Матрицы умножение строки на столбец: IIS 7.0 Detailed Error — 404.11

toadmin.ru — toAdmin.ru

Скрипты Python для регулярного удаления файлов

Регулярно чистить файловую систему вручную нехорошо. Автоматизируйте их! Удаление файлов и папок вручную — не такая увлекательная задача, как может показаться. Имеет смысл их автоматизировать. А вот и Python, чтобы…

Руководство по IoT в банковском деле и финансовых технологиях

Интернет вещей (IoT) позволяет людям в различных секторах, включая финтех и банковское дело, жить и работать более разумно. Интернет вещей стал незаменимым для организаций. Он собирает информацию от систем и…

7 мобильных приложений, чтобы узнавать что-то новое каждый день

Смартфоны оказались самым инновационным изобретением в эту цифровую эпоху. Использование смартфонов увеличилось в огромной степени со временем. Вот почему на ваших смартфонах и в Интернете появляется множество новых вещей. Смартфоны…

Как отключить MMGuardian без ведома родителей

Приложение MMGuardian используется для мониторинга и управления просмотром вашего ребенка в Интернете. Приложение предлагает родительский контроль для устройства ребенка с использованием прав администратора устройства. Он в основном используется родителями, чтобы…

Instagram

Как избавиться от рекомендуемых постов в Instagram

Если вы используете Instagram, возможно, вы заметили в своей ленте что-то, что называется рекомендуемой публикацией. Это сообщения пользователей, на которых вы сейчас не подписаны, но которые могут вас заинтересовать. Несмотря…

Snapchat

Как попросить у девушки ее Snapchat

Одной из основных характеристик Snapchat является то, что изображения и сообщения доступны только на короткое время, прежде чем их получатели больше не смогут просматривать. Приложение изменилось с его первоначальной ориентации…

Как отменить свою учетную запись Disney Plus

Disney Plus — это онлайн-платформа потокового вещания, которая предоставляет вам потоковые сервисы с разрешением 4K и сотнями веб-сериалов и фильмов. Доступ к Disney Plus можно получить на различных платформах, таких…

Twitter

Удаляет ли Twitter неактивные учетные записи?

Твиттер является наиболее используемой платформой для выражения своих заявлений и общения с людьми по всему миру.

Эта платформа была основана 21 марта 2006 года в Сан-Франциско, штат Калифорния, США. Twitter…

Как изменить свою учетную запись на Hulu

Hulu — известный сервис потокового вещания по подписке для любителей фильмов и телешоу. Зрителям нравятся стримы, каналы и шоу отличного качества на Hulu. Однако у пользователей есть несколько нерешенных вопросов,…

Изучите новый навык в 2022 году с помощью этих приложений

Если у вас есть немного свободного времени, это может стать отличным вложением в изучение нового жизненного навыка. Интересно, что вам даже не нужно идти в специализированный институт, чтобы учиться; Ваш…

10 игровых рулей для имитации гоночного опыта

Мы все должны иметь или все еще играем в гонки или гоночные игры, в которых мы управляем своим автомобилем с помощью игровых рулей, предоставляемых консолью. Любое устройство, которое делает этот…

Как голосовые технологии повлияют на маркетинг в будущем?

«Единственная постоянная в жизни — это перемены». — Гераклит Голосовые технологии стали самой разрушительной силой в мире с тех пор, как Интернет стал визуальной средой. На сегодняшний день более 20%…

8 лучших инструментов для создания, сбора и измерения вашего Net Promoter Score (NPS)

Вы бы поверили мне, если бы я сказал вам, что, задав прямой вопрос, вы можете открыть исключительные преимущества для клиентов, повысить их лояльность и даже увеличить доход? Ну, ДА, это…

Получите рекламный сервер для своего сайта, используя эти 9 платформ

Рекламные серверы трансформируют экосистему онлайн-рекламы, улучшая весь процесс продажи и покупки медиа. Они автоматизируют и ускоряют весь процесс и предоставляют единую платформу для удобного запуска и управления вашими объявлениями, а…

Вот что значит быть разработчиком полного стека

Вы можете стать мастером на все руки в индустрии разработки программного обеспечения, если хотите стать полноценным разработчиком. Индустрия разработки программного обеспечения переживает сдвиг, когда компании ищут универсалов, а не специалистов.

…

Разница между оборудованием, программным обеспечением и облачными брандмауэрами

Онлайн-ландшафт постоянно развивается, что одновременно и благо, и вред для ИТ-инфраструктуры. Это благо; потому что мы видели невероятные инновации, которые делают нашу жизнь проще и продуктивнее. Это проклятие; потому что…

10 лучших проигрывателей для ваших винтажных виниловых пластинок

Если вы являетесь поклонником виниловых пластинок и любите слушать музыку, записанную на виниле, возможно, вам стоит поискать лучшие проигрыватели, доступные на рынке. Здесь мы перечислим некоторые качества, которые вы должны…

10 лучших проекционных экранов для проведения спортивных мероприятий и вечеров кино

Устройте вечер кино или спортивный сериал дома на лучших проекционных экранах. Проекторы могут дать вам кинематографическое развлечение, не выходя из дома. Если вы хотите заняться спортом или посмотреть фильм у…

Список кодов игрушек Roblox: активировать сейчас

Roblox — это игровая платформа, на которой представлены одни из самых интересных ролевых игр, созданных другими пользователями.

Особенно для детей, это отличная платформа, чтобы насладиться разнообразными онлайн-играми. У Roblox есть…

Как проверить, есть ли у вас ордер

Если вы были вовлечены в преступную деятельность или нарушили закон, юридический отдел может выдать ордер. Если вы не знаете, как проверить, есть ли у вас ордер на арест, то это…

Некоммутативность умножения матриц

• Для матриц вообще говоря А*В ≠ В*А     Многочлен от матрицы. Если А — квадратная матрица n-го порядка и — многочлен m – й степени с вещественными коэффициентами, то выражение называется многочленом от матрицы А   5. Транспонирование матриц. Единичная матрица. Простейшие св-ва и примеры. Транспонирование матриц – замена строк матрицы на её столбцы, а столбцов – на строки.   Единичная матрица – Е квадратная матрица, все диагональные элементы которой единицы, а остальные – нули. А*E=E*A=A Определители. 8.Определителем матрицы n-го порядка называется алгебраическая сумма всех произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца и снабженных знаком «+» или «-» по определённому правилу.   Св-ва: 1.Умножение некоторой строки (столбца) матрицы определителя на некий коэффициент равносильно умножению самого определителя на этот коэффициент. 2.Если все элементы некоторой строки (столбца) матрицы равны нулю, то и определитель равен нулю. 3.Определитель не меняется при транспонировании (свойство равноправности строк и столбцов матрицы). 4.При перестановке двух строк (столбцов) местами определитель меняет знак на противоположный. 5.Определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю. 6.Определитель с двумя пропорциональными строками (столбцами) равен нулю 7. Если в определителе некоторая строка есть сумма двух других строк, то определитель равен сумме двух определителей с этими строками, а все остальные строки этих определителей равны строкам исходного определителя. 8.Если к некоторой строке (столбцу) определителя прибавить другую строку (столбец), умноженную на произвольное число, то величина определителя не изменится. 9.Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали. 10.Алгоритм вычисления определителя. Матрица определителя приводится элементарными преобразованиями над строками (или столбцами) к верхнетреугольному виду. Вычисляется определитель полученной матрицы с учетом сделанных преобразований. 11.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на их алгебраические дополнения равна этому определителю 12.Сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю 14. Определитель ступенчатой матрицы равен произведению определителей матриц, являющихся диагональными клетками исходной матрицы. 15.Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей этих матриц, т.е.     Теория перестановок. -Мы говорим, что два числа образуют инверсию, если большее число из нашей пары предшествует меньшему. Число пар, образующих инверсию, называется числом инверсий перестановки. -Перестановка называется четной, если она содержит четное число инверсий, и называется нечетной в противном случае. -При выполнении одной транспозиции перестановка переходит в перестановку проти   12. Элементарными преобразованиями над строками (столбцами) матрицы называют: 1) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля, 2) прибавление к одной строке (столбцу) другой, умноженной на любое число, 3) перемена местами двух строк (столбцов). воположного наименования, т.е. четная – в нечетную и наоборот.   15. Алгебраическим дополнением Аi j элемента аi,j называется следующий определитель n-го порядка Разложение определителя по строке – определитель равен сумме произведений элементов некоторого ряда на соответствующие им алгебраические дополнения. ( а11 А11+а12 А12 и т д) 16. МиноромMi j элемента матрицы ai,j определителя n-го порядка, называется определитель(n-1)-го порядка, получающийся из исходного определителя вычеркиванием i- й строки и j-го столбца.   справедливо равенство: Минор r-го порядка матрицы. Пусть А=(аi,j) произвольная матрица. В данной матрице выбираем произвольные r строк и r столбцов и строим из них квадратную матрицу размера r*r. Определитель такой матрицы и называется минором r-го порядка матрицы А.   18. Рангом r матрицы А=(ai,j) называется целое число r, такое, что среди миноров r-го понядка матрицы А имеется хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры (r+1)-го порядка равны нулю или их нет. Св-ва: • если к матрице приписать строку или столбец из нулей, то ранг исходной матрицы не изменится. • если в матрице все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры (k+1)-го порядка (если они существуют). • при элементарных преобразованиях ранг матрицы не изменяется. Алгоритм вычисления ранга матрицы – приведение к верхне треугольному виду. Взаимная матрица — матрица, составленная из алгебраических дополнений для соответствующих элементов транспонированной матрицы. Из определения следует, что присоединённая матрица рассматривается только для квадратных матриц и сама является квадратной, ибо понятие алгебраического дополнения вводится для квадратных матриц. Обратная матрица. Квадратная матрица А называется обратимой – если найдется квадратная матрица В, что выполняются равенство A*B=B*A=E В этом случае матрица B назывется обратной к матрице А и обозначается B = A -1 Для того чтобы для матрицы А существовала обратная, необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А был отличен от нуля, т.е. А — невырожденная матрица. При этом: Определитель Вандермонда. Матричный вид данных равенств: 26. Решением(одним) СЛУ называется последовательность чисел удовлетворяющая всем уравнениям системы Матричная запись СЛУ называется СОВМЕСТНОЙ, если у неё имеется хотя бы одно решение, в противном случае СЛУ называется НЕСОВМЕСТНОЙ. Совместная СЛУ называется ОПРЕДЕЛЁННОЙ, если она имеет одно единственное решение и НЕОПРЕДЕЛЁННОЙ в противном случае. Две системы называются РАВНОСИЛЬНЫМИ, если их множество решений совпадают.   Метод Гаусса решения СЛУ Метод Гаусса заключается в приведении расширенной матрицы данной СЛУ элементарными преобразованиями над строками, к некоторому специальному виду (почти трапециевидному)- прямой ход схемы Гаусса, и нахождению затем множества решения системы с полученной расширенной матрицей (эта система равносильна исходной)-обратный ход схемы Гаусса. Теорема Кронекер-Капелли Система линейных уравнений совместна (т.е. имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы системы *На «языке» векторных пространств: СЛУ совместна тогда и только тогда, когда подпространство порождённое столбцами матрицы коэффициентов совпадает с подпространством, порождённым столбцами расширенной матрицы системы, Теорема о числе решений Пусть дана совместная СЛУ от n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r . Тогда: 1. если r= n , то система имеет единственное решение; 2. если r< n , то система имеет бесконечно много решений, причем (n – r) неизвестным можно присвоить произвольные значения, а остальные r неизвестных выражаются через них единственным образом.   Однородные СЛУ Пусть дана однородная СЛУ от n неизвестных с матрицей коэффициентов ранга r . Тогда: Все решения линейной однородной системы являются линейными комбинациями линейно независимых (n — r)решений. 2. Множество всех решений однородной СЛУ образует подпространство в пространстве Rn размерности (n – r). 123 Читайте также:

Матричное умножение. Медленное достижение мифической цели / Хабр

В недавней работе был установлен новый рекорд скорости по умножению двух матриц. Она также знаменует и конец эпохи для метода, который ученые применяли для исследований на протяжении десятилетий.

Математики стремятся к достижению мифической цели — второй степени (exponent two), то есть к умножению пары матриц n х n всего за n² шагов. Исследователи подбираются все ближе к своей цели, но получится ли у них когда-нибудь достичь ее?

Для специалистов в области Computer Science и математиков сама идея о «второй степени» связана с представлениями о совершенном мире.

«Трудно разграничить научное мышление и беспочвенные мечтания», — признается Крис Уманс из Калифорнийского технологического института. «Я хочу, чтобы степень была равна двум, потому что это красиво».

С точки зрения необходимого количества шагов «вторая степень» — это идеальная скорость выполнения одной из самых фундаментальных математических операций — матричного умножения. Если вторая степень достижима, то матричное умножение получится выполнять максимально быстро, насколько это физически возможно. Если это не так, то мы застряли в мире, который не соответствует нашим мечтам.

Матрицы представляют собой массивы чисел. Когда две матрицы согласованы (число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором), их можно перемножить, чтобы получить третью. Например, если вы начнете с пары матриц 2 х 2, их произведение также будет матрицей 2 х 2, содержащей четыре элемента. В более общем смысле, произведение пары матриц размером n х n представляет собой другую матрицу размером n х n с n² элементами.

Поэтому наименьшее возможное количество шагов для умножения пар матриц это n², то есть количество шагов, необходимое просто для записи ответа. Отсюда и название «вторая степень».

И хотя никто точно не знает, можно ли этого достичь, исследователи продолжают продвигаться в этом направлении.

Статья, опубликованная в октябре, подбирается к цели еще ближе и описывает самый быстрый на данный момент метод умножения двух матриц. Результат, который получили Джош Алман, докторант Гарвардского университета, и Вирджиния Василевска Уильямс из Массачусетского технологического института, уменьшает степень предыдущего лучшего показателя примерно на одну стотысячную. Это действительно большое достижение в данной области, добытое кропотливым трудом.

Чтобы получше разобраться в этом процессе и понять, как его можно усовершенствовать, давайте начнем с пары матриц 2 х 2, A и B. При вычислении каждого элемента их произведения вы используете соответствующую строку из A и соответствующий столбец из B. Чтобы получить верхний правый элемент, умножьте первое число в первой строке A на первое число во втором столбце B, затем умножьте второе число в первой строке A на второе число во втором столбце B и сложите эти два произведения.

Самуэль Веласко / Quanta Magazine

Эта операция известна как получение «скалярного произведения» строки со столбцом (иногда называется «внутренним произведением»). Чтобы вычислить другие элементы в произведении матриц, повторите процедуру с соответствующими строками и столбцами.

В целом, классический метод умножения матриц 2 х 2 состоит из восьми умножений и нескольких сложений. Как правило, этот способ умножения двух матриц размера n х n требует n³ умножений.

С увеличением размера матриц количество умножений, необходимых для нахождения их произведения, растет намного быстрее, чем количество сложений. Чтобы найти произведение матриц 2 х 2 требуется всего восемь промежуточных умножений, а чтобы найти произведение матриц 4 х 4 их требуется уже 64. Однако количество сложений, необходимых для получения суммы этих матриц, не так значительно отличается. Обычно количество сложений равно количеству элементов в матрице, то есть четыре для матриц 2 х 2 и 16 для матриц 4 х 4. Эта разница между сложением и умножением позволяет понять, почему исследователи измеряют скорость умножения матриц исключительно с точки зрения количества требуемых умножений.

«Умножения — это наше всё, — утверждает Уманс, — Показатель степени в итоге полностью зависит только от количества умножений. Сложения в некотором смысле исчезают».

На протяжении веков люди считали, что n³ — это самый быстрый способ умножения матриц. По имеющимся сведениям, в 1969 году Фолькер Штрассен намеревался доказать, что невозможно умножить матрицы 2 х 2, используя менее восьми умножений. Видимо, он все-таки не смог найти доказательства, а через некоторое время и понял почему: на самом деле, существует способ сделать это с помощью семи умножений!

Штрассен придумал сложный набор соотношений, которые позволили заменить одно из этих восьми умножений 14 дополнительными сложениями. Может показаться, что разница совершенно незначительна, но она оправдывает себя, так как умножение вносит больший вклад, чем сложение. Найдя способ избавиться от одного умножения для маленьких матриц 2 х 2, Штрассен открыл возможность, которую он мог использовать при умножении бOльших матриц.

«Это крошечное изменение приводит к огромным улучшениям в работе с большими матрицами», — говорит Уильямс.

Вирджиния Василевска Уильямс из Массачусетского технологического института и Джош Алман из Гарвардского университета открыли самый быстрый способ перемножения двух матриц за n^2.3728596 шагов. Джаред Чарни; Ричард Т.К. Хоук

Предположим, вы хотите перемножить пару матриц 8 х 8. Один из способов сделать это — разбить каждую большую матрицу на четыре матрицы размером 4 х 4 так, чтобы каждая имела по четыре элемента. Поскольку элементы матрицы также могут являться матрицами, вы можете считать исходные матрицы парой матриц 2 х 2, каждый из четырех элементов которых сам по себе является матрицей 4 х 4. Посредством некоторых манипуляций каждая из этих матриц размером 4 х 4 может быть разбита на четыре матрицы размером 2 х 2.

Смысл этого многократного разбиения больших матриц на более мелкие заключается в том, что можно снова и снова применять алгоритм Штрассена к меньшим матрицам и с помощью его метода сокращать количество шагов на каждом этапе. В целом алгоритм Штрассена увеличил скорость умножения матриц с n³ до n^2.81 мультипликативных шагов.

Следующий важный шаг в развитии идеи произошел в конце 1970-х, когда появился принципиально новый подход к решению этой задачи. Он подразумевает перевод матричного умножения в другую вычислительную задачу линейной алгебры с использованием объектов, называемых тензорами. Тензоры, используемые в этой задаче, представляют собой трехмерные массивы чисел, состоящие из множества различных частей, каждая из которых выглядит как небольшая задача на умножение матриц.

Умножение матриц и эта задача, связанная с тензорами, в определенном смысле эквивалентны друг другу, но для решения последней исследователи уже имели более быстрые процедуры. Таким образом, перед ними встала задача определить «обменный курс» между ними: Матрицы какого размера можно перемножить при тех же вычислительных затратах, которые требуются для решения тензорной задачи?

«Это очень распространенная в теоретической информатике концепция: преобразовывать задачи и проводить аналогию между ними, чтобы показать, что они одинаково простые или сложные», — сказал Алман.

В 1981 году Арнольд Шёнхаге использовал этот подход, чтобы доказать, что умножение матриц возможно выполнить за n^2.522 шагов. Позднее Штрассен назвал этот подход «лазерным методом» (laser method).

За последние несколько десятилетий каждое улучшение в процессе умножения матриц происходило за счет усовершенствования лазерного метода, поскольку исследователи находили все более эффективные способы трансформации задачи. В своем новом доказательстве Алман и Уильямс стирают различие между 2 задачами и показывают, что уменьшить число умножений возможно. «В целом Джош и Вирджиния нашли способ применить машинные вычисления в рамках лазерного метода и получили лучшие на настоящий момент результаты», — сказал Генри Кон из Microsoft Research.

В их статье теоретическое ограничение скорости умножения матриц улучшено до n^2.3728596.
Также благодаря этому исследованию Уильямс может вернуть себе корону в области матричного умножения, которую она по праву получила в 2012 году (n^2.372873), а затем уступила в 2014 году Франсуа Ле Галлю (n^2.3728639).

Но, несмотря на все эти гонки и победы, становится ясно, что в случае с этим подходом действует закон убывающей доходности, или убывающей отдачи. Скорее всего, усовершенствование Алмана и Уильямс почти полностью исчерпало возможности лазерного метода, но так и не позволило достичь конечной теоретической цели.

«Маловероятно, что получится приблизиться ко второй степени, используя это семейство методов», — отметил Уманс.

Для этого потребуется открытие новых методов и стойкая вера в то, что это вообще возможно.
Уильямс вспоминает один из разговоров со Штрассеном об этом: «Я спросила его, считает ли он, что возможно получить вторую степень для матричного умножения, и он ответил: «Нет, нет, нет, никогда!».

Умножение матриц

В этом упражнении мы изучим как строки, так и столбцы изображения умножения матриц. Чтобы добиться успеха в линейной алгебре, крайне важно не ограничивать себя только одной формой умножения матриц. Очень важно, чтобы вы могли легко обрабатывать как строковую, так и столбцовую форму умножения матриц.

Умножение матрицы и вектор-столбца

Мы начнем изучение умножения матриц с нашего первого примера, умножая матрицу $C$ и вектор-столбец ${\bf x}$.

$$ С {\ бф х} =\begin{bmatrix} 1 и 4 и 7\\ 2 и 5 и 8\\ 3 и 6 и 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1\\3\\-5 \end{bmatrix}$$

Введите столбцы матрицы $C$ в виде векторов-столбцов ${\bf c}_1$, ${\bf c}_2$ и ${\bf c}_3$.

>> с1=[1;2;3]
с1 =
     1
     2
     3
 
>> с2=[4;5;6]
с2 =
     4
     5
     6
 
>> с3=[7;8;9]
с3 =
     7
     8
     9
 

Далее возьмем линейную комбинацию векторов-столбцов ${\bf c}_1$, ${\bf c}_2$ и ${\bf c}_3$, используя элементы вектора ${ \bf x}$ как скаляры или веса нашей линейной комбинации.

>> -2*с1+3*с2-5*с3
ответ =
   -25
   -29
   -33
 

Приведенный выше код демонстрирует следующий результат.

$$ -2\начало{bматрица}1\\2\\3\конец{bматрица} +3\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix} -5\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-25\\-29\\-33\end{bmatrix}$$

Далее мы выполним умножение матрицы на вектор $C{\bf x}$. Сначала создайте матрицу $C$ из векторов-столбцов ${\bf c}_1$, ${\bf c}_2$ и ${\bf c}_3$.

>> С=[с1 с2 с3]
С =
     1 4 7
     2 5 8
     3 6 9
 

Далее введите вектор ${\bf x}$.

>> х=[-2;3;-5]
х =
    -2
     3
    -5
 

Теперь, когда мы ввели матрицу $C$ и вектор ${\bf x}$, мы можем вычислить произведение матрицы на вектор $C{\bf x}$.

>> С*х
ответ =
   -25
   -29
   -33
 

Результат утверждает, что $$ С {\ бф х} =\begin{bmatrix} 1 и 4 и 7\\ 2 и 5 и 8\\ 3 и 6 и 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1\\3\\-5 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-25\\-29\\-33\end{bmatrix} $$

Ключевая идея здесь состоит в том, чтобы отметить, что это произведение матрицы на вектор идентично линейной комбинации столбцов, вычисленной ранее. То есть

$$ \begin{bmatrix} 1 и 4 и 7\\ 2 и 5 и 8\\ 3 и 6 и 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1\\3\\-5 \end{bmatrix} =-2\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix} +3\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix} -5\begin{bmatrix}7\\8\\9\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}-25\\-29\\-33\end{bmatrix}$$

Результат должен быть четким. Чтобы вычислить матрично-векторное произведение $C{\bf x}$, возьмите линейную комбинацию столбцов $C$, используя элементы вектора ${\bf x}$ в качестве скаляров или весов в линейной комбинации.

Если $C=\left[ \mathbf{c}_{1}\,\,\mathbf{c}_{2}\,\,\cdots \,\,\mathbf{c}% _{n}\right] $ и $\mathbf{x=}\left[ \начать{массив}{с} х_{1} \\ х_{2} \\ \vdots\\ х_{п} \конец{массив} \right] $, затем $C\mathbf{x=x}_{1}\mathbf{c}_{1}+x_{2}\mathbf{c}_{2}+\cdots +x_{n}\mathbf{c}_{n}$.

Получение произведения матриц — Изображение столбца

Теперь мы рассмотрим произведение двух матриц. Наш конкретный пример — матричное произведение

. $$АВ =\begin{bmatrix} 1 и 2 и 3\\ 4 и 5 и 6\\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 и 2\\ 1 и -3\\ -1 и 1 \end{bmatrix}$$

При вычислении произведения матриц $A$ и $B$ первый столбец матрицы $AB$ находится путем умножения $A$ на первый столбец $B$, второй столбец $AB$ находится путем умножения $A$ на второй столбец $B$ и т. д.

Сначала введите матрицу $A$.

>> А=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]
А =
 
     1 2 3
     4 5 6
     7 8 9
 

Теперь введите столбцы матрицы $B$ в виде векторов.

>> b1=[1;1;-1]
б1 =
     1
     1
    -1

>> b2=[2;-3;1]
б2 =
     2
    -3
     1
 

Затем вычислите произведения матриц $A\mathbf{b}_{1}$ и $A\mathbf{b% }_{2}$.

>> А*b1
ответ =
     0
     3
     6

>> А*b2
ответ =
    -1
    -1
    -1
 

Далее для сравнения сформируем матрицу $B=[\mathbf{b}_{1}\,\mathbf{b}_{2}]$,

>> В=[b1 b2]
Б =
     1 2
     1-3
    -1 1
 

Теперь вычислите матричное произведение $AB$.

>> А*Б
ответ =
     0 -1
     3 -1
     6 -1
 

Важно! Столбцы матричного произведения $AB$ идентичны матрично-векторным произведениям $A{\bf b}_1$ и $A{\bf b}_2$, вычисленным выше. Важно отметить, что первый столбец $AB$ — это $A\mathbf{b}_{1}$, а второй столбец $AB$ — это $A\mathbf{b}_{2}$.

Обычно, чтобы вычислить матричное произведение $AB$, умножьте матрицу $A$ на каждый столбец матрицы $B$, каждое из этих произведений дает соответствующий столбец в $AB$.

Пусть $A$ и $B$ — матрицы с размерами, позволяющими умноженный. Если $\mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\ldots ,\mathbf{b}_{n}$ векторов, представляющих столбцы матрицы $B$, то \begin{выравнивание*} AB &=&A\left[ \mathbf{b}_{1},\mathbf{b}_{2},\ldots ,\mathbf{b}_{n}\right] \\ &=&\left[ A\mathbf{b}_{1},A\mathbf{b}_{2},\ldots ,A\mathbf{b}_{n}\right] \end{выравнивание*}

Умножение вектора-строки на матрицу

Теперь обратим внимание на картину умножения матриц на строку. В этом примере мы берем произведение вектора-строки ${bf x}$ и матрицы $R$.

$${\bf х}R =\begin{bmatrix}5 & -6 & 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 и 2 и 3\\ 4 и 5 и 6\\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix}$$

Сначала введите строки $R$ как векторы-строки ${\bf r}_1$, ${\bf r}_2$ и ${\bf r}_3$.

>> г1=[1 2 3
р1 =
     1 2 3
 
>> г2=[4 5 6]
г2 =
     4 5 6
 
>> г3=[7 8 9]
р3 =
     7 8 9
 

Сформируйте линейную комбинацию векторов-строк $\mathbf{r}_{1}$, $\mathbf{r}_{2}$ и $\mathbf{r}_{3}$, используя элементы вектор-строка $\mathbf{x}$ в качестве весов.

>> 5*r1-6*r2+4*r3
ответ =
     9 12 15
 

Приведенный выше код демонстрирует следующий результат:

$$5\,\begin{bmatrix}1, 2 и 3\end{bmatrix} — 6\,\begin{bmatrix}4 и 5 и 6\end{bmatrix} + 4\,\begin{bmatrix}7 и 8 и 9\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}9, 12 и 15\end{bmatrix}$$

Далее формируем векторно-матричное произведение ${\bf x}R$. Сначала введите вектор-строку ${\bf x}$.

>> х=[5 -6 4]
х =
     5 -6 4
 

Затем создайте матрицу $R$, используя векторы-строки $\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2},$ и $\mathbf{r}_{3}$.

>> R=[r1;r2;r3]
Р =
     1 2 3
     4 5 6
     7 8 9
 

Наконец, сформируйте векторно-матричное произведение ${\bf x}R.

>> х*С
ответ =
     9 12 15
 

Результат утверждает, что $${\bf х}R =\begin{bmatrix}5 & -6 & 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 и 2 и 3\\ 4 и 5 и 6\\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix}9& 12 & 15\end{bmatrix} $$

Ключевая идея здесь состоит в том, чтобы отметить, что это векторно-матричное произведение идентично линейной комбинации строк, вычисленной ранее. То есть

$$ \begin{bmatrix}5 и -6 и 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 и 2 и 3\\ 4 и 5 и 6\\ 7 и 8 и 9 \end{bmatrix} =5\,\begin{bmatrix}1 и 2 и 3\end{bmatrix} — 6\,\begin{bmatrix}4 и 5 и 6\end{bmatrix} + 4\,\begin{bmatrix}7 и 8 и 9\end{bmatrix}$$

Результат должен быть четким. Чтобы вычислить векторно-матричное произведение ${\bf x}R$, возьмите линейную комбинацию строк $R$, используя элементы вектора ${\bf x}$ в качестве скаляров или весов в линейной комбинации.

Если $\mathbf{x=}\left[ x_{1}\,\,x_{2}\,\,\cdots \,\,x_{n}\right] $ и $% Р = \ влево [ \начать{массив}{с} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \vdots\\ \mathbf{r}_{n} \конец{массив} \right] $, затем $\mathbf{x}R=x_{1}\mathbf{r}_{1}+x_{2}\mathbf{r}_{2}+\cdots +x_{n}\mathbf{r}_{n}$.

Получение произведения матриц — Изображение строки

Теперь мы исследуем изображение строки произведения двух матриц. Наш конкретный пример — матричное произведение

. $$АВ= \begin{bmatrix}1 и 2 и 3\\4 и 5 и 6\\7 и 8 и 9\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 и 2\\1 и -3\\-1 и 1\end{bmatrix}$$

Вы могли заметить, что это идентичное умножение матриц, которое мы выполняли ранее, используя изображение столбца.

При вычислении произведения матриц $A$ и $B$ первая строка матрицы $AB$ равна получается путем умножения первой строки $A$ на $B$, второй строки $AB$ находится путем умножения второй строки $A$ на $B$ и т. д.

Сначала введите строки матрицы $A$ как векторы-строки.

>> г1=[1 2 3]
р1 =
     1 2 3
 
>> г2=[4 5 6]
г2 =
     4 5 6
 
>> г3=[7 8 9]
р3 =
     7 8 9

Далее введите матрицу $B$.

>> В=[1 2;1 -3;-1 1]
Б =
     1 2
     1-3
    -1 1
 

Затем вычислите произведения матриц $\mathbf{r}_{1}B$, $\mathbf{r}% _{2}B$ и $\mathbf{r}_{3}B$.

>> г1*В
ответ =
     0 -1
 
>> г2*В
ответ =
     3 -1
 
>> г3*В
ответ =
     6 -1
 

Теперь вычислите матричное произведение $AB$.

>> А*Б
ответ =
     0 -1
     3 -1
     6 -1
 

Важно! Строки матричного произведения $AB$ идентичны векторно-матричным произведениям ${\bf r}_1B$, ${\bf r}_2B$ и ${\bf r}_3B$, вычисленным выше. Первая строка $AB$ — это $\mathbf{r}_{1}B$, вторая строка $AB$ — это $\mathbf{r}_{2}B$, а третья строка $AB$ равно $\mathbf{r}_{3}B$.

Обычно, чтобы вычислить матричное произведение $AB$, умножьте каждую строку матрицы $A$ на матрицу $B$, каждое из этих произведений дает соответствующую строку в $AB$.

Пусть $A$ и $B$ — матрицы с размерностями, позволяющими умноженный. Если $\mathbf{r}_{1},\mathbf{r}_{2},\ldots ,\mathbf{r}_{n}$ векторов, представляющих строки матрицы $A$, то \begin{выравнивание*} AB &=&\влево[ \начать{массив}{с} \mathbf{r}_{1} \\ \mathbf{r}_{2} \\ \mathbf{\vdots} \\ \mathbf{r}_{n} \конец{массив} \справа]В\\ &=&\влево[ \начать{массив}{с} \mathbf{r}_{1}В \\ \mathbf{r}_{2}В \\ \mathbf{\vdots} \\ \mathbf{r}_{n}B \конец{массив} \Правильно] \end{выравнивание*}

Заключительный комментарий

Время от времени в течение оставшейся части семестра вынимайте этот лист и практиковать эти различные формы умножения. Они очень помогут Ваше изучение линейной алгебры.

Домашнее задание

1. Рассмотрим произведение матрицы на вектор $$A{\bf х}= \begin{bmatrix}1 & 2 & 0\\-1 & -1 & 3\\2 & 0 & -5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1\\-2\\-2\end{bmatrix}$$ Используйте Matlab для вычисления продукта двумя способами:
   • Введите столбцы $A$ как векторы-столбцы ${\bf a}_1$, ${\bf a}_2$ и ${\bf a}_3$, затем используйте элементы вектора ${\bf x}$, чтобы взять линейную комбинацию столбцов $A$.
   • Введите вектор ${\bf x}$. Создайте матрицу $A$ из векторов-столбцов ${\bf a}_1$, ${\bf a}_2$ и ${\bf a}_3$, затем вычислите произведение матрицы на вектор $A{\bf x }$. Сравните с результатом вашей линейной комбинации.
2. Рассмотрим матричное произведение $$АВ= \begin{bmatrix}3 & 0 & 2\\-1 & -1 & 0\\2 & -4 & -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 и 2\\-2 и -3\\-4 и 2\end{bmatrix}$$ Используйте Matlab для вычисления продукта двумя способами:
   • Введите матрицу $A$. Введите столбцы $B$ как векторы-столбцы ${\bf b}_1$ и ${\bf b}_2$, затем вычислите матрично-векторные произведения $A{\bf b}_1$ и $A{\bf б}_2$.
   • Создайте матрицу $B$ из векторов-столбцов ${\bf b}_1$ и ${\bf b_2}$, затем вычислите матричное произведение $AB$. Сравните столбцы в вашем результате с предыдущими вычислениями $A{\bf b}_1$ и $A{\bf b}_2$.
3. Рассмотрим векторно-матричное произведение $${\bf х}R= \begin{bmatrix}1 & -1 & 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2 & -1 & 0\\3 & -2 & -2\\1 & 0 & 4\end{bmatrix}$$ Используйте Matlab для вычисления продукта двумя способами:
   • Введите строки $R$ как векторы-строки ${\bf r}_1$, ${\bf r}_2$ и ${\bf r}_3$, затем используйте записи в векторе ${\bf x}$, чтобы получить линейную комбинацию строк $R$.
   • Введите вектор-строку ${\bf x}$. Создайте матрицу $R$ из векторов-строк ${\bf r}_1$, ${\bf r}_2$ и ${\bf r}_3$, затем вычислите векторно-матричное произведение ${\bf x } реалов. Сравните с результатом вашей линейной комбинации.
4. Рассмотрим матричное произведение $$АВ= \begin{bmatrix}3 & 0 & 2\\-1 & -1 & 0\\2 & -4 & -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1 и 2\\-2 и -3\\-4 и 2\end{bmatrix}$$ Используйте Matlab для вычисления продукта двумя способами:
   • Введите матрицу $B$. Введите строки $A$ как векторы-строки ${\bf r}_1$, ${\bf r}_2$ и ${\bf r}_3$, затем вычислите векторно-матричные произведения ${\bf r }_1 B$, ${\bf r}_2 B$ и ${\bf r}_3 B$.
   • Создайте матрицу $A$ из векторов-строк ${\bf r}_1$, ${\bf r}_2$ и ${\bf r}_3$, затем вычислите матричное произведение $AB$. Сравните строки в вашем результате с предыдущими вычислениями ${\bf r}_1 B$, ${\bf r}_2 B$ и ${\bf r}_3 B$.

Умножение матриц и обратные матрицы

Это третий пост в серии статей о курсе линейной алгебры Массачусетского технологического института. В этом посте я рассмотрю третью лекцию о пяти способах умножения матриц , обратных матриц и алгоритме нахождения обратных матриц под названием исключение Гаусса-Жордана .

Первая лекция была посвящена геометрии линейных уравнений, а вторая лекция была посвящена исключению матриц.

Вот третья лекция.

Третья лекция начинается с пяти способов перемножения матриц .

Первый способ — классический. Предположим, нам дана матрица A размера m x n с элементами a _ij и матрица B размера n x p с элементами b _jk , и мы хотим найти произведение А · В . Умножение матриц A и B даст матрицу C размера m x р с элементами.

Вот как работает эта сумма. Чтобы найти первый элемент c ₁₁ матрицы C , мы суммируем по 1-й строке A и 1-му столбцу B . Сумма расширяется до C ₁₁ = A ₁₁ · B ₁₁ + A ₁₂ · B ₂₁ + A ₁₃ · B ₃₁ + + A _{14141414141414141414141414141414141413131313131313 1.1314141414141414141414141414141414141413131313131313131313131313131313 1.13141414.} · B ₃₁ + A _{. №1} . Вот визуализация суммирования:

Продолжаем таким образом, пока не найдем все элементы матрицы С . Вот еще одна визуализация нахождения c ₂₃ :

Второй способ — взять каждый столбец в B , умножить на всю матрицу A и поместить полученный столбец в матрицу C . Столбцы C представляют собой комбинации столбцов A . (Помните из предыдущей лекции, что матрица, умноженная на столбец, является столбцом.)

Например, чтобы получить столбец 1 матрицы C , мы умножаем A ·(столбец 1 матрицы B ):

Третий способ — взять каждую строку в A , умножить на всю матрицу B и поместить полученную строку в матрицу C . Ряды C являются комбинациями рядов B . (Опять же, помните из предыдущей лекции, что произведение строки на матрицу — это строка.)

Например, чтобы получить строку 1 матрицы C , мы умножаем строку 1 матрицы A на всю матрицу B :

Четвертый способ состоит в том, чтобы посмотреть на произведение A · B как сумму (столбцов A ) раз (строк B ).

Вот пример:

Пятый способ — рубить матрицы на блоки и умножать блоки любым из предыдущих способов.

Вот пример. Матрица A разбивается на четыре подматрицы A ₁ A ₂ A ₃ A ₄ , матрица B делится на четыре подматрицы B ₁ B ₂ B ₃ B ₄ и блоки обрабатываются как простые матричные элементы.

Here is the visualization:

Element C ₁ , for example, is obtained by multiplying A ₁ · B ₁ + A ₂ · B ₃ .

Далее лекция переходит к нахождению обратных матриц . Обратная матрица A — другая матрица, такая, что A ^-1 · A = I , где I — единичная матрица. На самом деле, если A ^-1 является обратной матрицей квадратной матрицы A , то это и левая, и правая обратная матрица, то есть A ^-1 · A = A · А ^-1 = I .

Если матрица A имеет обратную, то говорят, что она обратима или не единственное число .

Матрица A является сингулярной, если мы можем найти ненулевой вектор x такой, что A · x = 0 . Доказательство легко. Предположим, что A невырождена, т. е. существует матрица A ^-1 . Тогда A ^-1 · A · x = 0 · A ^-1 , что приводит к ложному утверждению, что x = 0 . Следовательно, A должно быть в единственном числе.

Другой способ сказать, что матрица A является сингулярной, это сказать, что столбцы матрицы A линейно зависимы (один или несколько столбцов могут быть выражены как линейная комбинация других).

Наконец, в лекции показан детерминированный метод нахождения обратной матрицы. Этот метод называется методом исключения Гаусса-Жордана . Короче говоря, исключение Гаусса-Жордана преобразует расширенную матрицу ( A | I ) в ( I | A ^-1 ) с использованием только исключения строк.

Пожалуйста, посмотрите лекцию, чтобы узнать, как это работает во всех деталях:

Прямая ссылка: http://www. youtube.com/watch?v=FX4C-JpTFgY

Темы третьей лекции:

• [00:51] Первый способ умножения матриц.
• [04:50] Когда нам разрешено перемножать матрицы?
• [06:45] Второй способ умножения матриц.
• [10:10] Третий способ умножения матриц.
• [12:30] Каков результат умножения столбца A и строки B?
• [15:30] Четвертый способ умножения матриц.
• [18:35] Пятый способ умножения матриц на блоки.
• [21:30] Инверсии для квадратных матриц.
• [24:55] Сингулярные матрицы (обратная матрица не существует).
• [30:00] Почему сингулярные матрицы не могут иметь обратных?
• [36:20] Исключение Гаусса-Джордана.
• [41:20] Идея Гаусса-Жордана A·I -> I·A ^-1 .

Вот мои записи третьей лекции:

Мои записи третьей лекции по линейной алгебре, посвященной умножению матриц и инверсиям.

Следующий пост будет о разложении матрицы A=LU (также известном как факторизация).

Умножение матриц — Мэтью Н. Бернстайн

11 минут чтения В этом посте мы обсудим три точки зрения на умножение матриц. Именно третья точка зрения придает этому «неинтуитивному» определению силу: умножение матриц представляет собой композицию линейных преобразований.

Введение

Умножение матриц — это операция между двумя матрицами, которая создает новую матрицу. У студентов, знакомых с умножением матриц, может возникнуть недоумение, когда они узнают, что умножение матриц 90 193, а не 90 194 просто влечет за собой вычисление произведения каждой пары соответствующих элементов между двумя матрицами. То есть

\[\begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_ {1,1} и b_{1,2} \\ b_{2,1} & b_{2,2}\end{bmatrix} \boldsymbol{\neq} \begin{bmatrix}a_{1,1}b_ {1,1} & a_{1,2}b_{1,2} \\ a_{2,1}b_{2,1} & a_{2,2}b_{2,2}\end{bmatrix} \]

Скорее, умножение матриц определяется гораздо более сложным способом:

Определение 1 (умножение матриц): Произведение матрицы $m \times n$ $\boldsymbol{A}$ матрицы умножение на $n \times p$ матрицу $\boldsymbol{B}$ дает

$$\boldsymbol{AB} := \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{* ,1} & \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,2} & \dots & \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,n} \end{bmatrix}$$

, где $\boldsymbol{b}_{*,i}$ — $i$-й столбец таблицы $\boldsymbol{B}$.

То есть для двух матриц $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ каждый столбец матрицы произведения $\boldsymbol{AB}$ формируется путем умножения матрицы на вектор между $\boldsymbol{ A}$ и каждый столбец $\boldsymbol{B}$. Обратите внимание, что это определение требует, чтобы количество столбцов первой матрицы было равно количеству строк второй матрицы. Если это не так, то умножение матриц не определено.

Это сложное определение наводит на вопрос: в чем интуиция, стоящая за умножением матриц? И почему это не определяется как просто попарное произведение между соответствующими элементами двух матриц, как описано выше? В этом посте мы рассмотрим три способа просмотра умножения матриц и, надеюсь, станет очевидным, что это более сложное определение намного мощнее, чем наивное определение, вычисляющее попарные произведения. Его сила будет исходить из третьей точки зрения, которую мы обсудим: умножение матриц представляет собой композицию линейных преобразований.

Три точки зрения на умножение матриц

Существует как минимум три точки зрения, в которых можно рассматривать умножение матриц, каждая из которых зависит от точки зрения, используемой для каждого из матричных факторов. Напомним, что мы можем рассматривать матрицу с нескольких точек зрения:

1. Как список векторов-столбцов
2. Как список векторов-строк
3. Как линейное преобразование

Учитывая эти различные способы возможного просмотра каждого матричного фактора, $ \boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$, мы можем представить их произведение, $\boldsymbol{AB}$, следующим образом:

1. Умножение матриц вычисляет линейное преобразование набора векторов: Если мы рассматриваем $\boldsymbol{A}$ как линейное преобразование, а $\boldsymbol{B}$ как список векторов-столбцов, столбцы Матрица произведения $\boldsymbol{AB}$ является результатом преобразования каждого столбца $\boldsymbol{B}$ по $\boldsymbol{A}$.
2. Умножение матриц вычисляет скалярные произведения для пар векторов: Эта перспектива следует из рассмотрения $\boldsymbol{A}$ как упорядоченного списка векторов-строк и просмотра $\boldsymbol{B}$ как упорядоченного списка столбцов -векторы. Затем матрица произведения $\boldsymbol{AB}$ хранит все попарные скалярные произведения между строками $\boldsymbol{A}$ и столбцами $\boldsymbol{B}$.
3. Умножение матриц вычисляет композицию двух линейных преобразований: Если рассматривать как $\boldsymbol{A}$ , так и $\boldsymbol{B}$ как линейные преобразования, то матрица произведения представляет собой линейное преобразование, образованное взятием композиция линейных преобразований, определяемая $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$.

Именно эта третья перспектива является наиболее абстрактной и, пожалуй, самой мощной. Давайте углубимся в каждую из этих точек зрения.

Умножение матриц вычисляет линейное преобразование набора векторов

Эта точка зрения напрямую следует из нашего определения умножения матриц: если мы рассматриваем $\boldsymbol{A}$ как линейное преобразование и рассматриваем матрицу $\ boldsymbol{B}$ в виде упорядоченного списка векторов-столбцов

\[\boldsymbol{B} := \begin{bmatrix} \boldsymbol{b}_{*,1} & \boldsymbol{b}_{*,2} & \dots & \boldsymbol{b}_{*,n} \end{bmatrix}\]

, то каждый столбец $\boldsymbol{AB}$ вычисляется с помощью линейного преобразования, характеризуемого $\boldsymbol{A}$ каждого $\boldsymbol{b}_{*,i}$:

\[\boldsymbol{AB} := \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,1} & \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,2} & \ dots & \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,n} \end{bmatrix}\]

Умножение матриц вычисляет скалярные произведения для пар векторов

Если мы рассмотрим матрицу $\boldsymbol{A} $ как список векторов-строк и матрица $\boldsymbol{B}$ как список векторов-столбцов, то произведение $\boldsymbol{AB}$ является матрицей, в которой хранятся все попарные скалярные произведения векторы в $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$. В частности, $i,j$-й элемент $\boldsymbol{AB}$ — это скалярное произведение $i$-й строки $\boldsymbol{A}$ и $j$-го столбца $\boldsymbol. {B}$ (см. теорему 1 в приложении к этому сообщению). Этот факт, часто называемый правило строки-столбца можно использовать для вычисления каждого элемента $\boldsymbol{AB}$. Это показано ниже:

Умножение матриц вычисляет композицию двух линейных преобразований:

Третий и последний вариант просмотра умножения матриц требует, чтобы мы видели как $\boldsymbol{A}$ , так и $ \boldsymbol{B}$ как линейные преобразования. Тогда оказывается, что матрица $\boldsymbol{AB}$ есть матрица, характеризующая линейное преобразование, образованное композицией линейных преобразований, характеризуемых $\boldsymbol{A}$ и $\boldsymbol{B}$ (см. Теорема 2 в приложении к этому сообщению). То есть при двух линейных преобразованиях

\[\begin{align*}f(\boldsymbol{x}) &:= \boldsymbol{Ax} \\ g(\boldsymbol{x}) &:= \boldsymbol{Bx}\end{align*}\ ]

матрица $\boldsymbol{AB}$ — это матрица, характеризующая композицию $f \circ g$:

\[f \circ g(\boldsymbol{x}) := f(g(\boldsymbol{x} )) = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{Bx})\]

Это доказано в теореме 2 в приложении к настоящему посту и проиллюстрировано ниже:

Напомним, что количество строк матрицы определяет размерность векторы в его диапазоне и количество столбцов соответствуют количеству измерений домена. Так как $\boldsymbol{AB}$ характеризует композицию $f \circ g$, то матрица $\boldsymbol{AB}$ будет отображаться из области определения $\boldsymbol{B}$ в область значений $\boldsymbol {А}$.

Свойства матричного умножения

Вот несколько свойств матричного умножения, которые можно использовать в вычислениях и выводах с использованием матриц. Для краткости мы поместили все доказательства в приложение к сообщению блога:

1. Ассоциативное свойство для матриц (теорема 3): $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{BC}) = (\ boldsymbol{AB})\boldsymbol{C}$
2. Коммутативность скаляров (теорема 4): $r(\boldsymbol{AB}) = (r\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} = \boldsymbol {A}(r\boldsymbol{B})$, где $r$ — скаляр.
3. Левое дистрибутивное свойство (теорема 5): $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{AB} + \boldsymbol{AC}$
4. Правое дистрибутивное свойство (теорема 6): $(\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C})\boldsymbol{A} = \boldsymbol{BA} + \boldsymbol{CA}$
5. Тождество (теорема 7): $\ boldsymbol{I}_m\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A} = \boldsymbol{AI}_n$

Приложение

Теорема 1 (правило строки-столбца): Для матрицы $\boldsymbol{A}$ размером $m \times n$ и матрицы $\boldsymbol{B}$ размером $n \times p$ $i,j$-й элемент матрицы $\boldsymbol{AB}$ вычисляется как \(\boldsymbol{a}_{i,*} \cdot \boldsymbol{b}_{*,j}\), где \(\boldsymbol{a}_{i,*}\) – $i$-й столбец $\boldsymbol{A}$, а \(\boldsymbol{b}_{*,j}\) – это $j$-й столбец $\boldsymbol{B}$.

Доказательство:

\[\begin{align*} \boldsymbol{AB} &= \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,1} & \boldsymbol{A}\ boldsymbol{b}_{*,2} & \dots & \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,n} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \boldsymbol{a}_ {*,1}b_{1,1} + \dots + \boldsymbol{a}_{*,n}b_{n,1} & \dots & \boldsymbol{a}_{*,1}b_{1 ,n} + \dots + \boldsymbol{a}_{*,n}b_{n,n} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} a_{1,1}b_{1,1} + \dots + a_{1,n} b_{n,1} & \dots & a_{1,1}b_{1,n} + \dots + a_{1,n}b_{n,n} \\ a_{2,1}b_{1,1} + \dots + a_{2,n} b_{n,1} & \dots & a_{2,1}b_{1,n} + \dots + a_{ 2,n}b_{n,n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1}b_{1,1} + \dots + a_{n,n} b_{n,1} & \dots & a_{n,1}b_{1,n} + \dots + a_{n,n}b_{n,n} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \boldsymbol{a }_{1,*} \cdot \boldsymbol{b}_{*,1} & \dots & \boldsymbol{a}_{1,*} \cdot \boldsymbol{b}_{*,n} \\ \boldsymbol{a}_{2,*} \cdot \boldsymbol{b}_{*,1} & \dots & \boldsymbol{a}_{2,*} \cdot \boldsymbol{b}_{*, n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \boldsymbol{a}_{m,*} \cdot \boldsymbol{b}_{*,1} & \dots & \boldsymbol{a}_{m,*} \cdot \boldsymbol{b }_{*,n} \end{bmatrix} \end{align*}\] 9m$ выполняется следующее:

$$(\boldsymbol{AB})\boldsymbol{x} = \boldsymbol{A}(\boldsymbol{Bx})$$

Доказательство: Сначала разложим $\ boldsymbol{Bx}$:

\[\begin{align*} \boldsymbol{Bx} &= \boldsymbol{b}_{*,1}x_1 + \boldsymbol{b}_{*,2}x_2 + \dots + \boldsymbol{b}_{*,n}x_n \\ &= \begin{bmatrix} b_{1,1}x_1 + b_{1,2}x_2 + \dots + b_{1,n}x_n \\ b_{2,1}x_1 + b_{2,2}x_2 + \dots + b_{2,n}x_n \\ \vdots \\ b_{n,1}x_1 + b_{n,2}x_2 + \dots + b_{n,n}x_n \end{bmatrix} \end{align*}\]

Теперь,

\[\begin{align*}(\boldsymbol{AB})\boldsymbol{x} &= \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,1} & \boldsymbol {A}\boldsymbol{b}_{*,2} & \dots & \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,n} \end{bmatrix} \boldsymbol{x} \\ &= \boldsymbol {A}\boldsymbol{b}_{*,1}x_1 + \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,2}x_2 + \dots + \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{* ,n}x_n \\ &= \left(\boldsymbol{a}_{*,1}b_{1,1} + \dots + \boldsymbol{a}_{*,n} b_{n,1}\ справа)x_1 + \left(\boldsymbol{a}_{*,1}b_{1,2} + \dots + \boldsymbol{a}_{*,n} b_{n,2}\right)x_2 + \dots + \left(\boldsymbol{a}_{*,1}b_{1,n} + \dots + \boldsymbol{a}_{*,n} b_{n,n}\right)x_n \\ &= \left(\boldsymbol{a}_{*,1}b_{1,1}x_1 + \dots + \boldsymbol{a}_{*,n}b_{n,1}x_1\right) + \ влево(\boldsymbol{a}_{*,1}b_{1,2}x_2 + \dots + \boldsymbol{a}_{*,n} b_{n,2}x_2\right) + \dots + \ влево(\boldsymbol{a}_{*,1}b_{1,n}x_n + \dots \boldsymbol{a}_{*,n} b_{n,n}x_n\right) \\ &= \boldsymbol {a}_{*,1}(b_{1,1}x_1 + \dots + b_{1,n}x_n) + \boldsymbol{a}_{*,2}(b_{2,1}x_1 + \делать ts + b_{2,n}x_n) + \dots + \boldsymbol{a}_{*,n}(b_{n,1}x_1 + \dots + b_{n,n}x_n) \\ &= \ boldsymbol{a}_{*,1}(\boldsymbol{Bx})_1 + \boldsymbol{a}_{*,2}(\boldsymbol{Bx})_2+ \dots \boldsymbol{a}_{*,n }(\boldsymbol{Bx})_n \\ &= \boldsymbol{A}(\boldsymbol{Bx}) \end{align*}\] 9{n \times p}$ и скаляр $r$, выполняется равенство $r(\boldsymbol{AB}) = (r\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}(r\boldsymbol {B})$

Доказательство: Сначала докажем $r(\boldsymbol{AB}) = (r\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} = \boldsymbol{A}(r\boldsymbol{B} )$:

\[\begin{align*}r(\boldsymbol{AB}) &= r\begin{bmatrix} \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,1} & \dots & \boldsymbol {A}\boldsymbol{b}_{*,p} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} r\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,1} & \dots & r \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,p} \end{bmatrix} \\ &= (r\boldsymbol{A})\boldsymbol{B} \end{align*}\]

Далее мы доказываем $r(\boldsymbol{AB}) = \boldsymbol{A}(r\boldsymbol{B})$:

\[\begin{align*}r(\boldsymbol{AB}) &= r \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,1} & \dots & \boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,p} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} r\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,1} & \dots & r\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,p} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}(r\boldsymbol{b}_{*,1}) & \dots & \boldsymbol{A}(r\boldsymbol{b}_{*,p}) \ end{bmatrix} && \text{линейность умножения матрицы на вектор} \\ &= \boldsymbol{A}(r\boldsymbol{B}) \end{align*}\] 9{n \times p}$ выполняется следующее: $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}) = \boldsymbol{AB} + \boldsymbol{AC}$

Доказательство:

\[\begin{align*} \boldsymbol{A}(\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C}) &= \begin{bmatrix}\boldsymbol{A}(\boldsymbol{b}_{*,1 } + \boldsymbol{c}_{*,1}) & \dots & \boldsymbol{A}(\boldsymbol{b}_{*,p} + \boldsymbol{c}_{*,p}) \end {bmatrix} && \text{определение умножения матриц} \\ &= \begin{bmatrix}(\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,1} + \boldsymbol{A}\boldsymbol{c}_ {*,1}) & \dots & (\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,p} + \boldsymbol{A}\boldsymbol{c}_{*,p}) \end{bmatrix} && \text{линейность умножения матрицы на вектор} \\ &= \begin{bmatrix}\boldsymbol{A}\boldsymbol{b}_{*,1} & \dots & \boldsymbol{A}\boldsymbol{b} _{*,p} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \boldsymbol{A}\boldsymbol{c}_{*,1} & \dots & \boldsymbol{A}\boldsymbol{c}_{* ,p} \end{bmatrix} && \text{определение сложения матриц} \\ &= \boldsymbol{AB} + \boldsymbol{AC} && \text{defi умножение матриц}\end{align*}\] 9{n \times p}$ выполняется следующее: $(\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C})\boldsymbol{A} = \boldsymbol{BA} + \boldsymbol{CA}$

Доказательство:

\[\begin{align*}(\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C})\boldsymbol{A} &= \begin{bmatrix}(\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C})\boldsymbol{ a}_{*,1} & \dots & (\boldsymbol{B} + \boldsymbol{C})\boldsymbol{a}_{*,p} \end{bmatrix} && \text{определение матрицы-матрицы умножение} \\ &= \begin{bmatrix}(\boldsymbol{B}\boldsymbol{a}_{*,1} + \boldsymbol{C}\boldsymbol{a}_{*,1}) & \dots & (\boldsymbol{B}\boldsymbol{a}_{*,p} + \boldsymbol{C}\boldsymbol{a}_{*,p}) \end{bmatrix} && \text{определение сложения матриц} \ \ &= \begin{bmatrix}\boldsymbol{B}\boldsymbol{a}_{*,1} & \dots & \boldsymbol{B}\boldsymbol{a}_{*,p} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \boldsymbol{C}\boldsymbol{a}_{*,1} & \dots & \boldsymbol{C}\boldsymbol{a}_{*,p} \end{bmatrix} \\ &= \boldsymbol{BA} + \boldsymbol{CA}\end{align*}\]

$\square$

Теорема 7 (Тождество): Для $m \times n$ матрицы $\boldsymbol{A}$ верно следующее: $\boldsymbol{I}_m\boldsymbol{A} = \ boldsymbol{A} = \boldsymbol{AI}_n$

Доказательство: .

No related posts.