Правило Крамера и метод Гаусса. Лекция
ПРАВИЛО КРАМЕРА
Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными:
Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных,
называется определителем системы.
Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов
Тогда можно доказать следующий результат.
Теорема (правило Крамера). Если определитель системы Δ ≠ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём
Доказательство.
Итак, рассмотрим систему 3-х уравнений
с тремя неизвестными. Умножим 1-ое
уравнение системы на алгебраическое
дополнение A11 элемента a11,
2-ое уравнение – на A21 и 3-е – на A31
Сложим эти уравнения:
Рассмотрим каждую
из скобок и правую часть этого уравнения.
По теореме о разложении определителя
по элементам 1-го столбца
.
Далее рассмотрим коэффициенты при x2:
Аналогично можно показать, что и .
Наконец несложно заметить, что
Таким образом, получаем равенство: .
Следовательно, .
Аналогично выводятся равенства и , откуда и следует утверждение теоремы.
Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.
Примеры. Решить систему уравнений
Итак, х=1, у=2, z=3.
-
Решите систему уравнений при различных значениях параметра p:
Система имеет единственное решение, если Δ ≠ 0.
. Поэтому .
При
При p = 30 получаем систему уравнений которая не имеет решений.
При p = –30 система принимает вид и, следовательно, имеет бесконечное множество решений x=y, yR.
МЕТОД ГАУССА
Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.
Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными:
.
Первое уравнение
оставим без изменения, а из 2-го и 3-го
исключим слагаемые, содержащие x1.
Для этого второе уравнение разделим на а21 и умножим на –а11,
а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично
третье уравнение разделим на а31 и умножим на –а11,
а затем сложим с первым.
В результате
исходная система примет вид:
Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x2. Для этого третье уравнение разделим на , умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений:
Отсюда из последнего уравнения легко найти x3, затем из 2-го уравнения x2 и, наконец, из 1-го – x1.
При использовании метода Гаусса уравнения при необходимости можно менять местами.
Часто вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы:
и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования:
перестановка строк или столбцов;
умножение строки на число, отличное от нуля;
прибавление к одной строке другие строки.
Примеры: Решить системы уравнений методом Гаусса.
Вернувшись к системе уравнений, будем иметь
Выпишем расширенную матрицу системы и сведем ее к треугольному виду.
Вернувшись к системе уравнений, несложно заметить, что третье уравнения системы будет ложным, а значит, система решений не имеет.
Разделим вторую строку матрицы на 2 и поменяем местами первый и третий столбики. Тогда первый столбец будет соответствовать коэффициентам при неизвестной z, а третий – при x.
Вернемся к системе уравнений.
Из третьего уравнения выразим одну неизвестную через другую и подставим в первое.
Таким образом, система имеет бесконечное множество решений.
Матрицы. Метод Гаусса. Формулы Крамера презентация, доклад
Матрицы
Метод Гаусса
Формулы Крамера
Матрица
Определение
Прямоугольная таблица из m, n чисел, содержащая m – строк и n – столбцов, вида:
называется матрицей размера m × n
Числа, из которых составлена матрица, называются элементами матрицы.
Положение элемента аi j в матрице характеризуются двойным индексом:
первый i – номер строки;
второй j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Сокращенно матрицы обозначают заглавными буквами: А, В, С…
Коротко можно записывать так:
Иоганн Карл Фридрих Гаусс
(30 апреля 1777, Брауншвейг —
23 февраля 1855, Гёттинген)
Метод Гаусса
Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
x1 , x2, …, xn – неизвестные.
ai j — коэффициенты при неизвестных.
bi — свободные члены (или правые части)
Типы уравнений
Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решение, и несовместной, если она не имеет решения.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет бесчисленное множество решений.
Две совместные системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.
Элементарные преобразования
К элементарным преобразованиям системы отнесем следующее:
перемена местами двух любых уравнений;
умножение обеих частей любого из уравнений на произвольное число, отличное от нуля;
прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число.
Общий случай
Для простоты рассмотрим метод Гаусса для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными в случае, когда существует единственное решение:
Дана система:
1-ый шаг метода Гаусса
На первом шаге исключим неизвестное х1 из всех уравнений системы (1), кроме первого.
Пусть коэффициент . Назовем его ведущим элементом. Разделим первое уравнение системы (1) на а11. Получим уравнение:
Исключим х1 из второго и третьего уравнений системы (1). Для этого вычтем из них уравнение (2), умноженное на коэффициент при х1 (соответственно а21 и а31).
Система примет вид:
Верхний индекс (1) указывает, что речь идет о коэффициентах первой преобразованной системы.
(1)
(2)
(3)
2-ой шаг метода Гаусса
На втором шаге исключим неизвестное х2 из третьего уравнения системы (3)из третьего уравнения системы (3). Пусть коэффициент . Выберем его за ведущий элемент и разделим на него второе уравнение системы (3), получим уравнение:
где
Из третьего уравнения системы (3) вычтем уравнение (4), умноженное на Получим уравнение:
Предполагая, что находим
(4)
В результате преобразований система приняла вид:
Система вида (5) называется треугольной.
Процесс приведения системы (1)Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1Процесс приведения системы (1) к треугольному виду (5) (шаги 1 и 2) называют прямым ходом метода Гаусса.
Нахождение неизвестных из треугольной системы называют обратным ходом метода Гаусса.
Для этого найденное значение х3 подставляют во второе уравнение системы (5) и находят х2. Затем х2 и х3 подставляют в первое уравнение и находят х1.
(5)
Если в ходе преобразований системы получается противоречивое уравнение вида 0 = b, где b ≠ 0, то это означает, что система несовместна и решений не имеет.
В случае совместной системы после преобразований по методу Гаусса, составляющих прямой ход метода, система т линейных уравнений с п неизвестными будет приведена или к треугольному или к ступенчатому виду.
Треугольная система имеет вид:
решение, которое находится в
результате проведения обратного хода метода Гаусса.
Ступенчатая система имеет вид:
Такая система имеет бесчисленное
множество решений.
Рассмотрим на примере
Покажем последовательность решения системы из трех уравнений методом Гаусса
Поделим первое уравнение на 2, затем вычтем его из второго (a21=1, поэтому домножение не требуется) и из третьего, умножив предварительно на a31=3
Поделим второе уравнение полученной системы на 2, а затем вычтем его из третьего, умножив предварительно на 4,5 (коэффициент при x2)
Тогда
x3=-42/(-14)=3;
x2=8-2×3=2
x1=8-0,5×2-2×3=1
Метод Крамера
Метод Крамера—способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы. Создан Габриэлем Крамером в 1751 году.
Габриэль Крамер
(31 июля 1704, Женева, Швейцария—4 января 1752, Баньоль-сюр-Сез, Франция)
Рассмотрим систему линейных уравнений с квадратной матрицей A , т.
е. такую, у которой число уравнений совпадает с числом неизвестных:
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
… …
an1x1+an2x2+…+annxn=bn
Теорема. Cистема
Имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы этой системы отличен от нуля:
a11 a12 … a1n
a21 a22 … a2n
… …
an1 an2 … ann
≠ 0
В этом случае решение можно вычислить по формуле Крамера
Для получения значения xk в числитель ставится определитель, получающийся из det(A) заменой его k-го столбца на столбец правых частей
Пример. Решить систему уравнений :
Решение.
Найдите оставшиеся компоненты решения.
Формулы Крамера не представляют практического значения в случае систем с числовыми коэффициентами: вычислять по ним решения конкретных систем линейных уравнений неэффективно, поскольку они требуют вычисления (n+1)-го определителя порядка n , в то время как метод Гаусса фактически эквивалентен вычислению одного определителя порядка n . Тем не менее, теоретическое значение формул Крамера заключается в том, что они дают явное представление решения системы через ее коэффициенты. Например, с их помощью легко может быть доказан результат
Решение системы линейных уравнений с квадратной матрицей A является непрерывной функцией коэффициентов этой системы при условии, что det A не равно 0 .
Найдите оставшиеся компоненты решения.
Кроме того, формулы Крамера начинают конкурировать по вычислительной эффективности с методом Гаусса в случае систем, зависящих от параметра.
зависящей от параметра , определить предел отношения компонент решения:
Решение.
В этом примере определитель матрицы системы равен . По теореме Крамера система совместна при . Для случая применением метода Гаусса убеждаемся, что система несовместна. Тем не менее, указанный предел существует. Формулы Крамера дают значения компонент решения в виде
и, хотя при каждая из них имеет бесконечный предел, их отношение стремится к пределу конечному.
Ответ.
Приведенный пример поясняет также каким образом система линейных уравнений, непрерывно зависящая от параметра, становится несовместной: при стремлении параметра к какому-то критическому значению (обращающему в нуль определитель матрицы системы) хотя бы одна из компонент решения «уходит на бесконечность».
Использованные источники
В.С. Щипачев, Высшая математика
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов.
Волков Е.А. Численные методы.
В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики,том I.
Инженерное дело на курсах Альберты » Правило Крамера
Метод
Правило Крамера — один из первых методов решения систем линейных уравнений. Он датирован восемнадцатым веком! Метод работает очень хорошо; однако это неэффективно, когда количество уравнений очень велико. Тем не менее, при нынешних вычислительных возможностях метод все еще может быть довольно быстрым. Метод работает, используя следующие шаги. Сначала вычисляется определитель матрицы. Каждая компонента неизвестных может быть вычислена как:
где — матрица, образованная заменой столбца на вектор .
Пример 1
Рассмотрим линейную систему уравнений, определенную как:
. Мы сформируем следующие две матрицы, заменив первый столбец на , а затем второй столбец на :
Определители этих матриц:
Следовательно:
Ниже приведен код, который можно использовать для правила Крамера для двумерной системы уравнений.
A = {{a11, a12}, {a21, a22}};
AT = транспонировать [A]
б = {б1, б2};
s1 = Отбросить[AT, {1}]
s2 = Отбросить[AT, {2}]
D1T = Вставить [s1, b, 1]
D2T = Вставить [s2, b, 2]
D1 = транспонировать [D1T]
D2 = транспонировать [D2T]
x1 = Дет [D1] / Дет [A]
x2 = Дет [D2] / Дет [A]
Посмотреть код Python импортировать sympy как sp
a11, a12, a21, a22 = sp.symbols("a11 a12 a21 a22")
A = sp.Matrix([[a11, a12], [a21, a22]])
печать("А:",А)
АТ = АТ
print("Транспонировать:",AT)
s1 = sp.Matrix(AT)
s1.row_del(0)
печать("s1:",s1)
s2 = sp.Matrix(AT)
s2.row_del(1)
печать("s2:",s2)
b1, b2 = sp.символы ("b1 b2")
b = sp.Matrix([[b1, b2]])
D1T = sp.Matrix(s1)
D1T = D1T.row_insert(0,b)
печать("Д1Т:",Д1Т)
D2T = sp.Matrix(s2)
D2T = D2T.row_insert(1,b)
печать("Д2Т:",Д2Т)
Д1 = Д1Т.Т
print("Транспонирование D1T:",D1)
Д2 = Д2Т.Т
print("Транспонирование D2T:",D2)
x1 = D1.det()/A.det()
печать("x1:",x1)
x2 = D2.det()/A.det()
печать("x2:",x2)
Пример 2
Рассмотрим линейную систему уравнений, определенную как:
.
Мы сформируем следующие три матрицы, заменив соответствующие столбцы на:
Определители этих матриц:
Следовательно:
Следующая процедура применяет правило Крамера к общей системе. Протестируйте процедуру, чтобы увидеть, насколько быстро она выполняется для более высоких измерений.
View Mathematica Code Cramer[A_, b_] := (n = Length[A];
Di = Таблица[A, {i, 1, n}];
Do[Di[[i]][[All, i]] = b, {i, 1, n}];
x = Таблица[Det[Di[[i]]]/Det[A], {i, 1, n}])
А = {{1, 2, 3, 5}, {2, 0, 1, 4}, {1, 2, 2, 5}, {4, 3, 2, 2}};
б = {-4, 8, 0, 10};
Крамер [А, б]
Посмотреть код Python импортировать numpy как np
защита Крамера (A, b):
п = лен (А)
Di = [np.array(A) для i в диапазоне(n)]
для я в диапазоне (n):
Ди [я] [:, я] = б
return [np.linalg.det(Di[i])/np.linalg.det(A) для i в диапазоне(n)]
А = [[1, 2, 3, 5], [2, 0, 1, 4], [1, 2, 2, 5], [4, 3, 2, 2]]
б = [-4, 8, 0, 10]
Крамер(А, б)
По следующей ссылке представлен код MATLAB для реализации правила Крамера.
Файл MATLABСкачать
Правило Крамера | Superprof
В мире линейной алгебры правило Крамера играет очень важную роль в нахождении определителей, рангов и типа системы. Проще говоря, правило Крамера используется для нахождения решения системы линейного уравнения. Кроме того, это также помогает нам определить, будет ли система иметь хотя бы одно решение или нет. Это экономит много времени, не говоря уже о том, что этот метод очень точно предсказывает решения системы.
Существует еще один метод поиска решения линейной системы, известный как метод исключения Гаусса. В этот момент вы можете задаться вопросом, почему мы должны использовать правило Крамера вместо метода исключения Гаусса? У нас есть ответ. Правило Крамера очень просто использовать. Вы должны следовать аналогичному шаблону для всей матрицы, с другой стороны, исключение Гаусса требует логических операций со строками. Вам нужно подумать и выбрать рядовые операции.
Эти операции со строками могут стать трудными при решении системы линейных уравнений. Кроме того, при рассмотрении исключения Гаусса существуют операции, такие как поворот строк и операции со столбцами. У них есть свои правила, которые иногда могут раздражать.
Найдите репетитора по математике здесь.
Как работает правило Крамера?
Для простоты представьте себе систему с двумя линейными уравнениями:
(1)
(2)
Мы можем исключить одну переменную с помощью операций со строками. Вы можете выбрать любую переменную, но здесь мы решили исключить y, чтобы составить уравнение относительно x. Для этого нам нужно применить операцию строки. Если мы умножим уравнение 2 на и уравнение 1 на , а затем добавим оба уравнения, мы можем легко исключить y из общего уравнения.
Следовательно,
Следовательно,
Добавление оба уравнения:
Взятие x в качестве общего:
Сейчас будет применяться тот же метод, но на этот раз мы будем устранение x и сделаем x и сделаем x и сделаем x и сделаем x и сделаем уравнение относительно y.
отсюда
отсюда
Сложим оба уравнения:
Примем y как обычное:
4 Вы что-нибудь заметили? Знаменатель обоих уравнений одинаков. Этот знаменатель является определителем матрицы коэффициентов. Следовательно, мы можем написать что-то вроде этого:
Где, – определитель матрицы коэффициентов,
– определитель числителя в решении x,
– определитель числителя в решении y.
В приведенном выше примере мы рассмотрели систему двух уравнений, но что, если у вас нет системы двух уравнений? Тогда вам не нужно беспокоиться, потому что метод точно такой же. Вот иллюстрация, если у вас есть номер системы:
Определители получаются заменой коэффициентов 2-го члена (независимых членов) в 1-м, 2-м, 3-м и n-м столбцах соответственно. Однако есть некоторые условия для использования правила Крамера, ниже приведены все условия.
- Количество уравнений равно количеству неизвестных.
