Р 50.2.028-2003 ГСИ. Алгоритмы построения градуировочных характеристик средств измерений состава веществ и материалов и оценивание их погрешностей (неопределенностей). Оценивание погрешности (неопределенности) линейных градуировочных характеристик при использовании метода наименьших квадратов
Р 50.2.028-2003
|
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО МЕТРОЛОГИИ |
Государственная система обеспечения единства измерений
АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАДУИРОВОЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ СОСТАВА ВЕЩЕСТВ И МАТЕРИАЛОВ И ОЦЕНИВАНИЕ ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ (НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ)
Оценивание погрешности (неопределенности) линейных градуировочных характеристик использовании метода наименьших квадратов
ГОССТАНДАРТ РОССИИ
Москва
Предисловие
1
РАЗРАБОТАНЫ Федеральным государственным унитарным предприятием «Всероссийский
научно-исследовательский институт метрологии им.
Д.И. Менделеева» (ФГУП «ВНИИМ
им. Д.И. Менделеева») Госстандарта России
ВНЕСЕНЫ Управлением метрологии Госстандарта России
2 ПРИНЯТЫ И ВВЕДЕНЫ В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 14 мая 2003 г. № 142-ст
3 ВВЕДЕНЫ ВПЕРВЫЕ
Содержание:
|
1 Область применения 2 Определения и обозначения 3 Построение линейных градуировочных характеристик средств измерений (ГХ СИ) методом наименьших квадратов (МНК) 4 Оценивание характеристик погрешности (неопределенности) построения ГХ СИ* 5 Планирование измерений при построении линейных ГХ СИ 6 Контроль стабильности ГХ СИ ПРИЛОЖЕНИЕ А (рекомендуемое) Пример построения градуировочной характеристики ПРИЛОЖЕНИЕ Б (справочное) Библиография |
|
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО МЕТРОЛОГИИ |
|
Государственная система обеспечения единства измерений АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАДУИРОВОЧНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ СОСТАВА ВЕЩЕСТВ И МАТЕРИАЛОВ И ОЦЕНИВАНИЕ ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ (НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ) Оценивание погрешности (неопределенности) линейных градуировочных характеристик использовании метода наименьших квадратов |
Дата введения 2004-01-01
Настоящие
рекомендации распространяются на методы планирования измерительного
эксперимента и оценивания характеристик погрешности (неопределенности)
построения линейных градуировочных характеристик средств измерений состава
веществ и материалов (ГХ СИ) методом наименьших квадратов (МНК).
2.1 В настоящих рекомендациях применены следующие термины с соответствующими определениями:
градуировочная характеристика средства измерения состава веществ и материалов: Функциональ ная зависимость между входной (х ) и выходной ( y ) величинами, построенная на основе значений градуировочных смесей и результатов измерений соответствующих выходных величин в N точках диапазона измерений (х i , у ij ), где i = 1,…, N ; j = 1,…, n [ 1], [ 2];
оценка стандартной неопределенности по типу А: Оценка на основании результатов многократных измерений [ 1], [ 2 ];
оценка стандартной неопределенности по типу В: Оценка на основании априорной информации [ 1], [ 2 ].
2.2 В настоящих рекомендациях применены следующие обозначения:
S ( y ) — среднее квадратическое отклонение (СКО) однократного измерения выходной величины;
S ( ) — СКО среднего значения выходной величины;
u A ( ) — стандартная неопределенность среднего значения выходной величины, оцененная по типу А;
u B ( ) — стандартная неопределенность среднего значения выходной величины, оцененная по типу В;
u B ( x ) - стандартная неопределенность градуировочной смеси, оцененная по типу В;
S θ ( х ) — СКО неисключенной систематической погрешности градуировочных смесей;
S Σ (х) — СКО погрешности построения ГХ СИ в точке
u Σ ( х ) — суммарная стандартная неопределенность построения ГХ СИ в точке х
U p ( х ) — расширенная неопределенность построения ГХ СИ в точке х ;
cov ( x i , х j ) — ковариация погрешностей i , j градуировочных смесей;
ГХ - градуировочная характеристика;
СИ — средство
измерения.
3.1 Исходными данными для построения ГХ СИ являются результаты измерений ( х i , у ij ), где i = 1,…, N ; j = 1,…, n .
3.2 ГХ СИ задается в виде:
, (1)
где
. (2)3.3 Оценки параметров ГХ СИ вычисляют по формулам:
, (3)
, (4)
. (5)
4.1 Источниками погрешности (неопределенности) построения ГХ СИ являются:
— случайные погрешности измерения выходной величины у ij ,
— систематические погрешности градуировочных смесей х i ,
4.
2
Оценивание СКО (стандартной неопределенности) случайной погрешности измерения
выходной величины
* В ФГУП «ВНИИМ им. Д.И. Менделеева» разработана программа обработки данных и оценивания характеристик погрешности (неопределенности) построения градуировочных характеристик средств измерений в соответствии с настоящими Рекомендациями.
4.2.1 При многократных равноточных измерениях (независимость СКО от точки диапазона) СКО (стандартную неопределенность) выходной величины у вычисляют на основании экспериментальных данных (оценивание по типу А) по формуле:
. (6)
4.2.2 При однократных измерениях СКО (стандартная неопределенность) выходной величины у может быть рассчитана по типу В, используя паспортные данные средства измерения о сходимости показаний, по формуле:
, (7)
где S сход — СКО случайной погрешности средства измерения.
4.3 СКО систематической погрешности (стандартную неопределенность) градуировочных смесей обычно оценивают на основании информации о границах допустимых погрешностей градуировочных смесей (по типу В) по формулам:
(8)
если нормируют абсолютные погрешности [Ө( x )] градуировочных смесей;
(9)
если нормируют относительные погрешности [δ( x )] градуировочных смесей.
4.4 Оценивание корреляции между погрешностями градуировочных смесей
4.4.1 Если градуировочные смеси готовились независимо, то в большинстве случаев можно считать их погрешности независимыми, в этом случае коэффициент корреляции равен нулю и ковариацию оценивают по формуле:
.
4.
4.2 Если
градуировочные смеси готовились разбавлением основной смеси или с
использованием одних и тех же стандартных образцов, то корреляция между
погрешностями их приготовления может достичь 1, что соответствует присутствию
постоянной систематической погрешности градуировочных смесей, в этом случае
ковариацию оценивают по формуле:
.
4.5 Оценивание СКО погрешности (суммарной стандартной неопределенности) построения ГХ СИ
4.5.1 Если корреляция погрешностей градуировочных смесей отсутствует и характеристики абсолютных погрешностей градуировочных смесей остаются постоянными на всем диапазоне изменения входной величины, то СКО погрешности (суммарную стандартную неопределенность) построения ГХ СИ вычисляют по формуле:
, (10)
где θ — границы абсолютных погрешностей градуировочных смесей.
Если корреляция погрешностей градуировочных смесей отсутствует, а характеристики погрешности градуировочных смесей зависят от точки диапазона, то СКО погрешности (суммарную стандартную неопределенность) построения ГХ СИ вычисляют по формуле:
, (11)
где θ ( х )
— границы
абсолютных погрешностей градуировочных смесей в точке х .
4.5.2 Если корреляция погрешностей градуировочных смесей присутствует и характеристики абсолютных погрешностей градуировочных смесей остаются постоянными на всем диапазоне изменения входной величины, то СКО погрешности (суммарную стандартную неопределенность) построения ГХ СИ вычисляют по формуле:
(12)
Если присутствует корреляция погрешностей градуировочных смесей, а характеристики погрешностей градуировочных смесей зависят от точки диапазона, то СКО погрешности (суммарную стандартную неопределенность) построения ГХ СИ вычисляют по формуле:
, (13)
4.6 При вычислении доверительных границ погрешности (расширенной неопределенности) построения ГХ СИ рекомендуется использовать следующие коэффициенты охвата k :
k = 2 — при доверительной вероятности Р = 0,95;
k = 3 — при
доверительной вероятности Р = 0,99.
Доверительные границы (расширенную неопределенность) вычисляют по формуле:
. (14)
5.1 Планирование измерений направлено на оптимизацию затрат при проведении измерений для достижения
требуемой точности построения ГХ СИ и проводится на этапе разработки методик
выполнения измерений. Планирование измерений
заключается в выборе числа параллельных
измерений в точке n , числа градуировочных точек N , а также установлении требований к
точности градуировочных смесей, исходя из требуемой точности построения
градуировочной характеристики. Ниже приводится одно из возможных простых
решений задачи планирования измерений. После выбора числа параллельных измерений
в точке n , числа градуировочных точек ( N ),
а также точности градуировочных смесей оценивание характеристик погрешности
(неопределенности) ГХ СИ следует проводить в соответствии с разделом
4.
5.2 Число измерений n в точке рационально выбирать из условия незначительного (не более 20 %) роста суммарной погрешности по сравнению с систематической составляющей по формуле:
. (15)
5.3 Если погрешности градуировочных смесей не коррелированы, то требуемая точность построения ГХ СИ может быть достигнута за счет увеличения числа градуировочных смесей и уменьшения их погрешностей в соответствии с формулой:
, (16)
где u Σ доп — допустимая суммарная стандартная неопределенность построения ГХ СИ (СКО допустимой погрешности).
5.4 Если погрешности градуировочных смесей коррелированы, то при построении линейных ГХ СИ рекомендуется использовать две градуировочные смеси. При этом должны быть обеспечены следующие погрешности градуировочных смесей, исходя из требований к точности построения ГХ СИ:
(17)
6.
1 Обычно
процедура контроля стабильности ГХ СИ состоит в сравнении измеренного значения
выходного сигнала в градуировочных точках с его оценкой по ГХ СИ (данный
результат измерения не используется при построении ГХ СИ). Для линейной ГХ СИ
число точек контроля должно быть не менее двух.
6.2 Если погрешности градуировочных смесей не коррелированы, то проверяют следующие условия в соответствии с формулами:
при N ≥ 5; (18)
при N ≤ 4, (19)
где yi — измеренное значение выходного сигнала в точке х i ,
— оценка выходного сигнала по ГХ СИ в точке х i .
6.3 Если погрешности градуировочных смесей коррелированы, то проверяют следующие условия в соответствии с формулами:
при N ≥ 5; (20)
при N ≤ 4, (21)
А.
1
Исходные данные
Градуировочная характеристика хроматографа строится по стандартным образцам водных растворов этанола массовой концентрации х i (N = 7). Границы относительной погрешности массовой концентрации этанола не превышают 0,5 %. Выполняют по 5 параллельных измерений в каждой точке ( n = 5). Данные для построения градуировочной характеристики приведены в таблице А.1.
Таблица А.1
|
Обозначение параметра |
Значения массовой концентрации (входная величина) |
||||||
|
xi , мг/мл |
0,49 |
0,97 |
2,00 |
2,96 |
4,05 |
5,07 |
6,05 |
|
Результаты измерения |
|||||||
|
yij |
227451 |
439935 |
942200 |
1404433 |
1821194 |
2277460 |
2824679 |
|
221585 |
454170 |
935664 |
1391932 |
1825116 |
2240900 |
2825947 |
|
|
232387 |
444558 |
929875 |
1409124 |
1874371 |
2275484 |
2834183 |
|
|
223216 |
453812 |
933705 |
1385680 |
1834334 |
2319111 |
2816202 |
|
|
233628 |
457800 |
937104 |
1375168 |
1802673 |
2180685 |
2853467 |
|
|
Средние значения выходного сигнала в i-й точке |
|||||||
|
|
227653 |
450055 |
935710 |
1393267 |
1831538 |
2258728 |
2830896 |
|
СКО единичного измерения выходного сигнала в i-й точке |
|||||||
|
Si |
5353,965 |
7477,712 |
4531,355 |
13811,61 |
26208,11 |
51687,29 |
14136,05 |
А.
2
Вычисление коэффициентов градуировочной характеристики
Градуировочная характеристика представлена в виде:
; (А.1)
. (А.2)
Оценки градуировочных коэффициентов вычисляют по формулам:
, (А.3)
, (А.4)
. (А.5)
А.3 Оценивание погрешности (неопределенности) построения градуировочной зависимости
Оценку СКО (стандартную неопределенность по типу А) выходного сигнала в предположении равноточности измерений получают по формуле:
, (А.
6)
где
Оценку СКО систематической погрешности (стандартной неопределенности по типу В) градуировочной смеси, которое в данном случае зависит от значения градуировочной смеси, вычисляют по формуле:
, (А.7)
где δ(х) = 0,5 % — границы относительной погрешности массовой концентрации этанола. Оценку СКО суммарной погрешности (суммарной стандартной неопределенности) построения градуировочной характеристики вычисляют по формуле:
, (А.8)
где ;
Доверительные границы погрешности (расширенную неопределенность) построении градуиро вочной характеристики вычисляют по формуле:
. (А.9)
[1] МИ 2175-91 Государственная
система обеспечения единства измерений. Градуировочные характеристики средств
измерений.
Методы построения, оценивание погрешностей
[2] РМГ 43-2001 Государственная система обеспечения единства измерений. Применение «Руководства по выражению неопределенности измерений»
|
Ключевые слова: средство измерений состава веществ, линейная градуировочная характеристика, построение градуировочной характеристики, метод наименьших квадратов, погрешность, неопределенность, оценивание погрешности (неопределенности), среднее квадратическое отклонение. |
Определение погрешности измерений — презентация онлайн
Погрешности измерений.
Определение погрешности измерений.
Классификация погрешностей.
Случайные погрешности.
Систематические погрешности.
Методы исключения систематических погрешностей.
Грубые погрешности и методы их исключения.
Погрешности косвенных измерений.
Случайная погрешность возникает при одновременном воздействии многих
источников, каждый из которых сам по себе оказывает незаметное влияние на
результат измерения, но суммарное воздействие всех источников может
оказаться достаточно сильным.
Случайная ошибка может принимать различные по абсолютной величине
значения, предсказать которые для данного акта измерения невозможно. Эта
ошибка в равной степени может быть как положительной, так и
отрицательной. Случайные ошибки всегда присутствуют в эксперименте. При
отсутствии систематических ошибок они служат причиной разброса
повторных измерений относительно истинного значения (рис.1).
Если, кроме того, имеется и систематическая ошибка, то результаты
измерений будут разбросаны относительно не истинного, а смещенного
значения (рис.2).
Рис. 1
Рис. 2
Определение погрешности
В зависимости от характеристик измеряемой величины для определения
погрешности измерений используют различные методы.
•Метод Корнфельда, заключается в выборе доверительного интервала в
пределах от минимального до максимального результата измерений, и
погрешность как половина разности между максимальным и минимальным
результатом измерения:
•Средняя квадратическая погрешность:
•Средняя квадратическая погрешность среднего арифметического:
Наиболее часто встречающиеся на практике ошибки распределены по
нормальному закону:
Если случайная ошибка распределена по нормальному закону, то для ответа
на этот вопрос необходимо вычислить интеграл
Расчёты показывают (рис.
3),
что в 68,27 % отклонения случайной величины, распределённой по
нормальному закону, не превышают σ,
в 95,45 % – 2σ.
Наконец, вероятность того, что случайная величина, распределённая
нормально, отклоняется от математического ожидания больше, чем на 3σ,
пренебрежимо мала и составляет 0,27 % – правило трёх сигм.
Рисунок 3. Правило трёх сигм
•Погрешность прямых измерений — вычисляются по формуле
где : t = Sxαs ; Sx — Средняя квадратическая погрешность среднего
арифметического, а αs — коэффициент Стьюдента, а А — число,
численно равное половине цены деления измерительного прибора.
•Погрешность косвенных воспроизводимых измерений — погрешность
вычисляемой (не измеряемой непосредственно) величины:
Если F = F(x1,x2…xn), где xi — непосредственно измеряемые независимые
величины, имеющие погрешность Δxi, тогда:
•Погрешность косвенных невоспроизводимых измерений — вычисляется
по принципу прямой погрешности, но вместо xi ставится значение
полученное в процессе расчётов.
Приборные погрешности определяются двумя факторами:
1. классом точности прибора, связанным с его устройством – элементной
базой и принципом действия.
Абсолютная погрешность через класс точности оценивается следующим
образом: (Dx) к.т.= (g/100)Х,
где g — класс точности в %, указанный на панели прибора,
Х = Хmax – предел измерения для стрелочных приборов,
либо Х есть текущее значение для магазинов сопротивления, индуктивности,
емкости;
2. ценой делений шкалы прибора:
(Dx) ц.д. =
h,
где h – цена деления шкалы прибора, т.е. расстояние между ближайшими
штрихами шкалы, выраженное в соответствующих единицах измерения.
Простейший способ определения (Dх)р дает метод Корнфельда, который
предписывает следующий образ действий, если физическая величина х измерена n
раз:
1) имея х1 , …,хn – значений измеряемой величины х, выбираем
из
хmax и хmin и находим среднее значение х:
2) находим абсолютную погрешность Dxр =
3) Записываем результат в виде:
с
,
где a – доверительная вероятность того, что истинное значение измеренной величины
находится на отрезке
.
Доверительная вероятность определяет собой долю средних значений х, полученных
в аналогичных сериях измерений, попадающих в доверительный интервал.
Недостатком метода Корнфельда является то обстоятельство, что вероятность
приводимого результата определяется исключительно количеством n проведенных
измерений и не может быть изменена посредством увеличения
или уменьшения доверительного интервала ± Dх.
метод расчета погрешностей Стьюдента.
Последовательность расчета погрешностей этим методом такова:
1) Вы измерили и получили несколько (i = 1,…,m) значений случайной
величины х i.
Сначала исключаем промахи, то есть заведомо неверные результаты.
2) По оставшимся n значениям определяем среднее значение величины
3) Определяем среднеквадратичную погрешность среднего значения
:
:
4) Задаемся доверительной вероятностью a.
По таблице коэффициентов Стьюдента (квантили или процентили
распределения Стьюдента) определяем по известному значению числа
измерений n и доверительной вероятности a коэффициент Стьюдента tan.
5) Определяем погрешность среднего значения
величины
(доверительный интервал)
D
= tan s<X>
6) Записываем результат
=(
±D
) с указанием доверительной вероятности a.
Чтобы получить значение tα,k, необходимо найти строку, соответствующую нужному k,
числу степеней свободы, расчитываемому по формуле k = n − 1, и колонку,
соответствующую нужному α. Искомое число находится в таблице на их пересечении.
Квантили tα,n
twotailed
test
1-0.9/2
1-0.8/2
1-0.7/2
1-0.6/2
1-0.5/2
1-0.4/2
1-0.3/2
1-0.2/2
1-0.1/2
10.05/2
10.02/2
onetailed
test
1-0.9
1-0.8
1-0.7
1-0.6
1-0.5
1-0.4
1-0.3
1-0.2
1-0.1
1-0.05
1-0.02
1
0.1584
0.3249
0.5095
0.7265
1.0000
1.3764
1.9626
3.0777
6.3138
12.706
2
31.820
5
2
0.1421
0.2887
0.4447
0.6172
0.8165
1.0607
1.3862
1.8856
2.9200
4.
3027
6.9646
3
0.1366
0.2767
0.4242
0.5844
0.7649
0.9785
1.2498
1.6377
2.3534
3.1824
4.5407
4
0.1338
0.2707
0.4142
0.5686
0.7407
0.9410
1.1896
1.5332
2.1318
2.7764
3.7469
5
0.1322
0.2672
0.4082
0.5594
0.7267
0.9195
1.1558
1.4759
2.0150
2.5706
3.3649
Пример
t0.2,4 = 0.2707;
t0.8,4 = − t0.2,4 = − 0.2707.
В
научных
статьях
обычно
приводят
доверительный
соответствующий доверительной вероятности α =0,7 (0,68).
интервал
Такой интервал называется стандартным, при его использовании часто значение
доверительной погрешности не приводят.
Использование метода Стьюдента является необходимым, когда требуется знать
значение физических параметров с заданной доверительной вероятностью (как в
ряде лабораторных работ).
На практике доверительная вероятность погрешности разброса выбирается в
соответствии с доверительной вероятностью, соответствующей классу точности
измерительного прибора.
Для большинства исследований, в которых не выдвигается жестких требований к
вероятности полученных результатов, метод Корнфельда является вполне
приемлемым.
Принцип неопределённости Гейзенбе́рга (или Га́йзенберга) в квантовой
механике
—
фундаментальное
неравенство
(соотношение
неопределённостей), устанавливающее предел точности одновременного
определения пары характеризующих квантовую систему физических
наблюдаемых величин, описываемых некоммутирующими операторами
(например, координаты и импульса, тока и напряжения, электрического и
магнитного поля).
Соотношение неопределенностей задаёт нижний предел для произведения
среднеквадратичных отклонений пары квантовых наблюдаемых.
Принцип неопределённости, открытый Вернером Гейзенбергом в 1927 г.,
является одним из краеугольных камней квантовой механики.
В повседневной жизни мы обычно не наблюдаем квантовую
неопределённость потому, что значение
чрезвычайно мало, и поэтому
соотношения неопределенностей накладывают такие слабые ограничения
на погрешности измерения, которые заведомо незаметны на фоне
реальных практических погрешностей наших приборов или органов
чувств.
Погрешность измерения и принцип неопределенности Гейзенберга
Принцип неопределенности Гейзенберга устанавливает предел точности
одновременного определения пары наблюдаемых физических величин,
характеризующих квантовую систему, описываемых некоммутирующими
операторами (например, координаты и импульса, тока и напряжения,
электрического и магнитного поля). Таким образом, в квантовой механике
постулируется
принципиальная
невозможность
одновременного
определения с абсолютной точностью некоторых физических величин. Этот
факт накладывает серьезные ограничения на применимость понятия
«истинное значение физической величины».
Соотношения неопределённостей не ограничивают точность однократного
измерения любой величины (для многомерных величин тут
подразумевается в общем случае только одна компонента). Если её оператор
коммутирует сам с собой в разные моменты времени, то не ограничена
точность и многократного (или непрерывного) измерения одной величины.
Например, соотношение неопределённостей для свободной частицы не
препятствует точному измерению её импульса, но не позволяет точно
измерить её координату (это ограничение называется стандартный
квантовый предел для координаты).
Если имеется несколько идентичных копий системы в данном состоянии, то
измеренные значения координаты и импульса будут подчиняться
определённому распределению вероятности — это фундаментальный
постулат квантовой механики. Измеряя величину среднеквадратического
отклонения Δx координаты и среднеквадратического отклонения Δp
импульса, мы найдем что:
,
где — приведённая постоянная Планка.
В некоторых случаях «неопределённость» переменной определяется как
наименьшая ширина диапазона, который содержит 50 % значений, что, в
случае нормального распределения переменных, приводит для
произведения неопределённостей к большей нижней границе .
Отметим, что это неравенство даёт несколько возможностей — состояние
может быть таким, что x может быть измерен с высокой точностью, но тогда
p будет известен только приблизительно, или наоборот p может быть
определён точно, в то время как x — нет.
Во всех же других состояниях, и x
и p могут быть измерены с «разумной» (но не произвольно высокой)
точностью.
•самое известное отношение неопределённости — между координатой и
импульсом частицы в пространстве:
•отношение неопределённости между двумя ортогональными компонентами
оператора полного углового момента частицы:
где i, j, k различны и Ji обозначает угловой момент вдоль оси xi.
•следующее отношение неопределённости между энергией и временем часто
представляется в учебниках физики, хотя его интерпретация требует
осторожности, так как не существует оператора, представляющего время:
Правила построения графиков физических величин
1.Оформление осей, масштаб, размерность.
Результаты измерений и вычислений удобно представлять в графическом
виде.
Графики строятся на миллиметровой бумаге; размеры графика не должны
быть меньше 150×150 мм (половина страницы лабораторного журнала).
На лист прежде всего наносятся координатные оси (результаты прямых
измерений, как правило, откладываются на оси абсцисс).
На концах осей наносятся обозначения физических величин и их единицы
измерения.
Затем на оси наносятся масштабные деления так, чтобы расстояние
между делениями составляли 1, 2, 5 единиц или 1; 2; 5·10± n, где n – целое
число.
Точка пересечения осей не обязательно должна соответствовать нулю по
одной или более осям.
Начало отсчета по осям и масштаб следует выбирать так, чтобы:
1) кривая (прямая) заняла все поле графика;
2) углы между касательными к кривой и осями должны быть близки к 45º
(или 135º) по возможности в большей части графика.
2. Графическое представление физических величин. После выбора и
нанесения на оси масштабов на лист наносятся значения физических
величин. Их
обозначают маленькими кружочками,
треугольниками,
квадратами, причем числовые значения, соответствующие нанесенным
точкам, не сносятся на оси. Затем от каждой точки вверх и вниз, вправо и
влево откладываются в виде отрезков соответствующие погрешности в
масштабе графика.
2.1. После нанесения точек строиться график, т.е. проводится предсказанная
теорией плавная кривая или прямая так, чтобы она пересекала все области
погрешностей или, если это не возможно, суммы отклонений
экспериментальных точек снизу и сверху кривой должны быть близки. В
правом или в левом верхнем углу (иногда посередине) пишется название той
зависимости, которая изображается графиком.
2.2. Исключение составляют градуировочные графики, на которых точки,
нанесенные без погрешностей, соединяются последовательными отрезками
прямых, а точность градуировки указывается в правом верхнем углу, под
названием графика. Однако, если в процессе градуировки прибора
абсолютная погрешность измерений изменялась, то на градуировочном
графике наносятся погрешности каждой измеренной точки. (Такая ситуация
реализуется при градуировке шкалы «амплитуда» и «частота» генератора ГСК
при помощи осциллографа). Градуировочные графики служат для отыскания
промежуточных значений линейных интерполяций.
3. Линейные аппроксимации.
В экспериментах часто требуется построить график зависимости полученной
в работе физической величины Y от полученной физической величины х,
аппроксимируя Y(x) линейной функцией
, где k, b –
постоянные.
Графиком такой зависимости является прямая, а угловой коэффициент k,
часто сам является основной целью эксперимента.
Естественно, что k в этом случае представляет собой также физический
параметр, который должен быть определен с присущей данному
эксперименту точностью.
Одним из методов решения данной задачи является метод парных точек.
Однако следует иметь в виду, что метод парных точек применим при наличии
большого числа точек n ~ 10, кроме того, он является достаточно
трудоемким.
Более простым и при его аккуратном исполнении, не уступающим в
точности методу парных точек, является следующий графический метод
определения
:
1) По экспериментальным точкам, нанесенным с погрешностями, проводится прямая с
использованием метода наименьших квадратов (МНК).
Основополагающей
идеей аппроксимации по МНК является минимизация суммарного
среднеквадратичного отклонения экспериментальных точек от искомой прямой
.
При этом коэффициенты
определяются из условий минимизации:
Здесь
— экспериментально измеренные значения, n – число
экспериментальных точек.
В результате решения данной системы имеем выражения для расчета
коэффициентов
по экспериментально измеренным значениям:
2) После вычисления коэффициентов проводится искомая прямая.
Затем выбирается экспериментальная точка, имеющая наибольшее, с учетом ее
погрешности, отклонение от графика в вертикальном направлении DYmax как
указано на рис 4. Тогда относительная погрешность Dk/k, обусловленная неточностью
значений Y, равна:
где
измерительный интервал значений Y от max до min.
При этом в обеих частях равенства стоят безразмерные величины, поэтому DYmax
и
можно одновременно вычислять в мм по графику или одновременно
брать с учетом размерности Y
Рис.
4.
3) Аналогично вычисляется относительная погрешность
погрешностью при определении х.
, обусловленная
.
4)
Если одна из погрешностей,
например,
, или величина х имеет очень малые погрешности
Dх, незаметные на графике, то можно считать
dk= dky.
5) Абсолютная погрешность Dk=dk*k. В результате
.
Линия регрессии методом наименьших квадратов | Academo.org
Интерактивная демонстрация подгонки прямой линии к точечной диаграмме с использованием метода наименьших квадратов.
Математика Статистика регрессия
Если у вас есть набор данных, состоящий из значений x и y, вам часто потребуется определить, существует ли связь между двумя переменными.
Нанесение данных на точечную диаграмму может дать вам представление о том, как связаны x и y. Если вы можете провести на графике прямую линию, которая проходит через (или хотя бы близко)
большинство точек данных, то x и y имеют линейную зависимость.
Самый простой способ нарисовать линейную линию тренда — сделать это на глаз, но это не самый точный способ. Вместо этого мы используем подход, называемый линейной регрессией . Это включает в себя создание математической формулы, которая точно говорит нам, насколько хорошо линия тренда соответствует данным. Как и все прямые линии, линия тренда будет иметь формулу
\[ у = тх + с \]
Где \(m\) — градиент, а \(c\) — точка пересечения с осью y. Если мы пометим наши точки данных числом, например \( (x_1, y_1), (x_2, y_2) … (x_n, y_n) \). В каждой из этих точек мы можем рассчитать, насколько далеко значение линии тренда от фактического значения, и мы называем это значение 92 \]
Мы делаем это для всех наших точек данных, складывая все результаты вместе, и это дает нам квадрат ошибки линии. Лучшая линия тренда — это прямая линия с наименьшей квадратичной ошибкой. Вместо того, чтобы пробовать множество различных линий тренда методом проб и ошибок, мы можем использовать метод дифференцирования, чтобы найти значения \(m\) и \(c\), которые минимизируют квадрат ошибки, и это приводит к градиенту
\[ m = \ frac{\ bar {x} \ bar {y} — \ bar {xy}} {(\ bar {x}) ^ 2 — \ bar {x ^ 2}} \]
92\) будет близок к 0.
Включите JavaScript для просмотра комментариев с помощью Disqus.
регрессия — рекурсивный (онлайн) регуляризованный алгоритм наименьших квадратов
спросил
Изменено 4 года, 5 месяцев назад
Просмотрено 8к раз 9Т\шляпа\бета$.
В онлайн-режиме я постоянно рисую новые точки данных. Как я могу обновить $\hat\beta$, когда я рисую новые дополнительные образцы данных, не выполняя полный пересчет всего набора данных (исходный + новый)?
- регрессия
- машинное обучение
- метод наименьших квадратов
- регуляризация
- онлайн-алгоритмы
$\endgroup$
1
$\begingroup$
9{2}$ не будет.
$\endgroup$
4
$\begingroup$
Возможно, здесь сработает что-то вроде стохастического градиентного спуска. Вычислите $\hat{\beta}$, используя приведенное выше уравнение для исходного набора данных, это будет ваша начальная оценка. Для каждой новой точки данных вы можете выполнить один шаг градиентного спуска, чтобы обновить оценку параметра.
$\endgroup$ 9{-1}b_t.$$
Обратите внимание, что это также помогает при интерпретации того, что $\lambda$ остается постоянным при добавлении наблюдений!
С помощью этой процедуры https://github.com/joshday/OnlineStats.jl вычисляет онлайн-оценки линейной/гребенчатой регрессии.
$\endgroup$
$\begingroup$
В линейной регрессии одной из возможностей является непосредственное обновление QR-разложения $X$, как описано здесь.