Алгебра. Учебник для 6-8 классов
Алгебра. Учебник для 6-8 классов
ОглавлениеГЛАВА ПЕРВАЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ. § 2. Алгебраические выражения. § 3. Допустимые значения букв. § 4. Порядок действий. § 5. Основные законы сложения и умножения. § 6. Краткие исторические сведения. ГЛАВА ВТОРАЯ. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА. § 7. Положительные и отрицательные числа. § 8. Числовая ось. § 9. Противоположные числа. § 10. Абсолютная величина числа. § 11. Сравнение рациональных чисел. § 12. Сложение рациональных чисел. § 13. Сложение нескольких чисел. § 14. Законы сложения. § 15. Вычитание рациональных чисел. § 16. Алгебраическая сумма. § 17. Умножение. § 18. Умножение нескольких чисел. § 19. Законы умножения. § 20. Деление. § 21. Свойства деления. § 22. Возведение в степень. § 23. Порядок выполнения действий. § 24. Уравнения. § 25. Решение задач с помощью уравнений. § 26. Графики. § 27. Краткие исторические сведения. (Из истории отрицательных чисел.) ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ДЕЙСТВИЯ НАД ЦЕЛЫМИ АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ ВЫРАЖЕНИЯМИ.  § 28. Одночлен и многочлен. § 29. Тождества и тождественные преобразования. § 30. Коэффициент. § 31. Расположенные многочлены. § 32. Приведение подобных членов. § 33. Сложение одночленов и многочленов. § 34. Противоположные многочлены. § 35. Вычитание одночленов и многочленов § 36. Умножение одночленов. § 37. Умножение многочлена на одночлен. § 38. Умножение многочленов. § 39. Умножение расположенных многочленов. § 40. Возведение одночленов в степень. § 41. Формулы сокращённого умножения. § 42. Общие замечания о делении целых алгебраических выражений. § 43. Деление одночленов. § 44. Деление многочлена на одночлен § 45. Примеры решения уравнений. ГЛАВА ЧЕТВЁРТАЯ. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ. § 48. Два основных свойства уравнений. § 49. Уравнения, содержащие неизвестное в обеих частях. § 50. Уравнение первой степени с одним неизвестным. § 51. Общие указания к решению уравнений.  § 52. Решение задач с помощью уравнений. § 53. Краткие исторические сведения. (Из истории уравнений.) ГЛАВА ПЯТАЯ. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ. § 54. Понятие о разложении на множители. § 55. Вынесение за скобки общего множителя. § 56. Способ группировки. § 57. Применение формул сокращённого умножения. § 58. Применение нескольких способов. § 59. Деление многочленов при помощи разложения на множители. ГЛАВА ШЕСТАЯ. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДРОБИ. § 60. Понятие об алгебраической дроби. § 61. Основное свойство дроби и сокращение дробей. § 62. Перемена знака у членов дроби. § 63. Целая отрицательная и нулевая степени числа. § 64. Приведение дробей к общему знаменателю. § 65. Сложение дробей. § 66. Вычитание дробей. § 67. Умножение дробей. § 68. Деление дробей. § 69. Возведение дроби в натуральную степень. § 70. Дробные уравнения. § 71. Примеры решения уравнений с буквенными коэффициентами. ГЛАВА СЕДЬМАЯ.  КООРДИНАТЫ И ПРОСТЕЙШИЕ ГРАФИКИ.§ 72. Координаты точки на плоскости. § 73. Прямо пропорциональная зависимость. § 74. График прямо пропорциональной зависимости. § 75. Линейная зависимость. § 76. Обратно пропорциональная зависимость. ГЛАВА ВОСЬМАЯ. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ С ДВУМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ. § 77. Уравнение первой степени с двумя неизвестными. § 78. Система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. § 79. Равносильные системы. § 80. Решение систем уравнений. § 81. Графическое решение системы двух уравнений. § 83. Уравнение с тремя неизвестными. § 84. Система трёх уравнений с тремя неизвестными. ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. СЧЁТНАЯ (ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ) ЛИНЕЙКА. § 85. Равномерные и неравномерные шкалы. § 86. Устройство счётной (логарифмической) линейки. § 87. Основная шкала. § 88. Умножение и деление с помощью счётной линейки. ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ. § 89. Построение графика зависимости y = x^2 § 90.  (1/3)§ 130. Примеры графического решения уравнений и систем уравнений. |
все о простом будущем времени
Мы часто говорим о своих планах на будущее: о мечтах, о том, что мы будем делать в эти выходные, что приготовим на ужин или о том, куда поедем отдыхать на будущий год. Планы — это прекрасно, ими хочется делиться с друзьями и записывать в дневник. Но как рассказать о них на английском?
Наша цель на ближайшее будущее — раз и навсегда разобраться с временем Future Simple. В этой статье мы поговорим о том, как образуется и когда употребляется Future Simple, какие правила образования Future Simple нужно знать и в каких случаях его использовать.
Что такое Future Simple Tense?
Future Simple Tense (или просто Future Simple) — это простое будущее время в английском языке.
Мы используем Future Simple, чтобы высказать предположения о будущем или о событиях, которые точно произойдут и на которые мы не можем повлиять.
А также, для обещаний, угроз, предупреждений и предостережений.
Есть много способов выразить свои будущие действия в английском языке, и Future Simple — один из самых простых и распространенных способов сделать это. Хотя это время не так просто, как кажется на первый взгляд.
Как образуется Future Simple?
Future Simple образуется при помощи одного вспомогательного глагола will. Он употребляется со всеми числами и лицами. Не важно, говорим мы о 1-м лице единственного числа (I), о 3-м лице единственного числа (She / He / It) или же обо всех лицах множественного числа (We / You / They) — во всех случаях употребляем вспомогательный глагол will.
ВАЖНО: Иногда в британском английском с подлежащими I и We употербляется глагол shall.
Несмотря на то, что сегодня в обычной речи такую конструкцию используют крайне редко — следует помнить, что трансформации глагола will в shall во времени Future Simple можно встретить в тексте.
Особенно, в художественной литературе.
I shall go for a walk — Я пойду на прогулку
Глагол shall может использоваться в вопросительной конструкции, чтобы выразить намерение и предложение что-то сделать.
Shall we dance? — Может, потанцуем?
Shall we eat this lunch? — Мы будем есть этот обед?
Утверждение
Для того, чтобы составить утвердительное предложение в Future Simple — нужно добавить глагол will (shall) после подлежащего, но перед смысловым глаголом без частицы to.
I / She / He / It / We / You / They + will (shall) + V
I will read an interesting book — Я буду читать интересную книгу
You will buy a new dress — Ты купишь новое платье
He will play tennis — Он будет играть в теннис
We will dream of better days — Мы будем мечтать о лучших деньках
Сокращение
Will / Shall = ‘ll
He’ll drive this road — Он поедет по этой дороге
We’ll do this better — Мы сделаем это лучше
Отрицание
Отрицательная конструкция времени Future Simple образуется при помощи добавления частицы not после вспомогательного глагола will (shall).
I / She / He / It / We / You / They + will not (shall not) + V
I will not take your bag — Я не буду брать твою сумку
We will not find the hotel tomorrow — Мы не найдем отель завтра
My friend will not play guitar with us — Мой друг не будет играть с нами на гитаре
They will not present the project this Friday — Они не представят проект в эту пятницу
Сокращение
Will not = won’t
Shall not = shan’t (используется редко)
I shan’t go for a walk today — Я не пойду гулять сегодня
He won’t clean his room till Sunday — Он не будет убирать свою комнату до воскресенья
Вопрос
В вопросительной конструкции вспомогательный глагол will (shall) переносится в начало предложения, а за ним следует подлежащее и смысловой глагол без частицы to.
Will (Shall) + I / She / He / It / We / You / They + V
Shall I make the reservation? — Я оформлю бронирование?
Will you buy that blue car? — Ты купишь ту синюю машину?
Will she call me back? — Она перезвонит мне?
Will they win this match? — Они выиграют этот матч?
Для запроса более подробной информации используют вопросительные слова — question words (QW).
Например, how long (как долго), what (что), where (где) и другие. Тогда конструкция приобретает следующую форму:
QW + will (shall) + I / She / He / It / We / You / They + V
Where will I go next weekend? — Куда я пойду на следующие выходные?
When will we buy this house? — Когда мы купим этот дом?
How long will she keep your stuff? — Как долго она будет хранить твои вещи?
What will my sister buy for me? — Что моя сестра купит для меня?
Также, часто можно встретить в речи вопросительно-отрицательные предложения, которые начинаются с won’t. В русском языке мы бы начали этот вопрос со слов «разве» или «неужели».
Won’t she give you a hand? — Неужели она тебе не поможет?
Won’t you go to the bar with me? — Разве ты не пойдешь со мной в бар?
Глагол to be в Future Simple
Особый глагол to be (am / is / are) в простом будущем времени приобретает форму will be.
В вопросах подлежащее как бы «разбивает собой» эту форму:
Will your boss be at the office tomorrow? — Твой босс завтра будет в офисе?
Will our team be the champions next season? — Наша команда будет чемпионом в следующем сезоне?
Когда используется Future Simple?
Рассмотрим основные случаи с примерами, когда в предложении будет употребляться простое будущее время:
Общее будущее
Когда мы говорим о единичных или повторяющихся действиях в будущем — мы можем использовать Future Simple.
I will swim every weekend next summer — Следующим летом я буду плавать каждые выходные
They will go to the concert and listen to good music next Friday — Они пойдут на концерт и будут слушать хорошую музыку в следующую пятницу
Предположения о будущем
В этом случае Future Simple часто употребляется с глаголами Present Simple. Например: think (думать), be sure (быть уверенным), believe (верить) и другими.
Также, в предложениях часто используются наречия certainly (безусловно), perhaps (вероятно), probably (возможно) и другие.
Probably I will find a better way to resolve this issue — Вероятно, я найду лучший способ решить эту проблему
I think she will get this job in the marketing department — Я думаю, что она получит эту работу в отделе маркетинга
Надежда, обещания и опасения
Когда мы хотим выразить свое отношение к будущему, то мы используем Future Simple, особенно с такими словами как hope (надеяться), afraid (бояться), promise (обещать), swear (клясться) и другими.
I promise we will go to Iceland next autumn — Я обещаю, мы поедем в Исландию следующей осенью
We hope she will be okay — Мы надеемся, она будет в порядке
Прогнозы на будущее
Часто время Future Simple используется в случае описания каких-то событий в будущем, на которые мы никак не можем повлиять. Например, на погоду и естественные явления или неизбежные действия других людей.
Heavy rain will be tomorrow — Завтра будет сильный дождь
Anyway he will go away next morning — В любом случае он уедет завтра утром
Спонтанные решения
Когда мы хотим подчеркнуть спонтанность какого-то решения или особый эмоциональный момент, внезапный порыв — мы также используем время Future Simple.
I will buy this pair of shoes — Я куплю эти туфли (решение принято спонтанно в магазине и не было запланировано)
We will eat all the ice-cream in the fridge — Мы съедим все мороженное, что есть в холодильнике (сиюминутный порыв)
Маркеры времени Future Simple
Употребление времени Future Simple тесно связано с вопросом «Когда это будет?». В случаях, когда можно указать приблизительное, неточное время. Узнать Future Simple можно по таким словам, как:
- soon (скоро)
- later (позже)
- as soon as (как только)
- tomorrow (завтра)
- tonight (вечером)
- next week (на следующей неделе)
- next year (на будущий год)
- in a month (через месяц)
- in three days (через три дня)
- in 2020 (в 2020 году)
ВАЖНО: если известен точный промежуток времени в будущем, когда будет происходить действие — используются конструкции Present Continuous или Future Continuous.
Примеры предложений Future Simple с переводом
Утвердительные:
I’ll call you back later — Я перезвоню тебе позже
Parents will lend you some money — Родители займут тебе немного денег
She will be twenty-one years old next year — В следующем году ей исполнится двадцать один год
Mary will cook delicious dinner tonight — Мэри будет готовить изысканный ужин сегодня вечером
Отрицательные:
I will not drink this bottle of wine — Я не буду пить эту бутылку вина
She won’t tell anyone — Она никому не расскажет
They won’t bring their own chairs — Они не принесут свои собственные стулья
This letter will not be sent — Это письмо не будет отправлено
Вопросительные:
Will your parents visit us this weekend? — Твои родители приедут к нам на эти выходные?
What will you choose? — Что ты выберешь?
Won’t you play football with me? — Разве ты не сыграешь со мной в футбол?
What will you drink tonight? — Что ты будешь пить сегодня вечером?
Видео: Решение уравнений с положительными или отрицательными показателями переменных или простых членов
Стенограмма видео
В этом видео мы собираемся решать уравнения с положительными или отрицательными показателями переменных или простых членов.
Итак, мы собираемся рассмотреть несколько примеров, подобных тому, который вы можете видеть здесь ниже, и просто рассказать, как их решить, и представить ваши ответы.
Тогда давайте начнем с простого. Найдите значение 𝑥, когда 𝑥 в квадрате равно шестнадцати. Таким образом, чтобы найти значение 𝑥, когда мы получили значение 𝑥 в квадрате, нам нужно будет извлечь квадратный корень, потому что это противоположно возведению в квадрат.
Итак, мы снова используем обратные операции для отмены этих показателей степени. Итак, квадратный корень из 𝑥 в квадрате — это просто 𝑥, но квадратный корень из шестнадцати? Итак, четыре раза четыре равно шестнадцати, но минус четыре раза минус четыре тоже шестнадцать. Итак, есть два возможных значения.
И мы используем этот символ плюс или минус, чтобы обозначить тот факт, что ответ может быть как положительным, так и отрицательным. И когда мы выпишем ответ, мы фактически запишем их как два отдельных решения: ответ 𝑥 равно четырем или 𝑥 равно отрицательным четырем.
Дело в том, что когда показатель степени четный, у вас всегда будет положительный отрицательный результат. Таким образом, для четных степеней, если 𝑥 отрицательное, у вас будет четное количество отрицательных чисел, сокращающихся. Таким образом, значение 𝑥 может быть отрицательным, и вы получите положительный ответ, или значение 𝑥 может быть положительным, и вы все равно получите положительный ответ.
Номер два: 𝑥 в кубе равно восьми. Решите для 𝑥. Итак, мы снова воспользуемся обратной операцией, а наоборот, если вам нравится что-то кубировать, это укоренение чего-то в кубе. Итак, мы собираемся извлечь кубический корень из обеих сторон. Таким образом, кубический корень из 𝑥 в кубе равен кубическому корню из восьми. Ну, кубический корень из 𝑥 в кубе — это просто 𝑥, потому что 𝑥 умножить на 𝑥 умножить на 𝑥, что дает нам 𝑥 в кубе. А кубический корень из восьми равен двум, потому что дважды два раза два равно восьми. Теперь это не может быть минус два, потому что минус два раза минус два раза минус два — хорошо минус два раза минус два будет четыре, а четыре раза минус два будет минус восемь.
Поэтому, когда у вас есть нечетный показатель, у вас не будет положительной отрицательной дилеммы. Так что на такие вопросы есть только один ответ. И в данном случае это 𝑥 равно двум.
Теперь третье решение: 𝑥. У нас получилось, что единица больше 𝑥 в квадрате равна единице больше двадцати пяти. Теперь на этот вопрос у меня больше 𝑥 в квадрате. Итак, единица над чем-то равна единице над двадцатью пятью равна единице над чем-то. Итак, если один над чем-то равен другому над чем-то другим, эти две вещи должны быть равны.
Итак, 𝑥 в квадрате должно быть равно двадцати пяти. Так что я просто возьму квадратный корень из обеих сторон. А квадратный корень из 𝑥 в квадрате — это просто 𝑥. Помните, что квадратный корень из двадцати пяти — это четная степень, поэтому нам придется иметь либо положительную, либо отрицательную версию. А пять — это квадратный корень.
Итак, когда мы запишем это в нашем ответе, 𝑥 равно пяти или 𝑥 равно минус пять. Или мы могли бы даже записать это как набор решений.
Таким образом, используя нотацию множества, в этом множестве есть два элемента: отрицательная пятерка и пятерка.
Теперь давайте повторим этот вопрос. Но что, если бы я не заметил в начале этого маленького трюка, который гласил, что знаменатели должны быть равны, потому что числители уже равны. Что ж, я постараюсь убрать член 𝑥 из знаменателя. Таким образом, я бы умножил обе части моего уравнения на 𝑥 в квадрате, чтобы я мог сократить 𝑥 в квадрате слева — в левой части.
Но поскольку это дроби, я бы не стал просто умножать их на 𝑥 в квадрате. Я бы умножил его на дробную версию 𝑥 в квадрате, то есть просто 𝑥 в квадрате на единицу. Теперь в левой части у меня есть 𝑥 в квадрате числителя и 𝑥 в квадрате знаменателя, поэтому они оба сокращаются, и моя левая часть просто становится единицей на единицу, что равно единице.
А справа у меня 𝑥 в квадрате в числителе и двадцать пять, умноженное на единицу, что всего двадцать пять в знаменателе. Теперь мне нужно умножить обе части на двадцать пять, чтобы попытаться избавиться от этого числа в знаменателе в правой части.
И снова записываю двадцать пять в форме дроби справа, чтобы я мог просто отменить эти два и оставить 𝑥 в квадрате справа.
Теперь я готов извлечь квадратный корень из обеих сторон. На самом деле я сейчас на том же месте, что и в самом начале другого вопроса, так что теперь я могу перейти к этому пункту здесь. Таким образом, обнаружение этой маленькой хитрости в начале и приравнивание знаменателей избавило от всей этой работы с правой частью.
Хорошо, тогда давайте перейдем к примеру номер четыре. Решите для 𝑥. 𝑥 минус пять все в степени четыре равно шестнадцати. Итак, я возьму корень четвертой степени из обеих частей, потому что корень четвертой степени — это обратная операция возведения чего-либо в степень числа четыре. А корень четвертой степени из 𝑥 минус пять в степени четыре — это просто 𝑥 минус пять. И именно поэтому мы, конечно же, сделали корень четвертой степени.
И корень четвертой степени из шестнадцати, ну, два раза два раза два раза два равно шестнадцати, поэтому корень четвертой степени равен двум.
Но, конечно, помните, что это четный показатель. Так что минус два или минус два тоже подойдут. Отрицательное два раза отрицательное два равно четырем, отрицательное два раза отрицательное два равно четырем, а четыре раза четыре равно шестнадцати. Таким образом, есть два возможных ответа: положительный или отрицательный два.
В левой части у меня 𝑥 минус пять равно плюсу или минусу два. Поэтому, если я добавлю пять к обеим частям моего уравнения, я просто оставлю себя с 𝑥 в левой части. Итак, слева у меня 𝑥 минус пять плюс пять. Ну понятно, что минус пять прибавить пять становится ноль. Так что я просто остался с 𝑥. А справа у меня либо плюс два плюс пять, что равно семи, либо минус два плюс пять, что равно плюсу три. Итак, мы снова получили два возможных ответа.
И в зависимости от того, где вы живете и какую учебную программу вы изучаете, вы, вероятно, либо представите это в таком формате 𝑥 равно семи или 𝑥 равно трем, либо вы выпишете свой набор решений и скажете, что набор решений содержит третий и седьмой элементы.
Тогда давайте перейдем к пятому. Итак, единица на 𝑥 плюс два, все в степени три, равно ноль целых ноль единиц, и мы должны найти 𝑥. Что ж, я настоятельно рекомендую вместо того, чтобы работать с десятичными дробями, работать с дробью.
Теперь, если мы подумаем о разрядности этих десятичных разрядов: первый десятичный знак — десятый, второй десятичный — сотый, а третий десятичный — тысячный. Итак, это означает одну тысячную, то есть один больше тысячи. Поэтому я могу просто переписать это выражение для нашего уравнения как один на 𝑥 плюс два, все в кубе равно одному на тысячу.
Теперь я снова проделаю наш старый трюк. У нас единица над чем-то равна единице над чем-то. Так что эти две вещи должны быть равны. А как мы получили 𝑥 плюс два все в кубе равно тысяче? Поэтому мне нужно подумать об обратных операциях: что такое обратная операция от кубирования чего-либо? Это кубическое укоренение.
Таким образом, кубический корень из левой части равен кубическому корню из правой части.
Что ж, кубический корень из чего-то в кубе — это как раз то, что нужно. Итак, в левой части у меня только что 𝑥 плюс два. Вот что делают обратные операции; они гасят друг друга. А справа я ищу кубический корень из тысячи, который равен десяти. Помните о нечетных степенях: вам не нужно беспокоиться о плюсе или минусе. Итак, 𝑥 плюс два равно десяти. Теперь все, что мне нужно сделать, это убрать два из каждой части моего уравнения, так что если два вычесть два в левой части, останется только 𝑥, а десять уберут два в правой части, останется восемь . Итак, мы получили один ответ: 𝑥 равно восьми. И наш набор решений будет выглядеть вот так, и у нас будет только один элемент, а их будет восемь.
Хорошо, следующий пример, 𝑥 плюс три все в степени минус три равно двадцати семи, и мы должны решить это для 𝑥. Итак, у нас есть нечетная сила, поэтому нам не нужно беспокоиться о положительном отрицательном. Но здесь отрицательная экспонента, минус три, поэтому нам нужно вспомнить, что наличие отрицательной экспоненты означает, что она больше единицы.
Это будет один больше 𝑥 плюс три в степени три. Итак, мы только что вычислили отрицательную часть экспоненты. Мы вроде выяснили, что это значит. Это означает, что мы должны перевернуть эту дробь.
А теперь я поместил двадцать семь в дробную форму, двадцать семь на единицу. Теперь мы находимся не в той хорошей ситуации, в которой были раньше, когда у нас был один и тот же числитель, равный единице, поэтому мы могли просто сравнивать знаменатели. Итак, нам нужно умножить обе части нашего уравнения на 𝑥 плюс три в степени три. Мы только что сказали, что можем удалить эту переменную из знаменателя в левой части.
Теперь вы заметили, что я вернул число двадцать семь, чтобы скорректировать число двадцать семь, так как оно не должно быть дробью. Единственная причина, по которой я попробовал это как дробь, заключалась в том, чтобы посмотреть, можем ли мы сравнивать числители или сравнивать знаменатели. Итак, в правой части мы получили двадцать семь раз 𝑥 плюс три в кубе. И в левой части то, что у нас есть, — нам нужна дробная версия 𝑥 плюс три, все в степени три, чтобы затем мы могли их отменить, у меня есть 𝑥 плюс три, все в степени три.
на дне. Разделите это само по себе, вы получите один, то же самое сверху, вы получите один. Итак, с левой стороны теперь у меня только один раз один на один раз один, и это всего лишь один.
Ну, теперь у меня двадцать семь раз 𝑥 плюс три в кубе. Итак, что я собираюсь сделать, так это на самом деле разделить обе части на двадцать семь, чтобы я мог просто изолировать 𝑥 плюс три в кубе сам по себе. Кубический член сам по себе, обратная операция будет кубическим корнем. Вот к чему мы и подошли. Итак, давайте сначала разделим обе части на двадцать семь.
А это значит, что мы можем исключить двадцать семь в правой части. А это значит, что у нас один больше двадцати семи равно 𝑥 плюс три в кубе. Итак, мы подошли к моменту, когда мы можем извлечь кубический корень. Итак, мы собираемся извлечь кубический корень из обеих сторон: кубический корень из единицы из двадцати семи в левой части и кубический корень из 𝑥 плюс три в кубе с правой стороны. Очевидно, что обратная операция просто оставит нас с 𝑥 плюс три в правой части.
Но чему равен кубический корень из единицы больше двадцати семи? Ну, это то же самое, что кубический корень из единицы на кубический корень из двадцати семи. Так что пока буду писать именно так. Итак, у меня кубический корень из единицы на кубический корень из двадцати семи равен 𝑥 плюс три. Ну, кубический корень из единицы равен единице, потому что один раз один раз один равно одному. А кубический корень из двадцати семи равен трем, потому что трижды трижды три равно девятикратно трем, то есть двадцать семь.
И мы почти у цели. Итак, чтобы изолировать 𝑥, мне просто нужно вычесть эту тройку с обеих сторон. А это значит, что в правой части у меня 𝑥 плюс три минус три, что равно 𝑥, потому что эти два сокращаются. В этом смысл вычитания трех с обеих сторон. Так что теперь мне нужно сделать одну треть минус три.
Итак, первый шаг — когда мы делаем вычитание дробей, мне нужно получить две дроби. Так что я собираюсь сделать одну треть минус три на один. И мне нужно найти дробь, эквивалентную трем на один, у которой знаменатель равен трем.
Так что я собираюсь умножить это на три на три. Три на три — это всего лишь один. Таким образом, мы не меняем величину числа; мы просто хотим получить эквивалентную дробь для трех с тем же знаменателем, что и три.
И трижды три сверху — девять; один раз три на дне три. Итак, теперь у меня одна треть минус девять третей. Что ж, это приводит нас на ужасную территорию отрицательных дробей, и- но один минус девять будет минус восемь. Итак, у меня отрицательные восемь третей. И если я преобразую это в смешанное число, у меня получится 𝑥, равное минус двум и двум третям.
Так что это был более сложный пример. Но поскольку у нас здесь была странная сила, нам не нужно было беспокоиться о положительных или отрицательных вещах. Но у нас была отрицательная экспонента, а это означало, что нам пришлось перевернуть дробь. Затем мы обнаружили, что не можем воспользоваться этим удобным способом сравнения знаменателей, потому что единица больше чего-то равна двадцати семи больше единицы.
Поэтому нам пришлось умножить обе стороны, как мы сделали здесь. А затем мы столкнулись с этой дополнительной проблемой: кубический корень из единицы из двадцати семи, но мы могли выразить это как кубический корень из единицы из двадцати семи, что позволило нам понять, что это был за ответ. относительно легко.
Итак, вернемся к нашему последнему примеру, у нас есть десять тысяч больше 𝑥 минус четыре, все в степени минус четыре равно единице, и мы должны найти 𝑥. Итак, у нас есть четная степень, четыре, что означает, что у нас будет вся ситуация с двумя возможными ответами: положительными и отрицательными. Но у нас также есть ситуация, когда это отрицательный показатель. Итак, у нас есть отрицательный показатель степени в нижней части дроби. Так что я просто переосмыслю это.
А 𝑥 минус четыре в степени минус четыре в-на знаменателе есть то же самое, что 𝑥 минус четыре в степени четыре в числителе. Этот отрицательный показатель степени означает, что мы должны перевернуть эту часть дроби.
Так что это движение вверх к числителю. Ну, я пытаюсь получить 𝑥 самостоятельно. Так что я должен посмотреть, что я могу сделать с этим десятитысячным сроком здесь. Что ж, операция, обратная умножению на десять тысяч, — это деление на десять тысяч. Вот что я собираюсь сделать с обеими сторонами моего уравнения. Так что у нас это. Мы разделили обе стороны на десять тысяч. А в левой части теперь у меня десять тысяч в числителе, умноженное на что-то, и десять тысяч в знаменателе. Я могу их отменить. Итак, я только что получил 𝑥 минус четыре в степени четыре в левой части.
И это равно единице на десять тысяч, то есть что-то в степени четыре. Таким образом, операция, обратная степени четыре, — это извлечение корня четвертой степени. Итак, мы возьмем четвертый корень из обеих сторон. А корень четвертой степени из 𝑥 минус четыре в степени четыре — это просто 𝑥 минус четыре. Обратные операции, они компенсируют друг друга. А корень четвертой степени из единицы из десяти тысяч я перепишу как корень четвертой степени из единицы из корня четвертой из десяти тысяч.
Таким образом, корень четвертой степени из единицы равен единице, потому что один раз один раз один раз один равно единице. Итак, в числителе всего один, а в знаменателе корень четвертой степени из десяти тысяч — это всего десять, потому что десять раз десять — это сто, десять раз — тысяча, десять раз — десять тысяч. Итак, наше уравнение стало таким: 𝑥 минус четыре равно одному больше десяти.
Но эй эй эй! Я слышу, ты говоришь, держись! Четвертый корень из единицы может быть отрицательным, потому что отрицательный, умноженный на отрицательный, один, умноженный на отрицательный, один, умноженный на отрицательный, тоже равен единице. Так что на самом деле это плюс или минус, и это тоже плюс или минус. Итак, у нас есть 𝑥 минус четыре плюс или минус одна десятая — это положительная или отрицательная одна десятая. Итак, теперь 𝑥 минус четыре равно положительной или отрицательной десятой. И мне нужно добавить четыре к обеим сторонам, чтобы я мог получить 𝑥 сам по себе с левой стороны.
Итак, в левой части весь смысл добавления четырех состоял в том, что я получил отрицательные четыре плюс четыре, что равняется нулю, так что у меня остается только 𝑥. А справа у меня есть два возможных значения. Итак, у меня либо положительный результат десятая плюс четыре, либо отрицательный результат десятая плюс четыре. Так что либо четыре и десятая, либо три и девять десятых, либо четыре целых один, либо три целых девять десятых. И тогда у нас есть два возможных ответа.
Итак, с чем мы имеем дело в последнем вопросе? Ну, у нас была отрицательная экспонента, что означало, что мы должны были перевернуть дробь в первую очередь. И у нас была равная сила, поэтому у нас был такой положительный или отрицательный вопрос, который мы чуть не упустили, когда решали вопрос. Так что вы должны быть очень осторожны с этим.
А это означало, что в итоге у нас было два возможных ответа. У нас также была проблема, когда у нас был четвертый корень из единицы из десяти тысяч, который мы разделили на четвертый корень из одного из четвертого корня из десяти тысяч.
Надеемся, что эти примеры помогут вам решать уравнения с положительными или отрицательными показателями переменных или простых членов.
Как решать отрицательные степени и отрицательные основания? (+ БЕСПЛАТНЫЙ рабочий лист!)
Узнайте, как решать математические задачи, содержащие отрицательные показатели степени и отрицательные основания.
Связанные темы
- Как решить силы продуктов и коэффициентов
- Как умножить экспоненты
- Как разделить экспоненты
- Как решить нулевые и негативные экспоненты
- Как решить научную задачу
- Сделать степень положительной. Отрицательный показатель — это величина, обратная этому числу с положительным показателем.
- }} \\\ \)
Реза
Реза — опытный преподаватель математики и эксперт по подготовке к экзаменам, который обучает студентов с 2008 года.