Нахождение логарифма: Нахождение области определения логарифма, переменная в основании логарифма — задание. Алгебра, 11 класс.

Содержание

Как решать логарифмические уравнения — подробный разбор. Логарифмы. Логарифмические формулы. Свойства логарифмов

Содержание

  1. Вычисление логарифмов по определению
  2. Как решать «вложенные» логарифмические уравнения
  3. Тонкости и хитрости решения
  4. Логарифмические уравнения. Методы решения
  5. Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения
  6. Примеры решения логарифмов на основании формул
  7. Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма
  8. Использование свойств логарифмов при вычислении
  9. Зачем в жизни нужны логарифмы?
  10. Пример Найдите корень уравнения.
  11. Степень можно выносить за знак логарифма
  12. Формула перехода к новому основанию
  13. Несколько простых примеров с логарифмами
  14. Сложные задачи
  15. Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства
  16. Нахождение логарифмов через другие известные логарифмы

Вычисление логарифмов по определению

В простейших случаях возможно достаточно быстро и легко выполнить нахождение логарифма по определению. Давайте подробно рассмотрим, как происходит этот процесс.

Его суть состоит в представлении числа b в виде ac, откуда по определению логарифма число c является значением логарифма. То есть, нахождению логарифма по определению отвечает следующая цепочка равенств: logab=logaac=c.

Итак, вычисление логарифма по определению сводится к нахождению такого числа c, что ac=b, а само число c есть искомое значение логарифма.

Учитывая информацию предыдущих абзацев, когда число под знаком логарифма задано некоторой степенью основания логарифма, то можно сразу указать, чему равен логарифм – он равен показателю степени. Покажем решения примеров.

Пример.

Найдите log22−3, а также вычислите натуральный логарифм числа e5,3.

Решение.

Определение логарифма позволяет нам сразу сказать, что log22−3=−3. Действительно, число под знаком логарифма равно основанию 2 в −3 степени.

Аналогично находим второй логарифм: lne5,3=5,3.

Ответ:

log22−3=−3 и lne5,3=5,3.

Если же число b под знаком логарифма не задано как степень основания логарифма, то нужно внимательно посмотреть, нельзя ли прийти к представлению числа b в виде ac. Часто такое представление бывает достаточно очевидно, особенно когда число под знаком логарифма равно основанию в степени 1, или 2, или 3, …

Пример.

Вычислите логарифмы log525, и .

Решение.

Несложно заметить, что 25=52, это позволяет вычислять первый логарифм: log525=log552=2.

Переходим к вычислению второго логарифма . Число можно представить в виде степени числа 7: (при необходимости смотрите степень с дробным показателем). Следовательно, .

Перепишем третий логарифм в следующем виде . Теперь можно увидеть, что , откуда заключаем, что . Следовательно, по определению логарифма .

Коротко решение можно было записать так: .

Ответ:

log525=2, и .

Когда под знаком логарифма находится достаточно большое натуральное число, то его не помешает разложить на простые множители. Это часто помогает представить такое число в виде некоторой степени основания логарифма, а значит, вычислить этот логарифм по определению.

Пример.

Найдите значение логарифма .

Решение.

Разложение на простые множители числа под знаком логарифма имеет вид 7776=25·35, откуда следует, что 7776=65. Полученное выражение несложно представить в виде степени числа . Так как , то (в последнем переходе мы использовали свойство степени в степени). Таким образом, . На этом вычисление логарифма завершено.

Ответ:

.

В заключение этого пункта отметим, что мы не ставили целью рассмотреть все способы представления числа под знаком логарифма в виде некоторой степени основания. Наша цель заключалась в том, чтобы дать самые часто используемые варианты действий, приводящие к результату при вычислении логарифмов по определению.

Как решать «вложенные» логарифмические уравнения

Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого логарифма. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы.Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы. Напомню, если у нас есть простейшее логарифмическое уравнение вида logaf(x) = b, то для решения такого уравнения мы выполняем следующие шаги. В первую очередь, нам нужно заменить число b:

b = logaab

Заметьте: ab— это аргумент. Точно так же в исходном уравнении аргументом является функция f(x). Затем мы переписываем уравнение и получаем вот такую конструкцию:

logaf(x) = logaab

Уже затем мы можем выполнить третий шаг — избавится от знака логарифма и просто записать:

f(x) = ab

В результате мы получим новое уравнение. При этом никаких ограничений на функцию f(x) не накладывается. Например, на ее месте также может стоять логарифмическая функция. И тогда мы вновь получим логарифмическое уравнение, которое снова сведем к простейшему и решим через каноническую форму.

Впрочем, хватит лирики. Давайте решим настоящую задачу. Итак, задача № 1:

log2 (1 + 3 log2x) = 2

Как видим, перед нами простейшее логарифмическое уравнение. В роли f(x) выступает конструкция 1 + 3 log2x, а в роли числа b выступает число 2 (в роли aтакже выступает двойка). Давайте перепишем эту двойку следующим образом:

2 = log2 22

Важно понимать, что первые две двойки пришли к нам из основания логарифма, т. е. если бы в исходном уравнении стояла 5, то мы бы получили, что 2 = log5 52. В общем, основание зависит исключительно от логарифма, который изначально дан в задаче. И в нашем случае это число 2.

Итак, переписываем наше логарифмическое уравнение с учетом того, что двойка, которая стоит справа, на самом деле тоже является логарифмом. Получим:

log2 (1 + 3 log2x) = log2 4

Переходим к последнему шагу нашей схемы — избавляемся от канонической формы. Можно сказать, просто зачеркиваем знаки log. Однако с точки зрения математики «зачеркнуть log» невозможно — правильнее сказать, что мы просто просто приравниваем аргументы:

1 + 3 log2x = 4

Отсюда легко находится 3 log2x:

3 log2x = 3

log2x = 1

Мы вновь получили простейшее логарифмическое уравнение, давайте снова приведем его к канонической форме. Для этого нам необходимо провести следующие изменения:

1 = log2 21 = log2 2

Почему в основании именно двойка? Потому что в нашем каноническом уравнении слева стоит логарифм именно по основанию 2. Переписываем задачу с учетом этого факта:

log2x = log2 2

Снова избавляемся от знака логарифма, т. е. просто приравниваем аргументы. Мы вправе это сделать, потому что основания одинаковые, и больше никаких дополнительных действий ни справа, ни слева не выполнялось:

х = 2

Вот и все! Задача решена. Мы нашли решение логарифмического уравнения.

Обратите внимание! Хотя переменная х и стоит в аргументе (т. е. возникают требования к области определения), мы никаких дополнительных требований предъявлять не будем.

Как я уже говорил выше, данная проверка является избыточной, если переменная встречается лишь в одном аргументе лишь одного логарифма. В нашем случае х действительно стоит лишь в аргументе и лишь под одним знаком log. Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется.

Тем не менее, если вы не доверяете данному методу, то легко можете убедиться, что х = 2 действительно является корнем. Достаточно подставить это число в исходное уравнение.

Давайте перейдем ко второму уравнению, оно чуть интересней:

log2 (log1/2 (2x− 1) + log2 4) = 1

Если обозначить выражение внутри большого логарифма функцией f(x), получим простейшее логарифмическое уравнение, с которого мы начинали сегодняшний видеоурок. Следовательно, можно применить каноническую форму, для чего придется представить единицу в виде log2 21 = log2 2.

Переписываем наше большое уравнение:

log2 (log1/2 (2x − 1) + log2 4) = log2 2

Изваляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы. Мы вправе это сделать, потому что и слева, и справа основания одинаковые. Кроме того, заметим, что log2 4 = 2:

log1/2 (2x− 1) + 2 = 2

log1/2 (2x− 1) = 0

Перед нами снова простейшее логарифмическое уравнение вида logaf(x) = b. Переходим к канонической форме, т. е. представляем ноль в виде log1/2 (1/2)0 = log1/2 1.

Переписываем наше уравнение и избавляемся от знака log, приравнивая аргументы:

log1/2 (2x− 1) = log1/2 1

2x − 1 = 1

2х = 2

х = 1

Опять же мы сразу получили ответ. Никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходном уравнении лишь один логарифм содержит функцию в аргументе.

Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется. Мы можем смело утверждать, что х = 1 является единственным корнем данного уравнения.

А вот если бы во втором логарифме вместо четверки стояла бы какая-то функция от х (либо 2х стояло бы не в аргументе, а в основании) — вот тогда потребовалось бы проверять область определения. Иначе велик шанс нарваться на лишние корни.

Откуда возникают такие лишние корни? Этот момент нужно очень четко понимать. Взгляните на исходные уравнения: везде функция х стоит под знаком логарифма. Следовательно, поскольку мы записали log2x, то автоматически выставляем требование х > 0. Иначе данная запись просто не имеет смысла.

Однако по мере решения логарифмического уравнения мы избавляемся от всех знаков log и получаем простенькие конструкции. Здесь уже никаких ограничений не выставляется, потому что линейная функция определена при любом значении х.

Именно эта проблема, когда итоговая функция определена везде и всегда, а исходная — отнюдь не везде и не всегда, и является причиной, по которой в решении логарифмических уравнениях очень часто возникают лишние корни.

Но повторю еще раз: такое происходить лишь в ситуации, когда функция стоит либо в нескольких логарифмах, либо в основании одного из них. В тех задачах, которые мы рассматриваем сегодня, проблем с расширением области определения в принципе не существует.

Тонкости и хитрости решения

Сегодня мы переходим к более сложным задачам и будем решать логарифмическое уравнение, в основании которого стоит не число, а функция.

И пусть даже эта функция линейна — в схему решения придется внести небольшие изменения, смысл которых сводится к дополнительным требованиям, накладываемым на область определения логарифма.

Логарифмические уравнения. Методы решения

На самом деле существует целая масса подходов: это и разложение на множители, и потенцирование, и замена, и работа с основаниями…

Но все методы решения логарифмических уравнения роднит одно: их цель свести логарифмические уравнения к простейшему виду::

Если уравнение сведено к такому, что слева и справа от знака «равно» стоят логарифмы с одним основанием, то логарифмы мы «зачеркиваем» и решаем оставшееся уравнение.

Однако, тут есть один подводный камень: поскольку логарифм определен только тогда, когда

то после нахождения корней логарифмического уравнения, мы обязаны сделать проверку!!! Я не поленюсь и повторю еще раз:

В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ МЫ ВСЕГДА ДЕЛАЕМ ПРОВЕРКУ ПОЛУЧЕННЫХ КОРНЕЙ!!

Те учащиеся, которые игнорируют это требование, как правило допускают глупейшие и непростительные ошибки!

Согласись, обидно решить правильно уравнение, а потом не сделать самую малость: проверку, и записать лишние корни, и записать из-за этого неправильный ответ!

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения







Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения logab = x, что равносильно ax = b, поэтому logaax = x.

Логарифмы, примеры:

log28 = 3, т.к. 23 = 8

log749 = 2, т.к. 72 = 49

log51/5 = -1, т.к. 5-1 = 1/5

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

lg100 = 2

log10100 = 2, т.к. 102 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

Основное логарифмическое тождество
a logab = b
Пример.
82log83 = (82log83)2 = 32 = 9

Логарифм произведения равен сумме логарифмов loga (bc) = logab + logac
Пример.
log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4

Логарифм частного равен разности логарифмов
loga (b/c) = logab — logac
Пример.
9 log550/9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа logab m = mlogab

Показатель степени основания логарифма loganb =1/n*logab

loganb m = m/n*logab,

если m = n, получим loganb n = logab

Пример.

log49 = log223 2 = log23

Переход к новому основанию
logab = logcb/logca,

если c = b, получим logbb = 1

тогда logab = 1/logba

Пример.

log0,83*log31,25 = log0,83*log0,81,25/log0,83 = log0,81,25 = log4/55/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям.

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться .

Почему так?

Начнем с простого: допустим, что . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили , всегда получается . Более того, не существует ни для какого . Но при этом может равняться чему угодно (по той же причине – в любой степени равно ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае : в любой положительной степени – это , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что ).

При мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: . Например, (то есть ), а вот не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Решим уравнение .

Вспомним определение: логарифм – это степень, в которую надо возвести основание , чтобы получить аргумент . И по условию, эта степень равна : .

Получаем обычное квадратное уравнение: . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна , а произведение . Легко подобрать, это числа и .

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

– верно.

– это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Тогда, получив корни и , сразу отбросим корень , и напишем правильный ответ.

Использование свойств логарифмов при вычислении


Мощным инструментом вычисления логарифмов является использование свойств логарифмов.

Некоторые свойства логарифмов позволяют сразу указать значение логарифмов. К таким свойствам относятся свойство логарифма единицы и свойство логарифма числа, равного основанию: log11=logaa0=0 и logaa=logaa1=1. То есть, когда под знаком логарифма находится число 1 или число a, равное основанию логарифма, то в этих случаях логарифмы равны 0 и 1 соответственно.

Пример.

Чему равны логарифмы и lg10?

Решение.

Так как , то из определения логарифма следует .

Во втором примере число 10 под знаком логарифма совпадает с его основанием, поэтому десятичный логарифм десяти равен единице, то есть, lg10=lg101=1.

Ответ:

и lg10=1.

Отметим, что вычисление логарифмов по определению (которое мы разобрали в предыдущем пункте) подразумевает использование равенства logaap=p, которое является одним из свойств логарифмов.

На практике, когда число под знаком логарифма и основание логарифма легко представляются в виде степени некоторого числа, очень удобно использовать формулу , которая соответствует одному из свойств логарифмов. Рассмотрим пример нахождения логарифма, иллюстрирующий использование этой формулы.

Пример.

Вычислите логарифм .

Решение.

Число под знаком логарифма и основание логарифма можно записать в виде степени двойки: и . Таким образом, . Для вычисления полученного логарифма воспользуемся свойством логарифма , получаем (при затруднениях с вычислениями смотрите статью действия с обыкновенными дробями).

Ответ:

.

Не упомянутые выше свойства логарифмов также используются при вычислении, но об этом поговорим в следующих пунктах.

Зачем в жизни нужны логарифмы?

Я уже говорил, что математики СУПЕРленивые люди? Это правда.

Вот представь себе, им лень умножать и они придумали логарифмы, которые позволяют заменить умножение сложением!

Им еще больше лень возводить в степень и они используют логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!

То есть они используют логарифмы, чтобы быстро проделывать громоздкие вычисления.

Круто, да?

Пример Найдите корень уравнения.

Здесь для решения данного логарифмического уравнения будем использовать свойство логарифма:

То есть внесем число 3 справа под знак логарифма.

или

Если показатели степени равны, основания степени равны, то равны числа, получаемые в результате, то есть получим

Делаем проверку:

Получаем:

Ответ:

Степень можно выносить за знак логарифма

log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a (f (x) 2 =2 log a f(x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1) (9)

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например, lg(xy)=lgx+lgy (x>0,y>0) .

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e — иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам: log a b= lgb lga = lnb lna (a>0,a≠1,b>0)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50. Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5. Решение. lg125/lg5 = log5125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

a log a b =b (a>0,a≠1)
log a a=1 (a>0,a≠1)
log a 1=0 (a>0,a≠1)
log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)
log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)
log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0)
log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1)
log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1)

Сложные задачи

Этот урок будет довольно длинным. В нем мы разберем два довольно серьезных логарифмических уравнения, при решении которых многие ученики допускают ошибки. За свою практику работы репетитором по математике я постоянно сталкивался с двумя видами ошибок:

  1. Возникновение лишних корней из-за расширения области определения логарифмов. Чтобы не допускать такие обидные ошибки, просто внимательно следите за каждым преобразованием;
  2. Потери корней из-за того, что ученик забыл рассмотреть некоторые «тонкие» случаи — именно на таких ситуациях мы сегодня и сосредоточимся.

Это последний урок, посвященный логарифмическим уравнениям. Он будет длинным, мы разберем сложные логарифмические уравнения. Устраивайтесь поудобней, заварите себе чай, и мы начинаем.

Первое уравнение выглядит вполне стандартно:

logx + 1 (x − 0,5) = logx − 0,5 (x + 1)

Сразу заметим, что оба логарифма являются перевернутыми копиями друг друга. Вспоминаем замечательную формулу:

logab = 1/logba

Однако у этой формулы есть ряд ограничений, которые возникают в том случае, если вместо чисел а и b стоят функции от переменной х:

b > 0

1 ≠ a > 0

Эти требования накладываются на основание логарифма. С другой стороны, в дроби от нас требуется 1 ≠ a > 0, поскольку не только переменная a стоит в аргументе логарифма ( следовательно, a > 0), но и сам логарифм находится в знаменателе дроби. Но log

b 1 = 0, а знаменатель должен быть отличным от нуля, поэтому a ≠ 1.

Итак, ограничения на переменную a сохраняется. Но что происходит с переменной b? С одной стороны, из основания следует b> 0, с другой — переменная b≠ 1, потому что основание логарифма должно быть отлично от 1. Итого из правой части формулы следует, что 1 ≠ b > 0.

Но вот беда: второе требование (b ≠ 1) отсутствует в первом неравенстве, посвященном левому логарифму. Другими словами, при выполнении данного преобразования мы должны отдельно проверить, что аргумент bотличен от единицы!

Вот давайте и проверим. Применим нашу формулу:

[Подпись к рисунку]

А теперь, прежде чем идти дальше, выпишем все требования области определения, накладываемые на исходную задачу:

1 ≠ х − 0,5 > 0; 1 ≠ х + 1 > 0

Вот мы и получили, что уже из исходного логарифмического уравнения следует, что и а, и b должны быть больше 0 и не равны 1.

Значит, мы спокойно можем переворачивать логарифмическое уравнение:

Предлагаю ввести новую переменную:

logx + 1 (x − 0,5) = t

В этом случае наша конструкция перепишется следующим образом:

(t2− 1)/t = 0

Заметим, что в числителе у нас стоит разность квадратов. Раскрываем разность квадратов по формуле сокращенного умножения:

(t − 1)(t + 1)/t = 0

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Но в числителе стоит произведение, поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

t1 = 1;

t2 = −1;

t ≠ 0.

Как видим, оба значения переменной tнас устраивают. Однако на этом решение не заканчивается, ведь нам требуется найти не t, а значение x. Возвращаемся к логарифму и получаем:

logx + 1 (x − 0,5) = 1;

logx + 1 (x − 0,5) = −1.

Давайте приведем каждое из этих уравнений к канонической форме:

logx + 1 (x − 0,5) = logx + 1 (x + 1)1

logx + 1 (x − 0,5) = logx + 1 (x + 1)−1

Избавляемся от знака логарифма в первом случае и приравниваем аргументы:

х − 0,5 = х + 1;

х − х = 1 + 0,5;

0 = 1,5.

Такое уравнение не имеет корней, следовательно, первое логарифмическое уравнение также не имеет корней. А вот со вторым уравнением все намного интересней:

(х − 0,5)/1 = 1/(х + 1)

Решаем пропорцию — получим:

(х − 0,5)(х + 1) = 1

Напоминаю, что при решении логарифмических уравнений гораздо удобней приводить все десятичные дроби обычные, поэтому давайте перепишем наше уравнение следующим образом:

(х − 1/2)(х + 1) = 1;

x2 + x− 1/2x− 1/2 − 1 = 0;

x2 + 1/2x− 3/2 = 0.

Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:

(х + 3/2) (х − 1) = 0;

x1 = −1,5;

x2 = 1.

Получили два корня — они являются кандидатами на решение исходного логарифмического уравнения. Для того чтобы понять, какие корни действительно пойдут в ответ, давайте вернемся к исходной задаче. Сейчас мы проверим каждый из наших корней на предмет соответствия области определения:

1,5 ≠ х > 0,5; 0 ≠ х > −1.

Эти требования равносильны двойному неравенству:

1 ≠ х > 0,5

Отсюда сразу видим, что корень х = −1,5 нас не устраивает, а вот х = 1 вполне устраивает. Поэтому х = 1 — окончательное решение логарифмического уравнения.

Переходим ко второй задаче:

logx 25 + log125x 5 = log25x 625

На первый взгляд может показаться, что у всех логарифмов разные основания и разные аргументы. Что делать с такими конструкциями? В первую очередь заметим, что числа 25, 5 и 625 — это степени 5:

25 = 524

А теперь воспользуемся замечательным свойством логарифма. Дело в том, что можно выносить степени из аргумента в виде множителей:

loga bn = n ∙ loga b

На данное преобразование также накладываются ограничения в том случае, когда на месте bстоит функция. Но у нас b— это просто число, и никаких дополнительных ограничений не возникает. Перепишем наше уравнение:

2 ∙ logx 5 + log125x 5 = 4 ∙ log25x 5

Получили уравнение с тремя слагаемыми, содержащими знак log.

Причем аргументы всех трех логарифмов равны.

Самое время перевернуть логарифмы, чтобы привести их к одному основанию — 5. Поскольку в роли переменной b выступает константа, никаких изменений области определения не возникает. Просто переписываем:

Как и предполагалось, в знаменателе «вылезли» одни и те же логарифмы. Предлагаю выполнить замену переменной:

log5x = t

В этом случае наше уравнение будет переписано следующим образом:

Выпишем числитель и раскроем скобки:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) − 4t (t + 3) = 2 (t2 + 5t + 6) + t2 + 2t − 4t2 − 12t = 2t2 + 10t + 12 + t2 + 2t − 4t2 − 12t = −t2 + 12

Возвращаемся к нашей дроби. Числитель должен быть равен нулю:

А знаменатель — отличен от нуля:

t ≠ 0; t ≠ −3; t ≠ −2

Последние требования выполняются автоматически, поскольку все они «завязаны» на целые числа, а все ответы — иррациональные.

Итак, дробно-рациональное уравнение решено, значения переменной t найдены. Возвращаемся к решению логарифмического уравнения и вспоминаем, что такое t:

Приводим это уравнение к канонической форме, получим число с иррациональной степенью. Пусть это вас не смущает — даже такие аргументы можно приравнять:

У нас получилось два корня. Точнее, два кандидата в ответы — проверим их на соответствие области определения. Поскольку в основании логарифма стоит переменная х, потребуем следующее:

1 ≠ х > 0;

С тем же успехом утверждаем, что х ≠ 1/125, иначе основание второго логарифма обратится в единицу. Наконец, х ≠ 1/25 для третьего логарифма.

Итого мы получили четыре ограничения:

1 ≠ х > 0; х ≠ 1/125; х ≠ 1/25

А теперь вопрос: удовлетворяют ли наши корни указанным требованиям? Конечно удовлетворяют! Потому что 5 в любой степени будет больше нуля, и требование х > 0 выполняется автоматически.

С другой стороны, 1 = 50, 1/25 = 5−2, 1/125 = 5−3, а это значит, что данные ограничения для наших корней (у которых, напомню, в показателе стоит иррациональное число) также выполнены, и оба ответа являются решениями задачи.

Итак, мы получили окончательный ответ. Ключевых моментов в данной задаче два:

  1. Будьте внимательны при перевороте логарифма, когда аргумент и основание меняются местами. Подобные преобразования накладывают лишние ограничения на область определения.
  2. Не бойтесь преобразовывать логарифмы: их можно не только переворачивать, но и раскрывать по формуле суммы и вообще менять по любым формулам, которые вы изучали при решении логарифмических выражений. Однако при этом всегда помните: некоторые преобразования расширяют область определения, а некоторые — сужают.

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т. к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета… Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

Ответ: 4.

Нахождение логарифмов через другие известные логарифмы

Информация этого пункта продолжает тему использования свойств логарифмов при их вычислении. Но здесь основное отличие состоит в том, что свойства логарифмов используются для того, чтобы выразить исходный логарифм через другой логарифм, значение которого известно. Приведем пример для пояснения. Допустим, мы знаем, что log23≈1,584963, тогда мы можем найти, например, log26, выполнив небольшое преобразование с помощью свойств логарифма: log26=log2(2·3)=log22+log23≈ 1+1,584963=2,584963.

В приведенном примере нам было достаточно использовать свойство логарифма произведения. Однако намного чаще приходится применять более широкий арсенал свойств логарифмов, чтобы вычислить исходный логарифм через заданные.

Пример.

Вычислите логарифм 27 по основанию 60, если известно, что log602=a и log605=b.

Решение.

Итак, нам нужно найти log6027. Несложно заметить, что 27=33, и исходный логарифм в силу свойства логарифма степени можно переписать как 3·log603.

Теперь посмотрим, как log603 выразить через известные логарифмы. Свойство логарифма числа, равного основанию, позволяет записать равенство log6060=1. С другой стороны log6060=log60(22·3·5)=log6022+log603+log605=2·log602+log603+log605. Таким образом, 2·log602+log603+log605=1. Следовательно, log603=1−2·log602−log605=1−2·a−b.

Наконец, вычисляем исходный логарифм: log6027=3·log603=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Ответ:

log6027=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Отдельно стоит сказать о значении формулы перехода к новому основанию логарифма вида . Она позволяет от логарифмов с любыми основаниями переходить к логарифмам с конкретным основанием, значения которых известны или есть возможность их отыскать. Обычно от исходного логарифма по формуле перехода переходят к логарифмам по одному из оснований 2, e или 10, так как по этим основаниям существуют таблицы логарифмов, позволяющие с определенной степенью точности вычислять их значения. В следующем пункте мы покажем, как это делается.

Источники

  • http://www.cleverstudents.ru/logarithms/computation_of_logarithms.html
  • https://www.berdov.com/docs/logarithm/reshenie-logarifmicheskih-uravneniy/
  • https://youclever.org/book/logarifmicheskie-uravneniya-1
  • https://rgiufa.ru/matematika-fizika-himiya/kakie-sushhestvuyut-formuly-logarifmov.html
  • https://youclever.org/book/logarifmy-1
  • https://repetitor-mathematics. ru/kak-reshat-logarifmicheskie-uravneniya-podrobnyiy-razbor/

Решение прикладных задач. Нахождение значений логарифма по произвольному основанию. Переход от одного основания к другому

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву



Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 38Следующая ⇒

 

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

— определение логарифма;

— свойства логарифмов;

уметь:

— вычислять логарифмы по любому основанию.

Сведения из теории:

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени (х), в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b, т.е. logab=xax=b.

При работе с логарифмами применяются следующие их свойств, вытекающие из свойств показательной функции:

1. а logab=b (где b>0, a>0 и a≠0) называют основным логарифмическим тождеством.

При любом a>0 (a≠0) и любых положительных х и у выполняются равенства:

2. loga1=0.

3. loga а=1.

4. Логарифм произведения равен сумме логарифмов: logax у=logax+loga у.

5. Логарифм частного равен разности логарифмов: loga(x /у)=logaxloga у.

6. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени: logaxk=klogax.

 

Основные свойства логарифмов широко применяются в ходе преобразования выражений, содержащих логарифмы. Среди них формула перехода к новому основанию: logax=logbx / logba. Эта формула верна, если обе ее части имеют смысл, т.е. при x>0, a>0 и a≠0, b>0 и b≠1).

По правилу логарифмирования степени и основному логарифмическому тождеству получаем: logbx=logb(а logaх), откуда logbx=logax·logba. Эту формулу так же можно использовать для упрощения выражений.


С помощью формулы перехода можно найти значение логарифма с произвольным основанием а, имея таблицы логарифмов, составленные для какого-нибудь одного основания b. Наиболее употребительны таблицы десятичных и натуральных логарифмов (десятичными называют логарифмы по основанию 10 и обозначают lg, а натуральными логарифмами называют логарифмы по основанию е~2,72 и обозначают ln).

Пример1. Вычислите log0,37.

Решение: воспользуемся формулой перехода к новому основанию и перейдем к основанию 10:

logax=logbx / logba

log0,37=log107/ log100,3=lg7/lg0,3.

Пользуясь калькулятором или специальными таблицами, например, таблицей В.М. Брадиса, находим значение lg7=0,8451.

Используя 5 и 3 свойства логарифмов, вычисляем

lg0,3=lg(3/10)=lg3-lg10=0,4771-1=-0,5229.

Итак, log0,37=0,8451/(-0,5229)=-1,6162.

Пример 2. Вычислите: (lg72-lg9)/(lg28-lg7).

Решение: используя 5 и 6 свойства логарифмов, вычисляем

lg72-lg9=lg(72/9)=lg8=lg23=3lg2;

lg28-lg7=lg(28/7)=lg4=lg22=2lg2.

Итак,

(lg72-lg9)/(lg28-lg7)=(3lg2)/(2lg2)=3/2=1,5.

 

Задания для самостоятельного решения:

1 вариант 1) Вычислите log0,25. 2) Дано: . Вычислите: . 2 вариант 1) Вычислите log3 0,1. 2) Вычислите: .
3 вариант 1) Вычислите log0,74. 2) Вычислите: 4 вариант 1) Вычислите log0,29. 2) Вычислите: .
5 вариант 1) Вычислите log0,370. 2) Вычислить: 6 вариант 1) Вычислите log0,320. 2) Вычислите: .

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение логарифма числа.

2. Перечислите свойства логарифмов.

 

Практическое занятие

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒



Читайте также:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры



Последнее изменение этой страницы: 2021-11-27; просмотров: 86; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 176.9.44.166 (0.007 с.)

формулы, свойства и вычисление с примерами решения

Содержание:

Множеством (областью) значений показательной функции

Такое значение аргумента единственное, так как если и то по следствию из п. 2.3 верно равенство c = d. Это единственное значение аргумента с называют логарифмом числа b по основанию a и обозначают т. е.

Таким образом, равенство означает, что Сформулируем определение логарифма еще раз.

Определение:

Пусть Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

Приведем несколько примеров:

  • а)
  • б)
  • в)
  • г)
  • д)не имеет смысла, так как значение выражения при любом значении х положительно и не может быть равно -9;
  • е) по определению логарифма не имеют смысла и такие выражения, как поскольку основанием логарифма должно быть положительное число, отличное от единицы.

Нахождение логарифма числа называется логарифмированием.

Обозначим Тогда, согласно определению логарифма, верно равенство т. е.

Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Согласно этому тождеству, например, имеем: Основное логарифмическое тождество позволяет данное число b представить в виде степени с любым положительным основанием.

Например:

История логарифма

Логарифмы были изобретены в 1614 г. шотландским математиком Д. Непером (1550—1617) и независимо от него на 6 лет позднее швейцарским механиком и математиком И. Бюрги (1552—1632).

Оба исследователя хотели найти новое удобное средство арифметических вычислений, но их определения логарифма различны и у обоих не похожи на современные. Понимание логарифма как показателя степени с данным основанием впервые появилось в XVIII в. в работах английского математика В. Гардинера (1742). Широкому распространению этого определения логарифма более других содействовал Jl. Эйлер, который впервые применил в этой связи и термин «основание».

Термин «логарифм» принадлежит Неперу. Он возник из сочетания греческих слов логос — отношение и аритмос — число. Слово «логарифм», таким образом, означало «число отношения».

Пример:

а) Записать число в виде логарифмов по основанию

б) Записать число -5 в виде логарифмов по основанию и х

Решение:

а) По определению логарифма имеем:

б) По определению логарифма имеем:

Пример:

Между какими целыми числами находится число

Решение:

Пусть тогда верно равенство Поскольку По свойствам показательной функции с основанием 2 имеем Значит,находится между числами 4 и 5.

Ответ:

Пример:

Решить уравнение:

Решение:

а) Поскольку то по определению логарифма имеем

б)

Ответ:

Логарифмы по основанию 10 имеют особое название — десятичные логарифмы. Десятичный логарифм числа b обозначается . Таким образом,

▲ Особое обозначение и название имеют не только десятичные логарифмы, но и логарифмы, основанием которых является число е:

Такие логарифмы называются натуральными.

Логарифмы по основанию е позволяют выражать математическую зависимость, которая характеризует многие биологические, химические, физические, социальные и другие процессы. По-видимому, этим объясняется и название «натуральные логарифмы», т. е. естественные (этот термин ввел в 1659 г. итальянский математик П. Менголи). Натуральные и десятичные логарифмы имели большое значение для облегчения вычислений в XVII—XX вв. до создания мощных современных вычислительных средств. Натуральные логарифмы имеют и большое теоретическое значение.▲

Основные свойства логарифмов

Теорема:

При любых положительных значениях b и с верно равенство:

Доказательство:

Докажем утверждение (1).

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем:

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (1).

Докажем утверждение (2). Преобразуем левую часть равенства (2):

I используя равенство (1), получим

Заметим, что равенство (2) можно доказать тем же способом, что и равенство (1), — сделайте это самостоятельно.

Равенство (1) означает, что логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел.

Равенство (2) означает, что логарифм дроби с положительными. числителем и знаменателем равен разности логарифмов числителя и знаменателя.

Замечание. Равенства, доказанные в теореме 1 (как и другие равенства этого пункта), являются тождествами. Действительно, каждое из них превращается в верное числовое равенство при любых значениях a, b и с, для которых входящие в равенство выражения имеют смысл.

Теорема:

При любых значениях s и положительных значениях b верно равенство

Доказательство:

По основному логарифмическому тождеству

по свойствам степени

Таким образом, имеем

Отсюда по следствию из п. 2.3 получаем равенство (3).

Следствие 1. Если числа одного знака, то имеет место равенство

Следствие 2. При любом целом имеет место равенство

Пример №1

Найти значение выражения:

Решение:

Ответ:

Теорема:

При любых значениях и верно равенство

Доказательство:

Способ 1. По основному логарифмическому тождеству имеем

Прологарифмировав левую и правую части этого тождества по основанию а, получим

Применив тождество (3), имеем

Так как Поэтому левую и правую части этого равенства можно разделить на В результате получим тождество (6).

Способ 2. Пусть тогда Логарифмируя обе части этого равенства по основанию а, получаем

Откуда имеем

Итак,

Тождество (6) называется формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Обычно в таблицах, калькуляторах даются значения логарифмов по основанию 10, а когда нужно найти значение логарифма по другому основанию, пользуются формулой перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.

Следствием из тождества (6) при основании а = с является формула

(убедитесь в этом самостоятельно).

Пример №2

Найти значение выражения, если

Решение:

согласно тождеству (6) имеем

используя тождество (3), получим

используя тождество (1), имеем

с учетом условия получим

6)

на основании тождеств (6) и (7) получим

по тождеству (3) и с учетом условия имеем

Ответ:

Следствие 3. Имеют место тождества:

Тождества (8) и (9) можно доказать, используя уже доказанные тождества из этого пункта.

Пример №3

Упростить выражение

Решение:

Используя определение логарифма, представим числа 1 и 3 в виде логарифмов по основанию 2:

по свойству (2) логарифмов имеем

воспользовавшись формулой (7), получим

Ответ:

Развитие науки, прежде всего астрономии, уже в XVI в. привело к необходимости громоздких вычислений при умножении и делении многозначных чисел. Эти вычислительные проблемы были в некоторой степени решены с открытием логарифмов и созданием таблиц логарифмов.

Логарифмическая функция

Рассмотрим выражение где х — переменная, а — постоянная, Это выражение имеет смысл при любом значении х > 0 и не имеет смысла при любом значении Таким образом, естественной областью определения выражения является множество всех положительных действительных чисел, т. е. промежуток

Определение:

Логарифмической функцией называется функция вида где а — постоянная,

Область определения логарифмической функции — это естественная область определения выражения т.е. множество

Графики некоторых логарифмических функций изображены на рисунке 34. Эти изображения (как и для графиков других функций) можно было получить, строя их по точкам. Отметим некоторые особенности изображенных графиков.

График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0).

Когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» опускается вниз. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» поднимается вверх (ем. рис. 34). Аналогично для любой функции при а > 1 (рис. 35). График функции расположен справа от оси Оу и пересекает ось Ох в точке (1; 0) (см. рис. 34).

Заметим, что когда значения аргумента х уменьшаются, т. е. приближаются к нулю, то график этой функции «приближается» к оси Оу и при этом «круто» поднимается вверх. А когда значения аргумента х увеличиваются, то график «медленно» опускается вниз. Аналогично для любой функции при 0

Теорема (о свойствах логарифмической функции )

  1. Областью определения логарифмической функции является интервал
  2. Множеством (областью) значений логарифмической функции является множество R всех действительных чисел.
  3. Логарифмическая функция не имеет ни наименьшего, ни наибольшего значений.
  4. График логарифмической функции пересекается с осью абсцисс в точке (1; 0) и не пересекается с осью ординат.
  5. Значение аргумента х = 1 является нулем логарифмической функции.
  6. 6. При а > 1 логарифмическая функция принимает отрицательные значения на интервале (0; 1) и принимает положительные значения на интервале И при 0 и принимает положительные значения на интервале (0; 1).
  7. Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной.
  8. При а > 1 логарифмическая функция возрастает на всей области определения. При 0
  9. Логарифмическая функция не является периодической.

Изображение графика логарифмической функции позволяет наглядно представить эти свойства.

Множество (область) значений логарифмической функции — проекция ее графика на ось Оу, а на рисунках 35 и 36 видно, что эта проекция есть ось Оу. Это значит, что для любой точки лежащей на оси Оу, найдется такая точка принадлежащая интервалу (свойство 2).

Множество (область) значений логарифмической функции — это множество всех действительных чисел, а в нем нет ни наименьшего числа, ни наибольшего (свойство 3).

График логарифмической функции проходит через точку (1; 0) и лежит в правой полуплоскости (свойства 4, 5).

При а > 1 график логарифмической функции лежит в IV координатном угле, когда и лежит в I координатном угле, когда При 0 и лежит в IV координатном угле, когда (свойство 6).

Область определения логарифмической функции — интервал поэтому логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической (свойства 7, 9).

На рисунке 35 видно, что при а > 1 логарифмическая функция возрастает на области определения, а на рисунке 36 видно, что при 0 а

Пусть точка лежит на графике функции Это значит, что верно числовое равенство следовательно, согласно определению логарифма верно числовое равенство В свою очередь, последнее равенство означает, что точка лежит на графике функции

Заметим, что точки симметричны относительно прямой Таким образом, каждой точке М на графике функции соответствует симметричная ей относительно этой прямой точка N на графике функции и наоборот. Следовательно, графики функций симметричны относительно прямой у = х (рис. 37).

Последнее утверждение дает возможность, зная график функции изобразить график функции (не используя построение по точкам).

▲ Симметричность графиков функций относительно прямой у=х означает, что эти функции взаимно обратны.

Функции называются взаимно обратными, если для любого верно равенство и для любого верно равенство

Покажем, что показательная и логарифмическая функции с одним, и тем же основанием а взаимно обратны.

Пусть Тогда

Для любого

Для любого

Покажем, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х.

Пусть точка лежит на графике функции Это означает, что верно числовое равенство Тогда по определению взаимно обратных функций А равенство означает, что точка лежит на графике функции

Таким образом, каждой точке М на графике функции соответствует симметричная относительно прямой у = х точка N на графике функции и наоборот. Следовательно, графики функций симметричны относительно прямой

  • Заказать решение задач по высшей математике

Логарифмы и их свойства

В предыдущем параграфе вы находили корни уравнения вида  Например:  А какой корень имеет уравнение  Графическим методом можно убедиться, что оно имеет единственное решение (рис. 28). Это число больше 2 и меньше 3, но как его записать?

Для записи корней показательного уравнения используют понятие «логарифм» и соответствующий символ. Корнем уравнения  является число, которое записывают в виде  и читают «логарифм числа 5 по основанию 2».

Рассмотрим общий случай-.

Пусть  — действительные числа;  Если  то число называют логарифмом числа  по основанию 

Логарифмом числа  по основанию  называют показатель степени, в которую нужно возвести число  чтобы получить 

Логарифм числа  по основанию  обозначают символом 

Примеры:

 так как 

  так как  так как 

Основанием логарифма может быть произвольное положительное число, кроме единицы. Как известно, если  то область определения показательной функции  — множество всех действительных чисел  а область значений — множество всех положительных действительных чисел. Поэтому при таких значениях  для любого положительного числа  найдётся такое  что  Другими словами: при любом основании  где  существует логарифм каждого положительного числа. Логарифм отрицательного числа и нуля не существует.

Полезно помнить, что для каждого 

  (почему?).

Нахождение логарифма числа называют логарифмированием. Эта операция обратная к операции возведения в степень с соответствующим основанием.

Согласно определению логарифма, если  Это разные записи одной зависимости. Из них следует равенство

которое называют основным логарифмическим тождеством. Оно правильное для любых положительных 

Например: 

С помощью основного логарифмического тождества любое положительное число можно представить в виде степени, имеющей заданное основание.

Например: 

Докажем ещё несколько важных свойств логарифмов (для положительных 

1) По основному логарифмическому тождеству и основному свойству степени

Итак,  — показатель, в который нужно возвести число  чтобы получить  то есть

Эту формулу можно обобщить на три и более множителя:

Кратко говорят: логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.

2)    Доказательство аналогичное предыдущему:

отсюда

Кратко говорят: логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

3)    Возведём обе части тождества  в степень 

Итак,

Доказанные формулы можно использовать и справа налево, например:

В логарифмах переходить от одного основания к другому можно при помощи формулы перехода

где 

Докажем эту формулу. Поскольку положительные числа  и  равны, то равны и их логарифмы по основанию  Поэтому

 откуда и следует доказываемая формула.

Обратите внимание! Как следствия из формулы перехода можно получить следующие формулы:

Докажите их самостоятельно.

Пример №4

Упростите выражение  

Решение:

Сведём все логарифмы к основанию 5. Имеем:

Особенно часто используют логарифмы по основаниям 10 и  их называют десятичными и натуральными логарифмами. Вместо  пишут соответственно 

 Рассмотренные в параграфе свойства логарифмов правиль-1 ные при условии, что переменные принимают положительные значения. С помощью модуля можно расширить использование некоторых формул. Например:

 Для преобразования выражений, решения уравнений и неравенств используют и другие формулы, содержащие логарифмы:

Докажите их самостоятельно.

Пример №5

Вычислите: 

Решение:

Пример №6

Решите уравнение: 

Решение:

Пусть  тогда  Подставим  в данное уравнение.

Получим:  отсюда 

Поскольку  или 

Ответ.  

Пример №7

Найдите  из равенства:

Решение:

Поскольку 

Ответ. 

Пример №8

Вычислите  если

Решение:

Ответ. 

Нахождение Логарифма — ответ на кроссворд и сканворд

Решение этого кроссворда состоит из 16 букв длиной и начинается с буквы Л


Ниже вы найдете правильный ответ на нахождение логарифма, если вам нужна дополнительная помощь в завершении кроссворда, продолжайте навигацию и воспользуйтесь нашей функцией поиска.

ответ на кроссворд и сканворд

Пятница, 15 Мая 2020 Г.



ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ

предыдущий следующий



ты знаешь ответ ?

ответ:

связанные кроссворды

  1. Логарифмирование
    1. Одно из двух действий, обратных возведению в степень

похожие кроссворды

  1. Целая часть десятичного логарифма 14 букв
  2. Дробная часть логарифма 8 букв
  3. Дробная часть десятичного логарифма (в математике) 8 букв
  4. Шотл. математик, изобретатель логарифма 5 букв
  5. Изобретатель логарифма 5 букв
  6. Часть логарифма 8 букв
  7. Нахождение мужских и женских цветков на одной и той же особи растения
  8. Пребывание, нахождение в каком-нибудь месте в данное время
  9. Постоянное нахождение при ком-нибудь
  10. Нахождение промежуточных значений функции
  11. Нахождение в данном состоянии
  12. Нахождение по ряду известных значений величины других ее значений
  13. Нахождение спектра сигнала
  14. Пребывание, нахождение где-либо
  15. Нахождение в одной плоскости
  16. Нахождение по некоторым известным значениям функции ее промежуточных значений
  17. Нахождение от и до.
  18. Нахождение интеграла
  19. Нахождение по прямой линии в строю

Определение логарифма — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

1. 1. Определение логарифма

Рассмотрим показательное уравнение
а х b, где а 0 и а 1, x R.
При b 0 это уравнение не имеет решений;
при b 0 показательное уравнение имеет
единственный
корень.
Этот
корень
называют логарифмом b по основанию а и
обозначают log a b .

2. Определение.

Логарифмом положительного числа b
по основанию а, где а 0 , a 1,
называется показатель степени, в
которую надо возвести основание а,
чтобы получить число b, т.е.
а b; x log a b , a
х
log a b
b
Формулу a loga b b
(где b 0, а 0, а 1 ) называют
основным логарифмическим тождеством.

4. Примеры. Заполнить пропуски:

1.
log 2 8 …, т.к. 2 8, а 2, b 8
2.
1
log 3 …,
9
log 7 7 … ,
3.

1
1
т.к. 3 , а 3, b
9
9
т.к. 7… 7, а 7, b 7

4.
log 4 1 …, т.к. 4 1, а 4, b 1;
5.
log … 16 4, т.к. … 16;
6.
1
1
5
log …
5, т.к. …
;
32
32

4

5. Примеры. Заполнить пропуски:

Примеры.
7.
8.
9.
10.
…;
log4 5
4
1
2
log 1 3
log … 4
5
2
…;
4
log1 3 …
13
Заполнить пропуски:
3
.
4

6. Примеры.

11. Вычислить log 64 128 ?
log 64 128 х,
по определению : 64 х 128
26 х 27
6х 7
7
x
6
7
Ответ : log 64 128 .
6

7. Примеры.

2 log3 5
12. 3
log3 5 2
3
5
13. Решить уравнение
log 3 1 х 2
3 1 х
2
х 8
2
1 25;

8. 2. Свойства логарифмов

При работе с логарифмами
применяются следующие их свойства,
вытекающие из свойств показательной
функции:
При любом а 0 а 1 и любых
положительных чисел х и у выполнены
равенства:

9.

Свойства логарифмов:1.
log a 1 0, т.к. а 1
2.
log a а 1, т.к. а а
0
1
3.
логарифм произведения равен сумме логарифмов:
4.
логарифм частного равен разности логарифмов:
log a ху log a х log a у
х
log a log a х log a у
у
5.
логарифм степени равен произведению
показателя степени на логарифм основания этой степени:
log a х р р log a х, где р R
Основные свойства логарифмов
широко применяются в ходе
преобразований выражений,
содержащих логарифмы. При этом
используются формулы перехода от
одного основания логарифма к
другому основанию:
log c b
, где b 0, a 0, a 1, c 1, c 0.
1. log a b
log c a
1
2. log a b
log b a
3. log1 a b log a b
1
4. log a p b log a b,
p
.
a 0, a 1, b 0, p 0.

12. Примеры:

14. log 12 2 log 12 72
15
15. log 2 15 log 2
16
5
log
16.
13 169
17. log 8 12 log 8 15 log 8 20
18.
log 3 8
log 3 16

13.

Примеры:14. log12 2 log12 72 log12 2 72 log12 144 2
15
15
log 2
log 2 16 4
15. log 2 15 log 2
16
15 16
16. log13
17.log
5
1
5
2
5
2
2
169 log13 169 log13 13 log13 13
5
5
8 x 16
4
12 20
3x
4
log 8 16 2 2
8 12 log 8 15 log 8 20 log 8
3
15
x 4 3
3
log
8
log
2
3 log 3 2 3
18.
3
3
4
log 3 16 log 3 2
4 log 3 2 4

14. 3. Логарифмирование и потенцирование

Действие нахождения логарифма числа
называют логарифмированием.
Нахождение положительного числа по его
логарифму называют потенцированием.

15. Примеры.

19. Прологарифмировать выражения:
а) х 2а b; б) х
3
ab
3
;
в)
х
а
b
3
c
Ответ. а) log х log 2 3 log а log b;
1
б) log х log a log b 3 log c ;
2
1
1
в) log х log a log b.
2
6
20. Пропотенцировать выражения:
1
1
а) log х log a log b;
3
2
1
3
2
б) log х log a log b log с.
4
4
3
Ответ.
а) х
3
а
; б) х
b
4
3
ab
c
3
2
.

17. 4. Десятичные и натуральные логарифмы.

Десятичным логарифмом числа
называют логарифм этого числа по
основанию 10 и пишут:
log 10 b lg b
Натуральным логарифмом числа
называют логарифм этого числа по
основанию е, где e 2,7182818… 2,7
– иррациональное число, и пишут:
log e b ln b

18. Вычислите самостоятельно:

à) log 2 16 …;
á) log 2 64 …;
â) log 2 2 …;
ã) log 2 1 …;
1
ä) log 2 …;
2
log3 18
æ) 3
…;
1
å) log 2 ….;
8
5 log3 2
ç) 3
….

19. Упростить выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

1
à)
2
6 log 1 2
á) 0,3
â) 7
ã) 8
2
2 log0 , 3 6
1
log7 9
2
log2 5
ä) 9 log3 12
å) 16
log4 7
æ) 0,125
log0 , 5 7

20. Упростить выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

1
à)
2
6 log1 2
2
1
2
log1 2
2
6
26 64;

21.

Упростить выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:1
à)
2
6 log 1 2
á) 0,3
2
1
2
2 log0 , 3 6
log 1 2
2
6
26 64;
log0 , 3 6 2
0,3
6 2 36;

22. Упростить выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством:

1
à)
2
6 log 1 2
á) 0,3
â) 7
2
1
2
2 log0 , 3 6
1
log7 9
2
log 1 2
26 64;
log0 , 3 6 2
0,3
7
2
6
1
log7 9 2
1
2
6 2 36;
9 3;

23. Найти число х по определению логарифма:

log 6 x 3 log 2 5 x 3
6 x
2 5 x
x 216
x 3
3
3
log 1 0,5 x 1
6
1
1
0,5 x
6
6 0,5 x
x 5,5

English     Русский Правила

Ответы и решения. Карманные часы? Секундомер?

См. статью «Что видим? Нечто странное! Карманные часы? Секундомер?».

Фото Леонида Ашкинази.

Фото Леонида Ашкинази.

Открыть в полном размере


Нет. Это логарифмическая линейка, хоть и странно называть линейкой не длинную, а круглую вещь.

Когда мы делаем какие-то простые инженерные или физические расчёты, то чаще всего приходится выполнять сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней, реже — нахождение тригонометрических функций. Причём точность исходных данных, следовательно и точность результатов, редко превышает три значащие цифры. Бывают исключения, когда расчёты ведутся с гораздо более высокой точностью, например при определении траекторий космических аппаратов. Однако необходимость высокой точности в технике относительно редка, в частности потому, что исходные данные, например параметры материалов (прочность, плотность, сопротивление, теплопроводность и так далее), всё равно имеют естественную погрешность.

Все перечисленные операции прекрасно выполняются с помощью калькуляторов или соответствующих программ в компьютере или ином устройстве. Представьте себе, однако, что вы нашли в своих закромах, на антресолях, в гаражах и сараях нечто, показанное на фотографиях, и задумались: что это такое? Чтобы понять, вернёмся к вычислениям.

Операции, которые бывает нужно выполнять, можно разделить на две большие группы — когда число, с которым нужно что-то сделать, одно и когда таких чисел два. Первая группа — это чаще всего возведение в квадрат и куб, извлечение квадратного и кубического корня, нахождение тригонометрических функций. Операции с одним числом можно делать с помощью таблиц, пользование ими совершенно элементарно и точность они обеспечивают с избытком.

Иначе обстоит дело, когда операцию надо произвести над двумя числами. Правда, и эту проблему можно решить при помощи таблиц, но при обычной технической точности объём таблиц оказывается слишком большим. Конечно, сложение и вычитание сделать достаточно легко с помощью бумаги и карандаша, но с умножением и делением, особенно если надо посчитать какую-нибудь дробь с четырьмя или пятью сомножителями в числителе и таким же количеством в знаменателе, возиться придётся долго. Причём, опасаясь вполне возможных ошибок, вы будете каждое такое вычисление повторять. И хвататься за голову, получив при проверке другой результат… А ещё одна проблема состоит в том, что среди сомножителей могут оказаться синусы, косинусы, степени и корни. И вам придётся сначала ползать по таблицам, выписывать на бумажку результаты, а потом с ними ещё что-то делать.

Именно проблема упрощения подобных вычислений была решена в начале XVII века трудами нескольких, преимущественно английских математиков и астрономов, создавших так называемую логарифмическую линейку. Конкретного изобретателя, как обычно бывает в таких случаях, назвать нельзя — это было коллективное творчество со многими взаимовлияниями и зависимостями. Суть устройства — в движущихся и неподвижных шкалах, и сейчас мы с этой сутью разберёмся. А сами шкалы могут быть и линейные и круглые, причём круглое, конечно, проще класть в карман, но работать удобнее на обычной, линейной. Иногда пишут, что круглые обеспечивали бoльшую точность, но это не так: точность зависит от длины шкалы (для её увеличения применялись и спиральные шкалы), аккуратности исполнения и пользования. Кстати, известны варианты обычных, линейных линеек и с лупой для более точного чтения результатов, и с очень длинными шкалами. Но вернёмся к двум принципам.

Совершенно очевидно, как с помощью двух перемещающихся одна относительно другой шкал можно было осуществить сложение. Дело в том, что при относительном движении вдоль одной прямой перемещения действительно складываются. Некоторые авторы пишут, что линейки именно так и работали — для сложения чисел складывали перемещения. Однако это ошибка — так не делалось, потому что при сложении таким способом невозможно получить необходимую точность; да и зачем это нужно, когда есть бумага и карандаш?

С помощью подвижных шкал умножали и делили! Это оказалось возможным потому, что существует такая функция — логарифм. Единственное нужное нам сейчас её свойство таково: чтобы перемножить два числа — A и B, то есть получить их произведение С, надо применить эту функцию к этим числам, то есть найти их логарифмы — lg A и lg B, потом их сложить (lg A + lg B) и над суммой проделать обратную операцию — найти то число C, логарифм которого равен этой сумме: lg C = lg A + lg B. Это самое C и будет произведением С = AB. Нынче логарифмам учат в школах, а когда-то изобрести эту функцию было серьёзным достижением. Впрочем, придумать такое было бы достижением и сейчас.

Причём операцию нахождения логарифма и обратную операцию линейка делает «сама» — деления на шкалах нанесены неравномерно, а именно так, что если мы установим начало одной шкалы напротив числа A на другой шкале и посмотрим, какое число окажется на ней напротив числа B, то мы и увидим число C = AB.

Второй принцип, положенный в основу логарифмических линеек, таков: на них есть жёсткие, неподвижные шкалы, позволяющие увидеть квадраты, кубы и тригонометрические функции. Причём результаты операций во многих случаях не нужно выписывать на бумажку — их можно сразу использовать при вычислениях.

В течение трёх веков логарифмические линейки верой и правдой служили инженерам и значительной части физиков. Они побывали и в космосе, сопровождая на Луну американских астронавтов. В 70-е годы прошлого века линейки начали уступать место калькуляторам, однако мозгов это нам не прибавило; нынче школьники, умножая на калькуляторе 2,87 на 3,12, недрогнувшей рукой списывают с дисплея 8,9544, хотя такая точность, если сомножители заданы с двумя знаками после запятой, абсолютно не имеет смысла. Логарифмическая линейка хоть от такого уберегала…

Всё-таки жаль, что столь остроумное и элегантное изобретение, служившее более трёх веков, уже никому не нужно и что ни школьников, ни студентов обращению с логарифмической линейкой больше не учат.

Если вам встретится на улице или найдётся дома среди старых вещей загадочный объект неизвестного назначения — пришлите фотографию. Возможно, название и применение объяснят наши авторы или кто-то из читателей, увидев снимок.

Как найти логарифм

Как найти логарифм — ACT Math

—>

  • Войти
  • Биографии репетитора
  • Подготовка к тесту
    СРЕДНЯЯ ШКОЛА
    • ACT Репетиторство
    • SAT Репетиторство
    • Репетиторство PSAT
    • ASPIRE Репетиторство
    • ШСАТ Репетиторство
    • Репетиторство STAAR
    ВЫСШАЯ ШКОЛА
    • Репетиторство MCAT
    • Репетиторство GRE
    • Репетиторство по LSAT
    • Репетиторство по GMAT
    К-8
    • Репетиторство AIMS
    • Репетиторство по HSPT
    • Репетиторство ISEE
    • Репетиторство ISAT
    • Репетиторство по SSAT
    • Репетиторство STAAR
    Поиск 50+ тестов
  • Академическое обучение
    репетиторство по математике
    • алгебра
    • Исчисление
    • Элементарная математика
    • Геометрия
    • Предварительный расчет
    • Статистика
    • Тригонометрия
    Репетиторство по естественным наукам
    • Анатомия
    • Биология
    • Химия
    • Физика
    • Физиология
    иностранные языки
    • французский
    • немецкий
    • Латинский
    • Китайский мандарин
    • Испанский
    начальное обучение
    • Чтение
    • Акустика
    • Элементарная математика
    прочее
    • Бухгалтерия
    • Информатика
    • Экономика
    • Английский
    • Финансы
    • История
    • Письмо
    • Лето
    Поиск по 350+ темам
  • О
    • Обзор видео
    • Процесс выбора наставника
    • Онлайн-репетиторство
    • Мобильное обучение
    • Мгновенное обучение
    • Как мы работаем
    • Наша гарантия
    • Влияние репетиторства
    • Обзоры и отзывы
    • Освещение в СМИ
    • О преподавателях университета

Звоните прямо сейчас, чтобы записаться на обучение:

(888) 888-0446

Все математические ресурсы ACT

14 диагностических тестов 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 Следующая →

ACT Math Help » Алгебра » Экспоненты » Логарифмы » Как найти логарифм

Пусть log 5 = 0,69897 и log 2 = 0,30103. Solve log 50

Possible Answers:

1.69897

1.68794

1.36903

1.39794

1.30103

Correct answer:

1.69897

Объяснение:

Используя свойства журналов:

log ( xy ) = log x + log y

log ( x n

0 ) =

00188 log x

log 10 = 1

, поэтому log 50 = log (10 * 5) = log 10 + log 5 = 1 + 0,69897 = 1,69897

Отчет о ошибке

Y = 2 x

Если y = 3, то примерно чему равно x?

Округлить до 4 знаков после запятой.

Возможные ответы:

1,5850

2,0000

1,3454

1,8580

0,6309

Правильный ответ:

,5850

. Объяснение:

Для решения используем логарифмы. Мы регистрируем обе стороны и получаем: log3 = log2 x

, что можно переписать как log3 = xlog2

Затем мы находим x: x = log 3/log 2 = 1,5850. . .

Report an Error

Evaluate 

log 3 27

Possible Answers:

27

9

3

30

10

Correct answer:

3

Объяснение:

Форму можно изменить на 

3 x   = 27

x = 3

Сообщить об ошибке

Если что ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Если , то

Сообщить об ошибке

Если log 4  x = 2, чему равен квадратный корень из x?

Возможные ответы:

4

16

12

3

2

Правильный ответ:

4

Объяснение:

Учитывая log 4 x = 2, мы можем определить, что 4 во второй степени равно x ; поэтому квадратный корень x равен 4.

Сообщить об ошибке

Найдите x в следующем уравнении:

log 2 24 — log 2 3 = log x 27

Возможные ответы:

2

2

1

3

Правильный ответ:

3

. Правильный ответ:

3

. Объяснение:

Поскольку два логарифмических выражения в левой части уравнения имеют одно и то же основание, вы можете использовать правило отношения, чтобы перевыразить их следующим образом: 3 = журнал 2 (24/3) = log 2 8 = 3

Следовательно, мы имеем следующие эквивалентные выражения, из которых можно вывести, что x = 3,

log x 27 = 3

x 3 = 27

Сообщить об ошибке

Какое значение удовлетворяет уравнению?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Ответ .

 можно переписать как .

В этой форме вопрос становится простой проблемой экспоненты. Ответ:  потому что .

Сообщить об ошибке

Если , то что ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Используйте следующее уравнение, чтобы легко управлять всеми похожими журналами:

 заменяется на .

Поэтому  изменяется на .

2, возведенное в степень 6, дает 64, поэтому должно равняться 6. Если найти 6 по формуле было сложно, просто продолжайте умножать 2 само на себя, пока не получите 64.

Сообщить об ошибке

Какое из следующих значений удовлетворяет ?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Общее уравнение логарифма , и

В этом случае , и, следовательно  (или , но  это не вариант ответа)

Сообщить об ошибке

Как мы можем упростить это выражение ниже до одиночного логарифма ?

Возможные ответы:

нельзя упростить в единый логарифм

Правильный ответ:

Правильный ответ:

  • . Объяснение:

    Используя свойство that  , мы можем упростить выражение до .

    Учитывая, что  и

    Мы можем упростить это уравнение до 

     

     

     

    Сообщить об ошибке

    ← Предыдущая 1 2 3 Следующая →

    Уведомление об авторских правах

    Посмотреть ACT Репетиторы по математике

    Дакота
    Сертифицированный репетитор

    Семинолский государственный колледж биохимии, Текущий курс биохимии.

    Просмотр ACT Репетиторы по математике

    Элизабет
    Сертифицированный репетитор

    Колледж Мэривилля, бакалавр искусств, психология. Университет Ли, магистр педагогических наук, математика.

    View ACT Math Tutors

    Venkata Naga Sreelalitapriya
    Сертифицированный преподаватель

    Университет Центральной Флориды, бакалавр наук, биотехнология.

    Все математические ресурсы ACT

    14 диагностических тестов 767 практических тестов Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции

    Как найти основание логарифма (4 ключевых понятия) — JDM Educational

    Логарифмы часто используются в математике и естественных науках (например, в химии), но на самом деле это просто еще один способ говорить об экспонентах. Иногда нам нужно найти основание логарифма в уравнении или на графике.

    Итак, как найти основание логарифма? Чтобы найти основание логарифма из уравнения, используйте правила логарифмирования и формулу преобразования логарифмической формы в экспоненциальную. Чтобы найти основание логарифма по графику, найдите две контрольные точки (значения x и y) и одновременно решите систему уравнений.

    Конечно, есть также способы изменить основание логарифма, если вы хотите использовать основание 2, 10 или натуральное основание e ~ 2,718.

    В этой статье мы поговорим о том, как найти основание логарифма в уравнении или по графику. Мы также поговорим о правилах логарифмирования и о том, как преобразовать логарифмическую форму в экспоненциальную.

    Начнем.

    Как найти основание логарифма

    Чтобы найти основание логарифма из уравнения, полезно знать правила логарифмирования. Знание некоторых степеней общих оснований (например, 2, 3, 4, 5 и т. д.) также полезно при решении этих уравнений.

    Основание 10 является общим для логарифмической функции.

    Логарифмы с основанием 10, 2 и e ~ 2,718 распространены, но существует неограниченное количество оснований на выбор. При поиске основания логарифма полезно знать, как преобразовать логарифмическое уравнение в показательное уравнение, поэтому мы начнем с этой концепции.

    Как преобразовать логарифм в экспоненту

    Помните, что логарифм — это просто еще один способ говорить о показателях степени. На самом деле мы можем конвертировать между двумя формами с помощью этого отношения:

    Расчет значений X и Y с помощью G…

    Пожалуйста, включите JavaScript

    Расчет значений X и Y с помощью графика | Графические калькуляторы TI-83 Plus и TI-84 Plus

    •  B E = N <–> log B (N) = E   [для B > 0, N > 0 и B не равно 1 ]

    , где B — основание логарифма и экспонента, E — показатель степени, а N — число (аргумент логарифма).

    В химии рН кислот и оснований соответствует графику логарифма по основанию 10. Уменьшение рН на 1 означает, что вещество стало в 10 раз более кислым!

    Давайте рассмотрим несколько примеров преобразования логарифмических уравнений в показательные уравнения.

    Пример 1: Преобразование логарифмического в экспоненциальное

    Допустим, у нас есть следующее логарифмическое уравнение:

    • log 3 (x) = 4

    В этом случае мы имеем B = 3 и N = х.

    Преобразуя в экспоненциальную форму, мы получаем:

    • 3 4 = x

    Теперь, когда мы преобразовали в экспоненциальную форму, мы можем решить, чтобы получить x = 81,

    Пример 2. Преобразование экспоненты в логарифм

    Допустим, у нас есть следующее уравнение экспоненты:

    • 5 x = 125

    В этом случае мы имеем B = 5, и N = 5, E = 125.

    Преобразовав в логарифмическую форму, получим:

    • log 5 (125) = x

    Мы можем найти x = 3 с помощью калькулятора и смены основания (подробнее об этом позже) , или мы можем признать, что 125 является степенью числа 5: в частности, 5 3 = 125.

    Логарифмические правила

    Есть несколько правил логарифмирования, которые облегчат нам решение логарифмических уравнений: + log B (y)  [логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей]

  • log B (x / y) = log B (x) – log B (y)  [ логарифм частного равен разности логарифмов числителя и знаменателя]
  • log B (x p ) = plog(x)   [логарифм x в степени p равен p, умноженному на логарифм x]
  • Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы сделать понятия Чисто.

    Как найти основание логарифмического уравнения

    Чтобы найти основание логарифмического уравнения, используйте правила логарифмирования вместе с формулой для преобразования логарифмов в степени.

    Пример 1. Найдите основание логарифмического уравнения

    Допустим, у нас есть следующее логарифмическое уравнение:

    • log B (2) + log B (8) = 4

    Обратите внимание, что два логарифмических члена в левой части имеют одинаковое основание B. Мы можем использовать первое из перечисленных правил логарифмирования. выше, чтобы переписать левую часть как:

    • log B (2*8) = 4  [логарифмическое правило: log B (xy) = log B (x) + log B (y )]
    • log B (16) = 4

    Теперь воспользуемся формулой для преобразования логарифмического уравнения в показательное уравнение:

    • B 4 = 16   [B E = N <–> log B (N) = E]
    • B = 2 0 2 ]

    Обратите внимание, что мы также можем использовать третье правило журнала, указанное выше, чтобы найти B: [16 = 2 4 ]

  • 4log B (2) = 4  [log B (x P ) = PLOG (x)]
  • Log B (2) = 1
  • B 1 = 2
  • B = 2 = 2
  • B = 2 = 2
  • B = 2 = 2
  • B = 2 = 2
  • B = 2 = 2
  • B = 2 = 2 B = 2 = 2 . нам все же пришлось признать, что 16 = 2 4 . При работе с логарифмами полезно освежить свои знания о степенях 2, 3, 4, 5 и т. д., чтобы вы могли распознавать их, когда видите.

    Пример 2. Найдите основание логарифмического уравнения

    Допустим, у нас есть следующее логарифмическое уравнение:

    • log B (8x + 16) – log B (x + 2) = 3

    Обратите внимание, что два логарифмических члена в левой части имеют одно и то же основание B. Мы можем использовать второе правило логарифмирования, указанное выше, чтобы переписать левую часть как:

    • log B ((8x + 16) / (x + 2)) = 3 [log B (x / y) = log B (x) – log B (y)]
    • log B ((8(x + 2)) / (x + 2)) = 3 [8x + 16 = 8(x + 2) ]
    • log B (8) = 3  [отменить x + 2 в числителе и знаменателе]

    Теперь воспользуемся формулой для преобразования логарифмического уравнения в показательное уравнение:

    • B 30 = 90 8   [B E = N <–> log B (N) = E]
    • B = 2   [так как 8 = 2 3 ]

    Как найти базу журнала A График

    Чтобы найти основание бревна по графику, мы можем предпринять следующие шаги:

    • 1. ) Найдите две контрольные точки на графике
    • 2.) Составьте два уравнения: по одному для каждой контрольной точки.
    • 3.) Решить два уравнения одновременно как одну систему.

    Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как это будет работать.

    Пример: найти основание бревна по графику

    Допустим, у нас есть следующий график с точками (5, 3) и (25, 4).

    Имея график логарифмической функции с некоторыми точками на кривой, мы можем найти ее уравнение.

    Если график имеет уравнение y = log B (x) + K, то два уравнения будут такими: (25) + K

    Чтобы решить эту систему, решите оба уравнения для K и приравняйте их: (25)

  • лог. B (25) – лог. B (5) = 4 – 3   [собрать одинаковые члены с обеих сторон]
  • log B (25 / 5) = 1  [правило логов: log B (x / y) = log B (x) – log B (y)]
  • log B (5) = 1
  • B 1 = 5
  • B = 5
  • Теперь, что мы нашли, мы нашли. обратно в любое из исходных уравнений, чтобы найти K. Мы будем использовать первое:

    • 3 = log B (5) + K
    • 3 = log 5 (5) + K [заменить B = 5]
    • 3 = 1 + K [log B = 1 (B) для любое B > 0]
    • 2 = K

    Итак, наше полное логарифмическое уравнение из этого графика: (x) + 2 График логарифмической функции y = log 5 (x) + 2.

    Логарифмическая формула изменения основания

    Логарифмическое изменение формулы основания позволяет нам переключаться с одного основания B на другое. Вот логарифм изменения базовой формулы:

    • log B (N) = log C (N) / log C (B)

    Пример 1. Как преобразовать Ln в Log Base 10

    Допустим, у нас есть логарифмическое выражение log e (100), и мы хотим преобразовать его в логарифм с основанием 10.

    В этом случае B = e, N = 100 и C = 10. Использование их в формуле логарифмирования основания дает нам:

    • log B (n) = log C (n) / log C (b)
    • Log E (100) = log (100). (e)
    • log E (100) = 2 / log 10 (E) [log 10 (100) = 2, с 10 2 = 100]
    82. : Как преобразовать логарифм в Ln

    Допустим, у нас есть логарифмическое выражение log 10 (400), и мы хотим преобразовать его в логарифм с основанием e (также известный как ln или натуральный логарифм).

    В этом случае B = 10, N = 400 и C = e. Использование их в формуле логарифмического изменения основания дает нам:

    • log B (N) = log C (N) / log C (B)
    • log

      8 6 (49085 8) 6 (49085 8) 10 = log e (400) / log e (10)

    • log 10 (400) = log e (4*10*10) / log e (109) 400 = 4*10*10]
    • log 10 (400) = (log e (4) + log e (10) + log e (10)) / log e (10)  [log B (xy) = log B (x) + log B (y)]
    • log 10 (400) = (log e (4) / log e (10))  + 2

    Теперь вы знаете, как найти

    2 Вывод

    основание логарифма в уравнении или на графике.

    Вы также знаете, как изменить основание и преобразовать десятичные логарифмы.

    Вы можете узнать больше в моей статье о логарифмических функциях или в моей статье о том, когда log отрицателен.

    Надеюсь, эта статья оказалась вам полезной. Если это так, пожалуйста, поделитесь ею с теми, кто может использовать эту информацию.

    Не забудьте подписаться на мой канал YouTube и получать обновления о новых математических видео!

    Подпишитесь на наш канал на YouTube!

    ~Джонатон

    Логарифмические свойства

    Логарифмические свойства Вернуться к оглавлению

    Числа и их применение — Урок 17

    Обзор урока
    • Определение логарифма
    • Четыре основных свойства журналов
    • Логарифмическая линейка
    • Применение логарифмов
    • Домашнее задание
    Логарифм является показателем степени.

    Обратите внимание, вышеприведенное не является определением, а просто содержательным описанием.

    Так как вычитание является обратной операцией сложения, а извлечение квадратного корня — это операция, обратная возведению в квадрат, возведение в степень и логарифмирование являются обратными операциями. Поиск антилога это обратная операция поиска лога, так это другое название возведения в степень. Однако исторически это делалось как поиск по таблице. Некоторая история была дана ранее и формальное определение повторяется ниже, на этот раз с ограничениями.

    y = log b x тогда и только тогда, когда b y = x ,
    где х > 0, б > 0 и б 1.

    Как отмечалось выше, основанием может быть любое положительное число (кроме 1). Однако чаще всего используются два варианта: 10 и е = 2,718281828. … Журналы по основанию 10 часто называют общими логами , тогда как логи в базу e часто называют натуральными бревнами . Логи к базам 10 и и теперь оба довольно стандартны для большинства калькуляторов. Часто при взятии лога база произвольная и не нужна уточнять. Однако в другое время необходимо и должно быть принятым или заданным.

    Только на уровне средней школы, log x последовательно означает log 10 x .
    В колледже, особенно по математике и физике, журнал x последовательно означает log e x .
    Популярное обозначение (которое презирают): ln x означает log e x .

    Для расчета логов на другие базы, следует использовать изменение базового правила, приведенное ниже (#4). Это всего лишь умножение на константу (1/log a b ).

    1. журнал b ( xy ) = log b x + log b y .
    2. логарифм b ( x/y ) = логарифм b x — log 5 9004 902
    3. журнал b ( x n ) = n log b x .
    4. бревно б x = бревно а x / бревно а 5

      б 900.

    Все эти четыре основных свойства вытекают непосредственно из того факта, что журналы являются показателями степени. На словах первые три можно запомнить как: Лог произведения равен сумме логов факторов. Лог частного равен разнице между логами числителя и демонинатора. Журнал мощности равен произведению мощности на логарифм основания.

    Перечислены дополнительные свойства, некоторые очевидные, некоторые не столь очевидные ниже для справки. Число 6 называется взаимным свойством .

    1. log b 1 = 0.          
    2. log b b = 1.          
    3. log b b 2 = 2.         
    4. log b b х = х .
    5. б журнал б х = х .
    6. log a b = 1/log b a .
    Изобретение бревен быстро последовало изобретение логарифмической линейки. Логарифмические правила упрощают умножение и деление путем преобразования этих операций в сложение и вычитание. Это делается путем размещения чисел на шкале, которая является логарифмической. Ниже приведены журналы некоторых небольших целых чисел.
    n бревно 10 n бревно e n
    1 0,000 0,000
    2 0,301 0,693
    3 0,477 1,099
    4 0,602 1,386
    5 0,699 1,609
    6 0,778 1,792
    7 0,845 1,946
    8 0,903 2,079
    9 0,954 2,197
    10 1,000 2,303

    Отсюда легко проверить такие свойства, как: log 10 = log 2 + log 5 и log 4 = 2 log 2. Это верно для любого основания. На самом деле полезный результат 10 3 = 1000 1024 = 2 10 можно легко увидеть как 10 журнал 10  2 3.

    Логарифмическая линейка ниже представлена ​​в разобранном состоянии для облегчения резки. (Кроме того, поместив его ниже, он будет внизу страницы 3 и будет пустым бумага за ним.) Верхняя часть скользит по центру нижней части и должна распечатать, а затем вырезать для демонстрационных целей следующим образом.

    1. Совместите левую 1 на шкале D с 2 на шкале C. Соблюдайте число выше 4 по шкале D по шкале C. Так как эти числа разложены в логарифмическом масштабе, вы показали, что log 2 + log 4 = log (2×4) = log 8. Обведите цифру 8.
    2. Совместите правую 1 на шкале D с 4 на шкале C. Соблюдайте число ниже левой 1 по шкале C. Вы только что показали, что log 10 — log 4 = log 2,5. Обведите 2,5.
    3. Совместите шкалу D и шкалу A. Шкала A выложена аналогично, за исключением присутствуют два цикла. Обратите внимание на число чуть выше 9 по шкале D. Вы только что показали, что 2 log 9 = log 9 2 = log 81. Обведите 81.
    4. Посмотрите, как можно использовать шкалу K для куба вещей.
    5. Обратите внимание, что шкалу CI также можно использовать для деления.
    Обычно это курсор (исходное значение, не то, что мигает на экране компьютера) присутствует, что позволяет получить около трех знаков после запятой, отсюда термин точность логарифмической линейки . Журналы используются в различных приложениях в науке, некоторые из наиболее распространены: измерение громкости (децибелы), измерение интенсивности землетрясений (Шкала Рихтера), радиоактивный распад и кислотность (pH= -log 10 [H + ]). Они необходимы в математике для решения некоторых задач экспоненциального типа.

    Ниже приводится интересная задача, которая связывает квадратичную формулу: логарифмы и экспоненты вместе очень аккуратно.

    log(2 x +2) + log x — log(12) = 0
    Упростите логарифмы, объединив их.
    log(2 x 2 + 2 x ) — log(12) = 0
    лог(( 2x 2 + 2x )/12) = 0

    После деления на 2 возведите в степень обе части (основание b произвольно, так как это не было указано выше)!
    ( х 2 + х )/6 = б 0
    ( x 2 + x )/6 = 1
    x 2 + x = 6
    x 2 + x — 6 = 0
    ( х + 3)( х — 2) = 0 x {-3, 2}

     

     

    Пустое место, поэтому при печати с помощью Mozilla (упс, без полей) оно находится позади логарифмической линейки.

     

     

    Однако х -3 поскольку домен журнала — это только положительные реалы. ( b x никогда не может быть отрицательным числом с b > 0).

    В следующем примере (6.11#51) логарифмы сочетаются с одновременными уравнениями. Это также очень удобно ввести понятие подстановки, столь полезное в исчислении.

    log 9 x + log y 8 = 2.   
    логарифм x 9 + логарифм 8 у = 8/3.

    Пусть u = log 9 x и v = log 8 y . По взаимному свойству выше, 1/u =log x 9 и 1/v =log y 8.

    Теперь мы можем переписать наши уравнения как:

    u + 1/ v = 2   
    1/ u + v = 8/3
    Решение подстановкой, u = 2 — 1/ v , таким образом:
    1/(2 — 1/ v ) + v = 8/3.
    3(1 + 2 v — 1) = 8(2 — 1/ v )
    6 v 2 = 16 v — 8.
    6 v 2 — 16 v + 8 = 0.
    3 v 2 — 8 v + 4 = 0.
    Применим к этому квадратичную формулу и найдем, что
    v = (8 ± (64 — 48))/6.
    = (8 ± 4)/6 или 2, 2/3.
    Таким образом, u = 3/2 или 1/2. или ( и , v )={(3/2, 2), (1/2, 2/3)}
    Таким образом ( x , y ) = {(27, 64), (3, 4)}
    ЗАДНЯЯ ЧАСТЬ ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ПРОДОЛЖИТЬ

    • электронная почта: [email protected]
    • голос/почта: 269 471-6629; BCM&S Smith Hall 105; Университет Эндрюса;
    • факс/аудитория: 269 471-6646; Смит Холл 100; Берриен Спрингс, Мичиган, 49104-0140
    • домашний: 269 473-2572; 610 Н. Главная улица; Берриен Спрингс, Мичиган 49103-1013
    • URL-адрес: http://www. andrews.edu/~calkins/math/webtexts/numb17.htm
    • Copyright © 199, Кит Г. Калкинс. Пересмотрено 8 ноября 2005 г. или позднее.

     

     

    Обратная логарифмическая функция — ChiliMath

    Поиск

    Найти обратную логарифмическую функцию так же просто, как выполнить предложенные ниже шаги. Позже, увидев несколько примеров, вы поймете, что большая часть работы сводится к решению уравнения. Ключевые этапы включают выделение логарифмического выражения, а затем преобразование логарифмического уравнения в экспоненциальное уравнение. Вы поймете, что я имею в виду, когда просмотрите рабочие примеры ниже.

    ШАГ 1: Замените обозначение функции f\left( x \right) на y.

    f\left( x \right) \to y

    ШАГ 2: Поменяйте местами x и y.

    x \to y

    y \to x

    ШАГ 3: Изолируйте логарифмическое выражение на одной стороне (левой или правой) уравнения.

    ШАГ 4: Преобразуйте или преобразуйте логарифмическое уравнение в эквивалентное ему экспоненциальное уравнение. { — 1}}\ влево( х \вправо) конец.

    Один из способов проверить, получили ли мы правильное обратное значение, — построить график логарифмического уравнения и обратной функции на одной оси xy. Если их графики симметричны вдоль линии \large{\color{green}y = x}, то мы можем быть уверены, что наш ответ действительно правильный.


    Пример 2: Найдите обратную логарифмическую функцию

    f\left( x \right) = {\log _5}\left({2x — 1} \right) — 7 уровень сложности этой задачи. Уравнение имеет логарифмическое выражение, вычитаемое на 7. Я надеюсь, вы можете оценить, что эта задача вполне выполнима. Решение будет немного грязным, но определенно управляемым.

    Итак, я начинаю с замены f\left( x \right) на y и замены ролей \color{red}x и \color{red}y.

    Теперь мы можем найти у. Добавьте обе части уравнения на 7, чтобы выделить логарифмическое выражение в правой части.

    Успешно изолировав логарифмическое выражение справа, мы готовы преобразовать его в экспоненциальное уравнение. Обратите внимание, что основание логарифмического выражения, равное 6, становится основанием экспоненциального выражения в левой части. Выражение 2y-1 в скобках справа теперь само по себе без операции журнала.

    После этого найдите \color{red}y, чтобы получить требуемую обратную функцию. Сделайте это, добавив обе части на 1, а затем разделив обе части на коэффициент \color{red}y, который равен 2.

    Давайте нарисуем графики логарифмической и обратной функций в той же декартовой плоскости, чтобы убедиться, что они действительно симметрично вдоль линии \large{\color{green}y=x}.


    Пример 3: Найти обратную логарифмическую функцию

    Так что это немного интереснее первых двух задач. Обратите внимание, что отсутствует основа выражения журнала. Если вы столкнулись с чем-то подобным, предполагается, что мы работаем с логарифмическим выражением с основанием 10. Всегда помните об этой концепции, чтобы помочь вам обойти проблемы с той же настройкой.

    Надеюсь, вы уже освоились с процедурами. Мы начинаем снова, делая f\left( x \right) как y, затем переключая переменные \color{red}x и \color{red}y в уравнении.

    Наша следующая цель — изолировать выражение журнала. Мы можем сделать это, вычитая обе части на 1, а затем разделив обе части на -3.

    Выражение журнала теперь само по себе. Помните, что «отсутствующее» основание в логарифмическом выражении подразумевает основание 10. Преобразуйте это в показательное уравнение и начните находить y. 9{ — 1}}\влево( х \вправо)}. Сделанный!

    График исходной и обратной функции на одной и той же оси xy показывает, что они симметричны относительно линии \large{\color{green}y=x}.


    Вас также может заинтересовать:

    Обратная функция матрицы 2×2

    Обратная функция абсолютного значения

    Обратная функция постоянной Квадратичная функция

    Обратная рациональная функция

    Обратная функция квадратного корня

    логарифмов

    Логарифмы

    ЛОГАРИФМЫ И ЭКСПОНЕНТЫ

    Логарифмы
    Логарифм определяется как величина, обратная экспоненте. Так как 10 4 = 10 000, то по определению log 10 000 = 4. Точно так же log 1 000 = 3 и log 1 000 000 = 6. сами бревна в базу 10.]

    Логи также могут быть отрицательными. На самом деле логарифм числа меньше 1 должен быть отрицательным: поскольку 0,01 = 10 -2 , мы должны иметь логарифм 0,01 = -2. Кроме того, log 0,001 = -3.

    Поскольку 1 = 10 0 , мы имеем log 1 = 0,

    . Для чисел, которые не являются точными степенями 10 (положительными или отрицательными), мы должны прибегнуть к калькулятору (или таблицам в те дни, когда еще не было калькуляторов), чтобы найти журнал. Мы не будем вдаваться в подробности того, как изначально (столетия назад) создавались таблицы журналов или как калькуляторам удается находить журналы. Но при использовании калькулятора будет разумно отметить, разумен ли ваш ответ, как мы обсудим ниже.

    [Также убедитесь, что вы используете журнал по основанию 10 на калькуляторе. Калькуляторы обычно также имеют журналы по основанию e, которые мы не будем здесь обсуждать или использовать. ]

    log 1 = 0 и log 10 = 1. Следовательно, мы ожидаем, что если n — число от 1 до 10, log n должно быть положительным числом от 0 до 1. С помощью калькулятора проверьте следующее:

    • log 2 = 0,301
    • log 5 = 0,699
    • log 9 = 0,954

    Обратите внимание, что log 9 близок к 1,00, как и должно быть, поскольку log 10 = 1,00. Может оказаться полезным выбрать еще несколько точек от 1 до 10 и построить график зависимости log x от x.

    Квадратный корень из 10 равен 3,162 (как вы можете убедиться). Какой должен быть лог 3.162? Глядя на приведенные выше результаты для журнала 2 и журнала 5, вы должны ожидать, что ответ будет между 0,3 и 0,7. На самом деле ответ ровно 0,5 (за исключением небольшой ошибки округления). Почему?

    Важным моментом в логарифмах является то, что они преобразуют произведения в суммы. Для двух чисел, a и b,

    log(ab) = log a + log b Экв. (1)

    Например, пусть a = 2, b = 5. Проверьте из приведенного выше короткого списка, что log 2 + log 5 = 1,000, что является log 10. [log 10 = log 2 + log 5]

    Общее доказательство уравнения. (1) приведен по этой ссылке.

    Экв. (1) можно обобщить до:

    log(a X b X c X …) = log a + log b + log c + … экв. (2)

    В качестве особого случая, если произведение равно X a X a … или 90 229 m 90 230 для некоторого целого числа m, то

    log (a m ) = log a + log a + и т. д. (m раз), или
    log (a м ) = mlog a Экв. (3)

    Наконец, мы можем обобщить случай, когда показатель степени не обязательно должен быть целым числом, фактически даже не обязательно должен быть положительным числом:

    log (a x ) = xlog a. Экв. (4)

    Решение экспоненциальных уравнений

    Поскольку журнал является обратной экспоненте, мы можем использовать журналы для решения уравнений, в которых неизвестное находится в показателе степени. [Это аналогично использованию деления для решения уравнения, когда неизвестное находится в произведении, поскольку деление является операцией, обратной умножению: например. 5x = 30, делим, чтобы найти x.]

    Если у нас есть уравнение вида:

    6 у = 1350,

    мы просто берем журнал обеих сторон: Используя Equ. (4), логарифм левой стороны в y раз больше логарифма 6:

    ylog 6 = log 1350.

    log 6 (из моего калькулятора) равен 0,778. Справа у нас log 1350 = 3,13. [Обратите внимание, что log 1 000 = 3, log 10 000 = 4, поэтому мы ожидаем, что log 1 350 будет между 3 и 4, вероятно, близко к 3.]

    Наше уравнение теперь:

    y(0,778) = 3,13 или
    у = 3,13/0,778 = 4,02

    Это случается, чтобы выйти близко к целому числу. На самом деле 6 4 = 1,296, поэтому ответ должен быть близок к 4,00.

    Другие примеры:

    0,2 x = 0,005
    х(-0,699) = -2,30
    х = 3,29
    Имеет ли это смысл? 0,2 3,29 приблизительно равно (1/5) 3 , или 1/125, что равно 0,008, что недалеко от 0,005.

    Как насчет

    0,12 n = 10 -8

    Здесь мы не используем калькулятор, чтобы найти бревно правой стороны. Это -8.

    nlog (0,12) = -8
    n(-0,921) = -8
    п = 8,69

    Поскольку 0,12 составляет примерно 1/10, мы ожидаем, что нам придется поднять его примерно до 8-го числа. мощность, чтобы получить 10 -8 . И вот как это выходит. Получаем мощность 8,69.

    Еще примеры, которые вы можете проверить:

    3,4 х = 1100
    х = 5,73

    9,2 х = 10 6
    х = 6,23

    0,15 х = 10 -8
    х = 9,71

    0,15 х = 10 6
    х = — 7,28

    Почему показатель степени должен быть отрицательным?

    Ответ на предыдущий вопрос: почему логарифм 3,162 (квадратный корень из 10) равен 0,5? Квадратный корень из 10 равен 10 1/2 = 10 0,5 , поэтому логарифм равен 0,5.

    Вычислить логарифм значения в Julia — методы log(), log10(), log1p() и log2()

    Посмотреть обсуждение

    Улучшить статью

    Сохранить статью

    • Последнее обновление: 26 мар, 2020

  • Читать
  • Обсудить
  • Посмотреть обсуждение

    Улучшить статью

    Сохранить статью

    log() — это встроенная функция в julia, которая используется для вычисления натурального логарифма указанного значения или выдачи ошибки домена для параметра с отрицательным действительным значением.

    Синтаксис: log(x)

    Параметры:

    • x: Заданные значения.

    Возвраты: Возвращает натуральный логарифм указанного значения или выдает ошибку домена для параметра с отрицательным действительным значением.

    Example:

    20120212012120121201212012120121201212012120123.

    2012120123

    01212012012120121201212012012120121201212012120121201212012120121201212012120121201212012120121201212012120121209))) 3.4011973816621555 -Инф ОШИБКА: Ошибка загрузки: Ошибка домена: log будет возвращать сложный результат только при вызове со сложным аргументом. Попробуйте войти (комплекс (x)). Трассировки стека: [1] nan_dom_err в ./math.jl:300 [встроенный] [2] журнал в ./math.jl:419[встроенный] [3] log(::Int64) в ./math.jl:421 при загрузке /home/cg/root/
  • 67/main.jl, в выражении, начинающемся со строки 11
    log10()

    привести указанное значение к основанию 10 или выдать ошибку домена для параметра с отрицательным значением Real.

    Синтаксис: log10(x)

    Параметры:

    • x: Заданные значения.

    Возвраты: Возвращает логарифм указанного значения по основанию 10 или выдает ошибку домена для параметра с отрицательным действительным значением.

    Example:

  •    

    println(log( 1 ))

    println(log( 30 ))

    println(log ( 0 ))

    Println (Log ( - 44 )

       

    println(log10( 1 ))

    println(log10( 10 ))

    println( log10( 0 ))

    println(log10( - 44 ))

    3 Вывод2.020301 1,0 -Инф ОШИБКА: Ошибка загрузки: Ошибка домена: log10 будет возвращать сложный результат только при вызове со сложным аргументом. Попробуйте log10 (комплекс (x)). Трассировки стека: [1] nan_dom_err в ./math.jl:300 [встроенный] [2] log10 в ./math.jl:419 [встроенный] [3] log10(::Int64) в . /math.jl:421 при загрузке /home/cg/root/

  • 67/main.jl, в выражении, начинающемся со строки 11
    log1p()

    указанное значение и выдает DomainError для реальных аргументов меньше -1.

    Синтаксис: log1p(x)

    Параметры:

    • x: Заданные значения.

    Возвраты: Возвращает точный натуральный логарифм 1+x, где x — заданное значение, и выдает DomainError для аргументов Real меньше -1.

    Example:

       

    println(log1p( 1 ))

    println(log1p( 10 ))

    println( log1p( 0 ))

    println(log1p( - 44 ))

    Output:

     0.
    
            
  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.