Матрица умножение: Онлайн калькулятор. Умножение матриц

Умножение матрицы на число

Произведением матрицы А на число k называется матрица В= kA, элементы которой b_ij = ka_ij для i = 1, 2, …, m; j = 1,2,…, n

Рис.9

Иначе говоря, при умножении матрицы на постоянную каждый элемент этой матрицы умножается на эту постоянную k*A_ij = (k*a_ij ).

Например, для матриц A и B из предыдущего примера (1) и (2)

В частности, произведений матрицы А на Число «0» есть нулевая матрица, то есть А х 0 = 0.

В MS Excel для выполнения операции умножения матри цы на число могут быть использованы формулы, вводи мые в соответствующие ячейки.

Выаолнить Задание 5. Умножить матрицу на число

Пусть, как и в предыдущем примере (1) матрица A введена в диапазон А1: С2. Необходимо получить матрицу С = 3 х A.

Порядок выполнения.

1. Табличный курсор поставьте в левый верхний угол результирующей матрицы, напри мер в El.

2. Введите формулу =3*А1 для вычисления первого элемента результирующей матрицы (предварительно установив английскую раскладку клавиатуры).

3. Скопируйте введенную формулу в остальные ячейки результирующей матрицы: поставьте табличный курсор в ячейку Е1; наведите указатель мыши на точку в правом нижнем углу ячейки, так чтобы указатель мыши принял вид тонкого крестика;

при нажатой левой кнопке мыши протяните указатель до ячейки G1; таким же образом протяните указатель мыши до ячейки G2.

В результате в ячейках E1:G2 появится матрица, равная исходной матрице, умноженной на постоянную —3.

Умножение матриц

Произведение матриц определено, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пусть A = (a_ij) m х n , B = (b_ij) n х p, тогда размерность произведения А х В равна m х p .

При этом матрица С (размера m х p) называется произведением матриц A и В, если каждый ее элемент с_ij, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-гo столбца матрицы В:

Таким образом, перемножение матриц осуществляется по следующему правилу:

Пусть например

Рис.10

Многие свойства, присущие операциям над числами, справедливы и для операций умножения матриц (что следует из определений этих операций).

Для матриц верны общие свойства операции умножения.

1. А(ВС) = (АВ)С — ассоциативность.

2. А(В + С) = АВ + АС — дистрибутивность.

3. (А + В)С= АВ + ВС.

4. (αА)В = А(αВ) = α(АВ), α ─ константа.

Однако имеются и специфические свойства операций умножения матриц.

5. Умножение матриц некоммутативно — АВ ≠ ВА.

В частном случае коммутативным законом обладает произведение любой квадратной матрицы А i-го порядка на единичную матрицу Е того же порядка, причем это произведение равно А.

6. Если Е — единичная матрица, то ЕА = А; ВЕ = В.

Таким образом, единичная матрица играет при умножении ту же роль, что и число 1 при умножении чисел.

7. Из того, что А х В = 0, не следует, что А = 0 или В = 0.

В алгебре матриц нет действия деления. Выражение А/В не имеет смысла. Его заменяют два различных выражения В^-1 х А и А х В^-1 , если существует В^-1

Для квадратных матриц возможна операция возведения в степень. По определению полагают, что А⁰ = Е и А¹ = А. Целой положительной степенью А^m (m > 1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, то есть:

Для нахождения произведения двух матриц в Excel используется функция МУМНОЖ, которая вычисляет произведение матриц (матрицы хранятся в массивах).

Функция имеет вид МУМНОЖ (массив1, массив 2). Здесь массив1 и массив2 — это перемножаемые массивы. При этом количество столбцов аргумента массив 1 должно быть таким же, как количество строк аргумента массив2, и оба массива должны содержать только числа. Результатом является массив с таким же числом строк, как массив1 и с таким же числом столбцов, как массив2.

Массив С, который является произведением двух массивов А и В, определяется следующим образом:

где i — номер строки, a j — номер столбца.

Рассмотрим примеры умножения матриц.

Выполнить Задание 6. Найти произведение матриц А и В из выше приведенного примера Рис.10.

Пусть матрица А из рассмотренного примера введена в диапазон A1:D3, а матрица В в диапазон А4 : В7.

5

5

5. Умножение матриц.

Рассмотрим правило умножения двух квадратных матриц второго и третьего порядков.

Пусть даны две матрицы

Произведением матрицы А на матрицу В называется матрица С= А В, элементы которой составляются следующим образом:

Как видим, элемент матрицы-произведения, находящийся на пересечении i-й строки и k-го столбца, представляет собой сумму парных произведений элементов i-й строки первой матрицы на элементы k-го столбца второй матрицы.

Например, элемент, стоящий во второй строке и первом столбце матрицы произведения АВ, равен сумме парных произведений элементов второй строки матрицы А на элементы первого столбца матрицы В.

Это правило сохраняется для умножения квадратных матриц третьего и более высокого порядка, а также для умножения прямоугольных матриц, в которых число столбцов матрицы-множимого равно числу строк матрицы-множителя.

Пример1

Пример2

Пример3.

Видим , что в результате перемножения двух матриц получается матрица, содержащая столько строк, сколько имеет их матрица-множимое, и столько столбцов, сколько имеет матрица-множитель. Рассмотрим еще пример:

С другой стороны, как установлено выше,

Следовательно, произведение двух матриц, вообще говоря, не подчиняется переместительному закону:

АВ ВА.

Можно проверить, что умножение матриц подчиняется сочетательному закону:

А(ВС) = (АВ)С.

Отметим любопытный факт. Как известно, произведение двух отличных от нуля чисел не равно нулю. Для матриц подобное обстоятельство может и не иметь места, т.е. произведение двух ненулевых матриц может оказаться равным нуль-матрице.

Пример 4. Если

то

При умножении матриц второго порядка особое значение имеет квадратная матрица

При умножении любой квадратной матрицы

второго порядка на матрицу Е снова получается матрица А.

Действительно,

Аналогично EA =A.

Матрица Е называется единичной матрицей. Единичная матрица n-го порядка имеет вид

Если в матрице (1), обозначаемой буквой А, сделать все строки столбцами с тем же номером, то получим матрицу

называемую транспонированной к матрице А.

---

Понятие о матрице | Сложение матриц | Вычитание матриц и умножение матриц на число |

Умножение матриц |   Контакты первого и второго порядков в эпидемиологии | Матрицы и сети |

Главная

Глава 9 Умножение матриц | Матричная алгебра для ученых в области образования

В этой главе вы узнаете о скалярно-матричном умножении и матрично-матричном умножении.

9.1 Умножение скаляра на матрицу

Любую матрицу можно умножить на скаляр. Результатом является матрица, в которой каждый элемент исходной матрицы умножается на значение скаляра. Например, чтобы умножить матрицу A (из предыдущего раздела) на скаляр \(\lambda = -2\),

\[ \начать{разделить} -2\mathbf{A} &= -2\begin{bmatrix} 112 и 86 и 0 \\ 134 и 94 и 0 \end{bmatrix} \\[2em] &= \begin{bmatrix} -2(112) & -2(86) & -2(0) \\ -2(134) & -2(94) & -2(0) \end{bmatrix} \\[2em] &= \begin{bmatrix} -224&-172&0 \-268&-188&0 \end{bmatrix} \конец{разделить} \] В общем случае элементы матрицы произведения \(\lambda\mathbf{A}\) равны \(\lambda (a_{ij})\) для каждых i и j . Скалярно-матричное умножение коммутативно, то есть:

\[ \лямбда\mathbf{А} = \mathbf{А}\лямбда \]

В R мы используем оператор * для выполнения скалярно-матричного умножения.

 -2 * А 

 [1] [2] [3]
[1,] -224 -172 0
[2,] -268 -188 0 

9.2 Умножение матриц

Процесс умножения матриц следует тому же основному принципу, что и умножение векторов, где мы рассматриваем матрицы как набор векторов-столбцов. Когда мы умножаем векторы, они должны иметь одинаковое количество элементов, потому что мы умножаем соответствующие элементы и складываем полученные произведения, получая скалярное (точечное) произведение (т. е. \(\mathbf{a}\bullet\mathbf{b}\) ). Чтобы умножить матрицу 9\intercal\bullet\mathbf{Y}_1\)).

\[ \начать{разделить} \begin{bmatrix}2 и 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5 \\ 4\end{bmatrix} &= 2(5) + 3(4)\\[2em] &= 22 \конец{разделить} \]

Это дает нам элемент в первой строке и первом столбце матрицы произведения, Z . Элемент в первой строке и втором столбце Z основан на скалярном произведении между первой строкой X и вторым столбцом Y . Это продолжается, находя скалярное произведение между строками X и столбцы Y для каждого соответствующего элемента в Z .

\[ \начать{разделить} \mathbf{Z} &= \begin{bmatrix}\begin{bmatrix}2 и 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5 \\ 4\end{bmatrix} & \begin{bmatrix}2 и 3\end {bmatrix}\begin{bmatrix}-2 \\ -1\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}1 & 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}5 \\ 4\end{bmatrix} & \ begin{bmatrix}1 и 2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2 \\ -1\end{bmatrix}\end{bmatrix}\\[2em] &= \begin{bmatrix} 22&-7\13&-4 \end{bmatrix} \конец{разделить} \]

Этот процесс должен всегда тщательно выполняться: Нахождение скалярного произведения между строкой первой матрицы и столбцом второй матрицы. Общее правило умножения матриц для \(\mathbf{AB} = \mathbf{C}\), для каждого элемента в C , \(C_{ij}\) является скалярным произведением i -й строки A и j -й столбец B .

Чтобы вычислить произведение двух матриц, мы используем оператор умножения матриц, %*% .

 # Создать А
A = матрица (данные = c (2, 3, 1, 2), byrow = TRUE, nrow = 2)
# Создать Б
B = матрица (данные = c (5, -2, 4, -1), byrow = TRUE, nrow = 2)
# Умножение матриц
А %*% В 

 [1] [2]
[1,] 22 -7
[2,] 13 -4 

В отличие от скалярного умножения, матричное умножение редко бывает коммутативным, то есть редко когда \(\mathbf{AB}=\mathbf{BA}\). В нашем предыдущем примере \(\mathbf{AB}\neq\mathbf{BA}\).

 # Умножение матриц
В %*% А 

 [1] [2]
[1,] 8 11
[2,] 7 10 

Полученный продукт не совпадает с вычислением AB . Порядок умножения очень важен, поэтому вместо того, чтобы говорить, что « A умножается на B », мы вместо этого указываем порядок, говоря:

• A равно , умноженному на B ; или
• B равно , предварительно умноженному на A .

9.2.1 Совместимость

Мы также можем умножать матрицы, которые не имеют одинаковых размеров, если они согласованы . Чтобы быть совместимым, количество столбцов в предварительно умноженной (первой) матрице должно равняться количеству строк в постумноженной (второй) матрице. Например, матрицы A и B (ниже) согласуемы, так как количество столбцов в A равно количеству строк в B , а именно 4.

\[ \underset{2\times4}{\mathbf{A}} = \begin{bmatrix} 5 и 2 и 3 и 4 \\ 5 и 4 и 6 и 1 \end{bmatrix} \qquad \underset{4\times3}{\mathbf{B}} = \begin{bmatrix} 8 и 9&4\6&5&1\2&3&4\6&1&2 \end{bmatrix} \]

Один из способов рассмотрения совместимости состоит в том, чтобы убедиться, что внутренние размеры двух перемножаемых матриц равны. Здесь оба внутренних размера (показаны красным) равны 4.

\[ \underset{2\times\color{red}{4}}{\mathbf{A}}~\underset{{\color{red}{4}} \times3}{\mathbf{B}} \]

 # Создать А
A = матрица (данные = c (5, 2, 3, 4, 5, 4, 6, 1), byrow = TRUE, nrow = 2)
# Создать Б
B = матрица (данные = c (8, 9, 4, 6, 5, 1, 2, 3, 4, 6, 1, 2), byrow = ИСТИНА, nrow = 4)
# постумножить A на B
А %*% В 

 [1] [2] [3]
[1,] 82 68 42
[2,] 82 84 50 

Обратите внимание, что продукт AB имеет размеры \(2\x4\), которые являются внешними размерами , показанными в продукте (ниже выделены красным).

\[ \ underset {{\ color {red} {2}} \ times4} {\ mathbf {A}} ~ \ underset {4 \ times \ color {red} {3}} {\ mathbf {B}} \]

Если бы мы попытались умножить B на A , этот продукт несовместим, поскольку внутренние размеры больше не будут совпадать (т. е. \(3\neq2\)).

\[ \underset{4\times\color{red}{3}}{\mathbf{B}} ~ \underset{{\color{red}{2}}\times4}{\mathbf{A}} \]

 # Постмножить B на A
B %*% A 

 Ошибка в B %*% A: несогласованные аргументы 

9.3 Свойства умножения матриц

Хотя умножение матриц редко бывает коммутативным, оно обладает следующими свойствами:

• \(\mathbf{ A}(\mathbf{BC})=(\mathbf{AB})\mathbf{C})\) (ассоциативное свойство)
• \(\mathbf{A}(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{AB} +\mathbf{AC})\) (левое распределительное свойство)
• \((\mathbf{B}+\mathbf{C})\mathbf{A}=\mathbf{BA} +\mathbf{CA})\) (правое распределительное свойство)

, если рассматриваемые матрицы созвучны.

Помимо коммутативности, у умножения матриц отсутствуют еще некоторые свойства. Например, в скалярной арифметике, если \(ab = 0\), то либо a , либо b должны быть равны нулю. Однако при умножении матриц это не всегда так. Для иллюстрации рассмотрим следующие три матрицы:

\[ \mathbf{A} = \begin{bmatrix}-2 & 4 \\-2 & 4 \end{bmatrix} \qquad \mathbf{B} = \begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{ bmatrix} \qquad \mathbf{C} = \begin{bmatrix}4 и 4 \\2 и 2 \end{bmatrix} \]

Матрица B , в которой каждый элемент равен нулю, называется нулевой матрицей . (Нулевая матрица — это матрица, в которой каждый элемент равен нулю.) Если мы умножим матрицу A на нулевую матрицу B , мы получим:

\[ \начать{разделить} \mathbf{A}\mathbf{B} &= \begin{bmatrix}-2 & 4 \\-2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} \\[2эм] &= \begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} \конец{разделить} \]

Результат постумножения матрицы (при условии, что она созвучна) на нулевую матрицу является нулевой матрицей. Это также верно, когда мы предварительно умножаем на нулевую матрицу. Теперь рассмотрим постумножение матрицы A на матрицу C :

\[ \начать{разделить} \mathbf{A}\mathbf{C} &= \begin{bmatrix}-2 и 4 \\-2 и 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}4 и 4 \\2 & 2 \end{bmatrix} \\[2эм] &= \begin{bmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \end{bmatrix} \конец{разделить} \]

Мы снова получаем нулевую матрицу. Однако ни A , ни C не были нулевой матрицей. (На самом деле ни один из элементов A или C не равен нулю).

Соответственно, в скалярной арифметике, если \(ab = 0\), то \(ba = 0\). Это свойство не выполняется при умножении матриц. Например, мы только что видели, что \(\mathbf{A}\mathbf{C}=\mathbf{0}\). Но если мы умножим C на A :

\[ \начать{разделить} \mathbf{C}\mathbf{A} &= \begin{bmatrix}4 & 4 \\2 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}-2 & 4 \\-2 & 4 \end{bmatrix} \\[2эм] &= \begin{bmatrix}-16 и 16 \\-8 и 8 \end{bmatrix} \конец{разделить} \]

То есть, хотя \(\mathbf{A}\mathbf{C}=\mathbf{0}\), \(\mathbf{C}\mathbf{A}\neq\mathbf{0}\). Изменение порядка умножения матриц меняет результирующее произведение.

Из этого примера видно, что, поскольку \(\mathbf{AB}=\mathbf{0}\) и \(\mathbf{AC}=\mathbf{0}\), это означает, что \(\mathbf{ АВ}=\mathbf{AC}\). Однако \(\mathbf{B}\neq\mathbf{C}\). Это означает, что «отмена» не является действительным свойством матричного умножения.

9.4 Повторное рассмотрение точечных продуктов

Оказывается, скалярное произведение двух векторов можно выразить как умножение матриц. Рассмотрим векторы-столбцы a и b :

\[ \mathbf{a} = \begin{bmatrix}5 \\ 4 \\ 7 \\ 2\end{bmatrix} \qquad \mathbf{b} = \begin{bmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix} \]

Помните, что векторы-столбцы — это матрицы с одним столбцом. Скалярное произведение между a и b равно предварительному умножению b на транспонирование 9\intercal}~\underset{4\times1}{\mathbf{b}} \]

Путем транспонирования в матрицы согласуются, и результирующее произведение будет матрицей \(1\times1\) (т. е. скаляром).

 # Создать
a = матрица (данные = c (5, 4, 7, 2), ncol = 1)
# Создать б
b = матрица (данные = c (1, 0, -1, 2), ncol = 1)
# Постумножить транспонирование a на b
t(a) %*% b 

 [1]
[1,] 2 

 # Вычисление скалярного произведения как суммы произведений
сумма(a * b) 

 [1] 2 

Интуиция программиста для умножения матриц — BetterExplained

Что означает умножение матриц? Вот несколько общих догадок:

1) Умножение матриц масштабирует/вращает/искажает геометрическую плоскость.

Это полезно при первом изучении векторов: приходят новые векторы, появляются новые. К сожалению, это может привести к чрезмерной зависимости от геометрической визуализации.

Если 20 семей придут к вам на барбекю, как вы оцениваете количество необходимых хот-догов? ( Хм… 20 семей, скажем, по 3 человека в семье, по 2 хот-дога в каждой… примерно 20 * 3 * 2 = 120 хот-догов. )

Вы, наверное, не думаете: «О, мне нужен объем призмы приглашения-семейного-голода!». С большими матрицами я не думаю о 500-мерных векторах, просто о данных, которые нужно изменить.

2) Умножение матриц составляет линейные операции.

Это технически точное определение: да, умножение матриц приводит к новой матрице, которая составляет исходные функции. Однако иногда обрабатываемая матрица представляет собой не линейную операцию, а набор векторов или точек данных. Нам нужна другая интуиция для того, что происходит.

Я представлю точку зрения программиста:

3) Умножение матриц связано с потоком информации, преобразованием данных в код и обратно.

Я думаю о линейной алгебре как о «математических электронных таблицах» (если вы новичок в линейной алгебре, прочтите это введение):

• Мы храним информацию в различных электронных таблицах («матрицах»)
• Некоторые данные рассматриваются как функции для применения, другие — как точки данных для использования
• При необходимости мы можем переключаться между интерпретацией вектора и функции

Иногда я думаю о данных как о геометрических векторах, а иногда я вижу матрицу как составную функцию. Но в основном я думаю об информации, проходящей через систему. (Некоторые пуристы съеживаются при сведении красивых алгебраических структур в невзрачные электронные таблицы; я спокойно сплю по ночам.)

Интуиция программиста: код — это данные — это код

Возьмите свой любимый рецепт. Если вы интерпретируете слова как инструкции , вы получите пирог, кекс, торт и т. д.

Если вы интерпретируете слова как данные , текст будет прозой, который можно настроить:

• Преобразование измерений в метрические единицы
• Замена ингредиентов из-за аллергии
• Настройка по высоте или другому оборудованию

Результатом является новый рецепт, который можно дополнительно изменить или выполнить как инструкции для приготовления другого пирога, кекса, торта и т. д. (Компиляторы рассматривают программу как текст, модифицируют ее и в конечном итоге выводят «инструкции», которые может быть текстом для другого слоя.)

Это линейная алгебра. Мы берем необработанную информацию, такую ​​как «3 4 5», обрабатываем ее как вектор или функцию, в зависимости от того, как она написана:

По соглашению вертикальный столбец обычно представляет собой вектор, а горизонтальная строка обычно представляет собой функцию:

• [3; 4; 5] означает х = (3, 4, 5) . Здесь x — это вектор данных (я использую ; для разделения каждой строки).
• [3 4 5] означает f(a, b, c) = 3a + 4b + 5c . Это функция, принимающая три входа и возвращающая один результат.

Ага! момент: данные — это код, код — это данные!

Строка, содержащая горизонтальную функцию, действительно может состоять из трех точек данных (каждая с одним элементом). Вертикальный столбец данных действительно может быть тремя отдельными функциями, каждая из которых принимает один параметр.

Ач. Это становится изящным: в зависимости от желаемого результата мы можем комбинировать данные и код в другом порядке.

Транспонирование матрицы

Транспонирование матрицы меняет местами строки и столбцы. Вот что это означает на практике.

Если x был вектор-столбцом с 3 элементами ( [3; 4; 5] ), то x' это:

• Функция с 3 аргументами ( [3 4 5] )
• x' может по-прежнему оставаться вектором данных, но в виде трех отдельных записей. Транспонирование «разделило его».

Аналогично, если f = [3 4 5] — наш вектор-строка, тогда f' может означать:

• Один вектор данных в вертикальном столбце.
• f' разделен на три функции (каждая из которых принимает один вход).

Используем это на практике.

Когда мы видим x' * x , мы имеем в виду: x' (как отдельная функция) работает с x (один вектор). Результатом является скалярное произведение (подробнее). Другими словами, мы применили данные к себе.

Когда мы видим x * x' , мы имеем в виду, что x (как набор функций) работает с x' (набор отдельных точек данных). Результатом является сетка, в которой мы применили каждую функцию к каждой точке данных. Здесь мы смешали данные друг с другом во всех возможных перестановках.

Я думаю о xx как о x(x) . Это «функция x», работающая с «вектором x». (Это помогает вычислить ковариационную матрицу, меру самоподобия данных.)

Использование интуиции

Фу! Как это нам поможет? Когда мы видим такое уравнение (из класса машинного обучения):

, я мгновенно чувствую, что происходит. В первом уравнении мы рассматриваем $\theta$ (обычно это набор параметров данных) как функцию и передаем $x$ в качестве аргумента. Это должно дать нам одно значение.

Более сложные производные, такие как:

могут быть проработаны. В некоторых случаях это становится сложно, потому что мы храним данные в виде строк (а не столбцов) в матрице, но теперь у меня есть гораздо лучшие инструменты для отслеживания. Вы можете начать оценивать, когда вы получите одно значение или когда в результате вы получите «сетку перестановок».

Геометрическое масштабирование и линейная композиция имеют место быть, но здесь я хочу подумать об информации. «Информация в x становится функцией, и мы передаем себя в качестве параметра».

Короче говоря, не замыкайтесь на одной интуиции. Умножение эволюционировало от многократного сложения к масштабированию (десятичные числа), к вращению (мнимые числа), к «применению» одного числа к другому (интегралы) и так далее. Почему не то же самое для умножения матриц?

Счастливая математика.

Приложение: А как насчет других комбинаций?

Вам может быть любопытно, почему мы не можем использовать другие комбинации, такие как x x или x' x' . Проще говоря, параметры не выстраиваются в линию: у нас были бы функции, ожидающие передачи 3 входных данных только с одним параметром, или функции, ожидающие передачи одного входного параметра 3.

Приложение: интерпретация Javascript

Скалярный продукт x' * x можно рассматривать как следующую команду javascript:

((x, y, z) => x*3 + y*4 + z*5)(3, 4, 5)

Определяем анонимную функцию из 3 аргументов, и сразу передаем ей 3 параметра . Это возвращает 50 (точечный продукт: 3*3 + 4*4 + 5*5 = 50 ).

Математическая запись суперкомпактна, поэтому мы можем просто написать (в октаве/Matlab):

октава:2> [3 4 5] * [3 4 5]' ans = 50

Помните, что [3 4 5] — это функция, а [3; 4; 5] или [3 4 5]' — это то, как мы запишем вектор данных.

Приложение: метод ADEPT

Эта статья возникла из TODO в моих заметках по машинному обучению, в которых используется метод ADEPT:

Я хотел объяснить себе — на простом английском языке — почему мы хотели x' x а не наоборот.