Найди наибольшее значение функции: Найдите наибольшее значение функции на отрезке

ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на исследование функций (вариант 4) с решением

• Альфашкола
• Статьи
• ЕГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на исследование функций (вариант 4)

 

 

Задача №1

 

Найдите наименьшее значение функции:

 

у = х³ – х² – 40х + 3

 

на отрезке [0; 4]

 

Решение

 

Найдем производную заданной функции:

 

у’ = 3х² — 2х — 40

 

Найдем нули производной:

 

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.1) поведение функции:

 

Рис. 1

 

В точке х = 4  заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

 

у(4) = 64 – 16 – 160 + 3 = -109

 

Ответ: −109.

 

Задача №2

 

Найдите наибольшее значение функции:

 

у = х³ + 2х² – 4х + 4

 

на отрезке [-2; 0]

 

Решение

 

Найдем производную заданной функции:

 

у’ = 3х² + 4х — 4

 

Из уравнения:

 

3х² + 4х – 4 = 0

 

найдем нули производной:

х₁ = -2

х₂ =

 

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке (Рис.2) поведение функции:

 

Рис.2

 

На отрезке [−2; 0] функция убывает, поэтому она достигает своего наибольшего значения в точке x = −2.

 

Найдем это наибольшее значение:

 

у(-2) = (-2)³ + 2 · (-2)

2 – 4 · (-2) + 4 = 12

 

Ответ: 12

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Наши преподаватели

Мария Евгеньевна Эминова

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Удмуртский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Аида Робертовна Алтунян

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Самаркандский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Карина Рафаэльевна Сайфулина

Репетитор по математике

Стаж (лет)

Образование:

Крымский федеральный университет им. Вернадского

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Предметы

• Математика
• Репетитор по физике
• Репетитор по химии
• Репетитор по русскому языку
• Репетитор по английскому языку
• Репетитор по обществознанию
• Репетитор по истории России
• Репетитор по биологии
• Репетитор по географии
• Репетитор по информатике

Специализации

• Подготовка к ОГЭ по математике
• Репетитор по геометрии
• Репетитор по химии для подготовки к ЕГЭ
• Репетитор по химии для подготовки к ОГЭ
• Репетитор для подготовки к ЕГЭ по физике
• Репетитор для подготовки к сочинению ЕГЭ по русскому
• Репетитор по английскому языку для подготовки к ЕГЭ
• Репетитор по грамматике английского языка
• Репетитор по географии для подготовки к ЕГЭ
• Программирование Pascal

Похожие статьи

• Параллелограмм
• Факультет Социологии (НИУ ВШЭ)
• Решаем текстовые задачи
• EГЭ по математике, базовый уровень. Задачи на движение по прямой (вариант 2)
• Задачи на исследование функций
• Закаливание детей: мифы и реальность или почему нельзя сходу с головой в прорубь?
• Нужно ли носить шапку зимой?
• Изобретения древности, которыми мы пользуемся сегодня

Нажимая кнопку «Записаться» принимаю условия Пользовательского соглашения и Политики конфиденциальности

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Наибольшее и наименьшее значения функции

Задания из открытого банка заданий ФИПИ, профильный уровень.

Вспомним алгоритм, позволяющий находить наибольшее и (или) наименьшее значение функции на отрезке.

1.     Находим область определения функции и проверяем, содержится в ней данный отрезок [a;b] полностью или частично.

2.    Находим все точки, в которых не существует первая производная и которые содержатся в отрезке [a;b]. Если таких точек нет, то переходим к следующему пункту.

3.    Определяем все стационарные точки, попадающие в отрезок [a;b]. Для этого, находим производную функции, приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение и выбираем корни, принадлежащие данному отрезку.

4.    Вычисляем значения функции в отобранных стационарных точках (если такие имеются), в точках, в которых не существует первая производная (если такие имеются), а также в крайних точках

a и b.

5.    Из полученных значений функции выбираем наибольшее и (или) наименьшее.

Задание 1. Найти наименьшее значение функции y = 2x³−12x²+18x+3 на отрезке [−1; 2].

Решение. Заметим, что областью определения данной функции является множество всех действительных чисел R и отрезок [−1; 2] в ней содержится полностью.

Найдём критические точки, принадлежащие данному отрезку. Для этого найдём производную функции

y′ = (2x³−12x²+18x+3)′ = 6x²−24x + 18.

Решаем квадратное уравнение 6x²−24x + 18 =0, после деления на 6 обеих частей уравнения получим 

x²−4x + 3 =0.
Имеем два действительных корня: х₁=1 и х₂=3,  две критические точки. Первая х₁=1  принадлежит данному отрезку [−1; 2], а вторая нет.
Вычислим значение функции в точке х₁=1:

y(1) = 2*1³−12*1²+18*1+3 = 2-12+18+3 =11.
Вычислим значения функции  на концах отрезка:

y(-1) = 2*(-1)³−12*(-1)²+18*(-1)+3 = -2-12-18+3 =-29.

y(2) = 2*2³−12*2²+18*2+3 = 16-48+36+3 =

7.
Среди трёх найденных чисел выбираем наименьшее.

Ответ: -29.

Задание 2. Найдите наименьшее значение функции y=(x−8)²​(x−7)−8 на
отрезке [7,5 ; 18].

Решение. Заметим, что областью определения данной функции является множество всех действительных чисел R и отрезок [7,5 ; 18] в ней содержится полностью.

Найдём критические точки, принадлежащие данному отрезку. Для этого найдём производную функции (используем правило дифференцирования произведения двух функций)

y′ = ((x−8)²​(x−7)−8 )′ = 2(x−8)(x−7)+(x−8)² = (x−8) (3x−22).

Решаем уравнение (x−8) (3x−22) =0.

Имеем две критические точки х₁=8 и х₂=22/3. Первая х₁=8  принадлежит данному отрезку [7,5 ; 18]., а вторая нет.
Вычислим значение функции в точке х₁=8:

y(8) = (8−8)²​(x−7)−8  = -8.
Вычислим значения функции  на концах отрезка:

y(7,5) = (7,5−8)²​(7,5−7) −8  = 0,125 −8 =-7,875.

y(18) = (18−8)²​(18−7) −8 = 1100−8 =1092.
Среди трёх найденных чисел выбираем наименьшее.

Ответ: -8.

 Задания для самостоятельного решения.

1.      Найдите наименьшее значение функции y = x³−x²−8x+4 на отрезке [1; 7].

2.      Найдите наибольшее значение функции y=x³−6x²+9x+5 на отрезке [0; 3].

3.      Найдите наибольшее значение функции y=x³​−12x+5 на отрезке [− 3 ; 0].

4.      Найдите наибольшее значение функции y=x³+2x²+x−7 на отрезке [−3; −0,5].

5.      Найдите наибольшее значение функции y=x⁵+20x³−65x на отрезке [− 4; 0].

6.      Найдите наибольшее значение функции y=x⁵−5x³−20x на отрезке [− 10; −1].

7.      Найдите наименьшее значение функции y=18x²​−x³+19 на
отрезке [− 7 ; 10].

8.      Найдите наименьшее значение функции y=19+192x−x³ на отрезке [− 8; 8].

9.      Найдите наибольшее значение функции y=− 7+243x−x³ на отрезке [− 9; 9].

10.  Найдите наименьшее значение функции y=11+48x−x³ на отрезке [− 4; 4].

11.  Найдите наибольшее значение функции y=− 7+75x−x³ на отрезке [− 5; 5].

12.   Найдите наименьшее значение функции y=21x²​−x³+5 на отрезке [− 5 ; 9].

13.  Найдите наименьшее значение функции y=9x²​−x³+11 на отрезке [− 4 ; 4].

14.  Найдите наименьшее значение функции y=12x²​−x³+3 на отрезке [− 5 ; 6].

15.  Найдите наибольшее значение функции y=x³−9x²+24x−7 на отрезке [−1; 3].

16.  Найдите наименьшее значение функции y=x³+6x²+9x+21 на отрезке [−3; 0].

17.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+5)²​(x−3)+6 на
отрезке [− 7 ; 0].

18.  Найдите наибольшее значение функции y=(x−4)²​(x−9)−4 на
отрезке [1 ; 5].

19.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+9)²​(x+6)−5 на
отрезке [− 10 ; − 8].

20.   Найдите наименьшее значение функции y=(x−10)²​(x−6)−8 на
отрезке [8 ; 15].

21.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+10)^2​(x+9)+1 на
отрезке [− 12 ; − 9,5].

22.  Найдите наименьшее значение функции y=(x−5)^2​(x−3)+10 на
отрезке [4 ; 8].

23.  Найдите наибольшее значение функции y=(x−1)^2​(x−10)−1 на
отрезке [− 1 ; 6].

24.  Найдите наименьшее значение функции y=(x+5)²​(x+6)−8 на
отрезке [− 5,5 ; 1].

25.  Найдите наименьшее значение функции y=(x−8)^2​(x−2)−3 на
отрезке [5 ; 17].

26.  Найдите наибольшее значение функции y=(x−8)^2​(x−9)−10 на
отрезке [2 ; 8,5].

27.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+5)²​(x+4)+7 на
отрезке [− 6 ; − 4,5].

28.  Найдите наименьшее значение функции y=(x−6)²​(x+5)+1 на
отрезке [1 ; 15].

29.  Найдите наименьшее значение функции y=(x−10)²​(x−7)−4 на
отрезке [9; 14].

30.  Найдите наименьшее значение функции y=(x−9)²​(x+4)−4 на отрезке [7 ; 16].

31.  Найдите наименьшее значение функции y=(x−10)²​(x+10)−7 на отрезке [8 ; 18].

32.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+10)^2​(x+1)+3 на
отрезке [− 20 ; − 7].

33.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+9)^2​(x−5)+8 на
отрезке [− 14 ; − 8].

34.  Найдите наименьшее значение функции y=(x−1)^2​(x+3)+4 на
отрезке [0 ; 8].

35.  Найдите наибольшее значение функции y=(x+6)^2​(x−4)+3 на
отрезке [− 11 ; − 1].

36.  Найдите наименьшее значение функции y=(x+3)^2​(x+7)−10 на
отрезке [− 5 ; 6]. {n-1}x $$ 9{n-1}$$ $$ $$

$$ 0 = (1-x) — xn $$ $$ x = \frac{1} {1 + n} $$

я застрял в том, как найти a-n и найти предел

$$ \lim_{x \to \infty} \ (n+1 )$$ = $$ \lim_{x \to \infty} \ \frac{1}{x}an$$ = $$ \lim_{x \to \infty} \ lnx \ an$$

, так как я не знаю, как найти a-n, я не могу найти lim и не могу перейти к 3)

, не могли бы вы мне помочь?

• исчисление
• алгебра-предварительное исчисление
• пределы
• функции
• производные

$\endgroup$

0

$\begingroup$

Для $a_n$ это максимальное значение $f(x)$ на интервале $I=[0,1]$.

Зная, что $f'(\frac{1}{n+1})=0$ (единственная критическая точка), $f(0)=0, f(1)=0$, $\ f» (\frac{1}{n+1})<0$, можно заключить, что $f(\frac{1}{n+1})$ — единственный локальный максимум на I.

Таким образом, $$lim_{ n\rightarrow\infty}(n+1)\ f(\frac{1}{n+1})=\frac{1}{e}$$ находится после алгебраической обработки.