Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора. Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» древнегреческого математика Евклида (ок. 300 г. до н. э.). Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал выдающийся немецкий астролог, астроном и математик Региомонтан (1436 — 1476), назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени выдающегося средневекового астронома и математика Абу Абдаллах Мухаммад ибн Джабир ибн Синан ал-Баттани (858 — 929).
В Европе теорему косинусов популяризовал французский математик Франсуа Виет (1540 — 1603) в 16 столетии. В начале 19 века её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.{\circ}=289+196-238=24$$
Тогда
$$A B=\sqrt{247}$$
Ответ. $A B=\sqrt{247}$
| 1. | Синус и косинус | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 2 Б. | Находятся значения синуса и косинуса некоторых углов. |
| 2. | Нахождение значения синуса и косинуса | 2 вид — интерпретация | лёгкое | 1 Б. | Определяется значение выражения с синусами и косинусами основных углов. |
| 3. | Нахождение значения выражения с тангенсом и котангенсом | 1 вид — рецептивный | лёгкое | 1 Б. | Определяется значение выражения, содержащее тангенс и котангенс некоторых углов. |
| 4. | Вычисление тангенса и котангенса некоторых чисел | 1 вид — рецептивный | среднее | 1 Б. | При вычислении тангенса и котангенса некоторых чисел необходимо их преобразовать, применяя свойство 3. |
| 5. | Вычисление синуса и косинуса некоторых чисел | 2 вид — интерпретация | среднее | 2 Б. | При вычислении синуса и косинуса некоторых чисел необходимо их преобразовать, совершая несколько полных оборотов по числовой окружности в положительном или отрицательном направлении. |
| 6. | Определение знака числа | 2 вид — интерпретация | среднее | 1 Б. | Определяется знак синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. |
| 7. | Решение уравнения вида sin t = a, cos t = a | 3 вид — анализ | среднее | 2 Б. | Решаются уравнения вида sin t = a, cos t = a. При этом каждое уравнение сопровождается рисунком. |
| 8. | Решение неравенства | 3 вид — анализ | сложное | 5 Б. | Решаются неравенства вида sin t > a, sin t < a, cos t > a, cos t < a. Каждое решение показано на рисунке. |
| 9. | Сравнение чисел | 4 вид — творческий | сложное | 3 Б. | С помощью числовой окружности сравниваются числа вида sin a и cos b. |
| 10. | Найди значение выражения | 4 вид — творческий | сложное | 3 Б. | Для нахождения значения выражения необходимо преобразовать выражение под корнем, определить знак выражения, записанного под знаком модуля, упростить полученное выражение. |
Тригонометрические и геометрические преобразования, sin(A + B), sin(A
Коэффициенты для суммы углов
Как демонстрируют различные примеры, иногда нам нужны значения углов, отличных от 0, 30, 45, 60 и 90 градусов. В этой главе вы должны научиться двум вещам:
2. Формулу, по которой вычисляется sin(A + B).
Во-первых, покажем, что раскрытие скобок не «срабатывает». Пусть A = 30 градусов и B = 45 градусов. Sin30 равен 0.5. Sin45 равен 0.7071. Складывая, получим 1.2071.
Вы знаете, что ни синус, ни косинус не может быть больше 1. Почему? Потому что в дробях, по которым они вычисляются, гипотенуза выступает в качестве знаменателя. Самое большее значение мы получим, если числитель равен знаменателю. Синус или косинус не может быть больше 1, и поэтому значение 1,2071 не верно.
Нахождение синуса, косинуса или тангенса полного угла (A + B)
Нахождение sin(A + B)
Самый простой способ найти sin (A + B) — используя геометрическое построение, показанное на рисунке. Большой угол (A + B), состоит из двух маленьких, А и В. Рисунок (1) показывает, что противоположная сторона состоит из двух частей.
Нижняя часть, разделенная линией между углами (2), есть синус А. Линия между двумя углами, разделенная гипотенузой (3), есть косинус B. Умножаем их. Средняя линия и в числителе, и в
знаменателе, поэтому они сокращаются, оставляя нижнюю часть противоположной стороны над гипотенузой (4).
Обратите внимание на маленький прямоугольный треугольник (5). Затененный угол есть A, потому что линия на его верхней части параллельна линии в основании. Подобные прямоугольные треугольники с углом А показывают, что верхний угол, отмеченный А также равен оригинальному углу А. Верхняя часть противоположной (6) над длинной, заштрихованный треугольник является соs А. Противоположный над основной гипотенузой (7) есть синус. Поскольку стороны с пометкой «противоположные» (7) и в числителе и знаменателе, когда cos и sin перемножаются, cosAsinB есть верхняя часть оригинального противоположного — для (A + B) — разделенные основной гипотенузой (8).
Теперь, сложим это все вместе (9). Sin(A + B) есть две части противоположного — все разделенные гипотенузой (9). Записывая это в тригонометрическую форму: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B.
Нахождение cos(A + B)
Очень похожая конструкция находит формулу для косинуса угла созданного двумя углами, сложенными вместе.
Используя ту же самую конструкцию (1), обратите внимание, что смежная сторона является полной линией основания (для соs A), c частью, которая вычитается справа. Каждая часть должна использовать тот же знаменатель, гипотенузу (A + B) треугольника.
Полная линия основания, разделенная линией между углами A и E есть cosA (2). Эта разделяющая линия, деленная гипотенузой (A + B) треугольника, есть cos B (3). Поэтому, полная линия основания, деленная гипотенузой есть произведение cosAcosB (4).
Теперь, небольшая часть, которая должна быть вычтена. Заштрихованная часть (5) представляет sinA, который умножается заштрихованной частью (6) есть sin E, который есть другой частью и , которая нам нужна (7). Вычитание дает соs (А + В) (8), поэтому формула, которая нам нужна:
cos(A + B) = cos A cos B — sin A sin B
Нахождение tan(A + B)
Полный геометрический вывод формулы для tg (A + B) является сложным. Проще всего вывести его из двух формул, которые мы уже сделали. В любом угле, тангенс равен синус, деленному на косинус. Используя тот факт, tan (A + B) = sin(A + B)/соs(A + B). Это выражение можно расширить к виду:
tan(A + B) = [sin A cos B + cos A sin B]/[cos A cos B — sin A sin B]
Разделив верхнюю и нижнюю часть на cos A cos B, что превращает все члены в тангенсы, получаем:
tan(A + B) = [tan A + tan B]/[1 — tan A tan B]
Коэффициенты для 75 градусов
Покажем коэффициенты синуса, косинуса и тангенса, подставляя в формулу суммы, и потом упрощая результат к своей простейшей форме, прежде чем находить суммы. После внесения основных замен в каждом конкретном случае, примерная работа в заштрихованной части, чтобы показать, как результат сводится к простейшей форме для оценки.
Если вы используете ваш карманный калькулятор для оценки, скорей всего, не имеет значения или вы упрщаете выражения сначала или просто пропускаете его! Все зависит от калькулятора: некоторые вычисля.т разницу, некоторые нет!
Коэффициенты углов, больших, чем 90 градусов
До сих пор рассматривалось соотношение острых углов (между 0 и 90 градусами). Другие треугольники с тупым углом (более 90 градусов) и до 180 градусов могут появиться в последующих задачах. Для упрощения классификации углов по размеру, они делятся на сектора (квадранты).
Квадрант есть четвертой частью круга. Так как круг делится на 360 градусов, квадранты имеют по 90 градусов. 0-90 градусов это первый квадрант, 90-180 — второй, 180-270 — третий и 270-360 — четвертый.
Используя линии, обозначающие границы квадранта, 0 или 360 это горизонталь направо, 90 — вертикально вверх, 180 — горизонталь слева и 270 сверху вниз. Теперь, используем этот метод для построения графиков.
Большие углы определяется вектором вращения, начиная с нуля и вращением против часовой стрелки. Горизонтальные элементы х: положительные справа, отрицательные слева. Вертикальные элементы у: положительные вверх, отрицательные вниз. Вращающийся вектор является р. Таким образом, синус угла есть y/r, косинус х/r, и тангенс у/х. Вектор r — всегда положителен. Таким образом, знак отношения может быть вычислен для различных секторов.
Здесь приведены знаки для трех отношений в четырех квадрантах.
Кроме того, как эквивалентный угол в первой четверти «переключается» когда вектор переходит из одного квадранта в другой. В первой четверти, стороны определены в соотношениях для синуса, косинуса и тангенса. При перемещении к большим углам в остальных секторах, противоположная сторона всегда есть вертикальная (у). То, что называется смежное, всегда есть горизонталью (х). Гипотенуза это всегда вращающийся вектор (r). Вы можете видеть картину как изменяются тригонометрические соотношения для углов.
Отношения в четырех квадрантах
Отношения для различных углов
Теперь у вас есть два пути получить формулы для различных углов. Во-первых, используя геометрическую конструкцию, такую, которая, например, была использована для суммы углов, реверсивную так, что (A — B) есть угол B вычитающийся из угла A.
В рассуждениях, аналогичных тем, которые были использованы для суммы углов, здесь представлены несколько сокращенные формулы для синуса и косинуса:
sin(A — B) = sin A cos B — cos A sin B
and
cos(A — B) = cos A cos B + sin A sin B
Геометрическая конструкция
Формулы суммы и разницы
Второй способ нахождения формулы для разницы углов использует уже полученную формулу суммы, но делает B отрицательным. Из нашего исследования знаков для различных секторов, отрицательные углы с 1-го квадранта будут в 4 квадранте. Проводя эту подстановку, получим тот же результат, который был получен геометрически в предыдущем разделе.
Поиск формулы тангенса проходит тем же методом, или заменой синуса и косинуса в формулах или более непосредственно, превращая tg(-B) = — tg B. В любом случае вы получите:
tan(A — B) = [tan A — tan B]/[1 + tan A tan B]
Отношения с помощью четырех секторов
Вы можете вывести несколько отношений с формулами суммы и разности. Вы уже сделали соотношение для 75 градусов. Теперь можно выполнить то же для 15 градусов. Эти формулы дают соотношения для углов в 15 градусов интервалы через четыре квадранта. Построив их на 360 градусов, вы можете увидеть, как эти три соотношения изменяются, когда вектор проходит через четыре квадранта.
«Волна» синуса и косинуса колеблется вверх и вниз между +1 и -1. Обратите внимание, что «волны» смещены на 90 градусов друг относительно друга. Этот факт станет важным позже.
Кривая тангенса начинается, как синусоида, но вскоре она стремится достичь бесконечности на 90 градусах. Двигаясь » вне видимости» в положительном направлении, она «приходит» с отрицательного направления с другой стороны на 90 градусах. Проходя через точку в 180 градусов, функция тангенса повторяет то, что она «делала» проходя 0 или 360 градусов. На 270 градусах она повторяет то же, было на 90 градусах.
Пифагор в тригонометрии
Формула часто может быть упрощена, так как были найдены выводы формулы тангенса от формул синуса и косинуса, а также изменение ее членов одного отношения к другому отношению, использeущеuj другие члены. При этом, теорема Пифагора, выраженная в тригонометрическом соотношении, очень удобна.
Предположим, что прямоугольный треугольник имеет гипотенузу длиной 1. Тогда одна из сторон будет иметь длину sinA, а другая — cosA. Отсюда, согласно теореме Пифагора: cos2 A + sin2 A = 1. Это выражение всегда истинно для любого значения A.
Немного о том, как это было записано. Cos2 A означает (cos A)2. Если вы написали это как cos A2, уравнение будет означать что-то другое. A есть число в нескольких угловых значениях, которое представляет угол. A2 было бы то же самое число, возведенное в квадрат. Его значение зависело бы от использованного числового значения, поэтому это не очень хороший член для использования. Это означает квадрат синуса ли косинуса, не сам угол. Формула Пифагора может быть выражена иначе. Например, две другие формы:
cos2 A = 1 — sin2 A, и sin2 = 1 — cos2 A.
Умножение углов
Формулы сумм, вместе с теоремой Пифагора, используются для углов, которые в 2, 3 или больше раз кратны любым оригинальным углам. Здесь приводятся формулы для 2А и 3А.
Формула суммы работает, когда оба угла одинаковые или различны: sin(A + B) или sin(A + A). Однако, sin(A + A) в действительности sin 2A. Поэтому, sin 2A есть sin A cos A + cos A sin A. Оба члена выражения есть одним и тем же произведением, записанным в разном порядке, так что это выражение может быть упрощено до sin 2A = 2 sin A cos A.
Подобным образом, cos 2A = cos A cos A — sin A sin A, что также может быть записано как: cos 2A = cos2 A — sin2 A. Используя теорему Пифагора, изменяем это к виду: cos 2A = 2cos2 A — 1. Наконец, tg 2A = 2 tg A/[1 — tg2 A].
Теперь тройной угол (3А) используется, чтобы показать, как получены следующие кратные углы. В основном, это так же просто, как запись 3A = 2 + A и повторного применения формулы суммы. Но тогда, чтобы получить в результате формулу в работающем виде, необходимо заменить часть 2А, на выражения с простым углом А.
На рисунках внизу вы можете видеть, что с каждым разом вычисления становятся сложнее.
УМНОЖЕНИЕ УГЛОВ Производные от формул суммы
УМНОЖЕНИЕ УГЛОВ Соотношения для 3A
Свойства равнобедренного треугольника
Вы уже видели, что прямоугольный треугольник является полезным строительным блоком для других фигур. Равнобедренный треугольник имеет несколько различных видов использования. Дело в том, что его использование основывается на том, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равные углы между основанием и боковыми равными сторонами. Перпендикуляр из третьего угла на третью сторону делит ее пополам. Таким образом весь треугольник делится на два равных прямоугольных треугольника.
Любой треугольник, за исключением прямоугольного треугольника, можно разделить на три прилегающих равнобедренных треугольника, разделив каждую сторону на две равные части и построить перпендикуляры из точек разделения. Там, где любые два из этих перпендикуляров встречаются, если линии тянутся к углам исходного треугольника, три линии должны быть равны, потому что две из них образуют стороны равностороннего треугольника. Таким образом, перпендикуляр с третьей стороны исходного треугольника должен также встретиться в одной точке.
Это утверждение справедливо, как мы покажем здесь, независимо от того, является ли исходный треугольник острым или тупым. Разница с тупым прямоугольным треугольником в том, что место встречи перпендикуляров лежит снаружи исходного треугольника, а не внутри.
Что происходит в прямоугольном треугольнике? Перпендикуляры от средней точки гипотенузы другой стороны будут делить пополам эти две стороны — вы получаете два из трех! Место встречи находится гипотенузе.
Углы в окружности
Основное свойство окружности это то, что ее центр находится на одинаковом расстоянии от любой точки окружности. Это расстояние есть радиусом окружности.
Если вы нарисуете любой треугольник внутри круга, перпендикуляры из средней точки его сторон встретятся в центре окружности а радиусы из углов треугольника делят его на три равнобедренных треугольника
Теперь, если вы назовете равные пары углов в каждом равнобедренном треугольнике A, A, B, B, C, C, вы обнаружите, что исходный треугольник имеет один угол A+B, один угол B+C, и один угол A+ C. Три угла в сумме дают 2A + 2B + 2С, а это как известно равно 180 градусов.
В любом равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 180 градусов минус удвоенный угол при основании. Поэтому, согласно предыдущего пункта, 180 — 2A должен быть такой же, как и 2B + 2С, например.
Рассмотрим угол правый нижний угол, опирающийся на окружность. Угол в центре равен 2B + 2С. Углом, опирающийся на окружность равен B + C. Вы видите, что для любого сегмента круга, угол в центре всегда в два раза больше угла, опирающегося на окружность.
Утверждение выше приводит к интересным фактам об углах в окружностях. Вместо определения углов со стороной треугольника, используют дугу (часть окружности) круга. Часть окружности, которая определяется углом в центре называется хордой окружности.
Угол в центре в два раза больше чем угол на окружности
Любой угол, касающийся окружности, используя хорду как ограничение угла, равен половине угла в центре. Таким образом, все углы в круге, с основанием на той же хорде, должны быть равны. Предположим, что хорда имеет угол 120 градусов. Угол на окружности будет равен 60 градусам.
Особый случай представляет собой полукруг (точный полукруг). Угол в центре представляет собой прямую линию (180 градусов). Каждый угол в полукруге равен 90 градусам (прямой угол). Любой треугольник в полукруге является прямоугольным треугольником.
Определения
Выше мы часто использовали углы, которые дополняют углы до прямого угла (90 градусов) или до двух прямых углов (180 градусов). Когда два угла образовывают угол 180 градусов (два прямых угла), они называются дополнительными. Если два угла добавить до 90 градусов (один прямой угол), их называют комплементарными
Вопросы и задачи
1. Синус угла А равен 0,8 и синус угла B равен 0.6. Из различных зависимостей, полученных до сих пор, найдите следующее: тангенс А, тангенс B, синус (A + B), косинус (A + B), синус (A — B), косинус (A — B), тангенс (А + B) и тангенс (A — B) без использования таблиц или тригонометрических клавиш калькулятора.
2.На экваторе Земля имеет радиус 4000 км. Углы вокруг экватора измеряется в меридианах долготы, с линией с севера на юг проходящей через Гринвич (Англия), в качестве нулевого отсчета. Два места используются для наблюдения за луной: первое это Кения, на экваторе 37,5 к востоку от Гринвича, а другой является Суматра, на экваторе к востоку 100,5. Как далеко друг от друга эти два места, если расстояние измерять мнимой прямой, проходящей через Землю?
3.Если бы наблюдения были сделаны горизонтально от точки наблюдения в вопросе 2 (к востоку от первой, к западу от второй), под каким углом была бы линия пересечения наблюдений?
4.В определенное время, точно синхронизированное в обоих местах, наблюдается спутник. В Кении, высота линии визирования с центром на спутнике составляет 58 градусов выше горизонтали на восток. На Суматре, высота составляет 58 градусов выше горизонтали на запад. Как далеко находится спутник? Используйте расстояние между точками рассчитанное в вопросе 2.
5. Косинус определенного угла в два раза больше синуса того же угла. Чему равен тангенс этого угла? Не используйте таблицы или калькулятор для ответа на этот вопрос.
6. Синус определенного угла равен именно 0.28. Найдите косинус и тангенс этого угла. Не используйте таблицы или калькулятор для ответа на этот вопрос.
7. Синус определенного угла равен 0.6. Найдите синус углов, больших чем заданный в два и три раза.
8. Найдите синус и косинус угла, большего ровно в два раза чем угол из вопроса 7.
9. Используя 15 градусов, как единичный угол, и формулы для отношения 2А и 3А найдите значения синусов 30 и 45 градусов.
10. Используя 30 градусов, как единичный угол, найти значения синусов 60 и 90 градусов.
11. Используя 45 градусов, как единичный угол, найдите значения тангенсов 60 и 90 градусов.
12. Используя 60 градусов, как единичный угол, найдите значения косинусов 120 и 180 градусов.
13. Используя 90 градусов, как единичный угол, найдите значения косинусов 180 и 270 градусов.
14. Используя формулы тангенса для умножения углов и таблицы, найдите тангенсы утроенных углов в 29, 31, 59 и 61 градусов. Посчитайте изменения знака между утроенным углом 29 и 31 градусов и между 59 и 61 градусов.
15. Синус угла составляет 0,96. Найдите синус и косинус удвоенного угла.
16. Задача сводится к алгебраической выражению вида 8cos2 A + cos A = 3. Решите для косинуса А, и укажите, в каком квадранте будет угол, представляющий каждое решение придет. Приведите приближенные значения из таблицы или используя калькулятор.
Теорема косинусов и ее доказательство.
См. также Теорема синусов.
Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора для произвольного треугольника.Формулировка теоремы косинусов
Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:
| Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними |
Полезные формулы теоремы косинусов:
Как видно из указанного выше, с помощью теоремы косинусов можно найти не только сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними, можно, зная размеры всех сторон треугольника, определить косинусы всех углов, а также вычислить величину любого угла треугольника. Вычисление любого угла треугольника по его сторонам является следствием преобразования формулы теоремы косинусов.
Доказательство теоремы косинусов
Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Предположим, что нам известна величина стороны AC (она равна некому числу b), величина стороны AB (она равна некому числу c) и угол между этими сторонами, величина которого равна α. Найдем величину стороны BC (обозначив ее длину через переменную a)
Для доказательства теоремы косинусов проведем дополнительные построения. Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD.
Найдем длину стороны AB. Как видно из рисунка, в результате дополнительного построения можно сказать, что
AB = AD + BD
Найдем длину отрезка AD. Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, нам известны длина его гипотенузы (b) и угол (α) то величину стороны AD можно найти из соотношения его сторон, пользуясь свойствами тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:
AD / AC = cos α
откуда
AD = AC cos α
AD = b cos α
Длину стороны BD найдем как разность AB и AD:
BD = AB — AD
BD = c − b cos α
Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
для треугольника BDC
CD2 + BD2 = BC2
для треугольника ADC
CD2 + AD2 = AC2
Обратим внимание на то, что оба треугольника имеют общую сторону — CD. Определим ее длину для каждого треугольника — вынесем ее значение в левую часть выражения, а остальное — в правую.
CD2 = BC2 — BD2
CD2 = AC2 — AD2
Поскольку левые части уравнений (квадрат стороны CD) равны, то приравняем правые части уравнений:
BC2 — BD2 = AC2 — AD2
Исходя из сделанных ранее вычислений, мы уже знаем что:
AD = b cos α
BD = c − b cos α
AC = b (по условию)
А значение стороны BC обозначим как a.
BC = a
(Именно его нам и нужно найти)
Получим:
BC2 — BD2 = AC2 — AD2
Заменим буквенные обозначения сторон на результаты наших вычислений
a2 — ( c − b cos α )2 = b2 — ( b cos α )2
перенесем неизвестное значение (а) на левую сторону, а остальные части уравнения — на правую
a2 = ( c − b cos α )2 + b2 — ( b cos α )2
раскроем скобки
a2 = b2 + c 2 — 2c b cos α + ( b cos α )2 — ( b cos α )2
получаем
a2 = b2 + c 2 — 2bc cos α
Теорема косинусов доказана.
Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.
Теорема косинусов
Теорема косинусов и теорема Пифагора. В этой статье мы рассмотрим теорему косинусов и как она используется для нахождения элементов треугольника. А так же разберём её взаимосвязь с теоремой Пифагора.
Знать эту теорему НЕОБХОДИМО. Что мы можем найти, используя её?
Если нам будут известны две стороны и угол между ними, мы без труда найдём третью сторону. Для этого нужно просто подставить в формулу известные величины. Для других сторон всё то же самое:
Можно ли использовать теорему косинусов для нахождения третьей стороны, если известны любые две стороны и угол, не лежащий между этими сторонами? Например, нам известны стороны a и b и угол альфа. Тогда из формулы
мы можем найти сторону «с». Приводим к виду:
То есть, мы получаем квадратное уравнение с переменной «с» (все остальные величины нам известны). Решив его, получим искомую сторону.
Мы можем найти любой угол, если нам известны все три стороны треугольника:
Разумеется, что учить все эти формулы не нужно, так как достаточно понимать сам смысл Теоремы косинусов. А косинус любого угла не трудно выразить используя простые алгебраические преобразования.
*Если вы вычисляете косинус тупого угла, то имейте ввиду, что должно получиться отрицательное значение, так как косинус угла от 90 до 180 градусов отрицателен. Если при решении в задачах получите положительное значение, то ищите ошибку.
Следующий вопрос: а если нам дана сторона и любые два угла, что делать? В этом случае теорема косинусов не используется, а на помощь приходит теорема синусов, её мы рассмотрим в одной из следующих статей, не пропустите!
Если вы будете в совершенстве владеть теоремами Пифагора, косинусов, синусов и свойствами подобия треугольников, то для вас не возникнет никаких сложностей с решением треугольников (в большинстве задач).
Следующий факт знают все, но всё же о взаимосвязи теоремы косинусов с теоремой Пифагора сказать стоит. Посмотрите на исходный рисунок, если угол альфа равен 90 градусов, то получим:
То есть, по сути, теорема Пифагора это как бы частный случай теоремы косинусов.
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Покажем то же самое, но с другими обозначениями:
По теореме косинусов:
Так как угол С равен 90, то
Напомню, что зная любые две стороны в прямоугольном треугольнике, мы всегда можем найти третью. А далее без труда можем найти значение любой тригонометрической функции острого угла в нём. Можете изучить статью об этом.
Получить материал статьи в формате PDF
На этом всё. Успехов вам!!!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Практическая работа»Нахождение значений синуса и косинуса по таблице Брадиса»
Вариант 1
1.sin 12˚ 1.sin 9˚10′ 1.sinA=0,5401 ;A= 1.cos 8˚ 1. cos7˚15′ 1.cosA=0,1303;A=
2.sin 34˚ 2.sin 15˚38′ 2. sinA=0,0905 ;A= 2. cos 25˚ 2. cos24˚21′ 2. cosA=0,5002; A=
3.sin 45˚ 3.sin 38˚16′ 3. sinA=0,8008;A= 3. cos 57˚ 3. cos47˚58′ 3. cosA=0,3915; A=
4.sin 71˚ 4.sin 64˚12′ 4. sinA=0,9421;A= 4. cos 69˚ 4. cos71˚2′ 4. cosA=0,8516; A=
5.sin 85˚ 5.sin 83˚19′ 5. sinA=0,2151;A= 5. cos81˚ 5. cos85˚39′ 5. cosA=0,0908; A=
Вариант 2
1.sin 29˚ 1. sin 10˚10′ 1. sinA=0,1001;A= 1.cos 18˚ 1.cos 9˚ 9′ 1. cosA=0,5009 ;A=
2. sin 48˚ 2. sin 53˚28′ 2. sinA=0,0806; A= 2. cos 39˚ 2. cos 41˚41′ 2. cosA=0,2429 ; A=
3. sin 64˚ 3. sin 32˚41′ 3. sinA=0,5429; A= 3. cos 62˚ 3. cos57˚16′ 3. cosA=0,3108 ; A=
4. sin 78˚ 4. sin 68˚15′ 4. sinA=0,7507; A= 4. cos 78˚ 4. cos72˚35′ 4. cosA=0,6887 ; A=
5. sin 81˚ 5. sin 83˚29′ 5. sinA=0,3094; A= 5. cos 81˚ 5. cos80˚49′ 5. cosA=0,4815 ; A=
Ва
Вариант 1
1.sin 12˚ 1.sin 9˚10′ 1.sinA=0,5401 ;A= 1.cos 8˚ 1. cos7˚15′ 1.cosA=0,1303;A=
2.sin 34˚ 2.sin 15˚38′ 2. sinA=0,0905 ;A= 2. cos 25˚ 2. cos24˚21′ 2. cosA=0,5002; A=
3.sin 45˚ 3.sin 38˚16′ 3. sinA=0,8008;A= 3. cos 57˚ 3. cos47˚58′ 3. cosA=0,3915; A=
4.sin 71˚ 4.sin 64˚12′ 4. sinA=0,9421;A= 4. cos 69˚ 4. cos71˚2′ 4. cosA=0,8516; A=
5.sin 85˚ 5.sin 83˚19′ 5. sinA=0,2151;A= 5. cos81˚ 5. cos85˚39′ 5. cosA=0,0908; A=
Вариант 2
1.sin 29˚ 1. sin 10˚10′ 1. sinA=0,1001;A= 1.cos 18˚ 1.cos 9˚ 9′ 1. cosA=0,5009 ;A=
2. sin 48˚ 2. sin 53˚28′ 2. sinA=0,0806; A= 2. cos 39˚ 2. cos 41˚41′ 2. cosA=0,2429 ; A=
3. sin 64˚ 3. sin 32˚41′ 3. sinA=0,5429; A= 3. cos 62˚ 3. cos57˚16′ 3. cosA=0,3108 ; A=
4. sin 78˚ 4. sin 68˚15′ 4. sinA=0,7507; A= 4. cos 78˚ 4. cos72˚35′ 4. cosA=0,6887 ; A=
5. sin 81˚ 5. sin 83˚29′ 5. sinA=0,3094; A= 5. cos 81˚ 5. cos80˚49′ 5. cosA=0,4815 ; A=
Ответы:
Вариант 1
1.0,2079 1.0,1593 1.А=32˚42′ ❶0,9903 ❶0,9920 ❶А=82˚31′
2.0,5592 2.0,2695 2.А=5˚12′ ❷0,9063 ❷0,9111 ❷А=59˚59′
3.0,7071 3.0,6193 3.А=53˚12′ ❸0,5446 ❸0,6695 ❸А=66˚57′
4.0,9455 4.0,9003 4.А=70˚24′ ❹0,3584 ❹0,3250 ❹А=31˚36′
5.0,9962 5.0,9932 5.А=12˚25′ ❺0,1564 ❺0,0758 ❺А=84˚47′
Вариант 2
1.0,4848 1.0,1765 1.А=5˚44′ ❶0,9511 ❶0,9873 ❶А=59˚57′
2.0,7431 2.0,8036 2.А=4˚37′ ❷0,7771 ❷0,7468 ❷А=75˚57′
3.0,8988 3.0,54 3.А=32˚53′ ❸0,4695 ❸0,5407 ❸А=71˚54′
4.0,9781 4.0,9288 4.А=48˚39′ ❹0,2079 ❹0,2993 ❹А=46˚29′
5.0,9877 5.0,9936 5.А=18˚1′ ❺0,0872 ❺0,1596 ❺А=61˚13′
Формула вычисления косинуса угла между векторами
Формула вычисления угла между векторами
| cos α = | a · b |
| | a |·| b | |
Примеры задач на вычисление угла между векторами
Примеры вычисления угла между векторами для плоских задачи
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 3 · 4 + 4 · 3 = 12 + 12 = 24.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 3 2 = √ 16 + 9 = √ 25 = 5
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 24 | = | 24 | = 0.96 |
| | a | · | b | | 5 · 5 | 25 |
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 5 · 7 + 1 · 5 = 35 + 5 = 40.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 7 2 + 1 2 = √ 49 + 1 = √ 50 = 5√ 2
| b | = √ 5 2 + 5 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 40 | = | 40 | = | 4 | = 0.8 |
| | a | · | b | | 5√ 2 · 5√ 2 | 50 | 5 |
Примеры вычисления угла между векторами для пространственных задач
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 3 · 4 + 4 · 4 + 0 · 2 = 12 + 16 + 0 = 28.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 3 2 + 4 2 + 0 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5
| b | = √ 4 2 + 4 2 + 2 2 = √ 16 + 16 + 4 = √ 36 = 6
Найдем угол между векторами:
| cos α = | a · b | = | 28 | = | 14 |
| | a | · | b | | 5 · 6 | 15 |
Решение: Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = 1 · 5 + 0 · 5 + 3 · 0 = 5.
Найдем модули векторов:
| a | = √ 1 2 + 0 2 + 3 2 = √ 1 + 9 = √ 10
| b | = √ 5 2 + 5 2 + 0 2 = √ 25 + 25 = √ 50 = 5√ 2
Найдем угол между векторами:
cos α = a · b | a | · | b | = 5 √ 10 · 5√ 2 = 1 2√ 5 = √ 5 10 = 0.1√ 5
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики. = 1 2 · a → 2 + b → 2 – b → – a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
Формула
Чтобы найти косинус угла между векторами нужно найти отношение скалярного произведения векторов и произведение их длин (модулей). Если векторы заданы на плоскости двумя координатами $ overline=(x_1;y_1) $ и $ overline=(x_2;y_2) $, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:
В числителе находится скалярное произведение векторов, то есть каждая координата умножается на соответствующую координату другого вектора и при этом находится сумма всех произведений. А в знаменателе расположено произведение модулей векторов. Каждый модуль равен извлеченному квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.
Примеры решений
| Пример |
| Даны два вектора $ overline =(3;1) $ и $ overline = (2;4) $. Требуется найти косинус угла между векторами. |
| Решение |
— Расчет cos (x)
Найдите косинус угла с помощью калькулятора cos ниже. Начните с ввода угла в градусах или радианах.
Как найти косинус угла
В прямоугольном треугольнике косинус угла α или cos (α) — это отношение между смежной стороной угла и гипотенузой.
Косинус является одной из трех основных тригонометрических функций и обозначается сокращенно cos .
Вы можете спросить, как найти косинус угла? Используйте приведенную ниже формулу для расчета cos.
Формула косинуса
Формула косинуса:
cos (α) = смежная бипотенуза c
Таким образом, косинус угла α в прямоугольном треугольнике равен длине соседней стороны, деленной на гипотенузу.
Чтобы решить cos, просто введите длину смежной и гипотенузы и решите.
Например, давайте вычислим косинус угла α в треугольнике с длиной прилегающей стороны, равной 6, и гипотенузой, равной 8.
cos (α) = 68
cos (α) = 34
График косинусов
Если вы построите график функции косинуса для каждого возможного угла, он образует повторяющуюся кривую вверх / вниз. Это называется косинусоидальной волной.
Кривая начинается с угла 0, затем уменьшается до значения -1, затем увеличивается до значения 1 и продолжается бесконечно.
Таблица косинусов
В таблице ниже показаны общие углы и значение cos для каждого из них.
| Угол (градусы) | Угол (радианы) | Косинус |
|---|---|---|
| 0 ° | 0 | 1 |
| 15 ° | π12 | √6 + √24 |
| 30 ° | π6 | √32 |
| 45 ° | π4 | √22 |
| 60 ° | π3 | 12 |
| 75 ° | 5π12 | √6 — √24 |
| 90 ° | π2 | 0 |
| 105 ° | 7π12 | –√6 — √24 |
| 120 ° | 2π3 | –12 |
| 135 ° | 3π4 | –√22 |
| 150 ° | 5π6 | –√32 |
| 165 ° | 11π12 | –√6 + √24 |
| 180 ° | π | -1 |
| 195 ° | 13π12 | –√6 + √24 |
| 210 ° | 7π6 | –√32 |
| 225 ° | 5π4 | –√22 |
| 240 ° | 4π3 | –12 |
| 255 ° | 17π12 | –√6 — √24 |
| 270 ° | 3π2 | 0 |
| 285 ° | 19π12 | √6 — √24 |
| 300 ° | 5π3 | 12 |
| 315 ° | 7π4 | √22 |
| 330 ° | 11π6 | √32 |
| 345 ° | 23π12 | √6 + √24 |
| 360 ° | 2π | 1 |
Обратный косинус и секанс
Функция, обратная косинусу, — это функция arccos.Таким образом, если вы знаете cos угла, вы можете использовать arccos, чтобы найти угол.
Секанс, с другой стороны, является обратной величиной косинуса. Следующие формулы показывают соотношение между косинусом и секансом.
cos (α) = смежная гипотенуза
сек (α) = смежная гипотенуза = 1 cos (α)
Возможно, вас заинтересуют наши калькуляторы синуса и тангенса.
Как найти угол с косинусом
Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.
Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.
Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.
Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:
Вы должны включить следующее:
Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.
Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:
Чарльз Кон
Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105
Или заполните форму ниже:
КалькуляторArcsin. Нахождение обратной функции синуса.
С помощью этого калькулятора арксинуса (или калькулятора обратного синуса) у вас не будет проблем с поиском арксинуса в вашей задаче.Просто введите значение синуса для треугольника, и появится нужный угол. Единственное, что вам нужно запомнить, это ограниченная область арксинуса (−1 ≤ sine ≤ 1). Если вам интересно, , что такое арксинус или , как выглядит график arcsin x , не ждите больше — прокрутите вниз, и вы найдете ответы ниже! Мы также включили короткий абзац об отношениях арксинусов, таких как отношения между интегралом арксинуса и производной. И так, чего же ты ждешь?
Что такое арксинус?
Арксинус — это функция, обратная синусоиде.Другими словами, это помогает найти угол треугольника, который имеет известное значение синуса. Поскольку область синуса для действительных чисел равна [-1, 1], мы можем вычислить арксинус только для чисел в этом интервале.
Синус — периодическая функция, поэтому существует несколько чисел, которые имеют одинаковое значение синуса. Например, sin (0) = 0, но также sin (π) = 0, sin (2π) = 0, sin (-π) = 0 и sin (-326π) = 0. Следовательно, если кто-то хочет вычислить arcsin ( 0), ответ может быть 0, 2π (360 °) или -π (-180 °), и это лишь некоторые из вариантов! Все они верны, но обычно мы даем только одно число, называемое основным значением .
| Сокращение | Определение | Домен arcsin x для реального результата | Диапазон обычных основных значений |
|---|---|---|---|
| arcsin (x) sin -1 x, asin | х = грех (у) | -1 ≤ х ≤ 1 | -π / 2 ≤ y ≤ π / 2 -90 ° ≤ y ≤ 90 ° |
Arcsin (x) — наиболее распространенное обозначение, поскольку sin -1 x может привести к путанице (потому что sin -1 x ≠ 1 / sin (x)).Аббревиатура asin обычно используется в языках программирования.
График arcsin x
Поскольку синус основной функции не является взаимно однозначным, ее область должна быть ограничена, чтобы гарантировать, что арксинус также является функцией. Обычно выбирается область -π / 2 ≤ y ≤ π / 2. Это означает, что диапазон обратной функции будет равен диапазону основной функции; таким образом, диапазон функции arcsin равен [−π / 2, π / 2], а область arcsine находится между [−1,1]. Ниже вы можете найти график arcsin (x), а также некоторые часто используемые значения арксинуса:
| х | арксин (х) | График | |
|---|---|---|---|
| ° | рад | ||
| -1 | -90 ° | -π / 2 | Компьютерщик 3, CC BY-SA 4.0 через Wikimedia Commons |
| -√3 / 2 | -60 ° | -π / 3 | |
| -√2 / 2 | -45 ° | -π / 4 | |
| -1/2 | -30 ° | -π / 6 | |
| 0 | 0 ° | 0 | |
| 1/2 | 30 ° | π / 6 | |
| √2 / 2 | 45 ° | π / 4 | |
| √3 / 2 | 60 ° | π / 3 | |
| 1 | 90 ° | π / 2 | |
Хотите знать, откуда взялся этот график arcsin x? Его можно найти, отразив график sin (x) в диапазоне [-π / 2 π / 2] через линию y = x:
Jaro.p CC BY-SA 3.0, через Wikimedia CommonsОбратный синус, тригонометрические функции и другие взаимосвязи
Связь между тригонометрическими функциями и арксинусом может помочь вам еще лучше понять тему. Прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 1 — хорошая отправная точка.
Просто быстрое напоминание: для прямоугольного треугольника функция синуса принимает угол θ и возвращает отношение противоположности / гипотенузы, которое равно x в нашем примерном треугольнике.Функция обратного синуса, арксинус, будет принимать отношение противоположности / гипотенузы (x) и возвращать угол θ. Итак, зная, что для нашего треугольника arcsin (x) = θ, мы также можем записать, что:
- Синус:
sin (arcsin (x)) = x - Косинус:
cos (arcsin (x)) = √ (1-x²) - Касательная:
tan (arcsin (x)) = x / √ (1-x²)
Другие полезные отношения с арксинусом:
-
arcsin (x) = π / 2 - arccos (x) -
arcsin (-x) = -arcsin (x)
Иногда также нужны интеграл и производная от arcsin:
интеграл от arcsin:
arcsin (x) dx = x arcsin (x) + √ (1 - x²) + Cпроизводная от arcsin:
d / dx arcsin (x) = 1 / √ (1 - x²)где x ≠ -1, 1
Пример использования калькулятора arcsin
Арксинус — полезная функция e.г. в нахождении угла прямоугольного треугольника. Если вы ищете углы в прямоугольном треугольнике и знаете длины сторон, хорошо известная теорема Пифагора не будет столь полезной. Чтобы найти углы прямоугольного треугольника, нужно применить арксинус:
- для α:
sin (α) = a / c, поэтому α = arcsin (a / c) - для β:
sin (β) = b / c, поэтому β = arcsin (b / c)
Итак, предположим, что у нас есть два значения, заданные в прямоугольном треугольнике, a = 6 и c = 10, и мы хотели бы найти значение угла α:
- Введите значение, по которому вы хотите найти арксинус .В нашем случае это 6/10. Таким образом, вы можете ввести значение 0,6, но форма 6/10 также будет работать. Просто помните, что значение должно быть между -1 и 1.
- И … все! Калькулятор arcsin выполнил свою работу, и вы нашли арксинус своего значения . Теперь вы знаете, что арксинус (6/10) = 36,87 °
Отлично! Теперь, когда вы понимаете, что такое арксинус, может быть, вы захотите познакомиться с более продвинутыми приложениями тригонометрии? Например, закон синусов (тесно связанный с законом косинусов) является обязательным при решении задач треугольника.
Косинус — определение математического слова
Косинус — определение математического слова — Открытый справочник по математике В прямоугольный треугольник, косинус угла — это длина смежной стороны (A), деленная на длину гипотенуза (H). Попробуй это Перетащите любой вершину треугольника и посмотрите, как вычисляются косинусы A и C.Функция косинуса, наряду с синусом и тангенсом, является одной из трех наиболее распространенных тригонометрические функции. В любом прямоугольном треугольнике косинус угла — это длина смежной стороны (A), деленная на длину гипотенуза (H).В формуле он записывается просто как «cos».
Часто вспоминается как «CAH», что означает Косинус Смежно над Гипотенуза. См. SOH CAH TOA.В качестве примера предположим, что мы хотим найти косинус угла C на рисунке выше (сначала нажмите «сбросить»). Из приведенной выше формулы мы знаем, что косинус угла — это смежная сторона, деленная на гипотенузу. Соседняя сторона — это BC и имеет длину 26. Гипотенуза — это AC с длиной 30. Таким образом, мы можем написать Это деление на калькуляторе выходит на 0.866. Таким образом, мы можем сказать: « Косинус 30 ° равен 0,866 » или
Воспользуйтесь калькулятором, чтобы найти косинус 30 °. Как и выше, должно получиться 0,8660.
(Если нет — убедитесь, что калькулятор настроен на работу в градусах, а не
радианы).
Пример — использование косинуса для нахождения гипотенузы
Если мы посмотрим на общее определение — мы видим, что есть три переменные: мера угла x и длины двух сторон (смежная и гипотенуза).Итак, если у нас есть какие-то два из них, мы можем найти третий.
На рисунке выше нажмите «Сброс». Представьте, что мы не знаем длины гипотенузы H. Мы знаем, что косинус A (60 °) — это смежная сторона (15), деленная на H. Из нашего калькулятора мы находим, что cos60 равен 0,5, поэтому мы можем написать Транспонирование: что составляет 30, что соответствует цифре выше.
Функция обратного косинуса — arccos
Для каждой тригонометрической функции, такой как cos, существует обратная функция, которая работает в обратном порядке.Эти обратные функции имеют то же имя, но с дугой впереди. Таким образом, cos является обратной величиной arccos и т. Д.
Когда мы видим «arccos A», мы интерпретируем его как «угол, косинус которого равен A».
| cos60 = 0,5 | Означает: косинус 60 градусов равен 0,5 |
| arccos0.5 = 60 | Означает: угол, косинус которого равен 0,5, равен 60 градусам. |
Мы используем его, когда знаем, что такое косинус угла, и хотим узнать фактический угол.
Также определение арккосинуса и Обратные функции — тригонометрияБольшие и отрицательные углы
В прямоугольном треугольнике два переменных угла всегда меньше 90 °. (См. Внутренние углы треугольника). Но на самом деле мы можем найти косинус любого угла, независимо от его размера, а также косинус отрицательных углов. Подробнее об этом см. Функции больших и отрицательных углов.
Построение функции косинуса
Когда косинус угла отображается в зависимости от угла, в результате получается форма, аналогичная приведенной выше.
Для получения дополнительной информации см. Построение функции косинуса.
Производная cos (x)
В расчетах производная cos (x) равна –sin (x) . Это означает, что при любом значении x скорость изменения или наклон cos (x) составляет –sin (x) . Подробнее об этом см. Производные тригонометрических функций вместе с производными других тригонометрических функций. См. Также Оглавление по исчислению.
(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.
Как найти косинус угла с помощью функции COS в Excel
Если вам нужно найти косинус угла, используйте функцию COS в Microsoft Excel. Независимо от того, указан ли ваш угол в градусах или радианах, это решение работает с небольшими настройками. Следуйте этому пошаговому руководству, чтобы узнать, как легко воспользоваться быстрыми математическими навыками Excel.
Инструкции в этой статье относятся к Excel 2019, 2016, 2013, 2010, 2007; Excel для Mac, Excel 365, Excel Online, Excel для Android, Excel для iPad и Excel для iPhone.
Найдите косинус угла в Excel
Косинус тригонометрической функции, как синус и тангенс, основан на прямоугольном треугольнике (треугольнике с углом, равным 90 градусам), как показано на изображении ниже.
В математическом классе косинус угла находится путем деления длины стороны, примыкающей к углу, на длину гипотенузы. В Excel косинус угла можно найти с помощью функции COS, если угол измеряется в радианах.
Функция COS экономит много времени и, возможно, избавляет вас от лишних хлопот, поскольку вам больше не нужно помнить, какая сторона треугольника примыкает к углу, который является противоположным, а какой является гипотенузой.
Понять градусы и радианы
Использование функции COS для определения косинуса угла может быть проще, чем выполнение этого вручную, но, как уже упоминалось, важно понимать, что при использовании функции COS угол должен быть в радианах , а не в градусах.
Радианы связаны с радиусом круга. Один радиан равен примерно 57 градусам.
Чтобы упростить работу с COS и другими триггерами Excel, используйте функцию РАДИАНЫ Excel для преобразования измеряемого угла из градусов в радианы, как показано в ячейке B2 на изображении выше. В этом примере угол 60 градусов преобразуется в 1,047197551 радиан.
Другие варианты преобразования из градусов в радианы включают в себя вложение функции РАДИАНЫ в функцию COS (как показано в строке 3 в примере изображения) и использование функции PI Excel в формуле (как показано в строке 4 на изображении в качестве примера).
Тригонометрическое использование в Excel
Тригонометрия фокусируется на отношениях между сторонами и углами треугольника, и, хотя многим из нас не нужно использовать ее ежедневно, тригонометрия находит применение в ряде областей, включая архитектуру, физику, инженерию и геодезию.
Например, архитекторы используют тригонометрию для расчетов, связанных с затенением от солнца, структурной нагрузкой и уклонами крыши.
Синтаксис и аргументы функции COS Excel
Синтаксис функции относится к макету функции и включает имя функции, скобки и аргументы.Синтаксис функции COS:
= COS ( Число )data-type = «code»>
Номер: Рассчитываемый угол в радианах. Для этого аргумента можно ввести размер угла в радианах или вместо этого ввести ссылку на ячейку, указывающую на расположение этих данных на листе.
Используйте функцию COS Excel
Пример в этой статье описывает шаги, используемые для ввода функции COS в ячейку C2 на изображении выше, чтобы найти косинус угла 60 градусов или 1.047197551 радиан.
Варианты ввода функции COS включают ввод вручную всей функции или использование диалогового окна «Аргументы функции», как показано ниже.
Войдите в COS-функцию
Выберите на листе ячейку C2 , чтобы сделать ее активной.
Выберите вкладку Формулы на панели ленты.
Выберите Math & Trig на ленте, чтобы открыть раскрывающийся список функций.
Выберите COS в списке, чтобы открыть диалоговое окно «Аргументы функций». В Excel для Mac откроется построитель формул.
В диалоговом окне поместите курсор в числовую строку.
Выберите на листе ячейку B2 , чтобы ввести ссылку на эту ячейку в формулу.
Выберите OK , чтобы заполнить формулу и вернуться к рабочему листу. За исключением Excel для Mac, где вместо этого вы выбираете Готово .
Ответ 0,5 появляется в ячейке C2, , который является косинусом угла 60 градусов.
Выберите ячейку C2, чтобы увидеть полную функцию в строке формул над листом.
= COS (B2)data-type = «code»>
Устранение проблем с функцией COS в Excel
# ЗНАЧЕНИЕ! Ошибки
Функция COS отображает # ЗНАЧ! ошибка, если ссылка, используемая в качестве аргумента функции, указывает на ячейку, содержащую текстовые данные.Измените тип данных ячейки на Числа, чтобы исправить ошибку.
Результаты пустой ячейки
Если ячейка указывает на пустую ячейку, функция возвращает значение, равное единице. Триггерные функции Excel интерпретируют пустые ячейки как ноль, а косинус нуля радиан равен единице. Исправьте ошибку, указав свою функцию в правой ячейке.
Спасибо, что сообщили нам об этом!
Расскажите, почему!
Другой Недостаточно подробностей Сложно понятьКалькулятор косинуса 📐 — вычисляет cos (x) в градусах или радианах.
Используйте этот калькулятор косинуса, чтобы легко вычислить косинус угла в градусах или радианах.
Быстрая навигация:
- Функция косинуса (cos (x))
- Связанные тригонометрические функции
- Как вычислить косинус угла?
- Применение функции косинуса
Косинус — это тригонометрическая функция угла, обычно определяемая для острых углов внутри прямоугольного треугольника как отношение длины смежной стороны к гипотенузе.Это дополнение к синусу. На рисунке ниже cos (α) = b / c и cos (β) = a / c.
Поскольку cos (α) = b / c , из этого определения следует, что косинус любого угла всегда меньше или равен единице и может принимать отрицательные значения. Косинус угла 90 градусов равен нулю, поскольку для его вычисления нам понадобится треугольник с двумя углами 90 градусов, что является определением прямой линии. Поскольку третьей стороны треугольника не существует (длина равна 0), косинус равен нулю (0, разделенный на длину гипотенузы, равен 0).Вы можете использовать этот калькулятор косинусов, чтобы убедиться в этом.
Обычно используемый закон в тригонометрии, который тривиально выводится из определения косинуса, — это закон косинусов : c 2 = a 2 + b 2 — 2ab · cosγ
Косинус , обратный косинусу , представляет собой секанс: sec (x), иногда записываемый как секанс (x), который дает отношение длины гипотенузы к длине стороны, противоположной углу.
, обратный косинусу , — это функция арккосинуса: acos (x) или arccos (x), которая принимает значения от 0 до 180 градусов.Это полезно для определения угла x, когда известен cos (x).
Как рассчитать косинус угла?
Наш калькулятор косинусов поддерживает ввод как в градусах, так и в радианах, поэтому после того, как вы измерили угол или просмотрели план или схему, вы просто вводите измерение и нажимаете «вычислить». Вот как это просто.
Если угол неизвестен, но указаны длины смежной стороны и гипотенузы прямоугольного треугольника, то вычисление косинуса может быть выполнено путем деления смежной стороны на гипотенузу (сторона c, как показано на рисунке выше).Например, если нужно найти cot (α) и известно, что соседняя сторона b = 6 и c = 20, то cos (α) = 6/20 = 0,3.
Применение функции косинусаФункция косинуса может использоваться для моделирования периодических явлений в физике, биологии, социальных науках и т. Д. Более практический пример — если вы хотите срубить дерево, знаете его высоту и хотите знать, насколько далеко вы находитесь в данный момент. стоя, используйте функцию загара.
JPEG, очень распространенный алгоритм сжатия изображений, использует так называемую функцию «дискретного косинусного преобразования» (DCT) для выражения конечных последовательностей точек данных в виде сумм функций косинуса с различными частотами колебаний.Модифицированная версия используется в качестве основы для популярного кодека сжатия звука MP3, а также AAC, Vorbis и WMA. MPEG и DV также основаны на аналогичных расчетах.
Вверху: волна, генерируемая с помощью функции косинуса. Косинусоидальная волна — это зеркальное отображение синусоидальной волны.
Таблица общих значений косинуса:
| x (°) | x (рад.) | синус (x) |
|---|---|---|
| 0 ° | 0 | 1 |
| 30 ° | π / 6 | 0.866025 |
| 45 ° | π / 4 | 0,707107 |
| 60 ° | π / 3 | 0,50 |
| 90 ° | π / 2 | 0 |
| 120 ° | 2π / 3 | -0,50 |
| 135 ° | 3π / 4 | -0,707107 |
| 150 ° | 5π / 6 | -0,866025 |
| 180 ° | π | -1 |
Функция косинуса в прямоугольных треугольниках
Косинус — это тригонометрическое соотношение, сравнивающее две стороны прямоугольного треугольника.Косинус обычно сокращается до cos, но произносится как косинус. Эта функция может использоваться для определения длины стороны треугольника, если задана хотя бы одна сторона треугольника и один из острых углов.Быстрый просмотр: три основных триггерных отношения: синус, косинус и тангенс. Их можно запомнить с помощью SOH CAH TAH Что это значит? Это означает, что косинус — это отношение соседней стороны к гипотенузе.
Cosθ =
Давайте рассмотрим пример того, как можно использовать косинус для определения длины противоположной стороны.
Чтобы найти x, напишите уравнение, используя коэффициент косинуса, а затем решите для x
cos 30 ° = умножьте обе части уравнения на 15
(15) cos 30 = (15) Вам понадобится калькулятор, чтобы найдите значение cos 30 °
(15) (.8660) = x убедитесь, что ваш калькулятор работает в градусном режиме, проверив, что cos 30 .8660 (округлено до 4 знаков после запятой)
12,99 = x На соседней стороне указано приблизительное значение длина 12,99 или 13 с округлением до ближайшей десятой.
Теперь давайте посмотрим, как можно использовать косинус для определения длины гипотенузы.
Чтобы найти x, напишите уравнение, используя отношение косинусов, а затем решите относительно x
Cos 20 ° = Умножьте обе части уравнения на x.
(x) cos 20 ° = (x) Вам нужно будет использовать калькулятор, чтобы найти значение cos 20 °. Округлить до 4 десятичных знаков
Убедитесь, что ваш калькулятор работает в градусном режиме, убедившись, что (x) (.9397) = 10 cos 20 .9397
Разделите обе стороны на.9397, чтобы выделить x
x = 10,6417 Округлите ответ до ближайшей десятой
x = 10,6 длина гипотенузы составляет приблизительно 10,6
Триггерные отношения имеют множество реальных и практических приложений в таких областях, как авиация, архитектура, геодезия . Использование тригонометрических соотношений, таких как косинус, позволяет измерять вещи, которые нельзя определить с помощью обычных измерительных инструментов.
.