Корень уравнения | это… Что такое Корень уравнения?
ТолкованиеПеревод
- Корень уравнения
Корень многочлена
над полем k — элемент , который после подстановки его вместо x обращает уравнение
в тождество.
Свойства
- Если c является корнем многочлена p(x), то p(x) делится без остатка на x − c (теорема Безу).
- Число вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами степени n заведомо меньше либо равно n. При этом комплексные корни многочлена (если они есть) сопряжены, таким образом, многочлен четной степени может иметь только четное число вещественных корней, а многочлен нечётной — только нечётное.
- Всякий многочлен p(x) с вещественными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один, вообще говоря, комплексный, корень (основная теорема алгебры).
- Аналогичное утверждение верно для любого алгебраически замкнутого поля.
- Более того, многочлен с вещественными коэффициентами p(x) можно записать в виде
- где — (в общем случае комплексные) корни многочлена p(x), возможно с повторениями, при этом если среди корней многочлена p(x) встречаются равные, то общее их значение называется кратным корнем.
- Корни многочлена связаны с его коэффициентами формулами Виета.
Нахождение корней
Способ нахождения корней линейных и квадратичных многочленов, то есть способ решения линейных и квадратных уравнений, был известен ещё в древнем мире. Поиски формулы для точного решения общего уравнения третьей степени продолжались долгое время (следует упомянуть метод, предложенный Омаром Хайямом), пока не увенчались успехом в первой половине XVI века в трудах Сципиона дель Ферро, Никколо Тарталья и Джероламо Кардано.
Формулы для корней квадратных и кубических уравнений позволили сравнительно легко получить формулы для корней уравнения четвертой степени.То, что корни общего уравнения пятой степени и выше не выражаются при помощи рациональных функций и радикалов от коэффициентов было доказано норвежским математиком Нильсом Абелем в 1826 г. Это совсем не означает, что корни такого уравнения не могут быть найдены. Во-первых, в частных случаях, при некоторых комбинациях коэффициентов корни уравнения при некоторой изобретательности могут быть определены. Во-вторых, существуют формулы для корней уравнений 5-й степени и выше, использующие, однако, специальные функции — эллиптические или гипергеометрические (см., к примеру, корень Бринга).
В случае, если все коэффициенты многочлена рациональны, то нахождение его корней приводится к нахождению корней многочлена с целыми коэффициентами. Для рациональных корней таких многочленов существуют алгоритмы нахождения перебором кандидатов с использованием схемы Горнера, причем при нахождении целых корней перебор может быть существенно уменьшен приемом чистки корней.
Для приблизительного нахождения (с любой требуемой точностью) вещественных корней многочлена с вещественными коэффициентами используются итерационные методы, например, метод секущих, метод бисекции, метод Ньютона. Количество вещественных корней многочлена на интервале может быть оценено при помощи теоремы Штурма.
Wikimedia Foundation. 2010.
Игры ⚽ Поможем написать курсовую
- Корень слова
- Корень российских государей
Полезное
Нахождение корней уравнения с помощью подбора параметра — Студопедия
Поделись с друзьями
Решение нелинейных уравнений
Рассмотрим, как на рабочем листе при помощи подбора параметра можно находить корни уравнения с одним аргументом. В качестве базового примера рассмотрим следующее уравнение:
x3 — 0.
2-0,7044*A2+0,139104
4. Выберите ячейку B2. Расположите указатель мыши на маркере заполнения этой ячейки и протяните его на диапазон B3:B12. Функция также протабулирована.
На рис. 1 видно, что полином меняет знак на интервалах [-1; -0.8], [0.2; 0.4] и [0.6; 0.8], и поэтому на каждом из этих интервалов имеется свой корень. Так как полином третьей степени имеет не более трех корней, то они все локализованы.
Прежде чем приступить к нахождению корней при помощи подбора параметра, необходимо выполнить некоторую подготовительную работу:
- Установите точность, с которой находится корень. Корень при помощи подбора параметра находится методом последовательных приближений. Для этого выберите команду Сервис → Параметры и на вкладке Вычисления диалогового окна Параметры задайте относительную погрешность и предельное число итераций равными 0,00001 и 1000, соответственно
- Отведите на рабочем листе ячейку под искомый корень, например, C2. 2- 0,7044*C4+0,139104
2- 0,7044*C4+0,139104Теперь можно переходить к нахождению первого корня уравнения:
1. Выберите команду Сервис → Подбор параметра. На экране отобразится диалоговое окно Подбор параметра.
2. В поле Установить в ячейке введите ссылку на ячейку D2 (рис. 1). В этом поле дается ссылка на ячейку, в которой введена формула, вычисляющая значение левой части уравнения. Для нахождения корня с помощью подбора параметра уравнение надо представить в таком виде, чтобы его правая часть не содержала переменную.
3. В поле Значение введите 0. Здесь указывается значение из правой части уравнения.
4. В поле Изменяя значение ячейки введите С2. В данном поле приводится ссылка на ячейку, отведенную под переменную.
5. Нажмите кнопку ОК.
Рис. 2. Все на корни уравнения и диалоговое окно Результат подбора параметра после успешного завершения поиска третьего корня.
Примечание. Вводить ссылки на ячейки в поля диалогового окна Подбор параметра удобнее не с клавиатуры, а выбором соответствующей ячейки на рабочем листе. При этом MS Excel автоматически будет превращать их в абсолютные ссылки — в нашем случае $D$2 и $C$2.
На экране отображается окно Результат подбора параметра с результатами работы команды Подбор параметра. Кроме того, рассматриваемое средство помещает найденное приближенное значение корня в ячейку C2. В данном случае оно равно -0.919999.
Аналогично в ячейках C3 и C4 находятся два оставшихся корня. Они равны 0.21000 и 0.71999 (рис. 2).
Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:
Метод нахождения корней уравнения f(x)=0, где f является аналитическим
%PDF-1.4 % 85 0 объект > эндообъект 80 0 объект >поток application/pdf
Документы находятся в общественном достоянии и не защищены авторским правом в США. Тем не менее, обратите особое внимание на отдельные работы, чтобы убедиться, что не указаны ограничения авторского права. Для отдельных произведений может потребоваться получение других разрешений от первоначального правообладателя.
Нахождение корней квадратных уравнений
Нахождение корней квадратных уравнений | MyTutorОтветы>Математика>GCSE>Статьи
Нахождение корней квадратных уравнений Что такое корень уравнения? Корень уравнения — это набор значений, которые удовлетворяют уравнению, и при графическом отображении они представляют собой значения x, при которых функция пересекает ось x.
Общая форма квадратного уравнения: ax 2 + bx + c = 0 , где a, b и c — действительные коэффициенты, и прежде чем пытаться решить какую-либо квадратную функцию, вы всегда должны стремиться сначала привести ее к этой форме. Если он не в правильной форме, его можно преобразовать, добавив и вычтя каждую боковую функцию x в исходной форме, например: x 2 = 2x – 12 (вычтите обе стороны на 2x) x 2 – 2x = -12 (Добавьте 12 к обеим сторонам) x 2 – 2x + 12 = 0 Как вы видите, предыдущее уравнение теперь имеет стандартный вид ax 2 + bx + c = 0, где a = 1, b = 2 и c = 12. Нахождение корня (s) Квадратных уравнений Первый способ решить квадратное уравнение состоит в том, чтобы разложить на множители , например: x 2 + 7x + 12 = 0 —> (x + 3)(x + 4) = 0 корень уравнения тогда задается отрицательным коэффициентом действительного числа внутри скобки, следовательно, -3 и -4.
Эскиз этого графика будет состоять из U-образной формы, пересекающей ось x в точках -3 и -4. Второй способ решения квадратного уравнения состоит в том, чтобы заполните квадрат , пример: x 2 — 10x + 25 = 0 —> (x-5) 2 = 9 Корень этого уравнения затем получается путем извлечения квадратного корня из каждой стороны и добавления 5 к с обеих сторон, что дает 8 и -2. Окончательный способ решить их с помощью квадратичной формулы , а именно: x = (-b +/- sqr(b 2 – 4ac))/2aКвадратичная формула содержит функцию b 2 – 4ac, это называется дискриминантом, а a, b и c являются коэффициентами уравнения в стандартной форме. Значение дискриминанта может показать, сколько корней присутствует для конкретного уравнения:b 2 — 4AC> 0 2 Real ROOTSB 2 — 4AC = 0 1 Real ROOTB 2 — 4AC <0 2 мнимые корни (комплексные конъюгины) Пример 1 x 2 + 6x + 3 = 0 a = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =.