Модуль вектора длина вектора: Длина вектора, Модуль вектора — Онлайн Калькулятор

§1. Определение вектора. Операции над векторами — ЗФТШ, МФТИ

1. Основные определения

Удивительно, но с векторными величинами разной природы (перемещением, скоростью, силой, импульсом и др.) можно работать в значительной мере единообразно — как с геометрическими объектами — геометрическими векторами, или просто векторами, хотя есть и нюансы (см. ниже).

Стрелка компаса — не вектор, т. к. для неё нет таких операций.

Мы будем рассматривать векторы на плоскости и в соответствии со сложившейся традицией обозначать их латинскими буквами со стрелками наверху, например: `vec v`, `vec F`, `vec a`, `vec b` и т. п. Часто в целях экономии используют упрощённое обозначение — букву с чертой, например, `bar v` или `bar F`.

Одну из граничных точек вектора называют его началом, а другую — концом. Направление вектора задаётся от начала к концу, причём на чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка `A` является нача­лом вектора `vec a`, то мы будем говорить, что вектор `vec a` приложен в точке `A` (рис. 2).

Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху, например: модулем вектора `vec v` является число `v`. Часто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абсолютной величины и пишут, например, `|vec v|` или `|vec F|`.

Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и его длина (модуль) равна нулю.

Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рис. 3 векторы `vec a`, `vec b` и `vec c` коллинеарны. 

На рис. 4 слева изображены неравные векторы `vec a` и `vec f`, `vec g` и `vec h`, а справа — равные векторы `vec p` и `vec q`. Точка приложения геометрического вектора `vec a` может быть выбрана произвольно. Мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены с точностью до точки приложения).

В физике точка приложения вектора иногда имеет  принципиальное значение. Достаточно вспомнить рычаг: две равные по модулю силы, направленные в одну и ту же сторону, производят на рычаг разное действие, если плечи сил не равны друг другу. И всё же сами силы равны друг другу! Бывают и случаи, когда вектору трудно приписать конкретную точку приложения. Например, если одна система отсчёта движется  относительно другой со скоростью `vec v`, то какой точке  приписать эту скорость?  Всем точкам движущейся системы!

2. Сложение двух векторов.

Пусть даны два произвольных вектора `vec a` и `vec b` (рис. 5а). 

Для нахождения их суммы нужно перенести вектор `vec b` параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора `vec a`. Тогда вектор, проведённый из начала вектора `vec a` в конец перенесённого вектора `vec b`, и будет являться суммой `vec a` и `vec b`. На рис. 5б — это вектор `vec c`.

Описанное правило есть просто определение суммы векторов. Как и в случае с числами, сумма векторов не зависит от порядка слагаемых, и поэтому можно записать

Приведённое выше правило геометрического сложения векторов называется правилом треугольника.

Сумма векторов может быть найдена и по правилу параллелограмма. В этом случае параллельным переносом нужно совместить начала векторов `vec a` и `vec b` и построить на них, как на сторонах,  параллелограмм. Тогда сумма `vec a` и `vec b` будет представлять собой диагональ этого параллелограмма, конкретно — суммой `vec a` и `vec b` будет вектор, начало которого совпадает с общим началом векторов `vec a` и `vec b` конец расположен в противоположной вершине параллелограмма, а длина равна длине указанной диагонали (рис. 5в).

Оба способа сложения дают идентичный результат и одинаково часто применяются на практике. Когда речь идёт о нахождении суммы трёх и более векторов, часто последовательно используют  правило  треугольника. Поясним сказанное.

3. Сложение трёх и более векторов. 

Пусть нужно сложить три вектора `vec a`, `vec b` и `vec d` (рис. 6). 

Для этого  по правилу треугольника сначала находится сумма любых двух векторов, например `vec a` и `vec b`, потом полученный вектор `vec c = vec a + vec b` по тому же правилу складывается с третьим  вектором  `vec d`. Тогда  полученный  вектор `vec f = vec c + vec d` и  будет представлять собой сумму  трёх  векторов `vec a`, `vec b` и `vec d`: `vec f = vec a + vec b + vec d`. Как и в случае с двумя векторами, порядок слагаемых не влияет на конечный результат.

Чтобы упростить процесс сложения трёх и более векторов, обычно не находят промежуточные суммы типа `vec c = vec a + vec b`, а применяют правило многоугольника: параллельными переносами из конца первого вектора откладывают второй, из конца второго — откладывают третий, из конца третьего  — четвёртый  и  т.   д. 

Так,  на рис. 7 вектор  `vec g`  представляет собой сумму векторов `vec a`, `vec b`, `vec d`, `vec e`,  найденную по правилу многоугольника: `vec g = vec a + vec b + vec d + vec e`.

В последнем равенстве мы встречаемся с умножением вектора на скаляр. Поясним эту процедуру.

4. Умножение вектора на скаляр. 

Произведением вектора `vec a` на число `k` называют новый вектор `vec b = k vec a`, коллинеарный вектору `vec a`, направленный в ту же сторону, что и вектор `vec a`, если `k > 0`, и в противоположную сторону, если `k < 0`, а модуль `b` равен

где `|k|` — абсолютная величина числа `k`. 

Если два вектора коллинеарны, то они отличаются только скалярным множителем. Наоборот, если два вектора отличаются только ска­лярным множителем, не равным  нулю, то они коллинеарны.      

В случае, когда `k = 0` или `vec a = 0`, произведение `k vec a` представляет собой нулевой  вектор,  направление которого не определено.

Если `k = 1`, то согласно (2) `vec b = vec a` и векторы `vec a` и `vec b` равны (рис. 8а).

При `k = — 1` получим `vec b = — vec a`. Вектор `- vec a` имеет модуль, равный модулю вектора `vec a`, но направлен в противоположную сторону (рис. 8б).

Импульс тела `vec p = m vec v` коллинеарен вектору скорости и направлен с ней в одну сторону, т. к. массы всех тел положительны. Чуть ранее говорилось об аддитивности импульса. Если система состоит из материальных точек с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `…`, которые в некоторый момент времени имели скорости `vec(v_1)`, `vec(v_2)`, `vec(v_3)`, `…`, т. е. имели импульсы `vec(p_1) = m_1 vec(v_1)`, `vec(p_2) = m_2 vec(v_2)`, `vec(p_3) = m_3 vec(v_3)`, `…`, то вся система в этот момент обладает импульсом  

При этом каждое из слагаемых здесь должно быть найдено по правилу умножения вектора (скорости данной частицы) на скаляр (её массу), а затем все эти векторы должны быть сложены, например, по правилу многоугольника.

Вычесть из вектора `vec a` вектор `vec b` означает прибавить к вектору `vec a` вектор   `- vec b`:

Programmaот_1kurs_docx

Программа по линейной алгебре 1 курс 1 семестр

Векторы и действия над ними

Понятие вектора, его проекции и координаты. :вектором называют направленный отрезок.в фиксированной системе координат каждый вектор А однозначно определен своими коордтнатами А=(а1,а2,а3) вектор характеризцется числовой величиной и направлением. Проекция вектора на ось – это вектор, началом и концом которого являются соответственно проекции начала и конца заданного вектора.

Длина вектора. Длиной (модулем) вектора называется неотрицательное число, равное расстоянию между его началом и концом, то есть длина вектора — это длина отрезка . Длина обозначается/АВ/.Длина нулевого вектора0 равна нулю. Длина единичного вектора равна единице.

формула для нахождения длины вектора по его координатам на плоскости имеет вид . если на плоскости заданы точки и , то вектор имеет координаты и его длина вычисляется по формуле

Ноль-вектор.вектор 0=(0,0,0)Направление ноль-вектора не имеет смысла,

Единичный вектор и его координаты. Е по ит-единичные вектор-все компоненты равны нулю,кроме одного на месте i.

Операции над векторами и их свойства (сложение векторов и умножение вектора на число). 1)сложение вектора а+в=с

2)разность направлена в сторону меньшего а-с=d

3)умножение вектора на число его направление то же,длина увеличивается в «с»раз.

Св-ва:1) Свойство коммутативности а+в=в+а

2)с(а+в)=са+св

3) Для любого ненулевого вектора а существует противоположный вектор и верно равенство

Понятие линейной комбинации векторов и ее свойства.(тут вставить буковки из лекции) Выражение вида____________________где_____________вектора,_______________некоторые действительные числаназывается линейной комбинацией векторов.

Система векторов(а1.А2,А3.)называется линейно независимой,если существует множество чисел________из которых хотя бы одно отлично от нуля.___.

__________________________________________________говорят,что вектор в представлен в виде линейной комбинации других векторов.

Система векторов линейно независима,если соотношение а1 выполняется только при нулевых альфа.

Понятие базиса векторов и координат вектора в базисе.совокупность линейно независимых векторов образует базис.виды базисов:афинный(вектора произвольны),ортогональный(вектора перпендикулярны),ортонормированный(перпендикульрны и длина каждого равна1)

Системы координат это совокупность точки и базиса(произвольная,декартова)

Коэффициенты называются координатами вектора с в базисе

Разложение вектора по базису

.

Это в тетрадке прям теорема с доказательством теорема!!!!!!

Линейная зависимость и независимость векторов; связь между ними и свойства.

(тут тоже самое что и в понятии линейных комбинаций векторов и его св-ва)

Понятие ортонормированного базиса.

Система векторов А1,А2.а3……Аn называется ортонормированной если она ортогональна и длина каждого вектора системы равна единице

Понятие n-мерного Евклидова пространства.

совокупность всех n-мерных векторов,рассматривая с определенными в ней операциями сложения векторов и умножения вектора на число,называется n-мерным координатным пространством. мерное евклидово пространство обозначается также часто используется обозначение

Норма вектора в Евклидовом пространстве. длина вектора является нормой на евклидовом векторном пространстве, а функция задаёт на евклидовом пространстве структуру метрического пространства (эта функция называется евклидовой метрикой). В частности, расстояние между элементами (точками)х и у и координатного пространства задаётся формулой

Понятие системы координат.это не нашла!!!!!!

Виды систем координат. Положение любой точки P в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат. Числа, определяющие положение точки, называются координатами этой точки.

координатные системы — декартовы прямоугольные точки P на плоскости называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых — осей координат или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси

Кроме прямоугольных систем координат существуют косоугольные системы.

Прямоугольные и косоугольные координатные системы объединяются под названием декартовых систем координат.

на плоскости применяют полярные системы координат, а в пространстве — цилиндрические или сферические системы координат. Обобщением всех перечисленных систем координат являются криволинейные системы

Ориентирование тройки векторов. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если, глядя с конца третьего вектора на плоскость первых двух, мы видим поворот от первого вектора ко второму пократчайшему пути происходящим против часовой стрелки. В противном случае тройка называется левой. ————это левая

Свойства ориентированной тройки векторов.

1. { – правая}следовательно { – левая}.

2. { – правая}следовательно { – левая}.

3. { – правая}следовательно { – правая}.

Понятие радиус-вектора. Ра́диус-ве́ктор (обычно обозначается r — вектор, задающий положения точки в пространстве (например, гильбертовом или векторном) относительно некоторой заранее фиксированной точки , называемой началом координат.

Для произвольной точки в пространстве, радиус-вектор — это вектор, идущий из начала координат в эту точку.

Длина радиус-вектора, или его модуль, определяет расстояние, на котором точка находиnся от начала координат, а стрелка указывает направление на эту точку пространства.

На плоскости углом радиус-вектора называется угол, на который радиус-вектор повёрнут относительно оси абсцисс в направлении против часовой стрелки.

Выражение координат произвольного вектора через компоненты радиус-векторов.

!!!!!!!!!!!!!!!не нашла

Направляющие косинусы вектора и их свойства. Направляющие косинусы вектора a – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Чтобы найти направляющие косинусы вектора a необходимо соответствующие координаты вектора поделить на модуль вектора._св-во: cos2 α + cos2 β = 1

Длина отрезка. Рассчитаем длину отрезка А, для этого найдем квадратный корень:

A = √(X²+Y²) = √ ((X2-X1)²+(Y2-Y1)²).

Скалярное произведение векторов и его свойства. Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Св-ва:1) Операция скалярного умножения коммуникативна:

a · b = b · a

2) Операция скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

3) Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

a · a = |a|2

4) Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b

Выражение скалярного произведения векторов через их координаты. Пусть заданы два вектора скалярно умножим: т.

b;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и b как на сторонах (см. рис. 17), т. е.

3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.

4/ его длина равна произведению длин векторов и на синус угла между ними

Св-ва: антикоммутативность

свойство дистрибутивности

сочетательное свойство или

Выражение вектора векторного произведения векторов через координаты. В прямоугольной системе координат трехмерного пространства векторное произведение двух векторов и есть вектор , где — координатные векторы.

Векторное произведение удобно представлять в виде определителя квадратной матрицы третьего порядка, первая строка которой есть орты , во второй строке находятся координаты вектора а в третьей – координаты вектора в заданной прямоугольной системе координат: если разложить,то получим_

Геометрический смысл модуля векторного произведения векторов. длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма со сторонами и и углом между ними, равным .

Смешанное произведение векторов и его свойства. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторноскалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение представляет собой некоторое число.

Св-ва: 1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т. е. (а х b )•с=(b х с)•а=(с х а)•b .2) Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков вкторного и скалярного умножения, т. е. (ахb )•с=а*(bx с).3) Смешанное произведение ненулевых векторов а, b и с равно нулю огда и только тогда, когда они компланарны

Геометрическое истолкование смешанного произведения векторов.

геометрический смысл выражения (ахb )*с. Построим параллелепипед, ребрами которого являются векторы а, b , с и вектор d =ахb смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Какова величина векторной формулы?

Вектор имеет направление и величину. Величина вектора — это длина вектора. Он суммирует числовое значение вектора. Величина любого вектора всегда положительна. Скорость, перемещение, импульс, сила и т. д. относятся к векторам. Он суммирует отдельные измерения вектора по осям x, y и z, если он трехмерный.

Приведенный выше рисунок представляет собой графическое представление, показывающее разницу между скалярной величиной и векторной величиной.

Величина вектора Формула

Существуют различные способы вычисления величины вектора. Основываясь на данных, используйте другую формулу, чтобы найти величину вектора. Ниже приведены способы расчета величины. Величина вектора A представляется с помощью оператора модуля, т. е. |A|

  • Если задан вектор À = xi+ yĵ + zk, то величину вектора À можно рассчитать по приведенной ниже формуле

Величина вектора À (|A|) =

  • Если заданы начальная и конечная точки вектора, то есть (x 1 , y 1 ) и (x 2 , y

    2 2 ) соответственно, как указано на рисунке ниже

Вектор с начальной и конечной точками

Величина вектора, когда заданные начальная и конечная точки вектора представляют собой не что иное, как расстояние между точками. Формула для нахождения магнитуды, если задана как-

|Ā|= 

  • Если какая-либо начальная или конечная точка вектора находится в начале координат o(0, 0) и другой точке A(x, y), как указано на рисунке ниже,

вектор с одним конец в начале координат

Тогда формула для нахождения модуля вектора, где один из концов вектора находится в начале координат, имеет вид-

|À| = √(x 2 +y 2 )

Где x, y — точки данных

Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы получить четкое представление об этом.

Примеры задач

Вопрос 1: Какова величина вектора Ā = 2i + 3ĵ + 4k?

Решение:

Дан вектор Ā = 2i + 3ĵ + 4k

Величина |A| =

=

= √29

= 5,38

величина вектора 2i + 3ĵ + 4K составляет 5,38

Вопрос 2: Какова величина для вектора ā = 3i + 3ĵ — 6K?

Решение:

Данный вектор Ā = 3i + 3ĵ – 6k

Величина |A| =

=

= √54

= 7,35

Модуль вектора 3i+ 3ĵ – 6k равен 7,35.

Вопрос 3: Найдите модуль вектора, если начальная точка вектора (3, 4), а конечная точка (6, 2).

Решение:

Дано,

1 , у 1 ) = (3, 4)

2 , у 2 ) = (6, 2)

|А|=

=

= √(3 2 +(-2) 9 √ + 9 )

= √13

= 3,6

Таким образом, величина вектора с заданными начальной и конечной точками равна 3,6

Вопрос 4. Какова величина вектора, если начальная точка вектора (2, 1, 4) и конечная точка (5, 2, 6).

Решение:

, данный,

(x 1 , Y 1 , z 1 ) = (2, 1, 4)

(x 2 , Y 2 , z 2 ) = (Y 2 , z 2 ) = (Y 2 , z 2 ) = (Y 2 , z 2 ) 5, 2, 6)

|А| =

=

=

= √ (9 +1 + 4)

= √14

= 3,74

Таким образом 5: Какова величина вектора, который начинается в начале координат и заканчивается в (3, 4).

Решение:

Дано

Начальная точка вектора находится в начале координат O(0, 0)

Конечная точка (x, y) = (3, 4)

Из приведенной выше формулы Величина вектора (| Ā |) = √ (x 2 + y 2 )

= √ (3 2 + 4 2 )

= √ (9 + 16)

= √25 = 5

Таким образом, модуль вектора с одной из конечных точек в начале координат равен 5

Вопрос 6: Найдите модуль вектора, один из концов которого находится в начале координат, а другой — в точках (1, 4, 3) .

Решение:

Дано,

Один из концов вектора находится в начале координат O(0, 0)

Другая точка (x, y) = (1, 4, 3)

Откуда приведенная выше формула Величина вектора (|A|) = √(x 2 +y 2 +z 2 )

=

=

= √290 = 5,09

для вектора с одной из конечных точек в начале координат 5,09


Величина

Вектор состоит из двух компонентов: величины и направления. Направление вектора относится к воображаемому вращению, которое необходимо для перемещения объекта из некоторой заданной точки отсчета в его текущее положение в пространстве. Величина вектора v — это его абсолютная длина, измеренная между хвостом и головой вектора. Величина обеспечивает ссылку на размер векторов (или других математических объектов) относительно других векторов и обозначается ||v||. Другое название величины v — евклидова норма v, в честь Евклида, одного из первых математиков, проделавших серьезную работу по геометрии длины, расстояния и углов.

Чтобы найти модуль n-вектора,

используйте следующую формулу:

где v n представляет компоненты вектора; учитывая, что точка A = (x 1 , y 1 ) является концом вектора v, а B = (x 2 , y 2 ) является конечным концом, компоненты вектора v составляют:

Например, если хвост вектора v находится в точке (7, 3), а его конечный конец — в (12, 10), компоненты вектора v равны

и вектор v можно записать в компонентной форме как:


Примеры

Найдите величины следующих векторов.

1. v = [5 , 7] T :

Поскольку вектор (изображенный ниже) уже находится в компонентной форме, подставьте компоненты в формулу, чтобы найти величину.


2. v = [2, 4, -3] T :

Величина вектора в 3-мерном пространстве вычисляется так же, как в 2-мерном (или n-мерном) пространстве. ) пространство. Подстановка компонентов вектора в формулу дает:

Вектор показан на рисунке ниже.



Свойства векторов и величин

Существуют определенные свойства, которые полезно знать при работе с векторами и величинами. Одним из них является влияние скалярного умножения на величину вектора.

Если v — вектор, а c — скаляр с действительным числом, то величина масштабированного вектора cv определяется как:

v должно быть растянуто в |c| так как ||резюме|| измеряет абсолютную длину вектора cv, как показано на рисунке ниже.

Еще одно понятие, о котором стоит упомянуть, это нулевой вектор. Нулевой вектор, как следует из его названия, имеет величину 0. Его также называют нулевым вектором. Поскольку нулевой вектор имеет величину 0, отсюда следует, что он также не имеет направления, поскольку не имеет длины, и все его компоненты равны 0. Таким образом, нулевой вектор в 2-мерном пространстве можно записать как:

Аналогично можно представить нулевой вектор в трехмерном (и n-мерном) пространстве:


Применение величины вектора

Одним из наиболее важных применений величины вектора является нормализация вектора. Нормализация вектора включает в себя сохранение направления вектора при изменении его величины на 1, что преобразует его в то, что называется единичным вектором. Поскольку мы видели выше, что вектор v, умноженный на скаляр c, просто имеет величину cv (и не влияет на направление вектора), преобразование вектора в единичный вектор позволяет нам гораздо проще работать с векторов, потому что направление вектора становится его наиболее важной определяющей характеристикой; мы можем просто вынести скаляр и работать с единичными векторами.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *