Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях это: Наивероятнейшее число наступления события в независимых испытаниях. Теория вероятностей

Наивероятнейшее число наступления события в независимых испытаниях. Теория вероятностей

  • Краткая теория
  • Примеры решения задач
  • Задачи контрольных и самостоятельных работ

Краткая теория


Число наступлений события , которому отвечает наибольшая вероятность, называют наивероятнейшим числом наступления события . Если построен полигон распределения, то наивероятнейшее число наступления события – это абсцисса наиболее высокой точки полигона.

Пусть  – наивероятнейшее число наступления события , тогда

Отсюда:

Формула для определения наивероятнейшего числа

Итак, наивероятнейшее число   определяется двойным неравенством:

Так как выражение , то всегда существует целое число , удовлетворяющее написанному выше двойному неравенству.

При этом если  – целое число, то наивероятнейших чисел два.

Смежные темы решебника:

  • Формула Бернулли

Примеры решения задач


Пример 1

При данном технологическом процессе 77% всей продукции — 1-го сорта.  Найдите   наивероятнейшее    число   первосортных   изделий из  220 изделий и вероятность этого события.

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Наивероятнейшее число первосортных   изделий найдем из двойного неравенства:

Воспользуемся локальной теоремой Лапласа:

Вероятность того, что в  независимых испытания, в каждом из которых вероятность появления события равна , событие наступит ровно  раз:

в нашем случае: 

Искомая вероятность:

 

Ответ: Наивероятнейшее число – 170, вероятность этого события – 0,064.


Пример 2

Вероятность выигрыша в лотерею на один билет равна 0,3. Куплено 20 билетов. Найти наивероятнейшее число выигравших билетов и соответствующую вероятность.

Решение

Наивероятнейшее число выигравших билетов найдем из двойного неравенства:

Найдем соответствующую вероятность. Для этого воспользуемся законом Бернулли:

Ответ: 


Пример 3

Вероятность появления события в каждом испытании равна 0,7. Сколько нужно провести испытаний, чтобы наивероятнейшее число появлений события равнялось 10?

Решение

Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Наивероятнейшее число определяется двойным неравенством:

В нашем случае:

Из первого неравенства:

Из второго неравенства:

Так как  – целое число, получаем,

Необходимо провести 14 испытаний.

Ответ: 14 испытаний.


Пример 4

За смену работник ГАИ проходит техосмотр 30 автомашин. Вероятность того, что произвольная автомашина не пройдет техосмотр равна 0,1. Каково наивероятнейшее число автомашин, не прошедших техосмотр в течение одной смены.

Решение

Для определения наивероятнейшего числа автомашин, не прошедших техосмотр в течение одной смены, воспользуемся двойным неравенством:

Искомое наивероятнейшее число не прошедших техосмотр автомашин:

Ответ: 

Задачи контрольных и самостоятельных работ


Задача 1

Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,84. Найти: а) наивероятнейшее число попаданий в серии из семи выстрелов и модальную вероятность; б) что вероятнее: три попадания при четырех выстрелах или шесть попаданий при восьми?


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 2

Вероятность получения с конвейера изделий 1 сорта равна 9/10. Определить вероятность того, что из взятых на проверку 600 изделий 530 будут 1 сорта. Определить наивероятнейшее число изделий первого сорта.


Задача 3

На ежегодную вечеринку приглашены 12 человек, причем каждый из них может прийти с вероятностью 0,7 независимо от других. Найти наиболее вероятное число гостей и его вероятность.


Задача 4

Система состоит из 6 независимо работающих элементов.

Вероятность отказа каждого элемента равна 0,3. Найти: а) наивероятнейшее число отказавших элементов; б) вероятность наивероятнейшего числа отказавших элементов системы; в) вероятность отказа системы, если для этого достаточно, чтобы отказали пять элементов.


Задача 5

При визите страхового агента вероятность заключения договора равна 0,2. Найти наивероятнейшее число заключенных договоров после 10 визитов и вероятность того, что их будет заключено не больше найденного числа.


Задача 6

Страховой агент при каждом визите заключает договор с вероятностью 30%. При каком числе визитов наивероятнейшее число договоров будет равно 10?


Задача 7

Сколько надо сделать выстрелов с вероятностью попадания в цель 0,7, чтобы наивероятнейшее число попаданий в цель было равно 15?


Если не находите примера, аналогичного вашему, если сами не успеваете выполнить работу, если впереди экзамен по предмету и нужна помощь — свяжитесь со мной:

ВКонтакте
WhatsApp
Telegram

Я буду работать с вами, над вашей проблемой, пока она не решится.

Задача 8

Сколько раз надо бросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появлений четного числа очков было равно 6?


Задача 9

Сколько раз надо сыграть партии в шахматы с вероятностью победы в одной партии, равной 1/3, чтобы наивероятнейшее число побед было равно 5?


Задача 10

Вероятность сдачи студентом каждого из семи зачетов равна 0,3. Найти вероятность сдачи: а) пяти зачетов; б) наивероятнейшего числа зачетов; в) хотя бы одного зачета.


Задача 11

Страховая компания выплачивает страховку в среднем 15% от всех клиентов.

а) Найти вероятность того, что из 8-ми клиентов страховку выплатит менее, чем 2-м клиентам.

б) Найти наивероятнейшее число клиентов, получивших страховку.


Задача 12

Применяемый метод лечения в 80% случаев приводит к выздоровлению. Найти вероятность того, что из четырех больных поправятся:

а) трое;

б) хотя бы один;

в) найти наивероятнейшее количество поправившихся больных и соответствующую этому событию вероятность.


Задача 13

Вероятность попадания в цель одним выстрелом равна 0,5. Производят пять выстрелов. Найти: а) Распределение вероятностей числа попаданий; б) Наивероятнейшее число попаданий; в) Вероятность, что попаданий будет не более двух.


Задача 14

Монету подбрасывают 9 раз. Какова вероятность, что монета 6 раз упадет гербом вверх? Определите наивероятнейшее число выпадения герба и вычислите вероятность этого события.


Задача 15

Имеется 20 ящиков однородных деталей. Вероятность того, что в одном взятом наудачу ящике детали окажется стандартными, равна 0,75. Найти наивероятнейшее число ящиков, в которых все детали стандартные.

  • Краткая теория
  • Примеры решения задач
  • Задачи контрольных и самостоятельных работ

2.5. Наивероятнейшее число появлений события

в независимых испытаниях

Число k0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p) называется наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.

Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства

,

причем:

1) если число npq дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0;

2) если число npq целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k0 и k0 + 1;

3) если число np целое, то наивероятнейшее число k0 = np.

Пример 2.6. Доля изделий высшего сорта на предприятии составляет 40%. Чему равно наивероятнейшее число изделий высшего сорта в случайно отобранной партии из 120 изделий?

Решение

По условию n = 120, ,q = 1 – 0,4 = 0,6.

Наивероятнейшее число k0 находим из двойного неравенства

.

Подставим данные задачи: 120  0,4 – 0,6  k0120  0,4 + 0,4, получаем 47,448,4.

Так как k0 целое число, заключенное между 47,4 и 48,4 , то k0 = 48.

Ответ: 48.

Пример 2.7. Вероятность попадания в цель при одном выстреле p = 0,7. Какова вероятность наивероятнейшего числа попаданий, если произведено 9 выстрелов?

Решение

Находим наивероятнейшее число попаданий из двойного неравенства: 9  0,7 – 0,3  k0  9  0,7 – 0,7, получаем 6  k0  7.

Получили два наивероятнейших числа: k0 = 6 и k0 = 7. Вероятности их наибольшие и равны между собой. Найдем одно из этих значений, например,

Ответ: 0,252.

Тест 2.7. В результате многолетних наблюдений для некоторой местности было установлено, что вероятность выпадения дождя 13 июля равна . Наивероятнейшее число дождливых дней 13 июля в ближайшие 50 лет равно:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Вопросы для самоконтроля

1. Какой вид имеет формула Бернулли?

2. Когда применяются локальная и интегральная теоремы Лапласа?

3. В каких случаях нужно пользоваться формулой Пуассона?

4. Как определяется малая функция Лапласа? Каковы ее свойства?

5. Как определяется функция Лапласа? Каковы свойства функции Лапласа?

6. Что называется наивероятнейшим числом наступления события в n независимых испытаниях?

Ответы на тестовые задания

Номер теста

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2. 7

Правильный ответ

1

2

3

1

1

2

5

3. Случайные величины, их распределение

И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

3.1. Понятие случайной величины. Классификация случайных

величин

Случайной величиной называют величину X, которая в результате испытания принимает одно значение из множества возможных значений, заранее неизвестное и зависящее от случая.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, …

Пример 3.1. Число студентов на лекции – случайная величина.

Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая изолированное значение из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число ее значений счетно.

Пример 3.2. Случайная величина X – число студентов на лекции. Данная случайная величина является дискретной.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Пример 3.3. Случайная величинаX – время финиша в соревнованиях. Данная случайная величина является непрерывной.

Тест 3.1. Пусть случайная величина X – число солнечных дней в месяце. Она является:

  1. дискретной случайной величиной;

  2. непрерывной случайной величиной.

Одномерной случайной величиной называется случайная величина, каждое значение которой является числом. Она изображается точкой на числовой прямой.

Пример 3.4. Случайная величина X– число студентов на лекции. Данная случайная величина является одномерной дискретной случайной величиной.

Пример 3.5. Случайная величина X – время финиша в соревнованиях. Данная случайная величина является одномерной непрерывной случайной величиной.

Количественной случайной величиной называется случайная величина, значение которой может быть измерено по какой-либо шкале.

Пример 3.6. Случайная величина X – оценка на экзамене. Данная случайная величина является количественной случайной величиной.

Качественной случайной величиной называется случайная величина, значение которой нельзя измерить по какой-либо шкале.

Пример 3.7. Случайная величина X – знания студентов. Данная случайная величина является качественной случайной величиной.

Любая качественная случайная величина методом экспертных оценок может быть преобразована в количественную, например, знания оцениваются баллами.

Любая случайная величина задается законом распределения.

сколько испытаний независимого события с вероятностью p необходимо для достижения шанса q хотя бы на один успех

Задавать вопрос

спросил

Изменено 6 лет, 9 месяцев назад

Просмотрено 3к раз

$\begingroup$

Для данного независимого события с вероятностью $p$ и числа испытаний $k$, если я хочу, чтобы вероятность того, что событие произошло хотя бы один раз, была не менее $q$, насколько велико значение $k$ выражаться в терминах $p$ и $q$?

В качестве конкретного примера: Событием может быть: у меня есть мешок с шарами по 10 долларов, в котором есть только синий шар по 1 доллару, и мое событие состоит в том, чтобы случайным образом выбрать мяч из мешка и проверить, синий ли он. (затем вернуть мяч) Я хотел бы заранее установить максимальное количество попыток, которые я сделаю, но я хочу, по крайней мере, $80%$ шанс выбрать синий шар по крайней мере в одной из моих попыток. Давненько я не занимался вероятностью, но вот некоторые из моих начальных мыслей.. 92$ — я не знаю, как написать это для любого k, но знаю, что это достаточно просто.)

Я рассмотрел вопрос Расчет количества независимых испытаний, необходимых для того, чтобы событие произошло не менее n раз, что мне кажется быть более общей формой задачи, где должно быть $n$ число успехов, поэтому я надеюсь, что с фиксированным $n$ на 1 ответ будет проще.

  • вероятность

$\endgroup$

2 9k\geqq$$ Вычислив это, мы находим, что $k$ является наименьшим положительным целым числом, которое удовлетворяет: $$k\geq\frac{\log(1-q)}{\log(1-p)}$$

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

вероятность — Независимые События, происходящие одновременно

Количество отказов в каждой группе из десяти одновременных независимых событий называется биномиальной случайной величиной . Распределения вероятностей таких переменных очень хорошо известны. Чтобы точно описать такое распределение, вы быстро вводите обозначения похожие на $\binom nk$, называемые (не случайно) биномиальными коэффициентами. Но есть некоторые вещи, которые можно сказать о дистрибутиве без вдаваться в такие подробности. (Вы можете получить подробную информацию, если хотите, посмотрев «биномиальное распределение».)

Мы можем очень легко вычислить вероятность того, что будет нет «плохих» событий (то есть будет десять «хороших» событий) в наборе из десяти одновременных независимых и одинаково распределенные события. Вероятность десяти хороших событий выглядит следующим образом:

  • Вероятность первого хорошего события равна 0,95$.
  • Вероятность того, что первые два события будут хорошими, равна 0,95$ (первое хорошее событие) умножить на 0,95$ (второе хорошее событие). Это 0,9 доллара{10} \приблизительно 0,5987.$ Это около 60$\%$, оставляя едва более $40\%$ того времени, которое вы будете (в среднем) наблюдать одно или несколько плохих событий. Таким образом, заявление о том, что у вас будет хотя бы одно плохое событие $50\%$ времени неточны; $60\%$ будет гораздо точнее.

    Далее, общее правило для случайных величин состоит в том, что если они имеют конечные ожидания, ожидание суммы переменных есть сумма их ожиданий. (Это верно, даже если переменные не являются независимыми, хотя это не проблема здесь.)

    Итак, рассмотрим каждое из десяти событий, происходящих одновременно. Назовите эти события $X_1, X_2, \ldots, X_{10}.$ Если мы хотим подсчитать плохие исходы, мы можем сказать $X_1=1$ (плохой исход). $5\%$ раз и $X_1=0$ (хороший результат) $95\%$ раз, и то же самое для $X_2, \ldots, X_{10}. $ Используйте $X$ для обозначения количества плохих исходов в этом наборе из десяти событий; тогда $X = X_1 + X_2 + \cdots + X_{10}.$ Ожидаемое значение $X_1$ равно $$E(X_1) = 0,05 \cdot 1 + 0,95 \cdot 0 = 0,05,$$. и то же самое для $X_2, \ldots, X_{10}.$ Таким образом, ожидаемое значение $X$ (ожидаемое общее количество плохих исходов в наборе из десяти событий) равно $$\begin{выравнивание} E(X) & = E(X_1 + X_2 + \cdots + X_{10}) \\ & = E(X_1) + E(X_2) + \cdots + E(X_{10}) \\ & = 10\cdot0,05 \\ & = 0,5. \end{выравнивание}$$

    Другой способ вычислить ожидаемое значение — умножить значение каждого возможный исход на вероятность его возникновения, и сложить все полученные продукты вместе. Таким образом, ожидаемое количество плохих исходов должно быть $$\begin{align}E(X_1 + X_2 & + \cdots + X_{10}) = \\ & 1 \cdot P(X = 1) \\ + \; & 2 \cdot P(X = 2) \\ + \; & 3 \cdot P(X = 3) \\ + \; &\cdots\\ + \; & 10 \cdot P(X = 10). \end{align}$$

    Мы уже нашли, что $1 \cdot P(X=1) \примерно 0,40$, так что около $0,10$ остается равным общей сумме $2 \cdot P(X = 2) + \cdots + 10 \cdot P(X = 10).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *