Матрицы калькулятор найти определитель матрицы: Нахождение определителя матрицы

Содержание

Калькулятор определителя — вычислить определитель матрицы

Онлайн-калькулятор определителя поможет вам вычислить определитель матрицы заданных входных элементов. Калькулятор определяет значение определителя матрицы до размера матрицы 5 × 5. Он рассчитывается путем умножения его основных диагональных элементов и приведения матрицы к форме эшелона строк. У нас есть подробная информация о том, как рассчитать его вручную, определение, формулы и много других полезных данных, связанных с определителем матрицы. Наш калькулятор определяет результат с помощью следующих различных методов расчета:

  • Развернуть по столбцу.
  • Разверните по строке.
  • Формула Лейбница.
  • Правило треугольника.
  • Правило Сарруса.

Но давайте начнем с основ.

Читать дальше!

Что такое детерминант?

Это скалярное значение, которое получается из элементов квадратной матрицы и имеет определенные свойства линейного преобразования, описываемого матрицей. определитель матрицы калькулятор положительный или отрицательный, в зависимости от того, сохраняет ли линейное преобразование ориентацию векторного пространства или меняет ее на обратное. Это помогает нам найти обратную матрицу, а также то, что полезно в системах линейных уравнений, исчислении и многом другом. Он обозначается как det (A), det A или | A |.

Заметка:

Матрицы заключены в квадратные скобки, а определители обозначены вертикальными чертами. Матрица – это массив чисел, но определитель – одно число.

Как найти определитель матрицы онлайн вручную (шаг за шагом):

Определитель матриц можно вычислить разными методами. Здесь мы приводим подробные формулы для разного порядка матрицы, чтобы найти определитель разными методами:

Для умножения матриц 2×2:

Независимо от того, какой метод вы выбрали для расчетов, определитель матрицы онлайн A = (aij) 2 × 2 определяется по следующей формуле:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \\
\)

\(det⁡ A = ad-bc \)

Пример:
Найти определитель матрицы калькулятор 2×2 A

\(
det A =
\begin{vmatrix}
4 & 12 \\
2 & 7
\end{vmatrix} \\
\)

Решение:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix} \\
\)

\(|A| = (7)(4) – (2)(12)\)
\(|A| = 28 – 24\)
\(|A| = 4\)

Для умножения матрицы 3×3:

Здесь обсуждаются расчеты для матриц 3×3 разными методами:

Развернуть по столбцу:

Для расчетов матрица A = (aij) 3 × 3 из разложения столбца определяется по следующей формуле:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b & c\\d & e & f \\g & h & i
\end{vmatrix} \\
\)

\(det⁡ A= a\begin{vmatrix}
e & f \\h & i\end{vmatrix}  – d\begin{vmatrix}b & c \\h & i\end{vmatrix}+g\begin{vmatrix}b & c \\e & f\end{vmatrix} \)

Пример:
найти

\(
det A =
\begin{vmatrix}
2 & 0 & 3\\1 & 4 & 1 \\0 & 4 & 7
\end{vmatrix} \\

\)?

Решение:

\(det⁡ A= 2\begin{vmatrix}
4 & 1 \\4 & 7\end{vmatrix}  – 1\begin{vmatrix}0 & 3 \\4 & 7\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}0 & 3 \\4 & 1\end{vmatrix} \)

\( det⁡ A = 2[(7)(4)-(4)(1)]-1[(4)(3)-(7)(0)]+ 0[(4)(3)-(1)(0)] \)

\( det⁡ A = 2[28-4]-1[12-0]+ 0[12-0] \)

\( det⁡ A = 2[24]-1[12]+ 0[12] \)

\( det⁡ A = 48-12+ 0 \)

\( det⁡ A = 36 \)

Развернуть по строке:

Для вычислений матрица A = (aij) 3 × 3 из разложения строки определяется по следующей формуле:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b & c\\d & e & f \\g & h & i
\end{vmatrix} \\
\)

\(det⁡ A= a\begin{vmatrix}
e & f \\h & i\end{vmatrix}  – b\begin{vmatrix}d & f \\g & i\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}d & e \\g & h\end{vmatrix} \)

Пример:

найти

\(
det A =
\begin{vmatrix}
3 & 0 & 2\\1 & 4 & 1 \\7 & 0 & 4

\end{vmatrix} \\
\)?

Решение:

\(det⁡ A= 3\begin{vmatrix}
4 & 1 \\0 & 4\end{vmatrix}  – 0\begin{vmatrix}1 & 1 \\7 & 4\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}1 & 4 \\7 & 0\end{vmatrix} \)

\(det⁡ A = 3[(4)(4)-(0)(1)]-0[(4)(1)-(7)(1)]+ 2[(0)(1)-(7)(4)]\)
\(det⁡ A = 3[16-0]-0[4-7]+ 2[0-28]\)
\(det⁡ A = 3[16]-0[-3]+ 2[-28]\)
\(det⁡ A = 48+0- 56\)
\(det⁡ A = -8\)

Формула Лейбница:

Для расчетов матрица A = (aij) 3 × 3 по формуле Лейбница определяется по следующей формуле:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b & c\\d & e & f \\g & h & i
\end{vmatrix} \\
\)

\(det⁡ A =(a*e*i)-(a*f*h)-(b*d*i)+(b*f*g)+(c*d*h)-(c*e*g) \)

Пример:

найти

\(
det A =
\begin{vmatrix}
2 & 3 & 8\\6 & 1 & 2 \\5 & 8 & 9
\end{vmatrix} \\
\)?

Решение:

\(
det A =

\begin{vmatrix}
2 & 3 & 8\\6 & 1 & 2 \\5 & 8 & 9
\end{vmatrix} \\
\)
\(det⁡ A = 2*1*9-2*2*8-3*6*9+3*2*5+8*6*8-8*1*5\)

\(det A =198\)

Правило треугольника:

Для расчетов матрица A = (aij) 3 × 3 из правила Треугольника определяется по следующей формуле:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b & c\\d & e & f \\g & h & i
\end{vmatrix} \\
\)

Image

\(det⁡ A =(a*e*i)-(a*f*h)-(b*d*i)+(b*f*g)+(c*d*h)-(c*e*g) \)

Пример:

найти

\(
det A =
\begin{vmatrix}
4 & 5 & 8\\0 & 4 & 9 \\1 & 2 & 3
\end{vmatrix} \\
\)?

Решение:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
4 & 5 & 8\\0 & 4 & 9 \\1 & 2 & 3
\end{vmatrix} \\
\)
\(det⁡ A = 4*4*3+5*9*1+8*0*2-1*4*8-2*9*4-3*0*5\)

\(det A =-11\)

Правило Сарруса:

Для расчетов матрица A = (aij) 3 × 3 по правилу Сарруса определяется по следующей формуле:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b & c\\d & e & f \\g & h & i
\end{vmatrix} \\
\)

Image

\(det⁡ A =(a*e*i)-(a*f*h)-(b*d*i)+(b*f*g)+(c*d*h)-(c*e*g) \)

Пример:

найти

\(
det A =
\begin{vmatrix}
9 & 5 & 1\\3 & 5 & 7 \\4 & 8 & 6
\end{vmatrix} \\
\)?

Решение:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
9 & 5 & 1\\3 & 5 & 7 \\4 & 8 & 6
\end{vmatrix} \\
\)

\(det⁡ A = 9*5*6+5*7*4+1*3*8-4*5*1-8*7*9-6*3*5\)

\(det A = -180\)

Для матричного умножения 4×4:

Здесь обсуждаются расчеты для матриц 4х4 разными методами:

Развернуть по столбцу:

Для расчетов матрица A = (aij) 4 × 4 из разложения столбца определяется по следующей формуле:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b & c & d\\e & f & g &h \\i & j & k & l \\ m & n & o & p

\end{vmatrix} \\
\)

\(det⁡ A= a\begin{vmatrix}
f & g  & h\\j & k & l\\n & o & p\end{vmatrix}  – e\begin{vmatrix}b & c & d\\j & k & l\\ n & o & p\end{vmatrix}+i\begin{vmatrix}b & c & d \\f & g & h\\n & o & p\end{vmatrix}-m\begin{vmatrix}b & c & d\\f & g & h\\j & k & l\end {vmatrix}\)

Затем просто определите определитель 3×3, используя приведенную выше формулу 3×3.

Пример:

найти

\(
det A =
\begin{vmatrix}
1 & 8 & 7 & 2\\2 & 4 & 3 &8 \\1 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 9 & 6
\end{vmatrix} \\
\)?

Решение:

\(det⁡ A= 1\begin{vmatrix}4 & 3  & 8\\4 & 3 & 2\\4 & 9 & 6\end{vmatrix}  – 2\begin{vmatrix}8 & 7 & 2\\4 & 3 & 2\\ 4 & 9 & 6\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}8 & 7 & 2 \\4 & 3 & 8\\4 & 9 & 6\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}8 & 7 & 2\\4 & 3 & 8\\4 & 3 & 2\end {vmatrix}\)

\(det⁡ A=1( 4\begin{vmatrix}
3 & 2 \\9 & 6\end{vmatrix}  – 3\begin{vmatrix}4 & 2 \\4 & 6\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end{vmatrix}) -2( 8\begin{vmatrix}
3 & 2 \\9 & 6\end{vmatrix}  – 7\begin{vmatrix}4 & 2 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end{vmatrix}) +1( 8\begin{vmatrix}3 & 8 \\9 & 6\end{vmatrix}  – 7\begin{vmatrix}4 & 8 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end{vmatrix}) -1( 8\begin{vmatrix}
3 & 8 \\3 & 2\end{vmatrix}  – 7\begin{vmatrix}4 & 8 \\4 & 6\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 3\end{vmatrix})\)

\(det⁡ A = 1[4(18-18)-3(24-8)+ 8(36-12)]-2[ 8(18-18)-7(24-8)+ 2(36-12)]+ 1[ 8(18-72)-7(24-32)+ 2(36-12)] -1[8(6-24)-7(8-32)+ 2(12-12)]\)

\(det⁡ A = 1[4(0)-3(16)+ 8(24)]-2[ 8(0)-7(16)+ 2(24)]+ 1[ 8(-54)-7(-8)+ 2(24)]-1[8(-18)-7(-24)+ 2(0)]\)

\(det⁡ A = 1[0-48+192]-2[0-112+48]+ 1[ -432+56+48]-1[-144+168+0]\)

\(det⁡ A = 1[144]-2[-64]+ 1[-328]-1[24]\)

\(det⁡ A = 144+128-328- 24\)

\(det⁡ A = -80\)

Развернуть по строке:

Для вычислений матрица A = (aij) 4 × 4 из разложения строки определяется по следующей формуле:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b & c & d\\e & f & g &h \\i & j & k & l \\ m & n & o & p
\end{vmatrix} \\
\)

\(det⁡ A= a\begin{vmatrix}
f & g  & h\\j & k & l\\n & o & p\end{vmatrix}  – b\begin{vmatrix}e & g & h\\i & k & l\\ m & o & p\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}e & f & h \\i & j & l\\m & n & p\end{vmatrix}-d\begin{vmatrix}e & f & g\\i & j & k\\m & n & o\end {vmatrix}\)

Затем просто определите определитель 3×3, используя приведенную выше формулу 3×3.

Пример:
найти

\(
det A =
\begin{vmatrix}
1 & 8 & 7 & 2\\2 & 4 & 3 &8 \\1 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 9 & 6
\end{vmatrix} \\
\)?
Решение:

\(det⁡ A= 1\begin{vmatrix}4 & 3  & 8\\4 & 3 & 2\\4 & 9 & 6\end{vmatrix}  – 8\begin{vmatrix}2 & 3 & 8\\1 & 3 & 2\\ 1 & 9 & 6\end{vmatrix}+7\begin{vmatrix}2 & 4 & 8 \\1 & 4 & 2\\1 & 4 & 6\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}2 & 4 & 3\\1 & 4 & 3\\1 & 4 & 9\end {vmatrix}\)

\(det⁡ A=1( 4\begin{vmatrix}
3 & 2 \\9 & 6\end{vmatrix}  – 3\begin{vmatrix}4 & 2 \\4 & 6\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}4 & 3 \\4 & 9\end{vmatrix}) -8( 2\begin{vmatrix}
3 & 2 \\9 & 6\end{vmatrix}  – 3\begin{vmatrix}1 & 2 \\1 & 6\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}1 & 3 \\1 & 9\end{vmatrix}) +7( 2\begin{vmatrix}
4 & 2 \\4 & 6\end{vmatrix}  – 4\begin{vmatrix}1 & 2 \\1 & 6\end{vmatrix}+8\begin{vmatrix}1 & 4 \\1 & 4\end{vmatrix}) -2( 2\begin{vmatrix}

4 & 3 \\4 & 9\end{vmatrix}  – 4\begin{vmatrix}1 & 3 \\1 & 9\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}1 & 4 \\1 & 4\end{vmatrix})\)

\(det⁡ A = 1[4(18-18)-3(24-8)+ 8(36-12)]-8[ 2(18-18)-3(6-2)+ 8(9-3)]+ 7[ 2(24-8)-4(6-2)+ 8(4-4)]-2[2(36-12)-4(9-3)+ 3(4-4)] \)
\(det⁡ A = 1[4(0)-3(16)+ 8(24)]-8[ 2(0)-3(4)+ 8(6)]+ 7[ 2(16)-4(4)+ 8(0)]-2[2(24)-4(6)+ 3(0)]\)
\(det A = 1[0-48+192]-8[0-12+48]+ 7[ 32-16+0]-2[48-24+0]\)
\(det⁡ A = 1[144]-8[36]+ 7[16]-2[24]\)
\(det A = 144-288+112- 48 \)
\(det⁡ A = -80\)

Формула Лейбница:

Для расчетов матрица A = (aij) 4 × 4 по формуле Лейбница определяется по следующей формуле:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b & c & d\\e & f & g &h \\i & j & k & l \\ m & n & o & p
\end{vmatrix} \\
\)

\(det A = a*f*k*p + a*j*o*h + a*n*g*l + e*b*o*l + e*j*c*p + e*n*k*d + i*b*g*p + i*f*o*d + i*n*c*h+ m*b*k*h + m*f*c*l + m*j*g*d − a*f*o*l – a*j*g*p – a*n*k*h − e*b*k*p – e*j*o*d -e*n*c*l− i*b*o*h – i*f*c*p – i*n*g*d − m*b*g*l – m*f*k*d – m*j*c*h\)

Пример:
Find \(
det A =
\begin{vmatrix}
1 & 8 & 7 & 2\\2 & 4 & 3 &8 \\1 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 9 & 6
\end{vmatrix} \\
\)?

Решение:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
1 & 8 & 7 & 2\\2 & 4 & 3 &8 \\1 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 4 & 9 & 6
\end{vmatrix} \\
\)
\(1*4*3*6-1*4*2*9-1*3*4*6+1*3*2*4+1*8*4*9-1*8*3*4-8*2*3*6+8*2*2*9+8*3*1*6-8*3*2*1-8*8*1*9+8*8*3*1+7*2*4*6-7*2*2*4-7*4*1*6+7*4*2*1+7*8*1*4-7*8*4*1-2*2*4*9+2*2*3*4+2*4*1*9-2*4*3*1-2*3*1*4+2*3*4*1\)
\(=-80\)

Для умножения матрицы 5×5:

Здесь обсуждаются расчеты для матриц 5×5 разными методами:

Развернуть по столбцу:

Для расчетов матрица A = (aij) 5 × 5 из разложения столбца определяется по следующей формуле:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b & c & d & e\\f & g & h & i & j\\k & l & m & n & o \\ p & q & r & s & t \\ u & v & w & x & y
\end{vmatrix} \\
\)

\(det⁡ A= a\begin{vmatrix}
g & h  & i & j\\l & m & n & o\\q & r & s & t\\v & w & x & y\end{vmatrix}  – f\begin{vmatrix}b & c & d & e\\l & m & n & o\\ q & r & s & t\\ v & w & x & y\end{vmatrix}+k\begin{vmatrix}b & c & d & e \\g & h & i & j\\q & r & s & t\\v & w & x & y\end{vmatrix}-p\begin{vmatrix}b & c & d & e\\g & h & i & j\\l & m & n & o\\q & r & s & t\end {vmatrix}\)

Затем просто определите определитель 4×4, используя приведенную выше формулу 4×4.

Развернуть по строке:

Для расчетов матрица A = (aij) 5 × 5 из разложения строки определяется по следующей формуле:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a & b & c & d & e\\f & g & h & i & j\\k & l & m & n & o \\ p & q & r & s & t \\ u & v & w & x & y
\end{vmatrix} \\
\)

\(det⁡ A= a\begin{vmatrix}
g & h  & i & j\\l & m & n & o\\q & r & s & t\\v & w & x & y\end{vmatrix}  – b\begin{vmatrix}g & h & i & j\\k & m & n & o\\ p & r & s & t\\ u & w & x & y\end{vmatrix}+c\begin{vmatrix}f & g & i & j \\k & l & n & o\\p & q & s & t\\u & v & x & y\end{vmatrix}-d\begin{vmatrix}f & g & h & j\\k & l & m & o\\p & q & r & t\\u & v & w & y\end {vmatrix}+e\begin{vmatrix}f & g & h & i\\k & l & m & n\\p & q & r & s\\u & v & w & x\end {vmatrix}\)

Затем просто определите определитель 4×4, используя приведенную выше формулу 4×4.

Формула Лейбница:

Для расчетов матрица A = (aij) 5 × 5 по формуле Лейбница определяется по следующей формуле:

\(
det A =
\begin{vmatrix}
a11 & a12 & a13 & a14 & a15\\a21 & a22 & a23 & a24 & a25\\a31 & a32 & a33 & a34 & a35 \\ a41 & a42 & a43 & a44 & a45 \\ a51 & a52 & a53 & a54 & a55
\end{vmatrix} \\
\)

Образ

Пример:
Find \(
det A =
\begin{vmatrix}
1 & 8 & 7 & 2 & 8\\2 & 4 & 3 &8 & 3\\1 & 4 & 3 & 2 &1\\ 1 & 4 & 9 & 6 & 2 \\ 1 & 5 & 7 & 3 & 4
\end{vmatrix} \\
\)?
Решение:
\(
det A =
\begin{vmatrix}
1 & 8 & 7 & 2 & 8\\2 & 4 & 3 &8 & 3\\1 & 4 & 3 & 2 &1\\ 1 & 4 & 9 & 6 & 2 \\ 1 & 5 & 7 & 3 & 4
\end{vmatrix} \\
\)
\( =1*4*3*6*4-1*4*3*2*3-1*4*2*9*4+1*4*2*2*7+1*4*1*9*3-1*4*1*6*7-1*3*4*6*4+1*3*4*2*3+1*3*2*4*4-1*3*2*2*5-1*3*1*4*3+1*3*1*6*5+1*8*4*9*4-1*8*4*2*7-1*8*3*4*4+1*8*3*2*5+1*8*1*4*7-1*8*1*9*5-1*3*4*9*3+1*3*4*6*7+1*3*3*4*3-1*3*3*6*5-1*3*2*4*7+1*3*2*9*5-8*2*3*6*4+8*2*3*2*3+8*2*2*9*4-8*2*2*2*7-8*2*1*9*3+8*2*1*6*7+8*3*1*6*4-8*3*1*2*3-8*3*2*1*4+8*3*2*2*1+8*3*1*1*3-8*3*1*6*1-8*8*1*9*4+8*8*1*2*7+8*8*3*1*4-8*8*3*2*1-8*8*1*1*7+8*8*1*9*1+8*3*1*9*3-8*3*1*6*7-8*3*3*1*3+8*3*3*6*1+8*3*2*1*7-8*3*2*9*1+7*2*4*6*4-7*2*4*2*3-7*2*2*4*4+7*2*2*2*5+7*2*1*4*3-7*2*1*6*5-7*4*1*6*4+7*4*1*2*3+7*4*2*1*4-7*4*2*2*1-7*4*1*1*3+7*4*1*6*1+7*8*1*4*4-7*8*1*2*5-7*8*4*1*4+7*8*4*2*1+7*8*1*1*5-7*8*1*4*1-7*3*1*4*3+7*3*1*6*5+7*3*4*1*3-7*3*4*6*1-7*3*2*1*5+7*3*2*4*1-2*2*4*9*4+2*2*4*2*7+2*2*3*4*4-2*2*3*2*5-2*2*1*4*7+2*2*1*9*5+2*4*1*9*4-2*4*1*2*7-2*4*3*1*4+2*4*3*2*1+2*4*1*1*7-2*4*1*9*1-2*3*1*4*4+2*3*1*2*5+2*3*4*1*4-2*3*4*2*1-2*3*1*1*5+2*3*1*4*1+2*3*1*4*7-2*3*1*9*5-2*3*4*1*7+2*3*4*9*1+2*3*3*1*5-2*3*3*4*1+8*2*4*9*3-8*2*4*6*7-8*2*3*4*3+8*2*3*6*5+8*2*2*4*7-8*2*2*9*5-8*4*1*9*3+8*4*1*6*7+8*4*3*1*3-8*4*3*6*1-8*4*2*1*7+8*4*2*9*1+8*3*1*4*3-8*3*1*6*5-8*3*4*1*3+8*3*4*6*1+8*3*2*1*5-8*3*2*4*1-8*8*1*4*7+8*8*1*9*5+8*8*4*1*7-8*8*4*9*1-8*8*3*1*5+8*8*3*4*1\)
\( =-248\)

Заметка:

Правило Треугольника и Правило Сарруса применимо только к матрице до 3×3. Наш онлайн-калькулятор определителей матриц использует все эти формулы для точных вычислений определителей. Просто вы можете использовать наш онлайн-математический калькулятор, который поможет вам легко выполнять различные математические операции за короткий промежуток времени.

Как использовать этот онлайн-калькулятор определителя матрицы:

Наш онлайн-калькулятор помогает найти определитель матрицы калькулятор размером до 5×5 пятью различными методами. Просто следуйте пунктам для получения точных результатов.
Читать дальше!

Входы:

  • Прежде всего, выберите порядок матрицы из выпадающего списка калькулятора.
  • Затем введите значения матрицы в соответствующие поля.
  • Затем выберите метод, с помощью которого вы найдете определитель.
  • Наконец, нажмите кнопку “Рассчитать”.

Заметка:

Есть поле «номер столбца или строки», в которое вы вводите номер строки или номер столбца, которые необходимо развернуть. Кроме того, в нем есть поля для создания матрицы и очистки матрицы, он автоматически сгенерирует матрицу и очистит все значения из матрицы соответственно.

Выходы:

После заполнения всех полей калькулятор показывает:

  • Определитель матрицы.
  • Пошаговые расчеты.

Заметка:

Независимо от того, какой метод вы выберете для расчетов, онлайн-калькулятор определителя покажет вам результаты в соответствии с выбранным вариантом.

Детерминантные свойства:

Поскольку детерминанты обладают многими полезными свойствами, но здесь мы перечислили некоторые из их важных свойств:

Определитель произведения чисел равен произведению определителей чисел.
Если мы поменяем местами две строки и два столбца матрицы, то определитель останется тем же, но с противоположным знаком.
определитель матрицы онлайн равен транспонированной матрице.
определитель матрицы калькулятор 5 × 5 полезен в расширении Лапласа.
Если мы добавим те же две копии первой строки в любую строку (столбцы в любой столбец), то определитель не изменится.

Часто задаваемые вопросы (FAQ):

Для чего используются детерминанты?

Определитель полезен при определении решения линейных уравнений, фиксируя, как линейное преобразование изменяет объем или площадь и изменяет переменные в интегралах. Он отображается как функция, вход которой представляет собой квадратную матрицу, а выход представляет собой одно число.

Что означает определитель 0?

Определитель 0 означает, что объем равен нулю (0). Это может произойти только тогда, когда один вектор перекрывает один другой.

Может ли определитель быть отрицательным?

Поскольку это действительное число, а не матрица. Значит, это может быть отрицательное число. Определитель существует только для квадратных матриц (2 × 2, 3 × 3, … n × n).

Конечное примечание:

К счастью, вы узнали о детерминантах, о том, как их найти вручную, и о различных приложениях в математике, включая решение линейных уравнений; определить изменение объема или площади при линейном преобразовании и т. д. Когда дело доходит до решения определителя для матрицы более высокого порядка, это очень сложная задача. Просто попробуйте этот онлайн-калькулятор определителя, который позволяет вам найти определитель матриц с помощью различных методов расчета с полным расчетом. Как правило, студенты и профессионалы используют этот калькулятор определителя матрицы для решения своих математических задач.

Other languages: Determinant Calculator, Determinant Hesaplama, Kalkulator Wyznacznika Macierzy, Kalkulator Penentu Matriks, Determinanten Rechner, 行列式 計算, 행렬식 계산기, Determinant Kalkulačka, Calculadora De Determinantes, Calcul Déterminant Matrice, Calculadora De Determinantes, Calcolo Determinante, حساب محدد, Determinantti laskin, Determinantberegner.

Вычислить определитель матрицы системы методом гаусса онлайн. Вычисление определителя

Здесь вы сможете бесплатно решить систему линейных уравнений методом Гаусса онлайн больших размеров в комплексных числах с очень подробным решением. Наш калькулятор умеет решать онлайн как обычную определенную, так и неопределенную систему линейных уравнений методом Гаусса, которая имеет бесконечное множество решений. В этом случае в ответе вы получите зависимость одних переменных через другие, свободные. Также можно проверить систему уравнений на совместность онлайн, используя решение методом Гаусса.

О методе

При решении системы линейных уравнений онлайн методом Гаусса выполняются следующие шаги.

  1. Записываем расширенную матрицу.
  2. Фактически решение разделяют на прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямым ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к ступенчатому виду. Обратным ходом метода Гаусса называется приведение матрицы к специальному ступенчатому виду. Но на практике удобнее сразу занулять то, что находится и сверху и снизу рассматриваемого элемента. Наш калькулятор использует именно этот подход.
  3. Важно отметить, что при решении методом Гаусса, наличие в матрице хотя бы одной нулевой строки с НЕнулевой правой частью (столбец свободных членов) говорит о несовместности системы. Решение линейной системы в таком случае не существует.

Чтобы лучше всего понять принцип работы алгоритма Гаусса онлайн введите любой пример, выберите «очень подробное решение» и посмотрите его решение онлайн.

В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы . Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей , он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!

Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.

На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: , и определитель третьего порядка, например: .

Определитель четвертого порядка тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.

Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!

(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)

Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!

Обозначения : Если дана матрица , то ее определитель обозначают . Также очень часто определитель обозначают латинской буквой или греческой .

1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.

2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.

Начнем с определителя «два» на «два» :

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.

Сразу рассмотрим пример:

Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.

Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 — нормальные.

Начнем с двух простых способов

Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:

Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:


Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:

Пример:

Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.

Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя

Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.

Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу .
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.

В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке .
Для этого нам понадобится матрица знаков: . Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.

Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.

Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:

И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот:
?

Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ . Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.

Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке , очевидно, что всё вращается вокруг неё:

Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)

Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:

1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

2) Затем записываем сам элемент:

3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент:

Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).

Переходим ко второму элементу строки.

4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

5) Затем записываем второй элемент:

6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент:

Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:

7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:

8) Записываем третий элемент:

9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент:

Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.

Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!

Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.

Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:

В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу :

А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.

Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя .

БУДЬТЕ ВНИМАТЕЛЬНЫ!

Содержание

Введение…………………………………………………………………………………………….. 2

1. Постановка задачи………………………………………………………………………….. 3

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи……………… 5

2.1 Определитель матрицы………………………………………………………………….. 5

2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений…………………… 6

2.3 Метод Гаусса для вычисления определителя……………………………………. 8

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи…………………….. 9

4. Программная реализация решения задачи………………………………………. 11

5. Пример выполнения программы…………………………………………………….. 16

Заключение………………………………………………………………………………………. 18

Список использованных источников и литературы……………………………… 19

Введение

Многие проблемы, возникающие в экономических исследованиях, планировании и управлении, будучи сформулированными математически, представляют собой задачи, в которых необходимо решить систему алгебраических уравнений.

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной.

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности. Этот метод (который также называют методом последовательного исключения неизвестных) известен в различных вариантах уже более 2000 лет.

Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для нахождения матрицы, обратной к данной, определения ранга матрицы и нахождения определителя.

Целью данной курсовой работы является реализация вычисления определителя методом исключения Гаусса.

1. Постановка задачи

Вычисление определителя матрицы заключается в выполнении над матрицей алгоритма Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. В результате выполнения алгоритма получаем диагональную матрицу, её определитель равен произведению элементов, стоящих на диагонали.

. ~. . .

Вычислить определитель матрицы методом A исключения Гаусса.

.

Приведем матрицу к диагональному виду методом Гаусса.

~.

Тогда определитель матрицы равен произведению ее элементов, стоящих на диагонали:

.

Знак определяется количеством обменов строк, следовательно определитель матрицы

.

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Определитель матрицы

Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным, то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка n, нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка n-1. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц.

Определитель квадратной матрицы A будем обозначать

или det A.

Определение. Определителем квадратной матрицы

второго порядка называется число

.

Определителем

квадратной матрицы порядка n,

, называется число — определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы A вычеркиванием первой строки и столбца с номером k.

2.2 Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Пусть дана квадратная матрица A размером NxN. Требуется вычислить её определитель.

Воспользуемся идеями метода Гаусса решения систем линейных уравнений.

Дана система:

a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

an1 x1 + an2 x2 + … + ann xn = bn

Выполним следующий алгоритм.

На первом шаге найдём в первом столбце наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на первую строчку (обменяв две соответствующие строки матрицы A и два соответствующих элемента вектора B), а затем будем отнимать это уравнение от всех остальных, чтобы в первом столбце все элементы (кроме первого) обратились в ноль. Например, при прибавлении ко второй строке будем домножать первую строку на -a21/a11, при добавлении к третьей — на -a31/a11, и т.д.

На втором шаге найдём во втором столбце, начиная со второго элемента, наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на вторую строчку, и будем отнимать это уравнение от всех остальных (в том числе и от первого), чтобы во втором столбце все элементы (кроме второго) обратились в ноль. Понятно, что эта операция никак не изменит первый столбец — ведь от каждой строки мы будем отнимать вторую строку, домноженную на некоторый коэффициент, а во второй строке в первом столбце стоит ноль.

Т.е. на i-ом шаге найдём в i-ом столбце, начиная с i-го элемента, наибольший по модулю элемент, поставим уравнение с этим элементом на i-ю строчку, и будем отнимать это уравнение от всех остальных. Понятно, что это никак не повлияет на все предыдущие столбцы (с первого по (i-1)-ый).

В конце концов, мы приведём систему к так называемому диагональному виду:

Т.е. мы нашли решение системы.

Замечание 1. На каждой итерации найдётся хотя бы один ненулевой элемент, иначе система бы имела нулевой определитель, что противоречит условию.

Замечание 2. Требование, что на каждом шаге мы выбираем наибольший по модулю элемент, очень важно в смысле численной устойчивости метода. Если выбирать произвольный ненулевой элемент, то это может привести к гигантской погрешности, когда получившееся решение будет отличаться в разы от правильного.

2.3 Метод Гаусса для вычисления определителя

Будем выполнять те же самые действия, что и при решении системы линейных уравнений, исключив только деление текущей строки на a[i][i] (точнее, само деление можно выполнять, но подразумевая, что число выносится за знак определителя). Тогда все операции, которые мы будем производить с матрицей, не будут изменять величину определителя матрицы, за исключением, быть может, знака (мы только обмениваем местами две строки, что меняет знак на противоположный, или прибавляем одну строку к другой, что не меняет величину определителя).

Но матрица, к которой мы приходим после выполнения алгоритма Гаусса, является диагональной, и определитель её равен произведению элементов, стоящих на диагонали. Знак, как уже говорилось, будет определяться количеством обменов строк (если их нечётное, то знак определителя следует изменить на противоположный). Таким образом, мы можем с помощью алгоритма Гаусса вычислять определитель матрицы за O(N3).

Осталось только заметить, что если в какой-то момент мы не найдём в текущем столбце ненулевого элемента, то алгоритм следует остановить и вернуть 0.

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

Блок-схема решения задачи представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 – Блок-схема решения задачи для функции DETERMINATE

4 Программная реализация решения задачи

;ФУНКЦИЯ, ВЫЧИСЛЯЮЩАЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

(DEFUN DETERMINANT (MATRIX SIZE)

;ОБЪЯВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ

;ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ

(DECLARE (SPECIAL DET))

;ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ МАССИВЫ И ПЕРЕМЕННЫЕ

(DECLARE (SPECIAL PAR))

(DECLARE (SPECIAL R))

(DECLARE (SPECIAL T_))

(DECLARE (SPECIAL I))

(DECLARE (SPECIAL II))

;*********************

(SETQ R (MAKE-ARRAY SIZE:ELEMENT-TYPE «FLOAT:INITIAL-ELEMENT 0))

((>= J (- SIZE 1)))

;ИСКЛЮЧАЕМ ДЕЛЕНИЕ НА 0

(IF (= (AREF MATRIX J J) 0)

(SETQ II (+ J 1))

;ИЩЕМ СТРОКУ В КОТОРОЙ J-Й ЭЛЕМЕНТ НЕ 0

((OR (/= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- SIZE 1))))

(SETQ II (+ II 1))

;ЕСЛИ НЕТ ТАКОЙ СТРОКИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ РАВЕН 0

(IF (AND (= (AREF MATRIX II J) 0) (= II (- SIZE 1))) (SETQ T_ 0))

Вычислим определитель методом Гаусса.

Суть метода состоит в следующем: определитель приводится к треугольному виду с помощью элементарных преобразований, и тогда он равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Идея метода состоит в следующем: пусть дан определитель третьего порядка

элементдолжен быть равен
, для этого первую строку разделим на.

Получим определитель вида
(2)

Обнулим элементы, стоящие в первом столбце, кроме первого. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на
, далее из третьей строки вычтем первую, умноженную на. Получим определитель вида
.

Обозначим его элементы буквой с, тогда

(3)

Теперь надо обнулить элемент . Элемент
должен быть равен
, для этого вторую строку разделим на
. Получим определитель вида
.

.

Обозначим его элементы буквой t, тогда

(4)

Вот мы привели определитель к треугольному виду, теперь он равен
.

Разберем теперь это на конкретном примере.

Пример 4: Вычислить определительметодом Гаусса.

Решение: Поменяем местами первую и третью строки (при замене двух столбцов (строк) определитель меняет знак на противоположный).

Получили

Из второй строки вычтем первую, умноженную на 2, далее из третьей строки вычтем первую, умноженную на 3. Получили

Получили —

§2.Матрицы Виды матриц

Определение 7: Если в матрицеmстрок иnстолбцов, то она называетсяразмерностью mnи пишут
.

Определение 8: Если
, то матрица называется квадратной.

Определение 9: Матрица, состоящая лишь из одной строки (столбца) называется матрицей-строкой (столбцом).

Определение 10: Матрица, состоящая из нулей, называется нулевой матрицей.

Определение 11: Диагональной матрицей называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали равны нулю.

Определение 12: Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали равны единице.

Определение 13: Треугольной называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Действиянад матрицами.

Определение 14: Две матрицы считаются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и равные соответствующие элементы.

Пример 5:

Матрицы А и В равны, т.е.

Определение 15: Суммой (разностью) матриц А и В называется такая матрица С, у которой каждый элемент равен
.

Пример 6: Найти матрицу
, если

Решение:

Cвойства сложения

А+В=В+А(переместительное)

2 0 А+О=А, где О-нулевая матрица

3 0 А+(В+С)=(А+В)+С (дистрибутивное)

4 0 А+(-А)=О, где – А противоположная матрица

(т.е. элементы имеют противоположные знаки)

Определение 16: Произведением матрицы А на число
называется матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число.

Пример 7:

Умножение матиц

Это действие распространяется на так называемые согласованные матрицы.

Определение 17: Матрица А называетсясогласованной с матрицей В, если число столбцов у матрицы А равно числу строк у матрицы В.

Пример 8:
и
— согласованные

и
— несогласованные

и
несогласованные

Определение 18: Произведением двух матриц А и В называется такая матрица С, каждый элемент которой равен сумме произведений элементовiстроки матрицы А на соответствующие элементыj-го столбца матрицы В.

Если матрица А имеет размерность
, а матрица В
, то
.

Пример 9: Умножить матрицы

Расчет детерминанта комплексной матрицы

Вы ввели следующие элементы массива
Определитель(детерминант) матрицы равен

Сервис позволяет рассчитывать определитель, детерминант квадратной матрицы любой размерности с комплексными коэффициентами.

Где же может применяться расчет определителя матрицы( в том числе и с комплексными коэффициентами)?

1. Система комплексных линейных уравнений

2. для вычисления мер в n-мерных пространствах, 

3. для определения ранга матрицы через невырожденные миноры, 

4. в криптографии для некоторых шифров (например, шифр Хилла, шифрование аффинными блочными шифрами), 

5. в нахождении экстремумов функций нескольких переменных,

6. ФРС. Фундаментальное решение системы уравнений

Многие спрашивают в чем же физический смысл расчета определителя матрицы?

Ответ прост: его нет.

Несмотря на то, что расчет  определителя, детерминанта матрицы используется в множестве задач, от экономики  до ядерной физики, смысла  именно физического у детерминанта нет.

Интересный взгляд на расчет определителя матрицы есть в материале: Определитель матрицы. Альтернативный взгляд.

А кто хочет узнать свойства матриц, то добро пожаловать Свойства определителя матрицы (Property determinant)

Матрица должна быть квадратной, то есть число столбцов и строк должно быть одинаково.

Как например здесь 

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)

Значением матрицы являются как действительные, так и комплексные числа.

Элементы матрицы вводятся по принципу слева направо и сверху вниз, в одну или несколько строк.

Каждый элемент матрицы должен быть разделен пробелами.

Если в строке будет встречен любой символ не являющийся числовым, то он будет автоматически заменен на нуль.

Нет никаких ограничений на количество элементов матрицы. Вернее, не надо вводить больше 300-400 элементов. Устанете.. 🙂

Убедительная просьба: Если уж пишете мнимые единицы то обозначайте их знаком i (ай) а не j(джи). Будьте внимательнее в написании исходных данных!!.

Примеры

\(\begin{pmatrix} 1 & 2+2i \\ 3-1.5i & 4 \end{pmatrix}\)

Пишете просто 1 2+2i 3-1.5i 4

и в ответе получим

Матрица квадратная 2х2. 

Определитель такой матрицы равен 

-5-3i

То есть комплексное число \(-5-3i\)


\(\begin{pmatrix} -1 & 2.2)

и получаем ответ

Матрица квадратная 2х2. 

Определитель такой матрицы равен 

2.98466684-0.94876041i

 

Расчет детерминанта комплексной матрицы | 2012-10-22 07:57:36 | Варламов Дмитрий | Алгебра | Онлайн расчет определителя или детерминанта квадратной матрицы (determinant complex matrix) в поле вещественных и комплексных чисел | определитель, матрица, комплексное, онлайн, найти

калькулятор — детерминант третьего порядка

Калькулятор, что находится ниже, существует для расчетов определителя третьего порядка матрицы.

Напоминаем, что у нас на сайте уже есть калькулятор, который вычисляет определитель матрицы:

Также, если вы хотите подробней изучить данную тему, то вы можете сделать это посетив данную страницу:

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

Зануление строки матрицы онлайн. Понижение порядка определителя

Матрицы применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. При этом количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов – количеству неизвестных. Как результат – решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Матрица записывается в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (к примеру, целых, комплексных или действительных чисел). Является совокупностью строк и столбцов, на пересечении которых находятся ее элементы. Размер матрицы задается количеством строк и столбцов.

Важным значением любой матрицы является её определитель, который вычисляется по определённой формуле. Вручную необходимо проделать ряд операций с матрицей, чтобы вычислить её определитель. Определитель может быть как положительным, так отрицательным, так и равен нулю. Чтобы проверить свои вычисления определителя матрицы, Вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором. Онлайн калькулятор мгновенно посчитает определитель матрицы и выдаст точное значение.

Определитель матрицы – это своеобразная характеристика матрицы, а точнее с помощью него можно определить имеет ли соответствующая система уравнений решение. Определитель матрицы широко используется в науке, такой как физика, с помощью которого вычисляется физический смысл многих величин.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Также с помощью нашего калькулятора вы сможете решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры. СЛАУ и методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном программировании.

Бесплатный онлайн калькулятор

Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Определитель матрицы

Нахождение определителя матрицы является очень частой задачей в высшей математике и алгебре. Как правило, без значения определителя матрицы не обойтись при решении сложных систем уравнений. На вычислении определителя матрицы построен метод Крамера решения систем уравнений. С помощью определения детермината определяют наличие и единственность решения систем уравнений. Поэтому сложно переоценить важность умения правильно и точно находить определитель матрицы в математике. Методы решения определителей являются теоретически довольно простыми, однако с увеличением размера матрицы вычисления становятся очень громоздкими и требуют огромной внимательности и много времени. Очень легко в таких сложных математических вычислениях допустить незначительную ошибку или описку, что приведет к ошибке в окончательном ответе. Поэтому даже если вы находите определитель матрицы самостоятельно, важно проверить полученный результат. Это позволяет сделать наш сервис Нахождение определителя матрицы онлайн . Наш сервис выдает всегда абсолютно точный результат, не содержащий ни ошибок, ни описок. Вы можете отказаться от самостоятельных вычислений, поскольку с прикладной точки зрения, нахождение определителя матрицы не имеет обучающего характера, а просто требует много времени и числовых вычислений. Поэтому если в вашей задачи определение детерминанта матрицы являются вспомогательными, побочными вычислениями, воспользуйтесь нашим сервисом и найдите определитель матрицы онлайн !

Все вычисления проводятся автоматически с высочайшей точностью и абсолютно бесплатны. У нас очень удобный интерфейс для ввода матричных элементов. Но главное отличие нашего сервиса от аналогичных — возможность получения подробного решения. Наш сервис при вычислении определителя матрицы онлайн всегда использует самый простой и короткий метод и подробно описывает каждый шаг преобразований и упрощений. Так что вы получаете не просто значение детерминанта матрицы, окончательный результат, но и целое подробное решение.

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

Ответ.

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

2. Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

4.Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:


Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду . Рассмотрим разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по i -той строке.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по j -той строке.

Для облегчения разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример

Найдем определитель матрицы четвертого порядка.

Будем раскладывать этот определитель за столбцом №3

Сделаем ноль вместо элемента a 4 3 =9 . Для этого из строки №4 вычтем от соответствующие элементы строки №1 умноженные на 3 .
Результат записываем в строке №4 все остальные строки переписываем без изменений.


Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a 1 3 = 3 в столбце № 3 . Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этим столбцом.


Видим, что только слагаемое №1 не превращается в ноль, все остальные слагаемые будут нолями, так как они умножаются на ноль.
Значит, далее нам надо разложить, только один определитель:

Будем раскладывать этот определитель за строкой №1 . Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Видим, что в этой строке есть два одинаковых числа, поэтому вычтем из столбца №3 столбец №2 , и результат запишем в столбце №3 , от этого величина определителя не изменится.

Далее нам надо сделать ноль вместо элемента a 1 2 =4 . Для этого мы элементы столбца №2 умножим на 3 и вычтем от него соответствующие элементы столбца №1 умноженные на 4 . Результат записываем в столбце №2 все остальные столбцы переписываем без изменений.


Но при этом надо не забывать, что если мы умножаем столбец №2 на 3 , то и весь определитель увеличится в 3 . А что бы он не изменился, значит надо его поделить на 3 .

Определитель рассчитывается только для квадратных матриц и является сумой слагаемых n-ого порядка. Подробный алгоритм его вычисления будет описан в готовом решении, которое вы сможете получить сразу после ввода условия в данный онлайн калькулятор. Это доступная и простая возможность получить детальную теорию, поскольку решение будет представлено с подробной расшифровкой каждого шага.

Инструкция пользования данным калькулятором проста. Чтобы найти определитель матрицы онлайн сначала вам нужно определиться с размером матрицы и выбрать количество столбцов и, соответственно, строк в ней. Для этого кликните на иконку «+» или «-». Далее остаётся только ввести нужные числа и нажать «Вычислить». Можно вводить как целые, так и дробные числа. Калькулятор сделает всю требуемую работу и выдаст вам готовый результат.

Чтобы стать экспертом в математике, нужно много и упорно тренироваться. A ещё никогда не помешает дополнительный раз себя перепроверить. Поэтому, когда перед вами поставлена задача вычислить определитель матрицы, целесообразно воспользоваться онлайн калькулятором. Он справится очень быстро, и в течение нескольких секунд на мониторе появится, готовое решение. Это не предполагает, что онлайн калькулятор должен заменять вам традиционные расчёты. Но он является превосходным помощником, если вам интересно понять алгоритм вычисления определителя матрицы. K тому же, это превосходная возможность проверить, правильно ли выполнена контрольная, подстраховаться от неудачной оценки.

Онлайн Калькулятор: Детерминант матрицы

Размерность матрицы:

——

2 x 23 x 34 x 45 x 56 x 6

Метод:

——

Разложение по первой строкеСаррюсаПриведением к треугольному виду

Введите значения:

=

Пример решения

Разложение по первой строке

Чтобы вычислить определитель матрицы разложением по первой строке, необходимо каждый элемент данной строки умножить на соответствующий ему минор;

Миноры соответствущие определенному элементу находим путем исключения i-й строки,j-го столбца из матрицы A, после чего находим определитель полученной матрицы;
i,j — это номер строки и столбца, в которых находиться определенный элемент;

После вычисления произведений каждого элемента первой строки, на соответсвующий ему минор, необходимо их сложить и вычесть;
Знак сложения и вычитания изменяется по порядку, начиная со знака сложения;
Возле первого произведения стоит знак плюс, возле второго знак минус и т. д.

= a11 * A11 — a12 * A12 + a13 * A13 — a14 * A14;

Итак, найдем миноры каждого элемента первой строки.

Найдем минор элемента под индексом 11
Для этого из матрицы А необходимо исключить 1 строку и 1 столбец, после чего получаем следующую матрицу:

Далее вычисляем определитель данной матрицы.
Он равен -57, это и есть минор элемента 11.

Найдем минор элемента под индексом 12
Для этого из матрицы А необходимо исключить 1 строку и 2 столбец, после чего получаем следующую матрицу:

Далее вычисляем определитель данной матрицы.
Он равен -57, это и есть минор элемента 12.

Найдем минор элемента под индексом 13
Для этого из матрицы А необходимо исключить 1 строку и 3 столбец, после чего получаем следующую матрицу:

Далее вычисляем определитель данной матрицы.
Он равен -3, это и есть минор элемента 13.

Найдем минор элемента под индексом 14
Для этого из матрицы А необходимо исключить 1 строку и 4 столбец, после чего получаем следующую матрицу:

Далее вычисляем определитель данной матрицы.
Он равен 21, это и есть минор элемента 14.

Теперь необходимо вычислить произведение первого элемента на соответствующий ему минор.
71 * (-57) = -4047;

Далее от данного произведения необходимо вычесть произведение второго элемента на соответствующий ему минор.
-4047 — (8 * (-57)) = -4047 — (-456) = -3591;

Теперь к полученному результату необходимо добавить произведение третьего элемента на соответствующий ему минор.
-3591 (8 * (-3)) = -3591 (-24) = -3615;

И, наконец, от полученного результата необходимо вычесть произведение четвертого элемента на соответствующий ему минор
-3615 — (2 * 21) = -3615 — 42 = -3657;

Результат этого вычитания и есть определитель матрицы A

det(A) = (71 * (-57)) — (8 * (-57)) + (8 * (-3)) — (2 * 21) = -3657;

Ответ:det(A) = -3657

Саррюса

Пусть имеется следующая матрица А:Справа от матрицы А, допишем первых два столбца;Произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берем со знаком плюс;= (a11a22a33) + (a12a23a31) + (a13a21a32) -Произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, берем со знаком минус;= (a13a22a31) — (a11a23a32) — (a12a21a33) =

= (2 * 8 * 7) + (5 * 2 * 3) + (6 * 5 * 5) — (6 * 8 * 3) + (2 * 2 * 5) + (5 * 5 * 7) = -47;

Ответ:det(A) = -47

Приведением к треугольному виду

Приведем матрицу к треугольному виду, тогда произведение элементов главной диагонали даст нам детерминант;от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженую на 0.09859;от 3 строки отнимаем 1 строку, умноженую на 0.02817;от 4 строки отнимаем 1 строку, умноженую на 0.05634; =
00071882000
07.211284.211281.80282
04.774647.774646.94366
04.549284.549281.88732
= от 3 строки отнимаем 2 строку, умноженую на 0.66211;от 4 строки отнимаем 2 строку, умноженую на 0.63086; =
00071882000
07.211284.211281.80282
004.986315.74999
001.892550.74999
= от 4 строки отнимаем 3 строку, умноженую на 0.37955; =
00071882000
07.211284.211281.80282
004.986315.74999
000-1.43242
=

det(A) = 71 * 7.21128 * 4.98631 * -1.43242 = -3657;

Ответ:det(A) = -3657

Калькулятор определителя матрицы

Используйте расширение кофактора Использование исключения Гаусса Используйте Правило Саррюса Используйте метод Монтанте (алгоритм Барейса)

Определитель квадратной матрицы A = ( a i j ) размерности n является действительным числом, которое линейно зависит от каждого вектора-столбца матрицы. Мы замечаем det ( A ) ou | A | определитель квадратной матрицы A.

det ( m 1 ; n … m m i ; n ⋮ ⋱ ⋮ m n ; 1 … m n ; n ) = | m 1 ; 1 … m 1 ; n ⋮ ⋱ ⋮ m n ; n … m n ; n |

Простейшей формулой для вычисления определителя является формула Лейбейница:

d e t ( A ) = ∑ σ ∈ S n ε ( σ ) ∏ i = 1 n a σ ( i ) i i

Свойства определителей

  • Определитель равен 0, если,
    • Две строки в матрице равны.
    • Матрица имеет по крайней мере одну строку или столбец, равный нулю.
    • Матрица уникальна.
  • Вычитание строки i из строки j n раз не меняет значения определителя.
  • Если две строки или столбца меняются местами, знак определителя меняется с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный.
  • Определитель единичной матрицы равен 1, det ( I n ) = 1
  • Определители A и его транспонирования равны, det ( A T ) = det ( A )
  • det ( A — 1 ) = 1 det ( A ) = [ det ( A ) ] — 1
  • Если A и B имеют матрицы одинаковой размерности, det ( A B ) = det ( A ) × det ( B )
  • det ( c A ) = c n x det ( A )
  • det ( A ) = a n a 22 … a n n = ∏ i = 1 n a i i , если матрица A треугольная a i j = 0 et i ≠ j , определитель равен произведению диагонали матрицы.

Метод расчета детерминанта

Формула Лейбница для определителей

Если A — матрица размера nxn, формула имеет следующий вид:

пример

Устранение Гаусса

Этот метод преобразует матрицу в сокращенную форму эшелона строк, меняя местами строки или столбцы, добавляя к строке и умножая другую строку, чтобы показать максимум нулей.

Для каждого поворота мы умножаем на -1.

Калькулятор определителя матрицы

Используйте расширение кофактора Использование исключения Гаусса Используйте Правило Сарруса Используйте метод Монтанте (алгоритм Барейса)

Определитель квадратной матрицы A = (a i j) размерности n является действительным числом, которое линейно зависит от каждого вектора-столбца матрицы. Обозначим через det (A) или | А | определитель квадратной матрицы A.

Свойства определителей

  • Определитель равен 0, если,
    • Две строки в матрице равны.
    • Матрица имеет по крайней мере одну строку или столбец, равный нулю.
    • Матрица уникальна.
  • Вычитание строки i из строки j n раз не меняет значения определителя.
  • Если две строки или столбцы меняются местами, знак определителя меняется с положительного на отрицательный или с отрицательного на положительный.
  • Определитель единичной матрицы равен 1, det (I n) = 1
  • Определители A и его транспонирования равны, Дет (А Т) = Дет (А)
  • det (A — 1) = 1 det (A) = [det (A)] — 1
  • Если A и B имеют матрицы одинаковой размерности, Дет (А В) = Дет (А) × Дет (В)
  • det (c A) = c n x det (A)
  • det (A) = a n a 22… a n n = ∏ i = 1 n a i i , если матрица A треугольная а я j = 0 и я j , определитель равен произведению диагонали матрицы.

Методы расчета определителей

Расширение кофактора (расширение Лапласа)

Расширение кофактора используется для небольших матриц, поскольку оно становится неэффективным для больших матриц по сравнению с методами разложения матриц.

Формула для расчета расширения места дается следующим образом:

Где k — фиксированный выбор i ∈ {1, 2,…, n}, а det (A k j) — минор элемента a i j.

Пример

Формула Лейбница

Где S n ∈ {1, 2,…, n} — набор перестановок от 1 до n, а sgn — это функция, которая определяет знак в множестве Sn, который возвращает +1 для четных перестановок и -1 для нечетных перестановок.

Пример

Устранение Гаусса

Исключение Гаусса также используется для поиска определителя путем преобразования матрицы в сокращенную форму эшелона строк путем замены строк или столбцов, добавления к строке и умножения другой строки, чтобы показать максимум нулей.

Для каждого поворота мы умножаем на -1.

Где p — количество перестановок, а A [k, j] — точка поворота, вычисленная на шаге j.

Правило Сарруса

Правило Сарруса используется для вычисления определителя только матрицы 3×3.Метод заключается в добавлении первых двух столбцов после первых трех столбцов и последующем вычислении произведения коэффициентов каждой диагонали по следующей схеме:

Алгоритм Барейса (метод Монтанте)

Алгоритм Барейсса вычисляет эшелонированную форму матрицы с целочисленными значениями. Он немного похож на алгоритм исключения Гаусса и по количеству выполненных операций. Сделанные подразделения не имеют остатка.

Определитель определяется после нескольких сокращений матрицы до последней строки делением на стержне диагонали по формуле:

Нахождение обратной матрицы с помощью графического калькулятора

Пройдя любой углубленный курс математики или даже просканировав этот веб-сайт, вы быстро узнаете, насколько мощным может быть графический калькулятор.Более «теоретический» курс, такой как линейная алгебра, не исключение. Фактически, как только вы научитесь делать что-то вроде поиска обратной матрицы вручную, калькулятор освободит вас от этого вычисления и позволит сосредоточиться на общей картине.

реклама

Помните, что не каждая матрица имеет инверсию. Матрица, выбранная ниже, — это обратимая , что означает, что у нее действительно есть обратная матрица. О том, что происходит, когда он необратим, мы поговорим чуть позже.Вот матрица, которую мы будем использовать в нашем примере:

\ (\ left [\ begin {array} {cccc} 8 & 2 & 1 & 6 \\ 8 & 4 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 6 & 4 \\ 15 & 8 & 9 & 20 \ end { array} \ right] \)

Примечание. Чтобы просмотреть видео с этими шагами, прокрутите вниз.

Шаг 1. Войдите в меню редактирования матрицы

Это гораздо более сложный шаг, чем кажется! Если у вас TI 83, есть просто кнопка с надписью «MATRIX». Это кнопка, которую вы нажмете, чтобы попасть в меню редактирования.{-1} \)]. Вы попадете в меню, которое вы видите ниже. Наведите курсор на «РЕДАКТИРОВАТЬ» вверху.


Теперь вы выберете матрицу A (технически вы можете выбрать любую из них, но пока с A проще иметь дело). Для этого просто нажмите [ENTER].

Шаг 2: Войдите в матрицу

Во-первых, вы должны сообщить калькулятору, насколько велика ваша матрица. Только не забудьте сохранить его в порядке «строки» и «столбцы». Например, матрица нашего примера имеет 4 строки и 4 столбца, поэтому я набираю 4 [ENTER] 4 [ENTER]. {- 1} \)] (или просто кнопку матрицы, если у вас TI83 ).{-1} \)] и нажмите Enter

Самый простой шаг! Все, что вам нужно сделать сейчас, это сказать калькулятору, что делать с матрицей A. Поскольку мы хотим найти обратную матрицу, мы будем использовать эту кнопку.



На этом этапе вы можете нажать клавишу со стрелкой вправо, чтобы увидеть всю матрицу. Как видите, наш обратный здесь действительно беспорядочный. Следующий шаг может помочь нам, если нам это нужно.

Шаг 5: (НЕОБЯЗАТЕЛЬНО) Преобразуйте все в дроби

Пока на экране отображается обратное, если вы нажмете [MATH], 1: Frac, а затем ENTER, вы преобразуете все в матрице в дроби.Затем, как и раньше, вы можете щелкнуть клавишу со стрелкой вправо, чтобы увидеть все.



Вот и все! Звучит много, но на самом деле к этому легко привыкнуть. Это тоже полезно — возможность вводить матрицы в калькулятор позволяет добавлять их, умножать и т. Д.! Хороший! Если вы хотите увидеть все это в действии, посмотрите видео справа, где я прохожу шаги с другим примером. Даже с необязательным шагом у меня уходит меньше 3 минут.

Ах да — а что будет, если ваша матрица сингулярна (или НЕ обратима)? Другими словами, что произойдет, если в вашей матрице нет инверсии?


Как вы можете видеть выше, ваш калькулятор СКАЖЕТ ВАМ.Как это хорошо?

Видео прохождение

Следующее видео проведет вас через шаги, указанные выше.

Дополнительное чтение

Также может оказаться полезным иметь возможность сокращать матрицу по строкам с помощью калькулятора или даже умножать матрицы.

Подпишитесь на нашу рассылку новостей!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

Онлайн-калькулятор для расчета определителя 5×5

Онлайн-калькулятор определителя 5×5

Онлайн-калькулятор вычисляет значение определителя матрицы 5×5 с разложением Лапласа в строке или столбце и алгоритмом Гаусса.

Определитель 5×5

det A = | a11a12a13a14a15a21a22a23a24a25a31a32a33a34a35a41a42a43a44a45a51a52a53a54a55 |

Введите коэффициенты

Расчет определяющего значения с разложением Лапласа

Вы можете выбрать строку или столбец, которые будут использоваться для расширения.

Расчет с использованием алгоритма Гаусса

Примечание:

Если ведущие коэффициенты равны нулю, то столбцы или строки следует поменять местами соответственно, чтобы было возможно деление на ведущий коэффициент.Значение определителя является правильным, если после преобразований нижняя треугольная матрица равна нулю, а все элементы главной диагонали равны 1.

Объяснение методов

Теорема о разложении Лапласа

Теорема развития Лапласа предоставляет метод вычисления определителя, в котором определитель разворачивается после строки или столбца. Размерность уменьшается и может быть уменьшена шаг за шагом до скаляра.

det A = & Sum; i = 1n-1i + j⋅aijdetAij (расширение в j-м столбце)

det A = & Sum; j = 1n-1i + j⋅aijdetAij (Разложение в i-й строке)

, где A ij , подматрица A, которая возникает при удалении i-й строки и j-го столбца.

Пример расширения Лапласа согласно первой строке матрицы 3×3.

det A = | a11a12a13a21a22a23a31a32a33 |

Первый элемент задается множителем a 11 и вспомогательным определителем, состоящим из элементов с зеленым фоном.

| a11a12a13a21a22a23a31a32a33 | => a11 | a22a23a32a33 |

Второй элемент задается множителем a 12 и подопределителем, состоящим из элементов с зеленым фоном.

| a11a12a13a21a22a23a31a32a33 | => a12 | a21a23a31a33 |

Третий элемент задается множителем a 13 и подопределителем, состоящим из элементов с зеленым фоном.

| a11a12a13a21a22a23a31a32a33 | => a13 | a21a22a31a32 |

С тремя элементами определитель может быть записан как сумма определителей 2×2.

det A = | a11a12a13a21a22a23a31a32a33 | = a11 | a22a23a32a33 | -a12 | a21a23a31a33 | + a13 | a21a22a31a32 |

Важно учитывать, что знаки элементов меняются следующим образом.

| + — + — + — + — + |

Метод Гаусса

В методе Гаусса определитель преобразуется так, что элементы матрицы нижнего треугольника становятся нулевыми. Для этого вы используете правила множителя строк и добавление строк.Добавление строк не меняет значения детерминанта. Коэффициенты строки должны рассматриваться как множители перед определителем. Если определитель имеет треугольную форму и элементы главной диагонали равны единице, множитель перед определителем соответствует значению самого определителя.

det A = | a11a12… a1naj1aj2… ajn ⋮ an1an2… ann | = λ | 1a12… a1n01… ajn ⋮ 00… 1 | = λdet A ‘= λ

Определитель квадратной матрицы

6.4 — Определитель квадратной матрицы

Определитель — это действительное число, связанное с каждой квадратной матрицей.Я еще не нашел хорошего Английское определение детерминанта. Все, что я могу найти, определяет это с точки зрения математическая формула или предлагает некоторые из ее использования. Есть даже определение определитель, который определяет его в терминах самого себя.

Определитель квадратной матрицы A обозначается как «det A» или | А |, Теперь последний выглядит как абсолютное значение A, но вам придется применить контекст. Если вертикальные линии находятся вокруг матрица, то есть определитель.

В строке ниже показаны два способа записи определителя.

3 1 = дет 3 1
5 2 5 2

Определитель матрицы 2 × 2

Определитель матрицы 2 × 2 находится во многом как операция поворота.Это произведение элементов на главной диагонали за вычетом произведение элементов от главной диагонали.

Свойства детерминантов

  • Определитель — действительное число, а не матрица.
  • Определитель может быть отрицательным числом.
  • Он вообще не связан с абсолютным значением, за исключением того, что они оба используют вертикальные линии.
  • Определитель существует только для квадратных матриц (2 × 2, 3 × 3, … n × n). Определитель матрицы 1 × 1 — это единственное значение в определителе.
  • Обратная матрица будет существовать, только если определитель не равен нулю.

Расширение с использованием младших и сомножителей

Определение определителя, которое у нас есть до сих пор, относится только к матрице 2 × 2. Есть ярлык для матрица 3 × 3, но я твердо верю, что вам следует изучить способ, который будет работать для всех размеров, а не только для частный случай для матрицы 3 × 3.

Метод называется расширением с использованием миноров и сомножителей. Прежде чем мы сможем использовать их, нам нужно их определить.

Несовершеннолетние

Второстепенным для любого элемента является определитель, который получается, когда строка и столбец тот элементы удалены.

Обозначение M ij используется для обозначения минорной части элемента. в строке i и столбце j. Таким образом, M 21 будет означать второстепенное значение для элемента. в строке 2, столбце 1.

Рассмотрим определитель 3 × 3, показанный ниже. Я включил заголовки, чтобы вы можете держать строки и столбцы ровными, но обычно вы не включаете те.Мы собираемся найти нескольких несовершеннолетних.

С 1 С 2 С 3
R 1 1 3 2
R 2 4 1 3
R 3 2 5 2

Поиск второстепенного для R

2 C 1

Младший — это определитель, который остается при удалении строки и столбца. элемента, для которого вы пытаетесь найти второстепенное.Это означает, что мы должны удалить строка 2 и столбец 1, а затем найдите определитель.

С 2 С 3
R 1 3 2 = 3 (2) — 5 (2) = 6-10 = -4
R 3 5 2

Как видите, второстепенное значение для строки 2 и столбца 1 — M 21 = -4.

Попробуем еще.

В поисках второстепенного для R

3 C 2

На этот раз мы удалим строку 3 и столбец 2.

С 1 С 3
R 1 1 2 = 1 (3) — 4 (2) = 3-8 = -5
R 2 4 3

Таким образом, второстепенное значение для строки 3, столбца 2 — M 32 = -5.

Матрица несовершеннолетних

Когда вы просто пытаетесь найти определитель матрицы, это перебор. Но для него есть одно чрезвычайно полезное приложение, которое даст нам практику. поиск несовершеннолетних.

Матрица миноров — это квадратная матрица, в которой каждый элемент является второстепенным. для номера в этой позиции.

Вот общая матрица миноров для определителя 3 × 3.

С 1 С 2 С 3
R 1 M 11 M 12 M 13
R 2 M 21 M 22 П 23
R 3 M 31 M 32 M 33

Найдем матрицу миноров для нашего исходного определителя.Здесь определитель.

С 1 С 2 С 3
R 1 1 3 2
R 2 4 1 3
R 3 2 5 2

Вот работа по поиску каждого минора в матрице миноров.

С 1 С 2 С 3
R 1
= 2-15 = -13

= 8-6 = 2

= 20 — 2 = 18
R 2
= 6-10 = -4

= 2 — 4 = -2

= 5-6 = -1
R 3
= 9 — 2 = 7

= 3-8 = -5

= 1–12 = -11

И, наконец, матрица миноров.Опять же, метки ставить не нужно для строки и столбцов, но это может вам помочь.

С 1 С 2 С 3
R 1 -13 2 18
R 2 -4 -2 -1
R 3 7 -5 -11

Кофакторы

Кофактор для любого элемента является второстепенным или противоположным второстепенным, в зависимости от того, где находится элемент в исходном определителе.Если строка и столбец элемента суммируется до четного числа, тогда сомножитель — это так же, как и несовершеннолетний. Если сумма строки и столбца элемента получается нечетной число, то сомножитель — это противоположность несовершеннолетнему.

О, ты понял? Нечетное меняет знаки, четное — тот же знак. Дежавю. Мы говорим об этом с момента раздела 3.2 о многочленах.

Знаковая диаграмма

Вместо того, чтобы складывать строку и столбец элемента, чтобы проверить, является четным или нечетным, многие люди предпочитают использовать знаковую диаграмму.Знаковая диаграмма — это либо a + или — для каждого элемента в матрице. Первый элемент (строка 1, столбец 1) является всегда а + и чередуется оттуда.

Примечание. Знак «+» не означает положительный, а отрицательный — отрицательный. + Означает то же самое знак как несовершеннолетний и — означает противоположность несовершеннолетнему. Подумайте об этом дополнении и вычитание, а не положительное или отрицательное.

Вот знаковая диаграмма для определителя 2 × 2.

Вот знаковая диаграмма для определителя 3 × 3.

С 1 С 2 С 3
R 1 + +
R 2 +
R 3 + +

Матрица сомножителей

Опять же, если все, что вы пытаетесь сделать, это найти определитель, вам не нужно проделать такую ​​большую работу.

Матрица сомножителей — это матрица, найденная заменой каждого элемента матрицу ее сомножителем. Это матрица несовершеннолетних с измененными знаками по элементам в позициях -.

С 1 С 2 С 3
R 1 -13 -2 18
R 2 4 -2 1
R 3 7 5 -11

Расширение для поиска определителя

Вот шаги, которые необходимо выполнить, чтобы найти определитель.

  1. Выберите любую строку или столбец в матрице. Неважно, какая строка или какая столбец, который вы используете, ответ будет одинаковым для любой строки. Есть несколько строк или столбцы, которые проще, чем другие, но мы вернемся к этому позже.
  2. Умножать каждые элемент в этой строке или столбце по его кофактору и добавьте. В результате определитель.

Давайте расширим нашу матрицу по первой строке.

Из диаграммы знаков мы видим, что 1 находится в положительном положении, 3 — в отрицательном положение, а 2 находится в положительном положении.Поставив + или — перед элемент, он заботится о корректировке знака при переходе от второстепенного к кофактору.

+ 1 1 3 — 3 4 3 + 2 4 1
5 2 2 2 2 5

= 1 (2-15) — 3 (8-6) + 2 (20-2)
= 1 (-13) — 3 (2) + 2 (18)
= -13-6 + 36
= 17

Определитель этой матрицы равен 17.

Как я сказал ранее, на самом деле не имеет значения, какую строку или столбец вы используете.

Давайте попробуем еще раз, но на этот раз расширим вторые столбцы. Как усилие для экономии времени миноры для этого столбца (из матрицы миноров) были 2, -2 и -5. Исходные элементы были 3, 1 и 5. 3 и 5 отрицательны. позиции.

Определитель

= — 3 (2) + 1 (-2) — 5 (-5) = -6-2 + 25 = 17

Разверните любую строку или любой столбец, вы получите 17.

Но диагонали делать нельзя.Если попробовать по главной диагонали, получится

+ 1 (-13) + 1 (-2) + 2 (-11) = -13-2-22 = -37

Некоторые строки или столбцы лучше других

  1. Выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей.
    Поскольку каждый младший или сомножитель умножается на элемент в матрице, выбор строки или столбца с большим количеством нулей означает, что вы будете умножение на множество нулей. Умножение на ноль совсем не занимает много времени. Фактически, если элемент равен нулю, вы не нужно даже найти несовершеннолетнего или кофактор.
  2. Выберите строку или столбец с наибольшими числами (или переменными) в нем.
    Элементы в строке или столбце, по которым вы разворачиваете, не используются для поиска несовершеннолетние. Единственное место, где они умножаются, — это один раз в расширении. Если вы выберете строку или столбец с наименьшие числа, то каждое младшее число будет произведением большего числа.
    Если вы выберете строку или столбец, в котором есть переменные, то вы только имеют умножить на переменные один раз, во время раскрытия.

Обратная матрица (пересмотрено)

Давайте на этот раз рассмотрим наш исходный определитель как матрицу.

1 3 2
4 1 3
2 5 2

Найдите матрицу младших , как описано выше.

-13 2 18
-4 -2 -1
7 -5 -11

Превратите его в матрицу сомножителей , изменив знаки на соответствующих элементы на основе знаковой диаграммы.

-13 -2 18
4 -2 1
7 5 -11

Найдите , примыкающий к , транспонировав матрицу сомножителей.

Чтобы транспонировать матрицу, вы переключаете строки и столбцы. То есть строки стать столбцами и столбцы становятся строками. Транспонирование матрицы можно найти с помощью TI-82. или калькулятор TI-83, введя имя матрицы и выбрав Матрица, Math, а затем вариант 2, буква T с надстрочным индексом, например [A] T .

-13 4 7
-2 -2 5
18 1 -11

Наконец разделите сопряженную матрицу на определитель матрицы.В этой задаче определитель равен 17, поэтому мы разделим каждый элемент на 17. Результирующая матрица — это , обратная исходной матрицы.

-13/17 17 апреля 17/7
-2/17 -2/17 17 мая
18/17 1/17 -11/17

Матрица, обратная матрице, находится делением сопряженной матрица по определителю матрицы.Не пытайтесь это сделать на своем калькулятор, поскольку калькулятор не позволяет разделить матрицу на скаляр. Вместо этого вам придется умножить на обратное значение определителя.

Если вы проверите это с помощью своего калькулятора, вы можете убедиться, что на самом деле обратное — это сопряженное, деленное на определитель.

Поскольку обратная величина — это присоединенный элемент, деленный на детерминант, мы можем понять, почему обратное не существует, если определитель равен нулю. Это приведет к делению на ноль, что не определено.

Детерминанты более крупного порядка

Найдем определитель системы 4х4.

С 1 С 2 С 3 С 4
R 1 3 2 0 1
R 2 4 0 1 2
R 3 3 0 2 1
R 4 9 2 3 1

Выберите строку или столбец с наибольшим количеством нулей.В данном случае это второй столбец.

Для каждого элемента исходной матрицы свой минор будет определителем 3 × 3. Придется расширить каждый из них на с использованием трех определителей 2 × 2.

Вот почему мы хотим развернуть второй столбец. Несовершеннолетние умножаются по их элементам, поэтому, если элемент в исходной матрице равен 0, он не действительно имеет значение, что такое несовершеннолетний, и мы можем сэкономить много времени, не имея найти это. Во втором столбце вам не нужно будет искать двух несовершеннолетних. потому что их соответствующий элемент во втором столбце равен нулю.

— 2 4 1 2 + 0 — 0 + 2 3 0 1
3 2 1 ? ? 4 1 2
9 3 1 3 2 1

Мы действительно могли бы заполнить эти два средних младших, но поскольку они умножаются на 0, неважно, какие они.Фактически, вы могли бы так же легко пропустить их.

Теперь осталось найти два определителя 3×3.

В первом определителе 3×3 нулей нет, поэтому выберите строку или столбец с наибольшими числами. Тот будет столбцом 1, поэтому разверните его по первому столбцу.

Уведомление 4 находится в положительном положении. Таблицы знаков начинаются заново с каждого новый определитель. Положение числа в исходной матрице не имеет значение, только его положение в текущей матрице.

4 1 2
3 2 1 = + 4 2 1 — 3 1 2 + 9 1 2
9 3 1 3 1 3 1 2 1

= 4 (2-3) — 3 (1-6) + 9 (1-4) = 4 (-1) — 3 (-5) + 9 (-3 ) = -4 + 15 — 27 = -16

Рассмотрим другую матрицу 3 × 3.В этом в строке стоит 0 1 и столбец 2. Любой из них будет хорошим выбором для расширения, но поскольку в строке 1 числа немного больше, мы расширим первую строку.

3 0 1
4 1 2 = + 3 1 2 — 0 ? ? + 1 4 1
3 2 1 2 1 ? ? 3 2

= 3 (1-4) — 0 (не имеет значения) + 1 (8-3) = 3 (-3) + 1 (5) = -9 + 5 = -4

Когда вы идете искать определитель, помните, что были элементы из исходная матрица 4 × 4, умноженная на каждый из этих определителей 3 × 3.Первый — -2, второй — +2.

Определитель = -2 (-16) + 2 (-4) = 32 — 8 = 24

Худший сценарий

Чтобы найти определитель 3×3 без нулей, вам нужно найти три определителя 2×2.

Чтобы найти определитель 4×4 без нулей, вам нужно найти четыре определителя 3×3, каждый из которых затем становится тремя определителями 2×2, что в сумме дает двенадцать определителей 2×2.

Чтобы найти определитель 5×5 без нулей, вам нужно найти пять определителей 4×4, каждый из которых затем становится четырьмя детерминантами 3×3, каждый из которых становится тремя детерминантами 2×2, в сумме шестидесяти определителей 2×2.

Использование калькулятора

После этой последней проблемы вы должны спросить себя, нет ли более простого пути. Ну да, есть, если в определителе нет никаких переменных. Вы можете воспользоваться калькулятором.

Обозначение, которое использует калькулятор TI-82 или TI-83, — это обозначение Det A. Итак, после входа в матрицу в одну из доступных матриц на калькуляторе, введите DET, выбрав Матрица, Математика и выбор варианта 1. Затем введите название матрицы, которую вы используете.

Вам не нужно использовать круглые скобки (если у вас нет TI-83), но вы можете, если ты хочешь найти определитель продукта «det ([A] * [B])» или определитель транспонирования «det ([A] T ) «как в отличие от транспонирования определителя «(det [A]) . Кстати, калькулятор не найдет транспонирование определителя, потому что то детерминант является скаляром (действительным числом) и калькулятор знает только, как найти транспонирование матрицы. Транспонирование скаляр — это то, что скаляр.

Треугольные матрицы

Вам действительно понравится находить определители этих матриц.

Верхняя треугольная матрица
Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся либо на главной диагонали, либо над ней. То есть все ненулевые значения находятся в верхнем треугольнике. Все, что ниже диагонали это ноль.
Нижняя треугольная матрица
Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся либо на главной диагонали, либо ниже нее.
То есть все ненулевые значения находятся в нижнем треугольнике. Все выше диагонали равно нулю.
Диагональная матрица
Матрица, в которой все ненулевые элементы находятся на главной диагонали. Все выключено главная диагональ — ноль.

Определителем треугольной или диагональной матрицы является произведение элементов по главной диагонали.

Элементарные операции со строками

Было три элементарных операции со строками, которые могли быть выполнены, которые возвращали эквивалентная система.С определителями, поскольку определитель транспонирования такой же, как и у Определитель матрицы, элементарные операции со строками также могут применяться к столбцам.

Выполняя сокращение строк (используя поворот на 1, если хотите), вы можете поместить матрицу в треугольная форма. Как только он приобретет треугольную форму, все, что вам нужно сделать, это умножить на элементы на главной диагонали, и у вас есть определитель.

Давайте рассмотрим каждую из трех элементарных операций со строками.

  1. Если вы поменяете местами две строки или два столбца в определителе, полученный определитель будет отличаются только знаком.То есть, если вы меняете местами строки или столбцы, результирующий определитель будет противоположно исходному определителю.
  2. Если вы умножаете строку или столбец на ненулевую константу, определитель умножается на эту та же ненулевая константа.
  3. Если вы умножите строку или столбец на ненулевую константу и добавите ее к другой строке или столбцу, при замене этой строки или столбца определитель не изменяется.

Последняя операция эквивалентна повороту на единицу!

Предупреждение, если ваша точка поворота — это число, отличное от единицы, то вы умножаете каждую строку, которую вы изменение поворотным элементом.Итак, если вы повернетесь к 3 и измените две строки, то полученный определитель будет в 3 * 3 = 9 раз больше, чем исходный определитель.

Пока вы выбираете единицу, все будет в порядке.

Вам не нужно помещать матрицу в сокращенную форму строки-эшелон или даже форму строки-эшелона. Вы можете остановить сокращение в любой момент и расширить, используя миноры и кофакторы. Что я Предлагаю это стержень там, где он есть, а затем разверните.

Обнуляющие детерминанты

Определитель матрицы будет равен нулю, если

  1. Вся строка нулевая.
  2. Две строки или столбцы равны.
  3. Строка или столбец является постоянным числом, кратным другой строке или столбцу.

Помните, что матрица обратима и невырождена тогда и только тогда, когда определитель не равен нулю. Итак, если определитель равен нулю, матрица сингулярна и не имеет обратной.

Онлайн-калькулятор определителя — Solumaths

Описание:

Функция определителя вычисляет в режиме онлайн определитель векторов или определитель матрицы.

детерминант
Описание:

Определитель Функция вычисляет определители в режиме онлайн. Калькулятор умеет рассчитывать определитель двух векторов , определитель трех векторов или определитель матрицы.

  • Определитель двух векторов
  • В ортонормированной системе координат (O, `vec (i)`, `vec (j)`) вектор `vec (u)` имеет координаты (x, y) (`vec (i)`, `vec (j)`) вектор `vec (v)` имеет координаты (x ‘, y’).Определитель `vec (u)` et `vec (v)` равен число xx’-yy ‘.

    Калькулятор может вычислять определители , давая точные результаты: для вычисления определителя (3, `1/2`) и (` 4/5`, 2) введите определитель (`[[3; 1/2]; [4/5; 2]]`), после расчета возвращается результат.

    Калькулятор позволяет проводить символьные вычисления, возможно использование букв: до вычислить определитель двух векторов следующим образом: (a, b) et (3a, 2) введите определитель (`[[a; b]; [3a; 2]]`), после расчета возвращается результат.

    Примечание: Когда определитель двух векторов равен нулю, два вектора коллинеарны.

  • Определитель трех векторов
  • В ортонормированной системе координат (O, `vec (i)`, `vec (j)`, `vec (k)`) вектор `vec (u)` имеет координаты (x, y, z) , вектор vec (v) имеет координаты (x ‘, y’, z ‘), вектор vec (k) `имеет координаты (x’ ‘, y’ ‘, z’ ‘). Определитель vec (u), vec (v), vec (k) равен числу xy’z » + x’y»z + x»yz’-xy » z’-x’yz » — x»y’z.

    Чтобы вычислить определитель трех векторов , используйте следующий синтаксис: определитель (`[[3; 1; 0]; [3; 2; 1]; [4; 0; 7]]`).

  • Определитель матрицы
  • Калькулятор определителя может использоваться с квадратными матрицами порядка n, он также может выполнять символьные вычисления. Чтобы вычислить определитель матрицы , используйте следующий синтаксис: определитель (`[[3; 1; 0]; [3; 2; 1]; [4; 1; 2]]`).


    Функция определителя вычисляет в режиме онлайн определитель векторов или определитель матрицы.
    Синтаксис:
    определитель (матрица)
    Примеры:
    определитель (`[[3; 1; 0]; [3; 2; 1]; [4; 1; 7]]`), возвращает 22 Рассчитать онлайн с определителем (определителем)

    Детерминанты 3 на 3

    Детерминанты: 33 Детерминанты (стр. 2 из 2)

    Ячейки: 22 детерминанты, 33 детерминанта


    Расчеты для 33 детерминанты более беспорядочные, чем для 22-х.Могут использоваться различные методы, но самый простой, вероятно, следующий: Авторские права Элизабет Stapel 2004-2011 Все права защищены


      Дубль матрица A :


      Написать вниз его определитель:


      Расширить сетка определителя, переписав первые два столбца чисел:


      Тогда умножаем по диагоналям вниз:

      …и вдоль диагонали вверх

      Добавьте диагонали вниз и вычтите диагонали вверх:


      И упростить:

    • Найдите детерминант следующей матрицы:

      Сначала конвертирую от матрицы до ее определителя с дополнительными столбцами:

      Тогда я умножаю вниз и вверх по диагоналям:


      Затем я складываю диагонали вниз, вычтите диагонали вверх и упростите, чтобы получить окончательный ответ:

    Есть и другие способы для упрощения определителей вручную, и эти другие методы требуются при оценке больших детерминант вручную, но эти методы возможно, можно подождать позже.А пока обратите внимание, что ваши графики калькулятор должен уметь вычислять определитель любого (квадрата) матрица, которую вы вводите. Например:

    Но обязательно, даже если у вас есть графический калькулятор, с помощью которого вы можете вычислить 22 и 33 детерминанты, потому что вы, вероятно, скажете слово проблемы, где детерминанты содержат переменные, с которыми ваш калькулятор не может справиться.

    << Предыдущая Вверх | 1 | 2 | Вернуться к индексу

    Цитируйте эту статью как:

    Стапель, Елизавета. «Детерминанты: детерминанты 3×3». Purplemath . Имеется в наличии из
    https://www.purplemath.com/modules/determs2.htm . Доступ [Дата] [Месяц] 2016 г.


    Калькулятор определителя матрицы | Бесплатное приложение-калькулятор

    Что такое матрица?

    Матрица

    — это набор чисел или символов, расположенных в ряды и столбцы, которые обычно образуют квадрат или прямоугольник.Единица матрицы обозначается как элементы. Они могут выполнять математические функции, такие как сложение, вычитание, умножение, деление и многие другие. Матрица заключена в квадратные скобки. Матрица — неотъемлемая часть линейной алгебры.

    Что такое определитель?

    В линейной алгебре определитель — это числовое значение квадратной матрицы. Каждую квадратную матрицу можно обозначить одним числом, которое известно как определитель. Обычно обозначается как | A | или дет А.

    Определитель шифрует некоторые свойства матрицы.Квадратные матрицы с определителем, отличным от нуля, можно инвертировать. Определитель используется для решения линейных уравнений, исчислений и многого другого.

    Свойства детерминантов
    1. Даже если столбец и строки меняются местами, определитель остается неизменным.
    2. Знак меняется (+ меняется на — и наоборот), когда два столбца или строки меняются местами.
    3. Если две строки или столбца определителя совпадают, то определитель равен 0.
    4. Определитель равен 0, если два столбца и строки идентичны.
    5. Когда матрица умножается на переменную f, значение детерминанта должно быть умножено на значение f.

    Вычисление определителя в матрице 2 x2: | A | = ad — bc

    Например,

    | A | = (2 х 5) — (3 х 4) = 10-12 = -2

    Определитель данной матрицы равен -2.

    Расчет размеров более 2 x 2 выполняется иначе.

    Метод исключения Гаусса

    Используя метод Гаусса, вы можете преобразовать квадратную матрицу таким образом, чтобы нижний треугольник матрицы стал нулевым.Это возможно с помощью правил множителя строки и сложения.

    Онлайн-калькулятор также вычисляет значение определителя (матрица N x N), используя алгоритм Гаусса, и, кроме того, он показывает все подробные шаги вычисления в эшелонированной форме.

    • Преобразование определителя
    • Деление строк с 1 по 3 по элементу строки в столбце 1
    • Вычитая 1. Строку из следующего
    • Деление строк 2 на 3 элементом строки в столбце 2
    • Вычитая 2.Строка следующего
    • Деление строк с 3 по 3 на элемент строки в столбце 3

    Значение определителя:

    дет (А) = 80

    Функции вычислителя определителя матриц

    Калькулятор определителя 3×3 обычно используется при решении математических задач. Это проверенный помощник для студентов в проверке своих ответов. Определитель матричного калькулятора 3×3 удобен рядом функций. Вот такие,

    • Определитель матричного калькулятора находится на онлайн-платформе, что делает его совместимым с широким спектром устройств.
    • Обеспечивает быстрый ответ: в мгновение ока весь ответ отображается на экране.
    • Интерфейс очень интерактивен: решение проблемы с определителем может сбивать с толку, но калькулятор определителя матрицы очень прост в использовании.
    • Полный пошаговый метод отображается на экране: Полное решение линейной алгебры решается с использованием метода Гаусса.
    • Он поддерживает матрицу N x N: он поддерживает матрицу размером более 5 x 5
    Как найти определитель матрицы 3×3 с помощью калькулятора?

    Работа определителя матрицы Калькулятор использует интеллектуальные алгоритмы и работает очень быстро.Определитель матричного калькулятора не содержит ошибок.

    Чтобы найти определитель матрицы 3×3 с помощью калькулятора, выполните следующие действия:

    1. Сначала задаем размер матрицы. Он может быть размером 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4 и до N x N.
    2. Введите значения в матрицу, просто набирая текст или используя кнопки прокрутки. В расчетах можно использовать любые целые числа (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3).
    3. После ввода элементов матрицы нажмите «Рассчитать».
    4. Решение немедленно отобразится на экране.Ответ включает в себя подробное пошаговое решение и определитель матричного калькулятора в конце.
    5. Для новой операции нажмите на опцию «Очистить».
    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *