5 & -6 & -2 \\ — 8 & 9 & 3 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {c} 2 \\ 5 \\ — 9 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} 1 \\ — 2 \\ 2 \ end {array} \ right).

К сожалению, для больших квадратных матриц не существует четкой формулы для обратного. Действительно, поиск обратных чисел настолько трудоемок, что обычно не стоит усилий, и мы используем альтернативные методы для решения систем уравнений (см. Исключение Гаусса).

Однако иногда оно того стоит. Например, мы можем обнаружить, что хотим многократно решать

\ left (\ begin {array} {ccc} 0 & -3 & -2 \\ 1 & -4 & -2 \\ — 3 & 4 & 1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {c} x \ \ y \\ z \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {c} v_ {1} \\ v_ {2} \\ v_ {3} \ end {array} \ right)

для множества различных значений v_ {1}, v_ {2} и v_ {3}, и в этом случае зная, что обратное

\ left (\ begin {array} {ccc} 4 & -5 & -2 \\ 5 & -6 & -2 \\ — 8 & 9 & 3 \ end {array} \ right)

очень пригодится.

Есть три основных метода поиска инверсий. Первый метод, который называется методом кофакторов, подробно описан здесь. Второй называется исключением Гаусса-Жордана и рассматривается в другом месте. В третьем используется так называемая теорема Кэли-Гамильтона: на одних курсах она рассматривается, а на других — нет.

Мы не будем здесь доказывать, что метод кофакторов работает; вместо этого мы представляем его просто как пошаговый рецепт.

Шаг 1: замените каждую запись ее второстепенной

Для данной записи в матрице 3 на 3 вычеркните всю ее строку и столбец и возьмите определитель оставшейся матрицы 2 на 2 (это называется второстепенным).

В нашем примере это дает нам

\ left (\ begin {array} {ccc} \ left (-4 \ right) \ times 1- \ left (-2 \ right) \ times 4 & 1 \ times 1- \ left (-2 \ right) \ times \ left (-3 \ right) & 1 \ times 4- \ left (-4 \ right) \ times \ left (-3 \ right) \\\ left (-3 \ right) \ times 1- \ left (-2 \ вправо) \ раз 4 и 0 \ раз 1- \ влево (-2 \ вправо) \ раз \ влево (-3 \ вправо) и 0 \ раз 4- \ влево (-3 \ вправо) \ раз \ влево (-3 \ вправо ) \\\ влево (-3 \ вправо) \ раз \ влево (-2 \ вправо) — \ влево (-2 \ вправо) \ раз \ влево (-4 \ вправо) & 0 \ раз \ влево (-2 \ вправо ) — \ left (-2 \ right) \ times 1 & 0 \ times \ left (-4 \ right) — \ left (-3 \ right) \ times 1 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin { array} {ccc} 4 & -5 & -8 \\ 5 & -6 & -9 \\ — 2 & 2 & 3 \ end {array} \ right).

Шаг 2: измените некоторые знаки

Теперь меняем приметы некоторых несовершеннолетних по схеме

\ left (\ begin {array} {ccc} + & — & + \\ — & + & — \\ + & — & + \ end {array} \ right),

таким образом создавая так называемую матрицу кофакторов. В нашем случае это

\ left (\ begin {array} {ccc} 4 & 5 & -8 \\ — 5 & -6 & 9 \\ — 2 & -2 & 3 \ end {array} \ right).

Шаг 3: транспонировать

Теперь транспонируем матрицу сомножителей.В нашем случае мы получаем

\ left (\ begin {array} {ccc} 4 & -5 & -2 \\ 5 & -6 & -2 \\ — 8 & 9 & 3 \ end {array} \ right).

Шаг 4: разделите на определитель

Наконец, делим на определитель исходной матрицы. В нашем случае определитель

\ text {det} \ left (\ begin {array} {ccc} 0 & -3 & -2 \\ 1 & -4 & -2 \\ — 3 & 4 & 1 \ end {array} \ right) = 0 \ times \ text {det } \ left (\ begin {array} {cc} -4 & -2 \\ 4 & 1 \ end {array} \ right) +3 \ times \ text {det} \ left (\ begin {array} {cc} 1 & -2 \\ — 3 & 1 \ end {array} \ right) -2 \ times \ text {det} \ left (\ begin {array} {cc} 1 & -4 \\ — 3 & 4 \ end {array} \ right) = 1,

так что обратное просто

A ^ {- 1} = \ left (\ begin {array} {ccc} 4 & -5 & -2 \\ 5 & -6 & -2 \\ — 8 & 9 & 3 \ end {array} \ right).

Умножение матриц — примеры

М. Борна

На этой странице вы можете увидеть множество примеров умножения матриц.

Вы можете повторно загружать эту страницу сколько угодно раз и каждый раз получать новый набор чисел и матриц. Вы также можете выбрать матрицы разного размера (внизу страницы).

(Если вам сначала нужна справочная информация о матрицах, вернитесь к «Введение в матрицы» и «4. Умножение матриц»).

Пример

Умножение матриц A и B .

Ответ

Для экономии работы мы сначала проверяем, можно ли их умножить.

У нас есть (3 × 2) × (2 × 4), и поскольку количество столбцов в A совпадает с количеством строк в B (в данном случае два средних числа равны 2), мы можем перемножить эти матрицы. Нашим результатом будет матрица (3 × 4).

Первый шаг — записать две матрицы рядом, как показано ниже:

Мы умножаем отдельные элементы вдоль первой строки матрицы A на соответствующие элементы в первом столбце матрицы B и складываем результаты.Это дает нам число, которое нам нужно поместить в первую строку, первую позицию столбца в матрице ответов.

-3 × -4 + 6 × 2 = 24

После этого мы умножаем элементы в первой строке матрицы A, на соответствующие элементы во втором столбце матрицы B , затем складываем результаты. Это дает нам ответ, который нам нужно будет поместить в первую строку, второй столбец матрицы ответов.

-3 × 0 + 6 × -3 = -18

Продолжаем по строкам и столбцам следующим образом:

Посмотреть другой пример?

Вы можете обновить эту страницу, чтобы увидеть другой пример с матрицами другого размера и другими числами; ИЛИ

Выберите нужные вам размеры матрицы и нажмите кнопку.

Нахождение определителя матрицы 3×3

Постановка задачи

Мы собираемся рассмотреть, как найти определитель для матрицы 3×3, но сначала нам нужно знать, что такое определитель. Определитель — это одно конкретное число, связанное с определенной квадратной матрицей. Следует отметить, что определители определены только для квадратных матриц. Давайте посмотрим на процесс, используемый для поиска определителя для конкретной матрицы.

• Шаг 1 — Запишите матрицу

Мы должны знать, над чем мы работаем, верно? Итак, вот матрица 3 x 3, которую мы будем использовать в этом упражнении.

3 x 3 обозначает количество строк и столбцов в нашей матрице. Поскольку он состоит из трех строк и трех столбцов, мы называем его матрицей 3 x 3. Поскольку количество столбцов и строк равно, это квадратная матрица, что означает, что у нее будет определитель.

• Шаг 2 — Запишите матрицу с определителями символов

На этом изображении и на последнем есть небольшая разница: скобки превратились в прямые линии.С математической точки зрения, однако, это указывает на очень большую разницу. Матрица представляет собой целую серию отношений между числами, в то время как определитель — это всего лишь одно число.

• Шаг 3 — Запишите матрицу без скобок и определяющих символов

Теперь, когда мы знаем матрицу, над которой работаем, что такое определитель и как он записан, мы можем начать процесс поиска определителя. Этот шаг включает просто запись столбцов и чисел без каких-либо других символов.

Просто, правда? Теперь перейдем к следующему шагу.

• Шаг 4. Добавьте первые два столбца справа

Теперь справа от наших трех столбцов мы добавим еще два столбца. Но не только какие-либо столбцы — мы просто собираемся повторить первые два столбца из нашей матрицы.

Пунктирная линия на этом рисунке предназначена только для демонстрационных целей — нет необходимости вставлять ее, когда вы работаете над другими определяющими проблемами.Хотя, если это поможет вам отслеживать, на каком этапе процесса вы находитесь, вы, безусловно, сможете его сохранить.

• Шаг 5 — Сложите произведение первой диагонали вниз

Посмотрите на изображение ниже, прежде чем мы продолжим говорить об этом шаге.

Начните с числа в первой строке и первом столбце и умножьте вместе три числа по диагонали вниз и вправо.На изображении выше эти три числа обведены. Мы собираемся сложить числа по диагонали вниз.

• Шаг 6 — Сложите произведение второй и третьей диагоналей вниз

Повторите шаг 5 для второй и третьей диагоналей вниз. Опять же, мы выбираем три числа из нашей расширенной матрицы, которые расположены по диагонали, идущей вниз и вправо. Получив эти числа, мы собираемся их умножить и добавить к нашему растущему выражению.Не умножайте числа на этом этапе — мы сделаем это позже.

• Шаг 7 — Вычтите произведение диагоналей вверх

Теперь проделаем аналогичный процесс с диагоналями вверх. Для каждой диагонали мы по-прежнему будем выбирать три числа для умножения, но для диагоналей вверх мы будем вычитать члены умножения вместо сложения.

Вы заметили, что у нас есть большой знак вычитания перед каждым членом по диагонали вверх? На этом этапе очень легко получить неправильный знак, поэтому убедитесь, что вы знаете, почему он там.

Теперь, когда у нас есть все условия для вычисления детерминанта, мы можем приступить к выполнению операций. Помните, что отрицательное значение, умноженное на отрицательное, является положительным, и если какой-либо из множителей равен 0, то этот член будет равен 0.

Что мы имеем после всех вышеперечисленных шагов:

Определитель A

= + (1) (3) (2) + (-4) (- 1) (2) + (0) (0) (0) — (2) (3) (0) — (0) (- 1) (1) — (2) (0) (- 4)

Когда мы вычисляем каждый из членов умножения, мы получаем:

Вычислить определитель матрицы Пошаговое решение математических задач