Метод Крамера: что это такое, пример решения и как вычислить определитель
Метод Крамера — это метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с одинаковым количеством уравнений и переменных.
Метод Крамера нельзя использовать, когда определитель основной матрицы равен 0 (в этом случае применяется метод Гаусса).
Как решить систему линейных уравнений методом Крамера
Пример
Нужно решить систему линейных уравнений:
2x + 1y + 1z = 3
1x – 1y – 1z = 0
1x + 2y + 1z = 0
1. Нужно найти главный определитель
2. Теперь заменяем по очереди каждый из столбцов на столбец ответов:
В первую колонку, для x и вычисляем определитель:
Во вторую колонку, для y и вычисляем определитель:
В третью колонку, для z и вычисляем определитель:
Последний шаг: нужно разделить каждый на главный определитель.
То есть:
x = Δx ÷ Δ = 3 ÷ 3 = 1
y = Δy ÷ Δ = (-6) ÷ 3 = -2
z = Δz ÷ Δ = 9 ÷ 3 = 3
Как вычислить определитель?
Матрицы 2 × 2
Матрицы 3 × 3
Существует несколько способов вычисления определителя матрицы 3 × 3.
Этот способ, под названием правило Саррюса, выглядит наиболее простым.
Нужно найти определитель матрицы 3 × 3
1. Дополнить матрицу первыми двумя столбцами (т. е. скопировать первые 2 столбца и дополнить её):
2. Умножить и сложить по диагоналям вниз:
3. Умножить и сложить по диагоналям вверх:
4. Из первой суммы (зелёной, по диагонали вниз) вычесть вторую (красную, по диагонали вверх): 8 — 2 = 6, т. е. det (A) = 6.
Узнайте про Интегралы, Логические операции и Корреляции.
Другие значения и понятия, которые могут вас заинтересовать
- Метод наименьших квадратов
- Схема Горнера
- Диалектика
- Герменевтика
- Эмпирическое познание
- Корреляция
- Стандартное отклонение
- Экспонента
- Парадокс
- Плюрализм
Узнай Что Такое: узнайте значения, понятия и определения.
ПоследниеПопулярныеКонтактыПолитика КонфиденциальностиО нас
2018 — 2023 © 7Graus
Проект на тему «Метод Крамера, как способ решения практических задач»
Пятая лицейская научно-практическая конференция «Познание и творчество»
Физика-математика
Тема: «Метод Крамера, как способ решения практических задач»
Исследовательский проект
Автор: Кротова Анна
Ученица 10 «Б» класса МАОУ
« Лицей №21»
Руководитель:
Балашова Елена Ивановна,
учитель математики
Кротова Ирина Леонидовна,
учитель математики
Оглавление
Введение.
3
История. 4
Определитель матрицы второго порядка. 5
Определитель матрицы третьего порядка. 6
Пример 1:. 7
Пример 2:. 8
Пример 3:. 9
Пример 4:. 10
Практическая часть. 11
Конструкт урока для 7 класса. 11
Конструкт урока для 9 класса. 14
Заключение. 17
Литература. 18
Урок. 19
Приложение. 20
Результаты самостоятельной работы в 7 классе
. 20Результаты самостоятельной работы в 9 классе. 21
Тема моего исследовательского проекта – «Метод Крамера, как способ решения практических задач».
В школьном курсе алгебры изучают методы решения систем линейных уравнений, такие как: метод подстановки, метод сложения, графический метод. Каждый из методов имеет свои достоинства и недостатки. Общее для них то, что большинство учащихся не могут их усвоить на необходимом уровне.
Я считаю, что тема
моего проекта достаточно актуальна в первую очередь для меня, поскольку в
математике есть такие задачи, которые нужно решать с помощью систем уравнений.
Однако в школьном курсе изучаются системы уравнений, содержащие только две
переменные. Мне бы хотелось познакомиться самой, а потом и научить других
решать системы, содержащие большее количество неизвестных, что может помочь в
решении более сложных задач не только в математике, но и в экономике. Но для
того, чтобы познакомиться с самим методом, нужно знать что такое определитель
второго порядка и научиться их вычислять.
Гипотеза: эффективность решения систем уравнений повышается, если использовать метод Крамера.
Задачи:
· Рассмотреть метод Крамера.
· Научить учащихся 8-10 класса пользоваться данным методом.
· Предложить учащимся 8-10 класса, на выбор, решить несколько систем уравнений понравившимся способом.
· Проанализировать полученный данные в ходе проведения самостоятельной работы, которую выполнят учащиеся.
·
Сделать выводы, на основе которых
определить достоверность моей гипотезы.
Габриэль Крамер родился 31 июля 1704 года в Женеве (Швейцария). Уже в детстве он опережал своих сверстников в интеллектуальном развитии и демонстрировал завидные способности в области математики.
В 18 лет он успешно защитил диссертацию. Через 2 года Крамер выставил свою кандидатуру на должность преподавателя в Женевском университете. Юноша так понравился магистрату, что специально для него и ещё одного кандидата на место преподавателя была учреждена отдельная кафедра математики, где Крамер и работал в последующие годы.
Крамер является одним из создателей линейной алгебры. Одной из самых известных его работ является «Введение в анализ алгебраических кривых», опубликованный на французском языке в 1750 году. В ней Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже его именем – метод Крамера.
Метод
Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений
(СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и
определитель основной матрицы отличен от нуля.
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.
Определитель– это число, которое считается по определенным правилам. Порядок определителя– это порядок квадратной матрицы. Если для задания матриц использовались круглые скобки, то в теории определителей используют прямые скобки.
Каждой квадратной матрице поставим в соответствие некоторое число, которое будем называть определителем матрицы, и укажем правило его вычисления. Обозначения:
· Дана матрица .
Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по правилу:
.
Пример . .
Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Это
число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое
слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца
матрицы.
Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.
Знаки,
с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего
порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется
правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со
знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые
берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.
Решения систем методом
Крамера
Метод Крамера – это метод решения систем линейных уравнений. Он применяется только к системам линейных уравнений, у которых число уравнений совпадает с числом неизвестных и определитель отличен от нуля.
Любая крамеровская система
уравнений имеет единственное решение , которое определяется формулами , где — определитель матрицы, полученной из основной матрицы заменой -го столбца
на столбец свободных членов системы, а – определитель основной матрицы.
Эта формула называется формулой
Крамера.
Задание: Решить систему методом Крамера.
Решение: Запишем основную матрицу системы
Найдем её определитель
Определитель , следовательно, заданная система может быть решена методом Крамера.
Вычислим определитель , для этого заменим первый столбец в основной матрице на столбец свободных членов , получим
Аналогично, заменяя второй столбец основной матрицы на , найдем :
Далее по формуле Крамера находим неизвестные переменные:
Ответ:
Задание: Решить систему методом Крамера.
Решение: В уравнениях системы перенесем свободный член вправо:
Тогда основная матрица , а столбец свободных членов .
Найдем определитель матрицы системы:
Определитель
,
следовательно, система имеет единственное решение и может быть решена методом
Крамера.
Заменяя первый столбец на столбец свободных членов, найдем, что
Заменяя второй столбец основной матрицы на столбец , получаем:
Тогда, по формуле Крамера, решением системы будет
Ответ:
Задание: Решить систему методом Крамера.
Решение:
Найдем определитель , для этого подставим в последний определитель вместо первого столбца столбец свободных членов :
Подставляя вместо второго столбца столбец свободных членов, найдем :
Аналогично найдем :
Далее по формуле Камера находим решение заданной системы
Ответ:
Задание: Решить систему методом Крамера.
Решение: Запишем основную матрицу системы:
и найдем её определитель по правилу треугольника:
Определитель
основной матрицы равен нулю, следовательно, к данной системе нельзя применить
метод Крамера.
Ответ: Данная система не может быть решена методом Крамера.
Конструкт урока по теме «Метод Крамера как способ решения систем уравнений»
Учитель: Кротова Анна
Учебный предмет: математика
Класс: 7
Цель урока: показать применение метода Крамера, и закрепить умения и навыки при решении систем уравнений методом подстановки и методом алгебраического сложения. Продолжить отрабатывать вычислительные навыки при решении систем уравнений. Продолжить развитие умений обобщать, систематизировать, делать выводы, сравнивать.
Задачи:
— составлять системы уравнений и решать системы, используя алгоритмы;
— применять метод Крамера для решения систем уравнений, как один из рациональных методов решений.
Ход урока
Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность ученика | УУД |
Актуализация знаний
| Учитель
предлагает учащимся задачу с двумя переменными: «на чашечных весах взвесили четырех
кошек и трех котят, их вес оказался 15 кг.
| Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом алгебраического сложения и подстановки. | Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. |
| Учитель предлагает решить задачу вторым способом, воспользовавшись методом Крамера. | Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом Крамера. | Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Познавательные: ученики осваивают новый, ранее не изученный ими метод.
|
| . |
|
|
Постановка проблемы
| Учитель предлагает решить самостоятельно систему методом алгебраического сложения и подстановки.
Сформулировать алгоритм решения данной системы.
| Ученики самостоятельно решают систему уравнений | Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Принимать решение в проблемной ситуации.
Познавательные: ученики самостоятельно находят пути решения заданной системы.
Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным для оппонентов образом. Познавательные: действовать по алгоритму. |
| Учитель предлагает самостоятельно решить произвольную систему уравнений методом Крамера | Ученики самостоятельно решают систему уравнений | Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Принимать решение в проблемной ситуации.
Познавательные: ученики самостоятельно находят пути решения заданной системы.
Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным для оппонентов образом. Познавательные: действовать по алгоритму. |
Рефлексия
| Учитель
предлагает задание для самостоятельного решения, проверяет самостоятельную
работу и анализирует результаты. | Применение алгоритма при решении многошаговых уравнений.
Работают с заданием на анализ предъявляемой информации, формулируют свои оценочные суждения, аргументируют их примерами
| Личностные: формулирование оценочных суждений, их аргументация; Регулятивные: выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению. Коммуникативные: умение вступать в диалог с учителем и со сверстниками. Познавательные: оценка результатов деятельности. |
Затем взвесили трех кошек и
четырех котят, их вес составил 13 кг. Найти вес одной кошки и одного котенка,
если считать вес всех кошек одинаковым и вес всех котят также одинаковым.»
Конструкт урока по теме «Метод Крамера как способ решения систем уравнений»
Учитель: Кротова Анна
Учебный предмет: математика
Класс: 7
Цель
урока: показать применение метода Крамера, и закрепить умения
и навыки при решении систем уравнений методом подстановки и методом
алгебраического сложения.
Продолжить
отрабатывать вычислительные навыки при решении систем уравнений. Продолжить
развитие умений обобщать, систематизировать, делать выводы, сравнивать.
Задачи:
— составлять системы уравнений и решать системы, используя алгоритмы;
— применять метод Крамера для решения систем уравнений, как один из рациональных методов решений.
Ход урока
Этап урока | Деятельность учителя | Деятельность ученика | УУД |
Актуализация знаний
| Учитель
предлагает учащимся задачу с двумя переменными: «на чашечных весах взвесили
четырех кошек и трех котят, их вес оказался 15 кг.
| Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом алгебраического сложения и подстановки. | Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. |
| Учитель предлагает решить задачу вторым способом, воспользовавшись методом Крамера. | Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом Крамера. | Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Познавательные: ученики
осваивают новый, ранее не изученный ими метод.
|
| . |
|
|
Постановка проблемы
| Учитель предлагает решить самостоятельно систему методом алгебраического сложения и подстановки.
Сформулировать алгоритм решения данной системы.
| Ученики самостоятельно решают систему уравнений | Регулятивные: самостоятельно анализировать условия задачи. Принимать решение в проблемной ситуации.
Познавательные: ученики
самостоятельно находят пути решения заданной системы.
Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным для оппонентов образом. Познавательные: действовать по алгоритму. |
Учитель предлагает решить систему из трех уравнений методом Крамера. | Ученики составляют систему и решают задачу вместе с учителем методом Крамера. | ||
| Учитель предлагает самостоятельно решить произвольную систему уравнений методом Крамера | Ученики самостоятельно решают систему уравнений | Регулятивные: самостоятельно
анализировать условия задачи.
Познавательные: ученики самостоятельно находят пути решения заданной системы.
Коммуникативные: аргументировать свою точку зрения, спорить и отстаивать свою позицию не враждебным для оппонентов образом. Познавательные: действовать по алгоритму. |
Рефлексия
| Учитель предлагает задание для самостоятельного решения, проверяет самостоятельную работу и анализирует результаты. | Применение алгоритма при решении многошаговых уравнений.
Работают с заданием на анализ предъявляемой информации, формулируют свои оценочные суждения, аргументируют их примерами
| Личностные: формулирование оценочных суждений, их аргументация; Регулятивные: выделение и
осознание учащимися того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению. Коммуникативные: умение вступать в диалог с учителем и со сверстниками. Познавательные: оценка результатов деятельности. |
Затем взвесили трех кошек
и четырех котят, их вес составил 13 кг. Найти вес одной кошки и одного
котенка, если считать вес всех кошек одинаковым и вес всех котят также
одинаковым.»
Принимать решение в проблемной ситуации.
В итоге работы над данным проектом я выполнила все поставленные перед собой задачи. С помощью дополнительной литературы я изучила метод Крамера, узнала, что такое определитель, как он находится и научилась применять данный метод на практике. Я провела уроки в 7 и в 9 классе. На уроке я предложила учащимся решить системы уравнений новым методом. Большинство учащихся, воспользовавшись методом Крамера, решили системы уравнений правильно.
Перед тем, как
начать писать проект, я определила для себя такие риски и сложности как: исследуемая
информация может быть сложна, в связи с тем, что изучаемый мною материал
выходит за рамки школьной программы. Кроме того, может возникнуть трудность при
передаче информации другим учащимся в связи с моей методической неграмотностью,
т.
е. незнание методов изложения материала. Но риск оказался не оправдан, т.к.
тема не вызвала затруднений, и я смогла преподнести информацию так, что
учащиеся смогли ее реализовать.
В ходе работы над моим проектом я доказала справедливость моей гипотезы, что эффективность решения систем уравнения повышается, если использовать метод Крамера.
· Сайт с краткой биографией Г. Крамера: http://www.calend.ru (дата обращения: 13.01.2017).
· Методические указания «Решение задач методом Крамера»: http://www.gtk-gryazi.ru/documents/metod/rech_zad_kramer.pdf (дата обращения: 13.01.2017).
· Понятие определителя второго порядка: http://www.studfiles.ru/preview/4404558/ (дата обращения: 13.01.2017).
· Понятие определителя третьего порядка: http://miemp-mi-gor.narod.ru/utcheba/matem/matrica/003.htm (дата обращения 20.01.2017).
·
Примеры решения систем методом Крамера: http://ru.solverbook.com/primery-reshenij/primery-resheniya-sistem-metodom-kramera/ (дата обращения 13.
01.2017).
· Росошек С. К. Системы уравнений / С. К. Росошек: Изд-во Томского университета 1996. – 76 с.
{-1} = \ frac1 {\ det A} \ adj A \end{уравнение*}
Доказательство.
\begin{уравнение*} А \ прил А = \begin{bматрица} a_{1,1} \amp a_{1,2} \amp \cdots \amp a_{1,n} \\ a_{2,1} \amp a_{2,2} \amp \cdots \amp a_{2,n} \\ \усилитель\усилитель\вдоц\\ a_{n,1} \amp a_{n,2} \amp \cdots \amp a_{n,n} \\ \end{bmatrix} \begin{bматрица} C_{1,1} \amp C_{2,1} \amp \cdots \amp C_{n,1} \\ C_{1,2} \amp C_{2,2} \amp \cdots \amp C_{n,2} \\ \усилитель\усилитель\вдоц\\ C_{1,n} \amp C_{2,n} \amp \cdots \amp C_{n,n} \\ \end{bmatrix} \end{уравнение*} 9n a_{i,k} C_{i,k}=\det A \end{уравнение*}
\(i\not=j\text{:}\) В этом случае мы используем новую матрицу \(B\), построенную из \(A\) путем замены \(R_j\) на \(R_i\text{, }\), то есть \(R_j\gets R_i\) (это не элементарная операция строки).
n a_{i,k} C_{j,k}=
(А \ прил А) _ {я, j}
\end{уравнение*} 9{-1}.
\end{уравнение*}
Пример 4.5.4. Обратное вычисляется с использованием сопряжения \(A\).
Пусть
\begin{уравнение*} А= \begin{bматрица} 1\усилитель 2\усилитель 1\\ 2\усилитель 3\усилитель 5 \\1\усилитель 2\усилитель 0 \end{bmatrix} \end{уравнение*}
Сначала мы вычисляем \(\det A=1\)
Далее вычисляем миноры:
\begin{уравнение*} \begin{массив}{ll} M_{1,1}= -10 \amp M_{1,2}= -5 \amp M_{1,3}= 1 \\ M_{2,1}= -2 \amp M_{2,2}= -1 \amp M_{2,3}= 0 \\ M_{3,1}= 7 \amp M_{3,2}= 3 \amp M_{3,3}= -1 \конец{массив} \end{уравнение*} 9{-1}b= \frac1{\det A} \adj Ab\text{.}\) Определяем новые матрицы \(A_1,A_2,\ldots,A_n\text{:}\) конструируем \(A_k\) путем замены \(k\)-го столбца \(A\) на \(b\text{.}\). Более конкретно, если столбцы \(A\) равны \(C_1,C_2,\ldots, C_n\text{,}\) затем
\begin{уравнение*} А_к= \begin{bматрица} C_1 \cdots C_{k-1}\amp b\amp C_{k+1} \cdots C_n \end{bmatrix} \end{уравнение*}
Теорема 4.
5.6. Правило Крамера.Пусть
\begin{уравнение*} Ах=б \end{уравнение*} 9n b_kC_{k,i}\) — это \(i\)-е расширение столбца для оценки \(\det A_i\text{.}\) Следовательно,
\begin{уравнение*} x_i=\frac1{\det A} \det A_i=\frac{\det A_i}{\det A}. \end{уравнение*}
Пример 4.5.7. Применение правила Крамера.
Рассмотрим систему линейных уравнений
\begin{уравнение*} х_1+х_2+х_3=2\\ х_1-х_2+х_3=0\\ 2x_1-x_2+x_3=2 \end{уравнение*}
У нас есть
\begin{уравнение*} А= \begin{bматрица} 1 \амп 1\амп 1\\ 1 \амп -1 \ампер 1\ 2 \амп -1 \ампер 1 \end{bmatrix} \qquad \дет А=2 \\ А_1= \begin{bматрица} 2 \амп 1\амп 1\\ 0 \ампер -1 \ампер 1 \\ 2 \амп -1 \ампер 1 \end{bmatrix} \qquad \det A_1=4 \\ А_2= \begin{bматрица} 1\амп 2\амп 1\\ 1 \ампер 0 \ампер 1 \\ 2\амп 2\амп 1 \end{bmatrix} \qquad \det A_2=2 \\ А_3= \begin{bматрица} 1 \усилитель 1\усилитель 2\\ 1 \ампер -1 \ампер 0 \\ 2 \амп -1 \ампер 2 \end{bmatrix} \qquad \det A_3=-2 \end{уравнение*}
и так
\begin{уравнение*} x_1=\frac42=2\\ x_2=\frac22=1\\ x_3=\frac{-2}2=-1 \end{equation*}
Видео-урок: Правило Крамера | Nagwa
Стенограмма видео
В этом видео мы узнаем, как
использовать правило Крамера для решения системы линейных уравнений.
Итак, что мы собираемся сделать, это
использовать определители для решения систем двух линейных уравнений, использовать определители для решения
системы трех линейных уравнений, а также понимать и использовать правило Крамера.
Итак, правило Крамера — полезный способ помогает нам решать одновременные уравнения. И одна удобная вещь об этом что это позволяет нам решать одну переменную, а не целую систему уравнений. Так как же это произошло? Ну, правило Крамера названо в честь Габриэль Кремер. Он был женевским математиком. И то, что он изобрел, было способом решение уравнения с использованием матриц или матричных уравнений и фактически определители этих матриц. Теперь, прежде чем мы рассмотрим некоторые примеры того, как использовать правило Крамера, мы просто немного взглянем на само правило, как оно работает и что означает.
Так что на это тоже стоит обратить внимание
отметить, что часто можно увидеть и использовать разные обозначения.
Так что на этой странице вы даже можете увидеть
то, что мы получили в фактическом правиле Крамера в пузыре, у нас есть обозначение, которое
использует Δ для нашей матрицы, поэтому он говорит определитель матрицы Δ sub 𝑥, тогда как
также вы можете написать это как D sub 𝑥. Это означает, что определитель
матрица.
Итак, если мы посмотрим на правило,
то правило Крамера говорит нам, что если у нас есть система уравнений — то в
В этом случае у нас есть три переменные, 𝑥, 𝑦 и 𝑧, но мы рассмотрим две и
трех переменных в этом уроке — тогда мы сможем найти решения уравнений
с использованием 𝑥 равно определителю матрицы Δ sub 𝑥 над определителем
матрица Δ. 𝑦 равно определителю
матрица ∆ sub 𝑦 над определителем матрицы ∆. А 𝑧 равно определителю
матрицы ∆ sub 𝑧 над определителем матрицы ∆. Так что все отлично. Но что это на самом деле
иметь в виду? Что ж, давайте посмотрим.
Ну, давайте представим, что у нас есть система двух уравнений и переменных были 𝑥 и 𝑦. Итак, у нас есть три 𝑥 плюс два 𝑦 равно 23, а два 𝑥 минус четыре 𝑦 равно минус 22. Что ж, тогда мы могли бы сделать следующее: фактически, установите это как матричное уравнение. Таким образом, у нас будет матрица три, два, два и минус четыре. А это матрица нашего коэффициенты, где наши 𝑥-коэффициенты являются первым столбцом, а наши 𝑦-коэффициенты — второй столбец. Они умножаются на матрицу 𝑥, 𝑦 — наши переменные. И тогда это будет равно матрица ответов 23, отрицательное 22. И мы получаем это, потому что это наши постоянные значения или наши ответы на наши уравнения. Хорошо, отлично. Итак, мы сейчас на этом этапе, все еще не совсем по нашим правилам. Итак, что нам нужно от вас сейчас?
Ну, что мы могли себе представить, так это то, что
матрица есть матрица ∆.
Итак, у нас есть матрица коэффициентов
здесь. Таким образом, мы будем знать, как
знаменателя, если бы мы хотели найти нашу 𝑥-переменную, у нас был бы определитель
матрица три, два, два, отрицательное четыре. Итак, это имеет смысл. Но что будет с нашим числителем
быть? Что это за матрица ∆ sub 𝑥? Ну, матрица Δ sub 𝑥 — это то, что
мы получим, если подставим наши ответы, поэтому значения из нашей матрицы ответов,
вместо столбца, содержащего наши 𝑥-коэффициенты, что дало бы нам
матрица 23, два, минус 22, минус четыре, потому что мы видим, что 𝑦-коэффициенты
останется прежним. Поэтому, что мы могли бы сказать, это
что наше 𝑥-решение будет равно определителю матрицы 23, два,
минус 22, минус четыре над определителем матрицы три, два, два,
минус четыре.
Что мы можем сделать, так это применить
Правило Крамера для нахождения 𝑦-решения.
И мы сделаем это в некоторых
примеры, к которым мы придем. Это просто, чтобы показать, как все это
работает. Теперь, прежде чем мы перейдем непосредственно к
несколько примеров, очевидно, здесь мы много говорим о детерминантах. Что я хочу сделать, это быстро бежать
через, как найти определитель матриц два на два и три на три. Это то, что вы должны
уже знаю, так что это будет просто очень краткий обзор.
Ну, во-первых, если подумать
о матрице два на два, если у нас есть матрица два на два 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, то
определитель этого будет равен 𝑎𝑑 минус 𝑏𝑐. Итак, что мы делаем, это перекрестное умножение и
вычесть. А потом для три на три
матрица, если мы хотим найти определитель, например, матрицы 𝑎, 𝑏, 𝑐,
𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, 𝑖, это равно 𝑎, умноженному на определитель
подматрица 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖 минус 𝑏, умноженная на определитель подматрицы 𝑑,
𝑓, 𝑔, 𝑖 плюс 𝑐, умноженное на определитель подматрицы 𝑑, 𝑒, 𝑔, ℎ.
Итак, важный ключевой момент, Помните, что у нас есть положительное, отрицательное, положительное, когда мы смотрим на коэффициенты, прежде чем мы умножим определители наших подматриц. А также мы собираемся быстро напомнить сами, как мы находим подматрицу два на два. Итак, если мы возьмем элемент 𝑎, то мы удаляем столбец и строку, в которой он находится. Тогда у нас остается подматрица два на два 𝑒, 𝑓, ℎ, 𝑖. Итак, теперь мы резюмировали те и мы также рассмотрели, как использовать правило Крамера. Сейчас мы рассмотрим некоторые Примеры. А что в нашем первом примере мы рассмотрим одно из условий правила Крамера.
Полезно ли правило Крамера для нахождения решения систем линейных уравнений, в которых существует бесконечное множество решения?
Что ж, мы могли бы ответить на этот вопрос
очень быстро, потому что мы могли бы просто сказать нет, потому что правило Крамера бесполезно для
когда есть система линейных уравнений, где существует бесконечное множество
решения.
И это потому, что если мы делаем
матричное уравнение, то оно нежизнеспособно, когда матрица сингулярна. Матрица сингулярна, когда
представляет собой бесконечное множество решений. Но это немного коротко
отвечать. Давайте посмотрим, почему это
дело. Итак, как мы уже говорили, если
система уравнений имеет сингулярную матрицу, то существует множество решений с
бесконечное множество решений. Но откуда мы знаем или каковы
свойства сингулярной матрицы?
Ну что мы знаем о единственном числе
матрица состоит в том, что ее определитель равен нулю. Итак, если мы посмотрим на
Правило Крамера, и мы хотим определить одну из трех переменных 𝑥, 𝑦 или 𝑧, тогда
что мы можем видеть, так это то, что в правиле у нас есть определитель матрицы как
знаменатель. Ну, если бы это была сингулярная матрица,
это будет ноль.
И если у нас есть что разделить на
ноль, то это означает, что наши ответы не могут быть определены. Вот почему мы можем сказать, что нет,
Правило Крамера не годится для поиска решений систем линейных уравнений.
уравнения, у которых существует бесконечное множество решений.
Хорошо, отлично. Мы ознакомились с условиями к которому применимо правило Крамера. Итак, теперь давайте посмотрим на некоторые примеры того, как мы используем правило Крамера.
Использовать определители для решения система минус восемь 𝑥 минус четыре 𝑦 равно минус восемь и девять 𝑥 минус шесть 𝑦 равно минус девять.
Итак, первое, что мы хотим сделать
с этой задачей фактически устанавливается матричное уравнение нашей системы
уравнения. И когда мы это делаем, что мы
будет матрица минус восемь, минус четыре, девять, минус шесть
умноженное на матрицу 𝑥, 𝑦 равно матрице ответов, а это отрицательно
восемь, минус девять.
Итак, что мы будем делать, потому что
мы хотим использовать определители для решения системы, тогда мы собираемся использовать
Правило Крамера. А правило Крамера говорит нам, что 𝑥
равен определителю матрицы ∆ sub 𝑥 над определителем
матрица Δ. А затем, чтобы найти 𝑦, он равен
определитель матрицы ∆ sub 𝑦 над определителем матрицы ∆.
Но мы могли бы посмотреть на это и
подумайте: «Ну, что такое матрица Δ sub 𝑥?» Ну, на самом деле, что это такое
матрица, которая формируется, когда мы подставляем матрицу ответов для столбца
𝑥-коэффициенты в нашей исходной матрице. Так, например, в нашей задаче мы
замените первый столбец в нашей матрице на матрицу ответов. Поэтому вместо чтения негатива
восемь, а затем девять, он читал отрицательную восьмерку, а затем отрицательную девятку. Итак, теперь давайте двигаться прямо и
найти наши определители.
Итак, прежде всего, мы хотим
определитель матрицы минус восемь, минус четыре, девять, минус шесть. Поэтому, когда мы разберемся с этим, мы
собираюсь получить отрицательные восемь, умноженные на отрицательные шесть минус отрицательные четыре, умноженные
на девять, что даст нам 48 плюс 36. И это равно 84.
И хорошо в этом то, что
это также помогает нам проверить, можем ли мы решить нашу систему уравнений, потому что если наша
матрица была вырожденной, то определитель будет равен нулю. Итак, мы видим, что это не
дело в этой проблеме здесь. Итак, что у нас будет дальше
посмотрите на определитель матрицы Δ sub 𝑥. Ну, то, что мы уже сказали здесь,
что такое Δ sub 𝑥, это матрица, которую мы получаем, когда мы подставляем отрицательные восемь и
отрицательные девять, наша матрица ответов, вместо наших 𝑥-коэффициентов. Итак, мы собираемся получить матрицу
минус восемь, минус четыре, минус девять, минус шесть.
Итак, для этого определителя, что мы
получится минус восемь умножить на минус шесть минус минус четыре
умножить на минус девять, что будет равно 12. Ладно, отлично. Итак, еще один определитель для работы
вне.
Теперь мы ищем
определитель матрицы ∆ sub 𝑦. Чему это будет равно
определитель матрицы минус восемь, минус восемь, девять, минус
девять. И как прежде, что у нас есть
это заменяет в нашей матрице ответов коэффициенты 𝑦. Так что это будет равно
минус восемь умножить на минус девять минус минус восемь умножить на девять,
что будет равно 144. Хорошо, отлично. Итак, теперь у нас есть все, что нам нужно
использовать правило Крамера для решения нашей системы уравнений. Итак, используя правило Крамера, что мы
получится 𝑥 равно 12 на 84. Но тогда мы можем разделить
числитель и знаменатель на 12.
И когда мы это делаем, мы получаем 𝑥 is
равно единице больше семи.
Хорошо, отлично. Мы нашли решение для 𝑥. Теперь переходим к 𝑦. Итак, еще раз, используя правило Крамера, мы собираемся получить 𝑦 равно и у нас есть определитель матрицы Δ sub 𝑦 над определителем матрицы Δ, так что это даст нам 144 на 84. Итак, еще раз, что мы можем сделать, это упростить нашу дробь. Мы могли бы сделать это, разделив числитель и знаменатель на 12. И когда мы это делаем, мы получаем 𝑦 is равно 12 на семь или двенадцать седьмых. Таким образом, мы можем сказать, что решения нашего уравнения таковы: 𝑥 равно седьмой и 𝑦 равно двенадцати седьмым.
Хорошо, отлично. Мы рассмотрели пример того, как решить систему двух уравнений. Так что теперь, что мы собираемся сделать, это взять рассмотрим систему трех уравнений с тремя переменными 𝑥, 𝑦 и 𝑧.
Использовать определители для решения
система пять 𝑥 равно минус два 𝑦 минус пять плюс три 𝑧, минус три 𝑥
минус 𝑦 плюс один равно двум 𝑧, а два 𝑦 минус 𝑧 равно минус пять 𝑥 плюс
три.
Итак, в такой задаче первое, что мы хотим сделать, это переставить наши уравнения так, чтобы переменные в левой части. И тогда у нас есть ответы на правая часть, которые являются числовыми значениями или константами. Таким образом, наше первое преобразованное уравнение имеет вид будет пять 𝑥 плюс два 𝑦 минус три 𝑧 равно минус пять. Тогда для второго уравнения у нас будет минус три 𝑥 минус 𝑦 минус два 𝑧 равно минус единица. И наконец, пять 𝑥 плюс два 𝑦 минус 𝑧 равно трем.
Хорошо, отлично. У нас так, но зачем
мы хотим это в этой форме? Мы хотим его в этой форме, чтобы мы могли
составить матричное уравнение. И когда мы это делаем, мы получаем
матрица пять, два, минус три, минус три, минус один, минус два, пять,
два, отрицательный, умноженный на матрицу для наших переменных, которая равна 𝑥, 𝑦,
𝑧. Тогда это равно нашему ответу
матрица минус пять, минус один, три.
Хорошо, отлично. Но как это поможет нам удовлетворить наши
цель, которая состоит в том, чтобы решить систему уравнений с помощью определителей? Что ж, мы собираемся использовать
Правило Крамера. И то, что говорит нам правило Крамера,
что мы можем найти переменные или решения нашей системы уравнений, используя, для
Например, 𝑥 равно, то у нас есть определитель матрицы Δ sub 𝑥 над
определитель матрицы ∆. И затем этот шаблон продолжается для
𝑦 и 𝑧.
Хорошо, тогда использовать то, что мы
нужно сделать, это разработать наши определители. Первый определитель, который мы собираемся
work является определителем Δ, который будет нашей матрицей коэффициентов. Итак, что мы собираемся сделать, это выяснить
определитель матрицы пять, два, минус три, минус три, минус
один, минус два, пять, два, минус один. Так что это будет равно пяти
умножить на определитель подматрицы минус один, минус два, два,
минус один минус два, умноженный на подматрицу минус три, минус два,
пять, минус один минус три, умноженное на подматрицу минус три, минус
один, пять, два, помня, что когда мы находим определители, коэффициенты идут
положительный, отрицательный, положительный.
И чтобы найти наши подматрицы, мы
удалить столбец и строку, в которой находится наш коэффициент.
Хорошо, отлично. Итак, теперь мы вычисляем это. А потом вспоминая, что когда мы выработать определители матриц два на два, мы делаем перекрестное умножение, а затем вычтем, получим пять умножить на один плюс четыре минус два умножить на три плюс 10 минус три умножить на минус шесть плюс пять, что равно два. Так что это здорово, потому что это также говорит нам, что матрица невырожденная. Итак, мы знаем, что существует не будет бесконечного количества решений. И это потому, что если бы было, тогда определитель будет равен нулю. Итак, теперь, что мы собираемся сделать, это расчистите пространство и определите другие определители, которые нам нужно найти.
Теперь нам нужно найти
определитель Δ sub 𝑥. И то, как мы это делаем,
подставив в значения матрицы ответов коэффициент при 𝑥-значении, так что
первый столбец нашей матрицы.
Итак, что мы собираемся делать
найти определитель этой матрицы. И для этого, что мы будем делать
заключается в использовании тех же методов, что и для предыдущего определителя, который
дайте нам определяющее значение отрицательного 42. И вы можете увидеть рабочий
там. Хорошо, отлично. Итак, еще раз, мы собираемся очистить
немного места и посмотрим на наш следующий определитель.
Итак, теперь мы найдем
определитель матрицы ∆ sub 𝑦. И это будет там, где мы
подставим в нашу матрицу ответов 𝑦-коэффициенты в матрице. Итак, еще раз, используя тот же
метод нахождения определителя, у нас будет определитель 112. И снова показана работа
здесь. Итак, еще раз, что мы собираемся делать
освобождает место для конечного определителя. Так что для финала это будет
определитель матрицы ∆ sub 𝑧. Итак, еще раз, мы проходим через
тот же метод, чтобы найти определитель нашей матрицы три на три.
И то, что это дает нам, является ценностью
восемь.
Итак, теперь у нас есть все определителей, нам нужно использовать правило Крамера, чтобы узнать наши переменные 𝑥, 𝑦 и 𝑧. Итак, прежде всего, мы собираемся начать с 𝑥, что будет равно отрицательному значению 42 на два. И мы получаем это, потому что это определитель Δ sub 𝑥 над определителем Δ. Итак, это даст нам значение 𝑥 равняется минус 21. И тогда для 𝑦 у нас будет 112 на два, что даст нам 𝑦-значение 56. И, наконец, мы получим 𝑧 равно восьми больше двух, и это даст нам 𝑧 равно четырем. Таким образом, мы можем сказать, что решения наших систем уравнений: 𝑥 равно отрицательному 21, 𝑦 равно 56 и 𝑧 равняется четырем.
Итак, мы рассмотрели три
различные примеры, один из которых помог нам определить одно из свойств
правило. Затем мы рассмотрели решение системы
уравнений с двумя уравнениями.
А сейчас мы только что рассмотрели
решить систему из трех уравнений. Итак, теперь давайте подведем итоги
ключевые моменты урока.
И первый ключевой момент, если мы есть система уравнений, то что мы хотим сделать, так это получить ответы самостоятельно в правой части. И это для того, чтобы мы могли написать это в виде матричного уравнения с матрицей ответов в правой части равного знак. Затем мы также увидели, что иметь возможность используйте правило Крамера, матрица не должна быть вырожденной. Так это коэффициент матрица. Значит, определитель не равно нулю.
Затем у нас есть правило Крамера и
это говорит нам, как мы будем находить наши неизвестные, используя определители. Так, например, если мы хотим
найти 𝑥, это будет равно определителю Δ sub 𝑥 над определителем
Δ, также помня, что мы можем увидеть здесь другое обозначение, потому что вместо
определитель Δ sub 𝑥, мы могли бы просто увидеть D sub 𝑥.