Матрица решение уравнений: Обратная матрица онлайн

Решение матричных уравнений

Калужский филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

(КФ МГТУ им. Н.Э. Баумана)

Влайков Н.Д.

Решение матричных уравнений

Методические указания для проведения упражнений

по курсу аналитической геометрии

Калуга 2011г.

Содержание.

Цели занятия стр.4

План занятия стр.4

Необходимые теоретические сведения стр.5

Практическая часть стр.

6

Контроль освоения пройденного материала стр.10

Домашнее задание стр.11

Количество часов: 2

Цели занятия:

1. Систематизировать полученные теоретические знания о видах матричных уравнений и способах их решения.

2. Применить на практике методы решения матричных уравнений.

План занятия:

1. Кратко изложить теоретический материал.

2. Решить матричное уравнение вида методом с использованием обратной матрицы.

3. Решить матричное уравнение видаметодом, основанным на элементарных преобразованиях строк матрицы.

4. Сравнить использованные методы.

5. Решить матричное уравнение вида методом с использованием обратной матрицы.

6. Решить матричное уравнение вида методом с использованием обратной матрицы.

7. Проверить выполнение текущего домашнего задания.

8. Провести проверочную работу.

9. Представить тему следующего семинарского занятия.

10. Выдать текущее домашнее задание.

Необходимые теоретические сведения.

Рассмотрим два вида матричных уравнений относительно неизвестной матрицы : и , где матрицы и — известны, причем — квадратная и невырожденная.

Опр. Некоторую матрицу называют решением матричного уравнения относительно неизвестной матрицы , если при ее подстановке вместо матричное уравнение превращается в тождество.

Рассмотрим уравнение .

Первый метод предполагает вычисление обратной матрицы и дает запись решения матричного уравнения в виде . Причем данное решение единственно.

Второй метод основан на элементарных преобразованиях строк блочной матрицы и имеет своей целью преобразование ее к виду , в котором вместо матрицы стоит единичная матрица . Тогда матрица и будет решением уравнения.

Проверка ответа выполняется подстановкой найденного решения в исходное уравнение.

Матричное уравнение так же можно решить двумя способами. Если известна матрица , то умножаем справа на матричное уравнение и после очевидных преобразований получаем ответ в виде произведения двух матриц . Другой метод решения матричного уравнения состоит в транспонировании его левой и правой частей , . После введения новой неизвестной матрицы получаем уравнение вида , которое решается методом элементарных преобразований.

Практическая часть.

Пример 1. Решить матричное уравнение: _,

где

; .

Решение.

1-ый способ. Найдем решение, используя обратную матрицу:

_{Решение ищем в виде ;}

_{Найдем матрицу (например, при помощи присоединенной матрицы)}

_.

_{Таким образом, получим:}

_.

_{2-ой способ. Найдем решение методом элементарных преобразований:}

_{Запишем матрицу и выполним элементарные преобразования ее строк с целью привести ее к виду .}

_.

_{Следовательно, .}

_{Проверка осуществляется подстановкой в исходное уравнение:}

_{— Верно.}

Пример 2. Решить матричное уравнение: _,

где

; ; .

Решение.

Если для матриц и существуют обратные матрицы и соответственно, умножим обе части уравнения слева на , справа на . В результате получим:

. Учитывая, что ,

(- единичная матрица) можно записать: . Так как

— единичная матрица, окончательно имеем уравнение:

где матрица — решение уравнения.

Если же хотя бы одна из матриц или не имеет обратную, уравнение не имеет решения.

Для матрицы найдем или докажем, что она не существует.

а) обратная матрица существует.

б) .

в) Найдем алгебраические дополнения для матрицы и составим из них присоединенную матрицу :

.

г) Известно, что ; тогда

.

Для матрицы найдем или докажем, что она не существует.

а) обратная матрица существует.

б) .

в) Найдем алгебраические дополнения для матрицы и составим из них присоединенную матрицу :

.

г) По формуле ;

.

Найдем неизвестную матрицу .

.

Ответ:.

Решить матричные уравнения:

№2.121(2.39)

. Отв.:

№2.122(2.40)

. Отв.:

№2.123(2.41)

. Отв.:

№2.124(2.42)

. Отв.:

№2.125(2.43)

. Отв.:

Представление темы следующего семинара.

Решение систем линейных однородных уравнений.

Контроль освоения пройденного материала.

Проверочная работа 5 минут. Участвует 4 студента с четными номерами по журналу, начиная с №10

Задание:

Вар№1 Выполнить действия:	Вар№2 Выполнить действия:
Вар№3 Найти матрицу обратную данной:	Вар№4 Найти матрицу обратную данной:

Ответы:

Вар№1 Выполнить действия:	Вар№2 Выполнить действия:
Вар№3 Найти матрицу обратную данной:	Вар№4 Найти матрицу обратную данной:

Домашнее задание.

1.Решить матричное уравнение :

1) ; .

2) ; .

2.Решить матричное уравнение :

1) ; ; .

2) ; ; .

3.Проработка лекций на темы:

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Координатная, матричная и векторная формы записи. Критерий Кронекера — Капелли совместности СЛАУ. Однородные СЛАУ. Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ. Свойства решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ, теорема о ее существовании. Нормальная фундаментальная система решений. Теорема о структуре общего решения однородной СЛАУ.

11

линейных уравнений с несколькими решениями | Реальная статистика с использованием Excel

Цель

В примере 4 системы линейных уравнений мы обнаружили, что существует бесконечное число решений системы линейных уравнений. Каждое решение может быть выражено как кратное одному решению. В общем, когда есть несколько решений, каждое решение может быть выражено как линейная комбинация векторов-столбцов. Мы рассмотрим это более подробно на этой веб-странице.

Примеры

Пример 1 : Диапазон A51:F54 на рисунке 1 показывает систему из 4 однородных линейных уравнений с 5 неизвестными. Приведенная форма после применения исключения Гаусса показана в середине рисунка.

Рисунок 1 – Система однородных линейных уравнений х ₂ , x ₄ и x ₅ являются свободными переменными, т.е. могут принимать любые значения. Таким образом, мы можем установить эти переменные на параметры U, V и W следующим образом: x ₂ = U , x ₄ = V , x ₅ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = V , x ₅ = V , x ₅ = V , x . = ш. Таким образом,

Это эквивалентно решениям

Любое решение принимает форму линейной комбинации трех векторов-столбцов.

Наблюдение : Аналогичная ситуация для неоднородных уравнений. В этом случае, когда есть несколько решений, каждое решение может быть выражено как линейная комбинация векторов-столбцов плюс один постоянный вектор-столбец.

Пример 2 : Диапазон A38:F42 на рисунке 2 показывает систему из 5 неоднородных линейных уравнений с 5 неизвестными. Приведенная форма после применения исключения Гаусса показана в середине рисунка.

Рисунок 2 – Система неоднородных линейных уравнений

Глядя вниз по главной диагонали редуцированной матрицы, мы видим, что единицы для x ₁ , x ₃ и x 5 переменных, поэтому x ₂ и x ₄ являются свободными переменными, т. е. могут принимать любые значения. Задав этим переменным параметры u и v , получим уравнения

Это эквивалентно решениям

Любое решение принимает форму линейной комбинации первых двух векторов-столбцов плюс третий вектор-столбец.

Функции рабочего листа

Функция реальной статистики : Пакет ресурсов реальной статистики предоставляет следующую функцию массива, которая автоматизирует описанный выше процесс.

LinEqSolve (R1, prec ): функция массива, которая выводит матрицу решения для системы линейных уравнений, заданную расширенной матрицей, найденной в массиве R1. Количество строк в выводе на единицу меньше, чем количество столбцов в R1.

При исключении Гаусса значения меньше prec (по умолчанию .0001) обрабатываются как нулевые.

Если система линейных уравнений не имеет решения, то возвращается значение ошибки #Н/Д. Если существует единственное решение (включая тривиальное решение для системы однородных уравнений), то на выходе будет массив столбцов с этим решением.

Мы можем использовать функцию LinEqSolve, чтобы найти все решения для примера 1, как показано в правой части рисунка 1. Точно так же все решения для примера 2 показаны в правой части рисунка 2.

Ссылки

Википедия (2020) Система линейных уравнений
https://en.wikipedia.org/wiki/System_of_linear_equations

Определитель

— Можем ли мы решить систему линейных уравнений с сингулярной матрицей?

$\begingroup$

Дана система уравнений $AX=B$, где $A$ сингулярна. Можно ли решить за $X$ в этом случае? Рассмотрим следующий пример для иллюстрации

$A = \begin{pmatrix} 0 & a_3 & -a_2\\ -a_3 & 0 & a_1 \\ a_2 & -a_1 & 0 \end{pmatrix}$,

$X= \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$ и $B = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} $.

Редактировать: в $A$ была опечатка. Как можно найти $x,y,z$ в этом случае?

• системы уравнений
• определитель
• матричные уравнения
• сингулярное решение

$\endgroup$

5

$\begingroup$

Если матрица вырожденная, это означает, что ее определитель равен нулю.
Если определитель равен нулю, это означает, что некоторая строка/столбец является линейной комбинацией других строк/столбцов.

Таким образом, не все векторы ${x,y,z}$ могут быть выражены как комбинация векторов, которые представляет каждая строка/столбец матрицы (Матрица представляет собой преобразование между основаниями).

Вообще систему не решить.
Но бывают случаи, когда матрица может представлять некоторую группу векторов. Использование подматрицы, полученной путем исключения линейной комбинации, и эта подматрица не является единственной. 93$ . Выберите любое $b$ за пределами изображения $A$, и все готово.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

В общем случае мы не можем решить систему $Ax=b$ для сингулярной матрицы $A$ и заданного $b$. В вашем примере возьмите $a_1=a_2=a_3=0$. Тогда мы не можем решить систему $Ax=b$, кроме случая $b=0$.

No related posts.