Формулы Крамера. Матричный способ решения систем линейных уравнений | Математика
Пусть задана система линейных уравнений, содержащая одинаковое число уравнений и неизвестных
(1.19) |
Введем три матрицы
Матрица , составленная из коэффициентов системы, является квадратной матрицей порядка . Матрицы и являются столбцовыми и составлены соответственно из неизвестных и свободных членов системы.
Помощь с решением задач
Так как число столбцов матрицы равно числу строк матрицы , то существует произведение , являющееся столбцовой матрицей тех же размеров, что и матрица . Тогда систему уравнений (1.19) можно записать в форме одного матричного уравнения.
(1.20) |
Для определения матрицы из (1. 20) допустим, что матрица имеет обратную матрицу определяемую формулой (17). Тогда, умножая обе части (1.20) слева на , получим
(1.21) |
По определению обратной матрицы ,где единичная матрица порядка . Отсюда
Следовательно, уравнение (1.21) запишется в виде
(1.22) |
Матричное равенство (1.22) определяет решение заданной системы уравнений в матричной форме. Для определения конкретных значений неизвестных перепишем (1.22) в виде
, | (1.23) |
где определитель, соответствующий матрице ;
алгебраические дополнения элементов этой матрицы.
Перемножив матрицы в правой части (23), найдем
Отсюда, согласно условию равенства двух матриц, получим
(1. 24) |
Формулы (1.24) и определяют матричный способ решения системы
Для запоминания этих формул и последующего их применения на практике введем группу определителей:
,
Заметим, что определитель получен из заменой его первого столбца на столбец свободных членов, определитель получен из заменой его второго столбца на столбец свободных членов и т.д.. Разложим каждый из определителей по столбцу из свободных членов Тогда
(1.25) |
Из сравнения полученных результатов (1.25) с числителями равенств (1.24) следует, что решение системы (1.19) можно записать в виде
(1.26) |
Формулы (1.26) называются формулами Крамера.
ПРИМЕР 1.1.13
Решить по формулам Крамера систему уравнений
Решение. Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы.
Так как ,то решение можно найти по формулам Крамера:
Тогда
Ответ: {1;2}.
ПРИМЕР 1.1.14
Решить матричным способом систему уравнений
Система содержит одинаковое число уравнений и неизвестных. Вычислим определитель этой системы:
Так как , то система может быть решена матричным способом.
Составим матрицы
Так как определитель системы , то матрица имеет обратную матрицу , где
Вычислим алгебраические дополнения всех элементов
Тогда
Так как решением является , то
Или Ответ: {1,1,1}
- Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений
- Курс математики
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее
Стоимость мы сообщим в течение 5 минут
на указанный вами адрес электронной почты. {-1} B$$
Поэтому, чтобы найти неизвестную матрицу $$X$$ надо найти обратную матрицу к матрице системы и умножить ее справа на вектор-столбец свободных коэффициентов.
Замечание
Данный метод удобно применять тогда, когда нужно решить много одинаковых систем с разными правыми частями.
Примеры решения систем уравнений
Пример
Задание. Найти решение СЛАУ $\left\{\begin{array}{l} 5 x_{1}+2 x_{2}=7 \\ 2 x_{1}+x_{2}=9 \end{array}\right.$ матричным методом.
Решение. Выпишем матрицу системы $A=\left(\begin{array}{ll} 5 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right)$ и матрицу правых частей $B=\left(\begin{array}{l} 7 \\ 9 \end{array}\right)$ . Найдем обратную матрицу для матрицы системы. Для матрицы второго порядка обратную можно находить по следующему алгоритму: 1) матрица должна быть невырождена, то есть ее определитель не должен равняться нулю: $|A|=1$; 2) элементы, стоящие на главной диагонали меняем местами, а у элементов побочной диагонали меняем знак на противоположный и делим полученные элементы на определитель матрицы. {-1} B=\left(\begin{array}{rr} 1 & -2 \\ -2 & 5 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} 7 \\ 9 \end{array}\right)=$$ $$=\left(\begin{array}{r} -11 \\ 31 \end{array}\right) \Rightarrow\left(\begin{array}{r} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -11 \\ 31 \end{array}\right)$$
Две матрицы одного размера равны, если равны их соответствующие элементы, то есть в итоге имеем, что $x_{1}=-11, x_{2}=31$
Ответ. $x_{1}=-11, x_{2}=31$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Решить с помощью обратной матрицы систему $\left\{\begin{array}{l} 2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=2 \\ x_{1}-x_{2}=-2 \\ 3 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=2 \end{array}\right.$
Решение. Запишем данную систему в матричной форме:
$AX=B$
где $A=\left(\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right)$ — матрица системы, $X=\left(\begin{array}{l}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}\end{array}\right)$ — столбец неизвестных, $X=\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)$ — столбец правых частей. {3+3}\left|\begin{array}{rr} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right|=-3$$
Таким образом,
$$\tilde{A}=\left(\begin{array}{rrr} -2 & -2 & 2 \\ -3 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & -3 \end{array}\right)$$
Определитель матрицы $A$
$$\Delta=\left|\begin{array}{rrr} 2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & -1 & 2 \end{array}\right|=2 \cdot(-1) \cdot 2+1 \cdot(-1) \cdot 1+1 \cdot 0 \cdot 3-$$ $$-3 \cdot(-1) \cdot 1-(-1) \cdot 0 \cdot 2-1 \cdot 1 \cdot 2=-4 \neq 0$$
А тогда
$$\tilde{A}=-\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrr} -2 & -3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{array}\right)$$
Отсюда искомая матрица
$$X=\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=-\frac{1}{4}\left(\begin{array}{rrr} -2 & -3 & 1 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & 5 & -3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{r} 2 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right)=$$ $$=\left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 3 \end{array}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right. $$ $$\left\{\begin{array}{l} x_{1}=-1 \\ x_{2}=1 \\ x_{3}=3 \end{array}\right.$$
Читать дальше: метод Крамера.
Калькулятор мощности матрицы с шагами, формулой и решением
Введение в калькулятор мощности матрицы
Калькулятор мощности матрицы представляет собой онлайн-инструмент, который может вычислить любую степень данной матрицы. Он использует метод умножения, чтобы найти мощность матрицы. Это означает, что он умножает матрицу на себя в n раз.
Поскольку матричная алгебра является важной частью математики, поскольку она решает многие задачи для линейной системы уравнений, аналогично, мощность матрицы является основным понятием в матричной алгебре. Но вы можете вычислить матрицу малой мощности только вручную, потому что по мере увеличения мощности и порядка матрицы вычисления становятся более сложными. Итак, здесь мы представляем онлайн-инструмент для решения этой проблемы. 92 \;=\; А \;×\; A $$
Мощность матрицы легко найти, но чем больше мощность, тем толще вычисления. Калькулятор мощности матрицы с шагами поможет вам избежать этой проблемы.
Как рассчитать степень матрицы с помощью калькулятора?
Вы можете легко рассчитать мощность любой матрицы с помощью этого инструмента, выполнив следующие простые шаги:
- На первом этапе введите количество строк и столбцов матрицы в соответствующие поля.
- Теперь введите значения всех элементов матрицы. Или вы можете использовать случайную опцию, чтобы выбрать случайную матрицу.
- Нажмите кнопку расчета.
После нажатия на кнопку расчета вы получите результат в течение нескольких секунд.
Зачем использовать калькулятор формулы мощности матрицы?
Матрицы используются для различных целей в математике. Они используются для представления данных, а также для математических уравнений. Многие операции применяются к матрицам, чтобы найти другие решения. Применение этих операций может быть более эффективным при использовании онлайн-инструмента.
При вычислении мощности матрицы вы можете застрять на умножении, потому что умножение становится сложным с увеличением мощности. Вот почему вы должны использовать этот инструмент.
Преимущества использования Power Matrix Calculator
Матрицы важны для решения многих задач, таких как решение системы линейных уравнений. Точно так же мощность матрицы используется для нахождения n-го кратного матрицы. Вы можете использовать калькулятор мощности из-за его полезного использования. Вот некоторые из этих правил:
- Он предоставляет вам пошаговое решение, чтобы легко понять каждый шаг.
- Калькулятор формулы мощности матрицы экономит ваше время от ручных вычислений.
- Это бесплатный онлайн-инструмент; вам не нужно платить никаких комиссий.
- Он эффективен и надежен, поскольку может легко обрабатывать матрицы более высокого порядка. Калькулятор мощности Matrix
- имеет простой и удобный интерфейс, поэтому вы можете легко использовать его, выполнив простые шаги.
Шон Мерфи
Последнее обновление 28 марта 2022 г.Профессиональный автор контента, который любит писать о науке, технологиях и образовании.
Матричное исчисление
0,5*х’*А*х
92
сумма(log(exp(-y.*(X*w)) + вектор(1)))
тр(А*Х’*В*Х*С)
лог(дет(инв(Х)))
Стандартные операторы
- +
- дополнение
- —
- вычитание
- *
- умножение 9
- поэлементная мощность
- грех()
- поэлементно sin
- cos()
- поэлементно cos
- загар()
- поэлементный загар
- угловой синус()
- поэлементно arcsin
- arccos()
- поэлементно arccos
- арктангел()
- поэлементный арктангенс
- журнал()
- поэлементное натуральное бревно
- ехр()
- поэлементное выражение
- танх()
- поэлементно танх
- абс()
- поэлементное абсолютное значение
- знак()
- поэлементный знак
- релу()
- поэлементно relu
Специальные операторы на матрицах
- сумма()
- сумма всех записей
- норма1()
- поэлементно 1-норма
- норма2()
- норма Фробениуса
- тр()
- след
- дет()
- определитель
- инв()
- обратный
Специальные операторы на векторах
- сумма()
- сумма всех записей
- норма1()
- 1-норма
- норма2()
- Евклидова норма
Специальные операторы на скалярах
- вектор()
- постоянный вектор
- матрица()
- постоянная матрица