Метод крамера 4х4: Онлайн калькулятор. Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера

Сообщество Экспонента

• вопрос
• 09.02.2023

Электропривод и силовая электроника

Здравствуйте, а существуют ли модели преобразователей частоты построенных по трехуровневой топологии с цепью заряда конденсаторов (фильтров) в цепи постоянного тока?

Здравствуйте, а существуют ли модели преобразователей частоты построенных по трехуровневой топологии с цепью заряда конденсаторов (фильтров) в цепи постоянного тока?

• Публикация
• 07.02.2023

Больше ядер — больше возможностей! На предстоящем вебинаре мы расскажем о важной и актуальной теме: использование технологии многоядерных вычислений при моделировании энергосистем в режиме реального времени. При построении цифровых двойников энергосистем…

Приглашаем Вас на вебинар «Использование технологии многоядерных вычислений при моделировании энергосистем в режиме реального времени» 16 марта 2023 года.

• Публикация
• 25. 01.2023

Суррогатное моделирование в последнее время стало набирать обороты в сфере математического моделирования динамических систем. Сложные технические системы могут быть описаны разными способами, как через дифференциальные уравнения, что сильно замедляет процесс р…

Приглашаем вас на вебинар «Методы суррогатного моделирования сложных динамических систем», который пройдет 16 февраля в 10:00 по московскому времени. 

• MATLAB
• Simulink
• нейронные сети

25.01.2023

• вопрос
• 18.01.2023

Есть входной аудиосигнал. Его надо пропустить через фильтр НЧ (600 Гц) в MATLAB. Как это сделать?

Есть входной аудиосигнал. Его надо пропустить через фильтр НЧ (600 Гц) в MATLAB. Как это сделать?

9 Ответов

• Публикация
• 18.01.2023

Вебинар будет состоять из двух частей. В первой части будет обсуждаться роль цифровых двойников в предсказательном обслуживании.

Далее будет построен цифровой двойник настоящего трансформатора малой мощности, используя MATLAB/Simulink, усилитель и КПМ РИТМ. Во…

Приглашаем на первый вебинар в этом году по теме: «Цифровой двойник трансформатора: на пути к интеллектуальному мониторингу» 9 февраля в 10:00.

• MATLAB
• Simulink
• Машинное обучение
• Predictive Maintenance
• РИТМ

18.01.2023

• вопрос
• 16.01.2023

Всем здравствуйте, стоит задача сделать генератор сигналов в Matlab, который формирует сигнал и выводит его через звуковую карту. Есть вот такой код Tm = 5;% Длина сигнала (с)Fd = 22050;% Частота диск…

Всем здравствуйте, стоит задача сделать генератор сигналов в Matlab, который формирует сигнал и выводит его через звуковую карту. Есть вот такой код Tm = 5;% Длина сигнала (с)Fd = 22050;% Частота диск…

5 Ответов

• MATLAB
• Обработка сигналов

16. 01.2023

• Отвеченный вопрос
• 11.01.2023

Здравствуйте! Получил задание на разработку алгоритма и программы, реализующих оценку распределения модуля мгновенных значений фонограммы. 1) Разработать методику, алгоритм и программу оценки распреде…

Здравствуйте! Получил задание на разработку алгоритма и программы, реализующих оценку распределения модуля мгновенных значений фонограммы. 1) Разработать методику, алгоритм и программу оценки распреде…

8 Ответов

• Публикация
• 08.01.2023

? Готовим для вас: Дайджесты новостей; Истории успеха; Анонсы ивентов. Присоединяйтесь!

Мы создали канал, чтобы помочь вам разобраться с лучшим подходам внедрения ИИ в промышленности и воплотить их в ваших проектах.

• глубокое обучение
• ИИ
• Искусственный интеллект

08.01.2023

• Публикация
• 08.01.2023

? 20 статей на Хабре. Если вам интересны ИИ, ЦОС, электроэнергетика, ПЛИС, то в нашем блоге на Хабр вы точно найдете занимательные статьи. ? 15+ вебинаров о том, как внедрять инженерию моделей в образовании, в разработке ИИ, ЦОС и других систем, как генерирова…

? Итоги 2022 года – делимся ключевыми событиями 

• Публикация
• 05.01.2023

Здравствуйте. Пишу сейчас диплом по программе спектрального анализа, одно из заданий — ускорение работы программы. 1/3-октавный анализ обычно длится около 10 минут, а 1/12-октавный 35+ минут, что при большом количестве записей очень затратно. С помощью Profile…

Программа спектрального анализа данных лётных испытаний по шуму на местности. В программе используется функция octaveFilter, но почему-то она не работает в цикле так, как должна

• ЦОС
• parallel
• OCTAVE
• октавный фильтр

05.01.2023

Результаты поиска

Нет результатов поиска, попробуйте задать другие параметры.

3 Шаг: Запишем систему уравнений:

Простейшие преобразования (решать надо начинать с третьего уравнения, затем второе и последним первое уравнение системы) привели к ответам: х=1, y=2, z=3. Решение системы уравнений методом Гаусса используют чаще, чем другие способы, поэтому важно разбираться в данном алгоритме

Постараюсь метод Крамера объяснить подробно, по минимуму говоря математическим языком, использование формулы Крамера при решении систем уравнений.

Запись формулы Крамера запоминается легко, наверное потому, что запоминать вроде и нечего:

Итак, формулы позволяют рассчитать те переменные, которые Вам требуется найти в системе уравнений. В каждой системе может быть разное количество переменных, начиная с двух. Я написала всего три формулы, соответственно для трех неизвестных х, y и z.

Почему именно для трех? Наверное потому, что чаще всего предлагают системы уравнений с тремя неизвестными, хотя встречаются и с другим количеством. Если в уравнении будет две неизвестные, то формулы Крамера будет только две: для х и y; если четыре неизвестные, то формулы Крамера будет четыре: x,y,z и, например, g. Кстати, в уравнениях могут быть и другие переменные, a,b,c,d… алфавит то большой.

Давайте разберемся, что делать дальше с этими формулами.

Давайте сначала обратимся к знаменателю: там во всех формулах стоит одно и то же — ∆. В статье определитель матрицы, я уже рассказывала о том, как обозначают определители. Итак, знаменатель формулы — это определитель основной матрицы, которую составляют из коэффициентов системы уравнений.

Давайте на примере системы уравнений составим определитель основной матрицы:

Для этого выписываем коэффициенты: первое уравнение системы имеет при переменной х коэффициент 1, при y — коэффициент -1, при z — коэффициент 2. Записываем все эти коэффициенты в первую строку определителя основной матрицы, коэффициенты второго уравнения во вторую строку (обратите внимание второе уравнение не содержит переменной z, значит во второй строке определителя на третьем месте ставим ноль, коэффициенты третьего уравнения — в третью строку.

Определитель готов. Следующий шаг: рассчитать определитель по формуле Саррюса или по теореме Лапласа.

Мы воспользуемся формулой Саррюса или правилом треугольника:

Важно: определитель не должен равняться нулю, т.к. в формулах Крамера он стоит в знаменателе, а как известно всем, на ноль делить нельзя!

В нашем случае он равен 17, значит переходим к следующему шагу.

Теперь найдем: ∆_х. Для этого в столбец, где стоит переменная х, а значит в первый столбец, вместо коэффициентов при х, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений:

Аналогично найдем ∆_y. Для этого в столбец, где стоит переменная y, а значит во второй столбец, вместо коэффициентов при y, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений:

Аналогично найдем ∆z_. Для этого в столбец, где стоит переменная z, а значит втретий столбец, вместо коэффициентов при z, ставим свободные коэффициенты, которые в системе уравнений стоят в правых частях уравнений:

Ну вот и нашли все что необходимо знать в формулах Крамера. Остается подставить найденное в эти формулы:

решение системы уравнений методом обратной матрицы.

Для использования этого метода необходимо уметь находить обратную матрицу. Более подробно об этом я уже писала в статье «Обратная матрица».

Сейчас разберем алгоритм решения системы уравнений, используя

метод обратной матрицы:

1. Данную систему уравнений необходимо записать в матричной форме:

2. Выразить неизвестные переменные:

Мы видим, что решение матричным способом сводится к умножению обратной матрицы к матрице А на матрицу свободных членов. т.е. матрицу В. Вот на этом то этапе нам и нужны навыки нахождения обратной матрицы.

3. Итак, найдем матрицу обратную матрице А:

Сначала рассчитаем определитель основной матрицы:

Определитель не равен нулю, значит обратная матрица существует. Найдем 9 дополнений матрицы:

Для первой строки:

Для второй строки:

Для третьей строки:

4. Составим обратную матрицу:

5. Вернемся к матричной форме записи системы уравнений и выраженным неизвестным, подставим в эту форму полученные данные:

6. Остается перемножить две матрицы:

Итак, метод обратной матрицы привел нас к ответу: x=1, y=2, z=3.

Алгоритм нахождения нормы матрицы я и приведу. Ну во первых норма матрицы — это всегда какое-либо число. Выделяют всего три нормы матрицы:

1 норма матрицы представляет из себя максимальное из чисел, полученных при сложении всех элементов каждого столбца, взятых по модулю. Не путайте со сложением матриц!

Рассмотрим на примере: пусть дана матрица размера 3х2. В первом столбце стоят элементы: 8, 3, 8. Все элементы положительные. Найдем их сумму: 8+3+8=19. В втором столбце стоят элементы: 8, -2, -8. Два элемента — отрицательные, поэтому при сложении этих чисел, необходимо подставлять модуль этих чисел (т.е. без знаков «минус»). Найдем их сумму: 8+2+8=18. Максимальное из этих двух чисел — это 19. Значит первая норма матрицы равна 19.

2 норма матрицы представляет из себя квадратный корень из суммы квадратов всех элементов матрицы. А это значит мы возводим в квадрат все элементы матрицы, затем складываем полученные значения и из результата извлекаем квадратный корень.

В нашем случае, 2 норма матрицы получилась равна квадратному корню из 269. На схеме, я приближенно извлекла квадратный корень из 269 и в результате получила приблизительно около 16,401. Хотя более правильно не извлекать корень.

3 норма матрицы представляет из себя максимальное из чисел, полученных при сложении всех элементов каждой строки, взятых по модулю.

В нашем примере: в первой строке стоят элементы: 8, 8. Все элементы положительные. Найдем их сумму: 8+8=16. В второй строке стоят элементы: 3, -2. Один из элементов отрицательный, поэтому при сложении этих чисел, необходимо подставлять модуль этого числа. Найдем их сумму: 3+2=5. В третьей строке стоят элементы 8, и -8. Один из элементов отрицательный, поэтому при сложении этих чисел, необходимо подставлять модуль этого числа. Найдем их сумму: 8+8=16. Максимальное из этих трех чисел — это 16. Значит третья норма матрицы равна 16.

Как мне сложить две матрицы?

Правило сложения двух матриц: «добавь строку и колонку к строке и колонке».

Математически это выглядит так:

При этом матрицы должны быть одного размера. К примеру, если матрица 3×3 M складывается с матрицей 3×3 L результат будет таким: .

Как мне вычесть две матрицы?

Правило вычитания двух матриц: «вычитай строку и колонку из строки и колонки».

Математически будет так:

Матрицы должны быть строго одного размера.

К примеру, если матрица 3×3 L вычитается из матрицы 3×3 M результат будет таким: .

Как мне умножить две матрицы?

Правило такое: «умножай строку на колонку и сумма будет результатом.»

Математически:

Если есть две матрицы: и

то величины B и C должны быть равны.

Результат будет

Так что, можно умножить матрицу 4xN с матрицей 4×4, но не наоборот.

К примеру, если матрица 4×4 M описана так: и матрица 4×2 L описана так:

то размер результата будет 2×4:

Как мне взять корень или возвести матрицу в квадрат?

Из матрицы можно взять корень или возвести в целую степень. Однако есть несколько ограничений. Для любого возведения матрица должна быть квадратная, иначе говоря, количество столбцов должо быть равно количеству строк.

К примеру, — обратная матрица,

— единичная матрица,

— матрица не меняется,

— возводит в квадрат,

— куб матрицы.

Возведение матрицы в степень больше одного означает умножить матрицу на себя n-число раз.

К примеру:

и так далее.

Возведение в степень единичной матрицы всегда даёт единичную матрицу:

Как мне умножить один и более векторов на матрицу?

Лучший способ выполнить это задание представить список векторов в виде одной матрицы, где каждый вектор представлен одной колонкой.

Если N векторов должны быть умножены на матрицу 4х4, они могут быть выражены в виде одной матрицы 4хN: а список векторов:

Заметьте, что вся дополнительная четвертая строка равна константе 1. Она не играет никакой роли, используется, чтобы порядок матрицы M совпадал с порядком списка V. Умножение производится так:

На каждый вектор в списке приходится в общем 12 умножений, 16 сложений и 1 деление для перспективы. Если известно, что это матрица поворота или переноса, то можно не делить.

Определитель и обратная матрица

Что такое определитель матрицы?

Определитель матрицы это число, которое показывает, есть ли у матрицы обратная или нет. Если определитель равен 0, то обратной матрицы нет, иначе обратная матрица существует.

К примеру, есть матрица из одного элемента: . Для матрицы такого размера, определитель это просто значение одного элемента. А, обратная матрица: .

Если элемент, а соответственно и определитель, не равен 0, то обратная матрица существует.

В случае единичной матрицы ее значение будет 1/1 или 1.0 Однако, если это число 0, то и определитель тоже 0. При попытке найти обратное от нуля, получаем бесконечность. Так делать нельзя, так что для 0 не существует обратной матрицы.

Для единичной матрицы определитель всегда равен 1. Все матрицы с определителем равным единице называют изотропными.

Поэтому все матрицы вращения изотропны, так как определитель всегда равен 1.0.

Что можно доказать так: но мы знаем, что: Так что

Как мне посчитать определитель матрицы?

Определитель матрицы считается при помощи правила Крамера, где каждое число может быть рассчитано через разбиение матрицы в более малые матрицы.

Для 2х2 матрицы М, определитель В считается так:

Для матриц размером 3х3 и 4х4, найти определитель сложнее, но все равно можно при помощи методов типа правила Крамера.

Что такое изотропная и анизотропная матрицы?

Изотропной матрицей называют матрицу, в которой сумма квадратов всех трех строк или колонок равна 1.

Матрицы, в которой это не происходит, называется Анизотропной.

Матрицы используются для того, чтобы поворачивать и скалировать объект, иногда может быть необходимо, увеличивать или сжимать по одной оси сильнее, чем по другим.

К примеру, в сейсмических задачах, необходимо увеличить ось Z на 50 или более, при этом оси X и Y нужно оставить неизменными.

Другим примером может служить «раздавливание» и «растягивание» в анимации персонажей. Когда персонаж ударяет тяжелый предмет типа наковальни, то необходим эффект, при котором персонаж растягивается в стороны и сдавливается вертикально:

Матрица будет выглядеть так:

Однако здесь появляется проблема. В то время как не будет проблем с обработкой вершин, мы получим неправильное освещение, из-за кривых нормалей.

На шаге обработки данных, трансформация, выраженная данной матрицей Изменит как вершины, так и нормали.

После такого умножения, все нормали перестанут быть нормализованными, что подействует на освещение и обратное отсечение.

Что такое обратная матрица?

Дана матрица , то обратная матрица этой матрицы, записывается как M, это матрица должна удовлетворять условию:

где I единичная матрица.

Так что, в результате умножения матрицы на обратную к ней будет единичная матрица. Однако матрица должна удовлетворять нескольким условиям, перед тем как обратная матрица будет посчитана.

Во-первых, ширина и высота матрицы должны совпадать, во-вторых ее определитель не должен равняться 0.

Расчет обратной матрицы необходим для реализации обратной кинематики с помощью сплайнов.

Как мне посчитать обратную матрицу?

В зависимости от размера матрицы, расчет обратной может быть простым или очень сложным.

К примеру, обратная 1х1 матрица это просто обратная от одного элемента:

Обратная матрица:

.

Решение 2х2 матриц и больших может быть получено при использовании правила Крамера или через решение системы уравнений.

Однако, для конкретных случаев, таких как единичная матрица или матрицы поворота, обратная матрица сразу известна или может быть получена транспонированием.

Как мне посчитать обратную матрицу от единичной матрицы?

Обратная единичной матрицы и есть единичная матрица. У любой единичной матрицы определитель всегда равен 1.

Расчет определителей 4×4

Вы знаете, что такое определитель? Определитель матрицы – это специальное число, которое определено только для квадратной матрицы. Его можно рассчитать несколькими способами, сегодня мы представим один из них, который называется разложением Лапласа.

Зачем нужны определители? В принципе, определитель может рассказать нам много полезного о матрице, он полезен при нахождении обратной матрицы и решении систем линейных уравнений (вспомним правило Крамера) и так далее.

Найдем определитель данной матрицы:
A=\begin{pmatrix}1 & {-1} & 0 & 2 \\3 & 1 & 4 & 1 \\0  &0  & 1& -3\\1& — 1& 0 & 4\end{pmatrix}

Посмотрите нашу видеоверсию этого урока:

Прежде всего, матрица должна быть квадратной, чтобы иметь определитель. Помните об этом, решая домашнее задание по математике с помощью матриц. Если матрица не квадратная, то определителя для нее не существует! Наша матрица 4×4, это квадратная матрица размера 4, так что все в порядке, и мы можем вычислить определитель. 9{i+j}a_{ij}M_{ij}

, где M _ij — минор для ij элемента матрицы A. M _ij — определитель матрицы, полученный из матрицы A путем вычеркивания i -й строки и j -го столбца:

Правило, представленное рассмотренной формулой, предполагает, что мы устанавливаем постоянным один из индексов   i или j . Индекс, который не является постоянным, изменяется от 1 до 9. 0020 n (в нашем случае от 1 до 4, т.к. исходная матрица A имеет размер 4×4). Практически нам нужно выбрать конкретную строку или столбец матрицы и записать сумму, используя элементы выбранной строки или столбца.

Как видите, каждое слагаемое является произведением некоторой записи на ее минор и терм (-1) ^i+j . Последний множитель дает только знак плюс или минус, потому что, как мы уже говорили, он равен либо 1, либо (-1). Поэтому для удобства мы должны выбрать строку или столбец, которые содержат нули или маленькие числа, если это возможно. Давайте выберем третью строку, потому что она содержит два нуля. Это означает, что мы установили 9{7}a_{34}M_{34}\\&=a_{33}M_{33}-a_{34}M_{34}\end{aligned}

Из последней формулы видно, что для нахождения определителя исходной матрицы A нам просто нужно вычислить M ₃₃ и M ₃₄ .

Рассчитаем их по правилу треугольников (поскольку эти определители имеют размер 3×3). Обратите внимание, что мы могли бы использовать подход первой части нашего расчета и для вычисления этих определителей.

Записав разложение по третьей строке, получим:

\begin{выровнено} M_{33}&=1 \cdot \begin{vmatrix}1&-1 &2 \\3& 1 &1 \\1&-1 &4\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot4-1\ cdot1\cdot1-1\cdot3\cdot2-(2\cdot1\cdot1-1\cdot3\cdot4-1\cdot1\cdot1)\\&=4-1-6-2+12+1=8\end{выровнено }

\begin{выровнено} M_{34}&=1 \cdot \begin{vmatrix}1&-1 &0 \\3& 1 &4 \\1&-1 &0\end{vmatrix}=1\cdot1\cdot0 -1\cdot1\cdot4-1\cdot3\cdot0-(0\cdot1\cdot1-1\cdot4\cdot1-1\cdot3\cdot0)\\&=0-4-0-0+4+0=0\ конец {выровнено}

Кстати, последний определитель можно было бы сразу назвать нулевым, так как он имеет две равные строки (это означает, что соответствующая матрица вырождена и ее определитель равен нулю). В общем случае, когда матрица имеет либо пару равных строк (или столбцов), либо одна строка (столбец) является линейной комбинацией нескольких других строк (столбцов), то определитель такой матрицы равен нулю.

Отсюда получаем следующее:

\det A=a_{33} M_{33}-a_{34} M_{34}=1\cdot8+3\cdot0=8

\det A=8

Это наш ответ.

Конечно, если бы мы выбрали другую строку или столбец A для записи формулы, это не изменило бы ответ. Это просто вопрос удобства.

7 Акции

• Фейсбук
• Твиттер
• Копировать ссылку

Рубрика: Math.

Решение текстовых задач с использованием правила Крамера

В этом разделе вы узнаете, как решать текстовые задачи с помощью правила Крамера.

Рассмотрим следующую систему трех уравнений с тремя неизвестными x, y и z.

а ₁₁ x + A ₁₂ Y + A ₁₃ z = B ₁

A ₂₁ x + A ₂₂ Y + A ₂₃ Z = B ₂

A _{11 31922222222222222… + a 32 y + a 33 z  =  b 1}

Теперь мы можем записать следующие определители, используя приведенные выше уравнения.

Затем правило Крамера для нахождения значений x, y и z :

x = Δ ₁ /

y = Δ ₂ /

z =  Δ ₃ /Δ

Если Δ = 0, система несовместна и имеет решение.

Задача 1 :

На конкурсном экзамене за каждый правильный ответ присуждается один балл, а за каждый неправильный ответ вычитается 1/4 балла. Студент ответил на 100 вопросов и получил 80 баллов. На сколько вопросов он ответил правильно? (Используйте правило Крамера для решения задачи).

Решение:

Общее количество вопросов = 100

Пусть «x» и «y» будут количеством правильных и неправильных ответов соответственно.

Then, 

x + y  =  100

1x — (1/4) y  =  80

By Cramer’s rule,

x ₁   =  Δ ₁ /Δ

x =  -105/(-5/4)

x  =  105(4/5)

  x  =  84

y  =  Δ ₂ /Δ

y  =  -40/(-5/Δ

y  =  -20/(-5)

г = 20(4/5)

y  =  16

Таким образом, число правильных ответов равно 84, а неправильных — 16. . Сколько их нужно смешать, чтобы получить 10 литров 40%-ного раствора кислоты? (Используйте правило Крамера для решения задачи).

Решение:

Пусть «x» и «y» будут количеством 1-го и второго растворов.

Затем

x + y  =  10 ——(1)  

50 % от x + 25 % от y  =  40 % от 10

0,5x + 0,25y  =  4 ——(2)

По правилу Крамера,

x ₁ = Δ ₁ /Δ

x = -1,5 /( -0,25)

x = 6

y = x ₂ = Δ ₂ /Δ = — 1/(-0,25)

= 4

Итак, количество первого раствора 6 литров, а второго раствора 4 литра.

Задача 3 :

Аквариум можно заполнить за 10 минут, используя оба насоса A и B одновременно. Однако насос B может закачивать или откачивать воду с одинаковой скоростью. Если насос B случайно запустится в обратном направлении, бак будет заполнен за 30 минут. Сколько времени потребуется каждому насосу, чтобы наполнить резервуар самостоятельно? (Используйте правило Крамера для решения задачи).

Решение:

Пусть «x» будет количеством минут, за которое отстойник A заполнит резервуар.

Пусть «y» будет количеством минут, за которое отстойник B заполнит резервуар.

Заполнение насоса A за 1 мин. = 1/x

Заполнение насоса B за 1 мин. = 1/год

A и B вместе за 1 мин. = 1/x + 1/г

1/x + 1/y =  1/10 ——(1)

1/x — 1/y  =  1/30 ——(2)

1/x  =  a и 1/y  =  b

a + б =  1/10 ——(1)

a — b  =  1/30 ——(2)

По правилу Крамера,

x  =   Δ ₁ / Δ

  x  =  (-4/30)/(-2)

x =  1/15

y  =  Δ ₂ /Δ

y  =  (-2/30)/(-2)

y  =  1/30

Один только A может заполнить 15 минут

3 B один может 90 заполнить за 30 минут

Задача 4 :

Семья из 3 человек вышла поужинать в ресторан. Стоимость двух досаев, трех идлей и двух вадаев – ₹ 150. Стоимость двух досай, двух идли и четырех вадаи составляет ₹ 200. Стоимость пяти досай, четырех идли и двух вадаи составляет ₹ 250. У семьи на руках 350 ₹ и они поели 3 досаи, шесть идли и шесть вадаи. Смогут ли они оплатить счет в пределах той суммы, которая у них была?

Решение:

Пусть «x», «y» и «z» будут стоимостью 1 досы, 1 холостого хода и 1 вада соответственно.

2x + 3y + 2z = 150

2x + 2y + 4z = 200

5x + 4y + 2z = 250

Δ = 2(4 — 16) — 3(4 — 20) + 2(8 — 10)

  = 2(-12) — 3(-16) + 2 (-2)

  =  -24 + 48 — 4

  =  -28 + 48

Δ  =  20

Δ ₁   =  150(4 — 16) — 280 — 1(0400 — 3(0400) 500)

= 150 (-12) -3 (-600) + 2 (300)

= -1800 + 1800 + 600

Δ ₁ = 600

Δ ₂ = 2 (400 -1000 ) — 150(4 — 20) + 2(500 — 1000)

  =  2(-600) — 150(-16) + 2(-500)

= -1200 + 2400 — 1000

Δ ₂ = 200

Δ ₃ = 2 (500 — 800) — 3 (500 — 1000) + 150 (8 — 10)

= 2 ( — — 500 — 1000) + 150 (8 — 10)

= 2 ( — 300) -3 (-500) + 150 (-2)

= -600 + 1500 -300

Δ ₃ = 600

по правилу Cramer,

x = Δ ₁ /Δ = 600 / / 20 = 30

y = Δ ₂ /Δ = 200/20 = 10

z = Δ ₃ /Δ = 600/20 = 30

Стоимость 1 ILDY = ₹ 30, стоимость 1 доса = 10 рупий, а стоимость 1 вада = 30 рупий.