Найдите область определения и множество значений функции y: Найти область определения и множество значений функции, рбратной к данной: y=(x-1)^3

Функция f ( x ) определяется как

f ( x ) = | х | = {-x,  x<0 x}  x≥0

называется функцией модуля. Ее также называют функцией абсолютного значения.

Мы можем заметить, что область определения функции модуля — это множество R всех действительных чисел, а область значений — это множество всех неотрицательных действительных чисел. Это означает, что

R ⁺ = { x ∈ R : x ≥ 0 }

График функции модуля показан на рисунке ниже.

Здесь важно отметить, что при x > 0 график функции модуля совпадает с графиком функции идентичности, т.е. линия y = x, а при x < 0 он совпадает с линией y = -x.

Если a > 0 и a ≠ 1, то функция, определяемая выражением f ( x )  = x , x > 0, называется логарифмической функцией.

Логарифмическая функция является обратной функцией.

Напомним, что в случае обратных функций

Пусть f : A → B биекция. Тогда функция g : B → A, которая ставит в соответствие каждому элементу y ∈ B уникальный элемент x ∈ A такой, что f ( x )  = y, называется обратной к f .

Теперь, поскольку логарифмическая функция является обратной функцией, это означает, что

x = y ⬄ x = a ^y

Давайте теперь проверим область определения и диапазон этой кусочной функции.

Мы видим, что область определения и область значений логарифмической функции представляет собой множество всех положительных действительных чисел. Это означает, что ( 0, ∞) — область определения функции, а диапазон — множество R всех действительных чисел.

Поскольку a > 0 и a ≠ 1, у нас есть следующие случаи – 

Случай 1 Когда a > 1

 В этом случае мы имеем

y = x {<0 для 00 для x>1

Кроме того, значения y увеличиваются с ростом увеличение х.

Теперь рассмотрим второй случай, когда a лежит между 0 и 1

Случай 2 Когда 0 < a  < 1

В этом случае имеем

y = x {  >0 for 0< x<1 =0 для x=1 <0 для x>1

Выше мы узнали определение логарифмической функции. Мы также обсудили два различных случая, зависящих от значений а.

Итак, есть два разных графика, основанные на этих разных значениях.

Сначала построим график для первого случая, когда b > 1

y = x {<0 для 00 для x>1

График этой функции будет представить как –

Теперь построим график случая 2.

Случай 2 Когда 0 < a  < 1

В этом случае имеем

y = x {  >0 для 01

График этой функции будет представлено как –

Если a – положительное действительное число, отличное от единицы, то функция, которая связывает каждый x R с ^x , называется экспоненциальной функцией. Другими словами, экспоненциальная функция — это математическая функция в форме f (x) = a ^x , где «x» — переменная, а «a» — константа, которая называется основанием функции и должна быть больше 0.

Функция f : R → R определяется как f ( x )  = a ^x , где a > 0 и a ≠ 1 — формула экспоненциальной функции. Следовательно, мы имеем 

f ( x )  = a ^x

, где

a > 0 и a ≠ 1, а x — действительное число 9.0005

Здесь важно отметить, что если мы имеем отрицательные значения переменной, экспоненциальная функция не определена, когда – 1 < x < 1.

Кривая экспоненциального графика зависит от экспоненциальной функции, которая далее зависит при значении х. Следовательно, именно значение x определяет кривую графика экспоненциальной функции.

Каковы домен и диапазон экспоненциальной функции? Давайте узнаем.

Мы знаем, что область определения функции y = f ( x ) — это множество всех значений x, где ее можно вычислить, а диапазон — это множество всех значений y функции. Область определения экспоненциальной функции — это R множество всех действительных чисел. Областью экспоненциальной функции является множество ( 0 , ∞), поскольку она достигает только положительных значений.

Случай 1: Когда a > 1

Рассмотрим значения y = f ( x  )  = a ^x   при увеличении значения x.

Также мы знаем, что

f ( x ) = {<1 при x<0  =1 при x=0 >1  при x>0

Следовательно, график показательной функции f ( x ) =  b ^x для b > 1 будет равно –

Например, рассмотрим график y = 2 ^x .

График этой функции будет

Мы можем видеть, что указанная выше экспоненциальная функция быстро возрастает.

Также мы можем ясно заметить, что – 

1. 2 ^x < 3 ^x < 4 ^x   < …… для всех x > 1
2. 2 ^x = 3 ^x = 8 x ^{… для всех = 8 x 0}
3. 2 ^x > 3 ^x > 4 ^x   > …… для всех x < 1

Отсюда графики f ( x ) = 2 ^x , f ( x 90 ) = 7 x , f ( x ) = 4 ^x в соответствии с графиком, показанным выше.

Случай 2: когда 0 < a < 1

В этом случае значения y = f ( x ) = a ^x уменьшаются с увеличением x и y > 0  для всех x R. Также мы знаем, что – 

f ( x ) = { <1 для x<0 = 1 для x=0 >1 для x>0

Таким образом, график f ( x ) = b ^x для 0 < b < 1, как показано ниже –

Функция f : A → B называется вещественной функцией, если B является подмножеством R (множество всех действительных чисел). Если A и B являются подмножествами R, то f называется вещественной функцией.

Для математического определения функции for необходимо указать ее область определения, сообласть и образы элементов в ее области определения, либо задав общую формулу, либо перечислив их один за другим. Поскольку область определения и область значений действительных функций являются подмножествами R, поэтому условно вещественные функции описываются путем предоставления общей формулы для нахождения образов элементов в нем. В таких случаях область определения действительной функции f ( x ) представляет собой множество всех тех действительных чисел, для которых выражение для f ( x ) или формула для f ( x ) принимает только действительные значения. Другими словами, область определения f(x) — это набор всех тех действительных чисел, для которых f(x) имеет смысл. 92-1}$ становится нулем при x = ∓1. Следовательно, областью определения f(x) будет множество всех действительных чисел, отличных от – 1 и 1, т. е. областью определения будет область определения (f) = R–{- 1,1}

. диапазон реальной функции реальной переменной — это набор всех действительных значений, принимаемых f ( x ) в точках ее области определения. Следующий алгоритм используется для нахождения области значений действительной функции f(x) –

1. . Положим y = f(x) 
2. . Решите уравнение y = f(x) относительно x через y. пусть х = ∅ ( у )
3. Найдите значения y, для которых значения x, полученные из x = ∅ ( y ), действительны в области f.
4. Набор значений, полученных на предыдущем шаге, представляет собой диапазон f. Пример 1 задана функция f ( x ) =  $\frac{x-2}{3-x}$, и нам нужно найти ее область определения и область значений. Давайте найдем их один за другим.

   Область определения f

   Мы видим, что f определено для всех x, удовлетворяющих условию 3 – x ≠ 0. Это означает, что x ≠ 3. Следовательно, область определения функции f ( x ) = $\frac{ x-2}{3-x}$ будет Домен ( f ) =  R – { 3 }

   Диапазон f

   Мы будем использовать вышеизложенное, обсужденное выше, чтобы найти диапазон данной функции.

   Пусть y = f ( x ). Тогда имеем

   y = $\frac{x-2}{3-x}$

   ⇒ y ( 3 – x ) = x – 2

   ⇒ 3 y – x y = x – 2

   ⇒ x ( y + 1 )  = 3 y + 2

   ⇒ x = $\frac{3 y+2}{y+1}$ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 1 )

   Из уравнения (1) видно, что x принимает действительные значения всех y, кроме y + 1 = 0. Это означает, что y = – 1

   Следовательно, диапазон функции f ( x ) = $\frac{x-2}{3-x}$ будет Range ( f ) = R – { – 1 }

   Пример 2 Найдите область определения и область значений функции f ( x ) = $ \frac{1}{2-sin 3 x}$

   Решение Нам задана функция f ( x ) = $\frac{1}{2-sin 3 x}$, и нам нужно найти ее область определения и область значений. Давайте найдем их один за другим.

   Домен из F

   Мы знаем, что — 1 ≤ SIN 3 x ≤ 1 для всех x ∈ R

   ⇒ — 1 ≤ — sin 3 x ≤ 1 для всех x ∈ R R R Rout

   ⇒ 1 ≤ 2 – sin 3 x ≤ 3 для всех x ∈ R

   ⇒ f ( x ) = $\frac{1}{2-sin 3 x}$ определено для всех x ∈ R

   Следовательно, областью определения функции f ( x ) = $\frac{1}{2-sin 3 x}$ будет Область определения f( f ) = R

   Диапазон f

   Выше мы уже обсуждали, что 1 ≤ 2 – sin 3 x ≤ 3 для всех x  ∈ R R

   ⇒ 13 ≤ f ( x ) ≤ 1 для всех x ∈ R

   ⇒ f ( x ) = [ 1 / 3 , 1 ]

   Следовательно, область значений функции f ( x ) = $\frac{1}{2-sin 3 x}$ будет Range (f) = [1/3, 1]

   Ключевые факты и сводка
   1. Пусть A и B — два не- пустые наборы. Отношение f из A в B, т. е. подмножество A x B, называется функцией или отображением или отображением из A в B,
      • Для каждого a  ∈ A существует b ∈ B такое, что ( a, b ) ∈ f
      • ( a, b ) ∈ f и ( a , c ) ∈ f ⇒ b = c
   2. Пусть f : A → B. тогда множество A известно как область определения f, а множество B известный как ко-домен диапазона f. Набор всех f-изображений элементов A известен как диапазон f или набор изображений A при f и обозначается через f ( A ).
   3. Функция f ( x ) определяется как f ( x ) = | х | = {-x, x<0 x, x≥0 называется функцией модуля. Ее также называют функцией абсолютного значения.
   4. Если a > 0 и a ≠ 1, то функция, определяемая соотношением f ( x )  = x , x > 0, называется логарифмической функцией.
   5. Функция f : R → R определяется формулой f ( x )  = a ^x , где a > 0 и a ≠ 1 — формула экспоненциальной функции. Область определения экспоненциальной функции — это R множество всех действительных чисел.

      No related posts.