Минимум функции: Найдите точку максимума и точку минимума функции y=f(x),если известно ,что f'(x)=x^2-5x+6

Максимум и минимум функции: понятие

Время чтения:  2 минуты

425

Исследование функции в математическом анализе предполагает нахождение экстремумов, которые представляют собой максимальное и минимальное значение на заданном множестве.  Для того чтобы определить минимум функции, необходимо произвести несколько простых операций с ее производной.  Сначала следует приравнять функцию к нулю и найти значения переменной, а затем, используя их, разбить координатную плоскость и определить, какие отрезки будут положительными или отрицательными.

Определение максимума и минимума функции

Минимумом заданной функции \[y=f(x)\] принято называть одну некоторую точку, если в ее окрестности соблюдается неравенство \[y=f(x) \geq f\left(x_{0}\right)\].

Таким образом \[x_{0}\] – это и есть минимум.

\[x_{0}\] можно назвать максимумом \[y=f(x)\], если в некоторой ее окрестности будет выполняться следующее неравенство \[y=f(x) \leq f\left(x_{0}\right)\].

{2}+b x+c\], имеющая вид параболы, на области определения имеет:

  • максимум, при условии, что \[0>a\];
  • минимум, при условии \[a>0\].

Экстремум на всей области определения будет совпадать с вершиной параболы. Это показано на рисунке:

Экстремумы в математическом анализе делятся на два вида:

  • глобальный;
  • локальный.

К локальному применимо общее определение экстремума. Глобальный вид – это набольшее и наименьшее значение функции на определенном участке.  

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Контрольная

| от 300 ₽ |

Реферат

| от 500 ₽ |

Курсовая

| от 1 000 ₽ |

Достижение глобальных экстремумов возможно на обоих концах отрезка, а также в местах нахождения локального экстремума.  Для определения их необходимого условия используется следующая теорема:

Теорема 1 — 3

Если экстремум \[y=f(x)\] находится в некоторой точке \[x_{0}\], то производная \[f^{\prime}(x)\] в той же точке будет равна нулю, либо вовсе не будет существовать.

{2}+12 x\] представлен на рисунке:

Рассмотренные примеры наглядно показывают, как должно осуществляться исследование функции в математическом анализе. Однако следует учитывать, что в процессе выполнения любого задания нужно также обращать внимание на точки разрыва и интервалы, которые входят в непосредственную область определения. Бывают такие случаи, когда производная находится именно на этих участках.

Оценить статью (79 оценок):

Поделиться

Александр Летов — Магистр физико-математических наук

Популярные статьи

Выполнение любых работ по математике

Максимум, минимум и экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума.

Главная

» Общенаучные дисциплины

» Математика (1 семестр)

» Максимум, минимум и экстремумы функции. Необходимое условие существования экстремума.


Приведем точные определения точек экстремума. 

Определение. Точка x0 называется точкой минимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ≥ f(x0

Это наглядно показано на рисунке 1: 

 
рисунок 1 

Определение. Точка x0 называется точкой максимума функции f, если для всех x из некоторой окрестности x0 выполняется неравенство f(x) ≤ f(x0

Это наглядно показано на рисунке 2: 

 
рисунок 2 

По определению значение функции f в точке x0 является наибольшим среди значений функции в окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности x0 имеет обычно либо вид гладкого холма, либо вид острого пика (рис. 1 а) и б) соответственно). 

В окрестности точки минимума графики изображаются в виде загругленной или острой впадины (рис. 2 а) и б) соответственно). 

Другие примеры поведения графиков функций в точках максимума и минимума приведены на рисунке ниже: 

 

Слева направо: a — точка максимума; a — точка минимума; каждая точка из промежутка [-1; 0] является как точкой максимума, так и точкой минимума. 

Для точек минимума и максимума функции есть общее определение — точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно назывется 

максимумом или минимумом этой функции. Общее название — экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают xmax, а точки минимума — xmin.

  • Лемма Ферма. Пусть функция  дифференцируема в точке экстремума x0. Тогда:
f‘(x0) = 0.
  • Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю.

 


Друзья! Приглашаем вас к обсуждению. Если у вас есть своё мнение, напишите нам в комментарии.

Поиск по сайту
Поделиться
Дисциплины
  • Информационные системы
  • Проектирование ИС
  • Интеллектуальные ИС
  • Информационная безопасность и защита информации
  • Информационные сети
  • Моделирование систем
  • Администрирование в ИС
  • Информационные технологии
  • Операционные системы
  • Представление знаний в ИС
  • Алгоритмизация
  • Архитектура ЭВМ
  • Управление данными
  • Технология программирования
  • Компьютерная геометрия и графика
  • Информатика
  • Агрегатор онлайн-курсов
  • Самолетостроение
  • Конструкция и проектирование самолетов
  • Автоматизированное проектирование конструкций
  • Основы теории управления
  • Теория информационных процессов и систем
  • Электротехника
  • Физика
  • Физика (3 семестр)
  • Прикладная механика
  • Общенаучные дисциплины
  • Экономика
  • Метрология
  • Философия
  • Математика (1 семестр)
  • Математика (2 семестр)
  • Математика (3 семестр)
  • Культурология
  • История
  • Химия
  • Биология
  • Английский язык онлайн – быстро и просто
  • Что делать, если по учёбе гора долгов?
  • Помощь в поступлении в американский ВУЗ от Марии Гурьевой
  • Полиграфическая продукция
  • Бизнес школа
  • Пожарная безопасность: виды инструктажей и требования
  • Где записаться на курсы режиссуры монтажа?
  • Особенности подготовки к ОГЭ по канадской методике
  • Обучение профессии полиграфолога
  • ПОИСК ЛУЧШИХ КУРСОВ В СЕТИ в сфере digital
  • Курсы подготовки к ЕГЭ 2022 для 10-11 классов в Москве

Поиск минимума и максимума функции в R – КОЛИЧЕСТВЕННАЯ ОЦЕНКА ЗДОРОВЬЯ

Функция оптимизации (также пишется как оптимизация ) в R возвращает минимум или максимум функции f(x) в пределах заданного интервала.

Он принимает в качестве входных данных:

  • f: функцию.
  • interval:
    вектор, содержащий нижнюю и верхнюю границы области, где мы хотим найти минимум или максимум.
  • максимум: 92 + 1 } # найти минимум f(x) в интервале [-1, 1] ответ = оптимизировать (f, интервал = c (-1,1)) # оптимизация возвращает список из 2 значений: # «минимум» — это значение x, при котором происходит минимум # и «цель» — это значение y, т.е. f(минимум) x_min = ответ $минимум y_min = ответ $ цель # график f(x) x = seq(-1, 1, length.out = 100) # генерирует 100 чисел от -1 до 1 график (х, е (х), тип = ‘л’) # наносим минимальную точку точки (x_min, y_min, pch = 15) # аннотация текст (x = x_min, y = y_min, labels = ‘Минимум’, pos = 3, col = ‘синий’) 92 — х + 1 } # найти максимум f(x) в интервале [-1, 1] ответ = оптимизировать (f, интервал = с (-1,1), максимум = ИСТИНА) # извлечь координаты максимума x_max = ответ $максимум y_max = ответ $ цель # график f(x) x = seq(-1, 1, length.
    out = 100) график (х, е (х), тип = ‘л’) # построить максимум точки (x_max, y_max, pch = 15) текст (x = x_max, y = y_max, labels = ‘Максимум’, pos = 4, col = ‘синий’)

    Вывод:

    Нахождение максимума: \(f(x) = cos x\)

     f = function(x) {
      потому что (х)
    }
    # найти максимум f(x) в интервале [-10, 10]
    ответ = оптимизировать (f, интервал = с (-10,10), максимум = ИСТИНА)
    # извлечь координаты максимума
    x_max = ответ $максимум
    y_max = ответ $ цель
    # график f(x)
    х = последовательность (-10, 10, длина.выход = 100)
    график (х, е (х), тип = 'л')
    # построить максимум
    точки (x_max, y_max, pch = 15)
    текст (x = x_max, y = y_max, labels = 'Максимум',
         pos = 4, col = 'синий') 

    Вывод:

    Так почему же оптимизировал

    именно эту точку как максимальную?

    Чтобы выяснить, при каких значениях x вычисляется функция, вы можете использовать оператор печати внутри f(x):

     f = function(x) {
      print(x) # печатает значение x всякий раз, когда вызывается f(x)
      потому что (х)
    }
    оптимизировать(f, интервал = c(-10, 10), максимум = ИСТИНА) 

    Вывод:

     [1] -2,36068
    [1] 2. 36068
    [1] 5.27864
    [1] 7.082039
    [1] 6.804159[1] 6,2776
    [1] 6.25876
    [1] 6.283509
    [1] 6.283185
    [1] 6.283145
    [1] 6.283226
    [1] 6.283185
    $максимум
    [1] 6.283185
    $цель
    [1] 1 

    Далее, давайте нанесем на график эти точки, чтобы увидеть, что происходит:

     xs = c(-2,36068,
           2.36068,
           5.27864,
           7.082039,
           6.804159,
           6.2776,
           6.25876,
           6.283509,
           6.283185,
           6.283145,
           6.283226,
           6.283185)
    график (х, потому что (х), тип = 'л')
    точки (xs, cos (xs), col = 'красный', pch = 15)
    текст (x = xs, y = cos (xs), labels = c (1: 5, '6-12', rep ('', 6)),
         pos = 4, col = 'красный') 

    Вывод:

    Этот график показывает, что оптимизация не обнаружила изменения значения y между точками 1 и 2 и, возможно, подумала, что функция была постоянной между этими двумя точками и пропустила пик в точке x = 0.

    Примечание: я попытался изменить интервал с [-10, 10] на [-7, 10], и оптимизировать без проблем обнаружил максимум в (0, 1).

    Нахождение минимума \(f(x) = 3\)

     f = function(x) {
      3
    }
    # найти минимум f(x) в интервале [-1, 1]
    ответ = оптимизировать (f, интервал = c (-1,1))
    x_min = ответ $минимум
    y_min = ответ $ цель
    # создать пустой график
    график (1, тип = "n", xlab = "x", ylab = "f (x)",
         xlim = c(-1.1, 1.1), ylim = c(0, 5))
    # график f(x)
    аблин (ч = 3)
    # нанесем точку минимума на f(x)
    точки (x_min, y_min, pch = 15)
    текст (x = x_min, y = y_min, labels = 'Минимум',
         pos = 3, col = 'синий') 

    Вывод:

    Несмотря на то, что \(f(x) = 3\) является константой, оптимизировать удалось найти минимум при x = 1!

    Дополнительная литература

    • Решить полином в R
    • Как решить уравнение в R
    • Написать функцию, которая возвращает n-е число Фибоначчи в R
    • Работа с множествами в R
    9000 найти минимальное значение функции?

    Задать вопрос 9{2}+1}$ за каждое действительное число для $x$, какое минимальное значение $f$?
    Как мне найти минимальное значение этой функции. Я знаю только метод проб и ошибок, но это не обобщенный способ.

    Подскажите, пожалуйста, общий способ решения задач такого типа

    • алгебра-предварительное исчисление
    • функции

    $\endgroup$

    2

    $\begingroup$

    Этот случай настолько прост, что его можно решить даже без математических вычислений. Запишите $f(x)$ как $$f(x)= 1- \frac{2}{x²+1} $$ Очевидно, что минимальное значение этой функции имеет место, когда дробь справа наибольшая, что, очевидно, имеет место при наименьшем значении знаменателя, что происходит при $x=0$ Следовательно, минимальное значение функции равно $f(0 )=-1$.

    $\endgroup$

    2

    $\begingroup$ 92}$$

    $$f'(x)=0 \Rightarrow x=0$$

    $$f'(x)<0,\forall x<0$$

    $$f'(x) >0, \forall x>0$$

    Следовательно, $f$ убывает на $(-\infty,0]$ и возрастает на $[0,+\infty)$

    Итак, $f$ достигает своего минимум в $0$ и минимум равен $f(0)=-1$

    $\endgroup$

    1

    $\begingroup$

    Дифференцируя это дает вам ответ: 92+1\ge 1$ тогда очевидно, что минимальное значение имеет место при $x=0$.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *