Решение задач по теории вероятностей (9 класс)
#9 класс #Методические разработки #Урок #Учитель-предметник
МБОУ «СОШ №2 г. Суворова» ОГЭ. Решение задач по теории вероятностей Учитель: Орлова Ольга Ивановна
Основные понятия теории вероятностей Случайным называется событие, которое нельзя точно предсказать заранее. Оно может либо произойти, либо нет. Испытанием называют такое действие, которое может привести к одному из нескольких результатов. Если n- число всех исходов некоторого испытания, m- число благоприятствующих событию A исходов, Вероятность события A равна P(A) =
Пример Бросается игральный кубик, какова вероятность того, что выпадет число 4.
Пример
Бросается игральный кубик, какова вероятность
того, что выпадет число 4.
Решение:
У кубика 6 сторон, выпасть может любая из них ⇒ число всех исходов равно n = 6.
Число 4 может выпасть только в одном случае ⇒ число благоприятствующих исходов равно m = 1.
Задача На тарелке 20 пирожков: 2 с мясом, 16 с капустой и 2 с вишней. Рома наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
Задача На тарелке 20 пирожков: 2 с мясом, 16 с капустой и 2 с вишней. Рома наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней. Решение: Число всех исходов равно n = 20. Число благоприятствующих исходов равно m = 2. Тогда P(A) = 2 : 20 Ответ: 0,1. P(A) =
Задачи
1. Определите вероятность того, что при бросании
игрального кубика выпадет менее 4 очков.
2. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из
России , 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена
из Швеции. Порядок, в котором спортсмены
стартуют, определяется жребием.
Ответы 1. Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет менее 4 очков. (0,5) 2. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России , 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен из России. (0,55) 3. Из 600 клавиатур для компьютера в среднем 12 неисправны. Какова вероятность, что случайно выбранная клавиатура исправна? (0,98)
Сложение вероятностей Суммой событий A и B называют событие (A+B) , состоящее в появлении либо только события A, либо только события B, либо и события A и события B одновременно. P(A+B) = P(A) + P(B)
Сложение вероятностей
Суммой событий A и B называют событие (A+B) , состоящее
в появлении либо только события A, либо только события B,
либо и события A и события B одновременно.
P(A+B) = P(A) + P(B)
Пример
В ящике лежат 10 шаров: 4 красных, 1 синий и 5 черных. Наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что шар красный или синий.
Решение:
Пусть событие A — вынут красный шар. P(A)=4:10=0,4
событие B — вынут синий шар. P(B)=1:10=0,1
Тогда вероятность того, что вынутый шар красный или синий равна P(A+B) = 0,4 + 0,1 = 0,5.
Ответ: 0,5
Задача В магазине канцтоваров продается 120 ручек, из них 15 – красных, 22 – зеленых, 27 – фиолетовых, еще есть синие и черные, их поровну. Найдите вероятность того, что Алиса наугад вытащит синюю или зеленую ручку.
Задача
В магазине канцтоваров продается 120 ручек, из них 15 –
красных, 22 – зеленых, 27 – фиолетовых, еще есть синие
и черные, их поровну. Найдите вероятность того, что
Алиса наугад вытащит синюю или зеленую ручку.
Решение:
Синих ручек (120 — 15 — 22 — 27) : 2 = 28
Событие A – вытащит синюю ручку.
P(A) = 28 : 120 = 14/60.
Событие B – вытащит зеленую ручку. P(B) = 22 : 120 =11/60.
Тогда вероятность того, что Алиса вытащит синюю или
зеленую ручку равна P(A+B) = 14/60 + 11/60 = 5/12.
Ответ: 5/12.
Произведение вероятностей Произведением событий A и B называется событие (AB), состоящее в появлении и события A, и события B. P(AB) = P(A) P(B)
Произведение вероятностей Произведением событий A и B называется событие (AB), состоящее в появлении и события A и события B. P(AB) = P(A) P(B) Пример Дважды бросается игральный кубик. Какова вероятность того, что оба раза выпадет число 5. Решение: Пусть событие A — 1-й раз выпадет 5; P(A)=1:6 событие B — 2-й раз выпадет 5. P(B)=1:6 Тогда вероятность того, что оба раза выпадет число 5 P(AB)=1/6 1/6=1/36. Ответ: 1/36.
Задача
Игральную кость бросают два раза.
Найдите
вероятность того, что оба раза выпало число,
большее 3.
Задача Игральную кость бросают два раза. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3. Решение: P(A) =3:6 = 0,5. P(A) = 3:6 = 0,5. P(AB) = 0,5 0,5 = 0,25. Ответ: 0,25 P(AB) = P(A) P(B)
Задача Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,6. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А и Б играют 2 партии, причем во 2-ой партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.
Задача
Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,6. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,4. Гроссмейстеры А и Б играют 2 партии, причем во 2-ой партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.
Решение:
Пусть
Событие А — это выигрыш А в 1-ой партии, P(А) = 0,6.
Событие В — выигрыш А в 2-ой партии, P(В) = 0,4.
Событие C — А выиграет обе партии.
Р(C) = P(А) P(В), т.е наступят события А и В
P(C)=0,6 0,4=0,24
Ответ: 0,24
Задача В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков.
Задача В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Решение: Числа 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
Задача
В случайном эксперименте бросают две игральные
кости.
Найдите вероятность того, что в сумме выпадет
7 очков. Решение:
Числа
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Задача
Числа
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
В случайном эксперименте бросают две игральные
кости.
Найдите вероятность того, что в сумме выпадет
7 очков. Решение:
Число всех исходов
равно n = 6 6 = 36.
Число благоприятствующих
исходов равно m = 6.
Тогда P(A) = 6 : 36 = 1/6.
Ответ: 1/6.
Задачи 1. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз выпадет число 6. 2. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз и во второй раз выпадет одинаковое число очков. 3. Игральный кубик бросают дважды. Какая сумма очков наиболее вероятна?
Задачи 1. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз выпадет число 6. (1/6) 2. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что первый раз и во второй раз выпадет одинаковое число очков. (1/6) 3. Игральный кубик бросают дважды. Какая сумма очков наиболее вероятна? (7)
Задача
В случайном эксперименте симметричную монету
бросают три раза.
Найдите вероятность того, что решка
выпадет ровно 2 раза.
Задача В случайном эксперименте симметричную монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно 2 раза. Решение: 1 бросок 2 бросок 3 бросок О О О О О Р О Р Р О Р О Р Р Р Р Р О Р О О Р О Р
Задача
В случайном эксперименте симметричную монету
бросают три раза.
Найдите вероятность того, что решка
выпадет ровно 2 раза. Решение:
8 исходов
1 бросок
2 бросок
3 бросок
О
О
О
О
О
Р
О
Р
Р
О
Р
О
Р
Р
Р
Р
Р
О
Р
О
О
Р
О
Р
Задача
В случайном эксперименте симметричную монету
бросают три раза.
Найдите вероятность того, что решка
выпадет ровно 2 раза. Решение:
Число всех исходов равно n = 8.
Число благоприятствующих
исходов равно m = 3.
Тогда P(A) = 3 : 8 = 0,375.
Ответ: 0,375. 8 исходов
1 бросок
2 бросок
3 бросок
О
О
О
О
О
Р
О
Р
Р
О
Р
О
Р
Р
Р
Р
Р
О
Р
О
О
Р
О
Р
Задачи
1.
Монету бросают три раза. Какова вероятность того, что результаты двух первых бросков будут одинаковы?
2. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что результаты первого и последнего броска различны.
3. В случайном эксперименте симметричную монету
бросают два раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Методическая разработка по математике «Решение задач ТВ»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №1
(с углубленным изучением отдельных предметов)»
Методическая разработка по математике:
«Решение задач про кубики, кости, монеты и другие задачи по ТВ.»
Подготовила: учитель математики Батурова
Г.Ю.
Моршанск 2020
Предисловие.
Некоторую сложность в подготовке к ОГЭ для учащихся составляет решение задач по ТВ. В данном пособии подробно разобраны решения некоторых задач, на которые ребята могут опереться, при работе с аналогичными заданиями. Также данная подборка поможет педагогам в отработке решений задач конкретного типа.
В пособии дается ряд задач с готовым решением и ряд подобных задач, которые учащиеся могут решить самостоятельно, без помощи учителя, дома или на дополнительных заданиях.
Для педагогов предоставляется возможность использовать данный материал в
работе с отстающими учениками и учениками, имеющими пробелы в знаниях по данной
теме.
Подборка задач может быть использована также в качестве заданий для
кружковой работы педагогов – предметников и в качестве дополнительных заданий
при опережающем обучении.
В пособии использованы материалы ФИПИ, сайт Гущин « Решу ОГЭ», СТАДград и другие интернет-ресурсы.
Простейшие задачи на нахождение вероятности.
1.
На тарелке лежат 15 пирожков. Из них 4 с вишней, 5 с яблоком, остальные с абрикосом. Вова наугад берет пирожок. Найдите вероятность того, что ему попадется пирожок с абрикосом.
Благоприятные события – это пирожки с абрикосом. Их в тарелке 15-4-5=6.
Всевозможные события – это все пирожки. Их 15.
Вероятность=Благоприятные : Всевозможные, т.е.
P=6:15=0,4.
!!! Обратите внимание на то, что вероятность не может быть больше 1! Это связано с тем, что 100%-ая вероятность равна 1.
Ответ: 0,4.
2.
На научной
конференции будут выступать 3 докладчика из Германии, 2 из России и 5 из Японии.
Найдите вероятность того, что последним будет выступать докладчик из России,
если порядок выступления определяется жребием.
Благоприятные события – это российские докладчики. Их 2.
Всевозможные события – это все прибывшие докладчики. Их 3+2+5=10.
P=2:10=0,2
Ответ: 0,2
3.
Из слова «МАТЕМАТИКА» случайным образом выбирается одна буква. Найдите вероятность того, что эта буква окажется гласной.
Благоприятные события – это гласные буквы. Их 5.
Всевозможные события – это все буквы в слове. Их 10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
4.
Из класса, в котором учатся 12 мальчиков и 8 девочек, выбирают по жребию одного дежурного. Найдите вероятность того, что дежурным окажется мальчик.
Благоприятные события – это все мальчики. Их 12.
Всевозможные события – все дети в классе. Их 12+8=20.
Р=12:20=0,6
Ответ: 0,6
5.
В партии из 1000 компьютеров оказалось 5 бракованных. Какова вероятность купить исправный компьютер?
Благоприятные события
– это исправные компьютеры.
Их 1000-5=995.
Всевозможные события – это все компьютеры. Их 1000.
Р=995:1000=0,995
Ответ: 0,995
6.
В урне лежат 3 белых, 2 желтых и 5 красных шаров. Найдите вероятность того, что извлеченный наугад шар будет красного цвета.
Благоприятные события – это красные шарики. Их 5.
Всевозможные события – это все шарики. Их 3+2+5=10.
Р=5:10=0,5
Ответ: 0,5
7.
В каждой пятой банке кофе есть приз. Призы распределены случайно. Галя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Галя не найдет приз.
Благоприятные события – это банки, в которых нет приза. Их 4.
Всевозможные события – это все банки. Их 5.
P=4:5=0,8
Ответ: 0,8.
Из простых задач остались самые элементарные.
Мы уже знаем, что если какое-либо событие происходит стопроцентно, то его вероятность обозначают за 1.
1.
Если вероятность
выпадения снега 50%, то логично предположить, что вероятность того, что снег не
выпадет равна так же 50%.
Избавимся от процентов. Вероятность выпадения снега
равна 0,5, вероятность невыпадения – 0,5. В сумме эти два числа равны 1.
2.
Если вероятность того, что при письме карандаш сломается равна 0,24, то, чтобы найти вероятность того, что он не сломается, надо из 1 вычесть 0,24. Получится 0,76.
3.
Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна 0,06. Покупатель в магазине выбирает одну шариковую ручку. Найдите вероятность того, что ручка пишет хорошо.
Р=1-0,06=0,94
Ответ: 0,94.
Задачи с кубиками.
Следующий тип простых задач – это задачи с кубиками.
1.
Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событию А=«сумма очков равна 10»?
Задаем себе вопрос: в каких случаях сумма очков будет равна 10?
| 1 кубик | 2 кубик |
1 | 4 | 6 |
2 | 5 | 5 |
3 | 6 | 4 |
Это и есть все
благоприятные события.
Итого, их 3.
Ответ: 3.
Ну и теперь рассмотрим несколько простейших задач.
У кубика, как известно, 6 сторон. Значит, при подбрасывании одного кубика, всевозможных событий у нас будет 6. А при подбрасывании двух кубиков? Можно, конечно, расписать все варианты, но если кубиков не два, а три/четыре/пять? Всё время экзамена уйдет на это.
Нужно запомнить, что если количество сторон кубика возвести в степень, равную количеству кубиков, то мы получим число всевозможных событий.
6количество кубиков=всевозможные события
Для нахождения благоприятных событий такой формулы нет, поэтому разминаем мозг и ищем все самостоятельно.
2.
В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Результат округлите до сотых.
Найдем благоприятные события. В каких случаях сумма очков будет равна 10? Распишем, главное, ничего не забыть.
| 1 кубик | 2 кубик | 3 кубик |
1 | 1 | 3 | 6 |
2 | 1 | 4 | 5 |
3 | 1 | 5 | 4 |
4 | 1 | 6 | 3 |
5 | 2 | 2 | 6 |
6 | 2 | 3 | 5 |
7 | 2 | 4 | 4 |
8 | 2 | 5 | 3 |
9 | 2 | 6 | 2 |
10 | 3 | 1 | 6 |
11 | 3 | 2 | 5 |
12 | 3 | 3 | 4 |
13 | 3 | 4 | 3 |
14 | 3 | 5 | 2 |
15 | 3 | 6 | 1 |
16 | 4 | 1 | 5 |
17 | 4 | 2 | 4 |
18 | 4 | 3 | 3 |
19 | 4 | 4 | 2 |
20 | 4 | 5 | 1 |
21 | 5 | 1 | 4 |
22 | 5 | 2 | 3 |
23 | 5 | 3 | 2 |
24 | 5 | 4 | 1 |
25 | 6 | 1 | 3 |
26 | 6 | 2 | 2 |
27 | 6 | 3 | 1 |
Итого, благоприятных
событий 27, а всевозможных – 63=216.
Р=27:216=0,125. Округляем до сотых – 0,13.
Ответ: 0,13.
3.
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 4 очка. Результат округлите до сотых.
С двумя кубиками совсем просто.
Всевозможных событий — 62=36
Благоприятных событий — 3 (в сумме выйдет 4, если выпадут 1 и 3, или 3 и 1, или 2 и 2)
Р=3:36=0,08333
Ответ: 0,08
Задачи с монетами.
Задачи с монетками похожи на задачки с кубиками, но придется все всевозможные варианты выписать, чтобы найти благоприятные. Не уверены, что выписали всё? По аналогии с кубиками, можно сделать проверку: количество сторон монеты возвести в степень, равную количеству монеток.
2количество монет=всевозможные события
4.
Одновременно бросают две монеты. Найдите вероятность, что на обеих монетах выпадет орел.
О – орел, Р — решка
О | О |
Р | Р |
О | Р |
Р | О |
Благоприятных – 1
Всевозможных – 4
Р=1:4=0,25
Ответ: 0,25
5.
Одновременно бросают три монеты. Найдите вероятность, что не выпадут два орла и одна решка.
Всевозможных событий у нас 23=8. Выпишем их.
О | О | О |
О | О | Р |
О | Р | О |
О | Р | Р |
Р | О | О |
Р | О | Р |
Р | Р | О |
Р | Р | Р |
Благоприятных событий
3.
Р=3:8=0,375
Ответ: 0,375.
Задачи на нахождение вероятности совместных и несовместных событий.
В предыдущих задачах события были случайными. Но еще есть такие виды событий как совместные и несовместные. Из названий понятно, что совместные события могут происходить одновременно, а несовместные нет. Например, к совместным событиям относятся снег с дождем, т.е. одновременно идет снег И дождь; к несовместным событиям относятся наступление дня и наступление ночи, т.к. в природе может быть ИЛИ день, ИЛИ ночь. Что-то одно.
Союзы и/или я выделила не просто так. В информатике есть тема «Логические операции». Правда не могу сказать, в каких классах ее изучают. Определенно в старших. В этой теме есть такие понятия как логическое сложение и логическое умножение. Так вот. Союз И отвечает за логическое умножение, а союз ИЛИ – за логическое сложение.
О чем это говорит? Если в задаче нам
даны вероятности совместных событий, то их необходимо умножать.
Если даны
вероятности несовместных событий, то их будем складывать.
И – умножаем
ИЛИ — складываем
1.
В уличном фонаре три лампы. Вероятность перегорания лампы в течении года равно 0,8. Найдите вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит.
Начинаем рассуждать. Если лампа перегорает с вероятностью 0,8, то она не перегорает с вероятностью 1-0,8=0,2.
Возможны несколько случаев.
1) 1 лампа остается И 2 лампы перегорают. Вероятность такого расклада равна 0,2*0,8*0,8=0,128. Причем остаться гореть может первая лампа, вторая ИЛИ третья. Т.е. первый случай разбивается еще на три таких же. Учитывая этот факт, вероятность того, что одна лампа не перегорит, равна 0,128*3=0,384.
2) 2 лампы остаются И 1 перегорает. Этот случай так же разбивается на три. Найдем вероятность: (0,2*0,2*0,8)*3=0,096.
3) 3 лампы
остаются гореть. И первая, и вторая, и третья.
Вероятность данного события равна 0,2*0,2*0,2=0,008.
Что получаем на выходе? Произойти может или первый случай, или второй, или третий. Найдем вероятность:
Р=0,384+0,096+0,008=0,488
И решим задачу вторым способом. Более коротким.
Вероятность того, что все лампы перегорят (и первая, и вторая, и третья) равна 0,8*0,8*0,8=0,512
Т.к. нас интересует противоположный результат, то вероятность того, что в течении года хотя бы одна лампа не перегорит равна 1-0,512=0,488
Ответ: 0,488
2.
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Вероятность ничьей = 1-0,4-0,4=0,2.
Команду ожидают две
игры. За эти игры она должна набрать 4 очка. Это возможно осуществить тремя
способами.
Либо они одерживают победу в
обоих играх, либо одерживают победу в первой игре и играют
вничью во второй, либо играют вничью в первой игре и
побеждают во второй. Расставим союзы и/или, чтобы составить полноценную
формулу:
(победа и победа) или (победа и ничья) или (ничья и победа)
Заменяем союзы на знаки и получим, что вероятность того, что команда попадет в следующий тур равна 0,4*0,4+0,4*0,2+0,2*0,4=0,32.
Ответ: 0,32.
( сайт Гущина « Решу ОГЭ»)
Задание 10 № 325453
Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет нечетное число очков.
Решение.
При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет нечётное число очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 3 или 5 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет нечётное число очков равна 3/6=0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325481
Определите вероятность того, что при бросании кубика
выпало число очков, не большее 3.
Решение.
При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет не больше трёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков равна 3/6=0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325482
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 1 раз.
Решение.
Всего возможны четыре исхода: решка-решка, решка-орёл, орёл-решка, орёл-орёл. Орёл выпадает ровно один раз в двух случаях, поэтому вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз равна 2/4=0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325450
В соревнованиях по художественной гимнастике участвуют три гимнастки из России, три гимнастки из Украины и четыре гимнастки из Белоруссии. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России.
Решение.
Всего в соревнованиях участвуют 3 + 3 + 4 = 10 гимнасток. Поэтому вероятность того, что первой будет будет выступать гимнастка из России равна 3/10= 0.3
Ответ: 0,3.
Задание 10 № 325452
Определите вероятность того, что при бросании игрального кубика (правильной кости) выпадет менее 4 очков.
Решение.
При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет менее четырёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2 или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет менее 4 очков равна 3/6= 0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325456
Во время вероятностного эксперимента монету бросили 1000 раз, 532 раза выпал орел. На сколько частота выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события?
Решение. Всего возможны два исхода
эксперимента, выпадению решки удовлетворяет один из них, поэтому вероятность
выпадения решки в этом эксперименте равна 1 : 2 = 0,5.
Частота выпадения решки в данном эксперименте равна
(1000 − 532) : 1000 = 0,468. Поэтому частота
выпадения решки в этом эксперименте отличается от вероятности этого события на
0,5 − 0,468 = 0,032.
Ответ: 0,032.
Задание 10 № 325479
Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало четное число очков.
Решение.
При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет чётное число очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 2, 4 или 6 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет чётное число очков равна 3/6= 0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325480
Определите вероятность того, что при бросании кубика выпало число очков, не меньшее 1.
Результат округлите до сотых.
Решение.
При бросании кубика всегда выпадает не меньше одного очка, то есть вероятность события «выпадет число очков не меньшее 1» равна одному.
Ответ: 1.
Задание 10 № 325490
Игральную кость
бросают дважды.
Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее
3.
Решение.
При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет больше трёх очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 4, 5, или 6 очков. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков равна 3/6= 0.5
Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, большее 3, либо событие Б — выпало число не больше 3. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3 равна 3/4= 0.75
Ответ: 0,75.
Задание 10 № 325492
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, меньшее 4.
Решение.
При бросании кубика
равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет меньше четырёх
очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3
очка.
Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет меньше четрёх очков
равна 3/6= 0.5
Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, меньшее 4, либо событие Б — выпало число не меньше 4. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4 равна 1/4= 0.25
Ответ: 0,25.
Задание 10 № 325493
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно 5.
Решение.
При бросании кубика
дважды равновозможны 6 · 6 = 36 различных исходов. Число 5
будет наибольшим из выпавших, если хотя бы один раз выпадает 5 и ни разу — 6.
То есть либо на первом кубике должно выпасть 5 очков, а на втором — любое число
кроме 6, либо наоборот, на втором кубике должно выпасть 5, а на первом — любое
число кроме 6. Также необходимо помнить, что при таком подсчёте вариант, когда
на обоих кубиках выпадает пять, мы учитываем дважды:
5 + 5 − 1 = 9.
Поэтому вероятность того, что
наибольшее из двух выпавших чисел — 5 равна 9/36= 0.25
Ответ: 0,25.
Задание 10 № 325494
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наименьшее из двух выпавших чисел равно 2.
Решение.
При бросании кубика дважды равновозможны 6 · 6 = 36 различных исходов. Число 2 будет наименьшим из выпавших, если хотя бы один раз выпадает 2 и ни разу — 1. То есть либо на первом кубике должно выпасть 2 очка, а на втором — любое число кроме 1, либо наоборот, на втором кубике должно выпасть 2, а на первом — любое число кроме 1. Также необходимо помнить, что при таком подсчёте вариант, когда на обоих кубиках выпадает двойка, мы учитываем дважды: 5 + 5 − 1 = 9. Поэтому вероятность того, что наименьшее из двух выпавших чисел — 2 равна 9/36= 0.25
Ответ: 0,25.
Задание 10 № 325495
Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел четна.
Решение.
При бросании кубика два раза равновозможны 6 · 6 = 36 различных исходов. Сумма чётна, если на первом кубике выпадает нечётное число и на втором выпадает нечётное число, этому соответствует 3 · 3 = 9 исходов. Либо, если на обоих кубиках выпадают чётные числа, этому соответствует 3 · 3 = 9 исходов. Поэтому вероятность того, что сумма двух выпавших чисел чётна равна 18/36= 0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325496
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечетна.
Решение.
При бросании кубика дважды равновозможны 6 · 6 = 36 различных исходов. Сумма нечётна, если на первом кубике выпадает нечётное число, а на втором выпадает чётное число, этому соответствует 3 · 3 = 9 исходов. Либо, если наоборот, на первом кубике выпадает чётное число, а на втором выпадает нечётное число, этому соответствует 3 · 3 = 9 исходов. Поэтому вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечётна равна 18/36 =0.5
Ответ: 0,5.
Задание 10 № 325497
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4.
Решение.
При бросании кубика равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет меньше четырёх очков» удовлетворяет три случая: когда на кубике выпадает 1, 2, или 3 очка. Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет меньше четырёх очков равна 3/6=0.5
Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, меньшее 4, либо событие Б — выпало число не меньше 4. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что хотя бы раз выпало число, меньшее 4 равна 3/4=0.75
Ответ: 0,75.
Задание 10 № 325491
Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3.
Решение.
При бросании кубика
равновозможны шесть различных исходов. Событию «выпадет больше трёх
очков» удовлетворяют три случая: когда на кубике выпадает 4, 5, или 6
очков.
Поэтому вероятность того, что на кубике выпадет не больше трёх очков
равна 3/6=0.5
Таким образом, при одном бросании кубика с одинаковой вероятностью реализуется либо событие А — выпало число, большее 3, либо событие Б — выпало число не больше 3. То есть равновероятно реализуются четыре события: А-А, А-Б, Б-А, Б-Б. Поэтому вероятность того, что оба раза выпало число, большее 3 равна 1/4=0.25
Ответ: 0,25.
Найти вероятность того, что сначала выпадет четное число, а затем выпадет
Задавать вопрос
спросил
Изменено 2 года, 8 месяцев назад
Просмотрено 691 раз
$\begingroup$
На сторонах куба изображены числа $2, 3, 3, 4, 4, 4$.
Алиса катит этот кубик три
раз. Найдите вероятность того, что при первом броске выпадет четное число, и сумма
из чисел, полученных во втором и третьем бросках, равно шести.
Моя работа: $\frac46\times\frac{3}{36}=\frac{1}{18}$
$\frac46$ = $4$ четных чисел / $6$ возможных результатов
$3$ = сумма Успешных исходов при двойном броске кубика ($2 + 4 = 6$ — первый, $4 + 2 = 6$ — второй, $3 + 3$ — третий) 92 = 36$ возможных исходов/расстановок при двойном бросании игральной кости.
так $\frac{3}{36}$
$\frac46\times\frac{3}{36}=\frac{1}{18}$
Правильно ли я сделал?
- вероятность
$\endgroup$
$\begingroup$
Да, у $4$ граней из $6$ четное число, поэтому вы правы в первом броске, имея четную вероятность $\frac46$.
Ваш анализ второго и третьего бросков с суммой $6$ неверен.
Один из способов — выбросить 2$, а затем 4$.
Это имеет вероятность $\frac16\times\frac36=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$
Другой вариант – выбросить 4$, а затем бросить 2$. Это имеет вероятность $\frac36\times\frac16=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$
Наконец, вы можете выбросить $3$, а затем еще $3$. Это имеет вероятность $\frac26\times\frac26=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$
Общая вероятность бросков $2$ и $3$ с суммой $6$ равна сумме этих вероятностей. $\frac{3}{36}+\frac{3}{36}+\frac{4}{36}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$
Чтобы ответить на ваш вопрос, умножьте вероятность первого броска на вероятность того, что второй и третий броски выпадут в сумме $6$
$\frac46\times\frac{5}{18}=\frac{20}{ 108}=\frac{5}{27}$
$\endgroup$
$\begingroup$
Да, $\frac {4}{6}$ — вероятность выпадения четного числа при первом броске.
Также, как вы упомянули, вы можете получить сумму шести из следующих двух бросков как $4+2$, $2+4$ и $3+3$.
Но при броске вероятность получить $4$ равна $\frac {3}{6}$, получить $3$ – $\frac {2}{6}$, а получить $2$ – $\frac { 1{6}$.
Таким образом, вероятность выпадения шести следующих бросков = $2.\frac {3}{6}.\frac {1}{6} + \frac {2}{6}.\frac {2} {6} = \frac {5}{18}$
Теперь вы можете умножить на $\frac {4}{6}$.
$\endgroup$ Калькулятор вероятности игры в кости 031 Как рассчитать вероятность броска костей ?
Калькулятор вероятности броска кости является отличным инструментом, если вы хотите оценить вероятность броска броска кости по многочисленным вариантам . В набор входит множество различных многогранных кубиков, так что вы можете исследовать вероятность выпадения 20-гранного кубика и обычного кубического кубика.
Итак, просто оценивайте шансы и играйте! Вы также найдете краткие описания каждой опции в тексте.
🔎 У тебя нет физических кубиков? Нет проблем — попробуйте наш калькулятор игры в кости!
Многогранная кость
Все знают, что такое обычная шестигранная кость, и, скорее всего, многие из вас уже сыграли тысячи игр, где использовалась одна (или более) t Но знаете ли вы, что существует различных типов штампа ? Из бесчисленных возможностей самые популярные игральные кости включены в набор игральных костей Dungeons & Dragons , который содержит семь различных многогранных игральных костей:
- 4-гранный кубик , также известный как тетраэдр — каждая грань представляет собой равносторонний треугольник;
- 6-гранный кубик , классический куб — каждая грань представляет собой квадрат;
- 8-гранная игральная кость , также известная как октаэдр — каждая грань представляет собой равносторонний треугольник;
- 10-гранная игральная кость , также известная как пятиугольный трапецоэдр — каждая грань представляет собой воздушного змея;
- 12-гранный кубик , также известный как додекаэдр — каждая грань представляет собой правильный пятиугольник; и
- 20-гранный кубик , также известный как икосаэдр — каждая грань представляет собой равносторонний треугольник.
💡 Вы можете отточить свою стратегию D&D, используя калькулятор покупки очков Omni 5e.
Не волнуйтесь, мы учитываем каждый из этих кубиков в нашем калькуляторе вероятности. Вы можете выбрать то, что вам нравится, и, например, притвориться, что бросаете сразу пять 20-гранных кубиков!
Как рассчитать вероятность броска кубиков?
Что ж, вопрос сложнее, чем кажется на первый взгляд, но вскоре вы убедитесь, что ответ не так уж и страшен! Все дело в математике и статистике.
Прежде всего, мы должны определить какую вероятность броска костей мы хотим найти . Мы можем выделить несколько, которые вы можете увидеть в этом калькуляторе вероятности игры в кости.
Прежде чем приступать к каким-либо вычислениям, давайте определим некоторые переменные, которые мы будем использовать в формулах. n – количество игральных костей, s – количество отдельных граней кости, p – вероятность выпадения любого значения из кости, а P – общая вероятность решения задачи.
Существует простое соотношение — p = 1/s , поэтому вероятность выпадения 7 на 10-гранном кубике вдвое больше, чем на 20-гранном кубике.
Вероятность выпадения одного и того же значения на каждом кубике – при этом шанс выпадения определенного значения на одном кубике равен p , нам нужно только умножить эту вероятность на саму себя столько раз, сколько игральных костей. Другими словами, вероятность P равна p в степени n , или P = pⁿ = (1/s)ⁿ . Если мы рассмотрим три 20-гранных игральных кубика, вероятность выпадения 15 на каждом из них составит: P = (1/20)³ = 0,000125 (или P = 1,25·10⁻⁴ в экспоненциальной записи). И если вы заинтересованы в броске набора из 90 191 любых 90 192 одинаковых значений, просто умножьте результат на общее количество граней кубика: Р = 0,000125 · 20 = 0,0025 .
Вероятность выпадения всех значений, равных или превышающих y – задача аналогична предыдущей, но на этот раз p равна 1/с , умноженная на все возможности, удовлетворяющие начальному условию . Например, допустим, у нас есть обычный кубик и y = 3 . Мы хотим, чтобы прокатанное значение было либо 6 , 5 , 4 , либо 9009.1 3 . Тогда переменная p равна 4 · 1/6 = 2/3 , а окончательная вероятность равна P = (2/3)ⁿ .
Вероятность выпадения всех значений, равных или меньших y — этот вариант почти такой же, как и предыдущий, но на этот раз нас интересуют только числа, равные или меньшие нашей цели. Если мы возьмем идентичные условия ( s=6 , y=3 ) и применим их в этом примере, мы увидим, что значения 1 , 2 , & 3 удовлетворяют правилам, и вероятность равна: P = (3 · 1/6)ⁿ = (1/2)ⁿ .
Вероятность выпадения ровно X одинаковых значений (равных y ) из набора — представьте, что у вас есть набор из семи 12-гранных игральных костей, и вы хотите узнать вероятность выпадения ровно двух 9 с . Это как-то отличается от того, что было раньше, потому что только часть всего набора должна соответствовать условиям . Здесь на помощь приходит биномиальная вероятность. Формула биномиальной вероятности:
P(X=r) = nCr · pʳ · (1-p)ⁿ⁻ʳ ,
, где r — количество успехов, а nCr — количество комбинаций (также известное как « n выбрать r »).
В нашем примере мы имеем n = 7 , p = 1/12 , r = 2 , nCr = 21 , поэтому окончательный результат: P(X=2) = 21 · (1 /12)² · (11/12)⁵ = 0,09439 или P(X=2) = 9,439% в процентах.
🙋 Более подробную информацию по этой теме вы можете найти в нашем калькуляторе биномиального распределения.
Вероятность выпадения как минимум X одинаковых значений (равных y ) из набора — задача очень похожа на предыдущую, но на этот раз результатом является сумма вероятностей для X =2,3,4,5,6,7 . Переходя к числам, мы имеем: P = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) + P(X=7) = 0,11006 = 11,006% . Как и следовало ожидать, результат немного выше. Иногда точная формулировка проблемы увеличивает ваши шансы на успех.
Вероятность выпадения точной суммы r из набора n s двухгранных игральных костей — общая формула довольно сложна:
P(r,n,s)=1sn∑k=0⌊(r−n)/s⌋(−1)k(nk)(r−s⋅k−1n−1)\scriptsize \начать{разделить} P (r, n, s) = \ frac {1} {s ^ n} \ sum ^ {\ lfloor (rn) / s \ rfloor} _ {k = 0} (-1) ^ k & \ binom {n} {k}\\ &\binom{r\!-s\!\cdot\!k\!-\!1}{n\!-\!1} \end{split}P(r,n,s)=sn1k=0∑⌊(r−n)/s⌋(−1)k(kn)(n−1r−s⋅k−1 )
Однако мы также можем попробовать решить эту проблему вручную.
Один из подходов состоит в том, чтобы найти общее количество возможных сумм. С парой обычных игральных костей мы можем получить 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 , но эти результаты не эквивалентны !
Взгляните; есть только один способ получить 2 : 1+1 , но для 4 есть три разных возможности: 1+3 , 2+2 , 3+1 , и 12 есть, опять же, только один вариант: 6+6 . Оказывается, 7 является наиболее вероятным результатом с шестью вариантами: 1+6 , 2+5 , 3+4 , 4+3 , 5+2 и 6+ 1 . Количество перестановок с повторениями в этом наборе равно 36 . Наш калькулятор перестановок может быть полезен для поиска перестановок для других типов игральных костей. Мы можем оценить вероятности как отношение благоприятных исходов ко всем возможным исходам: P(2) = 1/36 , P(4) = 3/36 = 1/12 , P(12) = 1/36 , P(7) = 6/36 = 1/6 .
Чем больше игральных костей, тем ближе функция распределения сумм к нормальному распределению. Как и следовало ожидать, по мере увеличения количества игральных костей и граней все больше времени уходит на оценку результата на листе бумаги. К счастью, это не относится к нашему калькулятору вероятности игры в кости!
Вероятность выпадения суммы из множества, не ниже X — как и в предыдущей задаче, мы должны найти все результаты, которые соответствуют начальному условию, и разделить их на количество всех возможностей. Учитывая набор из трех десятигранных игральных костей, мы хотим получить сумму не менее 27 . Как мы видим, мы должны сложить все перестановки для 27 , 28 , 29 и 30 , то есть 10, 6, 3 и 1 соответственно. Всего из 1000 возможностей 20 хороших исходов, поэтому конечная вероятность: P(X ≥ 27) = 20/1000 = 0,02 .
Вероятность выпадения суммы из множества, не выше X — процедура точно такая же, как и для предыдущей задачи, но складывать нужно только суммы меньше или равные заданной. Имея тот же набор костей, что и выше, какова вероятность того, что выпадет не более 26 ? Если бы вы делали это шаг за шагом, потребовались бы годы, чтобы получить результат (суммировать все 26 сумм). Но, если подумать, мы только что вычислили дополнительное событие в предыдущей задаче. Суммарная вероятность дополнительных событий точно равна 1 , поэтому вероятность здесь равна: P(X ≤ 26) = 1 — 0,02 = 0,98 .
Когда использовать калькулятор вероятности игры в кости?
Существует множество настольных игр, в которых вы по очереди бросаете кубик (или игральные кости), а результаты могут использоваться в различных контекстах. Допустим, вы играете в Dungeons & Dragons и атакуете.
Класс брони вашего противника 17 . Вы бросаете 20-гранный кубик, надеясь, что выпадет как минимум 15 с вашим модификатором +2. Этого должно быть достаточно. При этих условиях вероятность успешной атаки равна 0,30 . Если вы знаете шансы на успешную атаку, вы можете выбрать, хотите ли вы атаковать эту цель или выбрать другую с лучшими шансами.
Или, может быть, вы играете в Поселенцы Катана и надеетесь выбросить ровно 8 на двух шестигранных кубиках, так как этот результат принесет вам драгоценные ресурсы. Просто воспользуйтесь нашим калькулятором вероятности в костях, и вы увидите, что вероятность составляет около 0,14 – вам лучше повезти на этом ходу!
Играть или пасовать? — Давай сыграем в игру!
Существуют различные виды игр, например, лотереи, где ваша задача состоит в том, чтобы сделать ставку в зависимости от шансов. Бросание игральных костей является одним из них. Хотя некоторые риски неизбежны, вы можете выбрать наиболее выгодный вариант и максимизировать свои шансы на победу.
Взгляните на этот пример.
Представьте, что вы играете в игру, в которой у вас есть один из трех вариантов выбора из , а именно:
- Сумма пяти десятигранных костей не менее 30 ;
- Сумма пяти 12-гранных игральных костей не превышает 28 ;
- Сумма пяти 20-гранных костей не меньше 59 .
Вы выиграете, только если выпадет выбранный вами вариант. Вы также можете отказаться, если чувствуете, что ничего из этого не произойдет. Интуитивно трудно оценить наиболее вероятный успех, но с нашим калькулятором вероятности в костях для оценки всех вероятностей требуется всего лишь мгновение ока.
Полученные значения:
- P₁ = 0,38125 для 10-гранного игрального кубика;
- P₂ = 0,3072 для 12-гранной кости; и
- P₃ = 0,3256 для 20-гранной кости.
Вероятность успешного прохода равна произведению дополнительных событий остальных вариантов:
- P₄ = (1-P₁) · (1-P₂) · (1-P₃) = 0,61875 · 0,6928 · 0,6744 = 0,2891 .
Мы видим, что самый благоприятный вариант — первый, а прохождение — наименее вероятное событие. Мы не можем гарантировать, что вы всегда будете выигрывать, но мы настоятельно рекомендуем вам выбрать для игры 10-гранный набор костей.
Часто задаваемые вопросы
Что такое вероятность?
Вероятность определяет, насколько вероятны определенные события . Простая формула для вероятности: число желаемых исходов/количество возможных исходов . В настольных играх или азартных играх вероятность используется для определения вероятности выпадения определенного числа , например, какова вероятность получения определенного числа одним кубиком?
Сколько возможных исходов может быть при бросании двух игральных костей?
Есть 36 исходов при бросании двух игральных костей . Для одного игрального кубика есть шесть граней, и для любого броска есть шесть возможных исходов .
Для две кости , вы должны перемножить количество возможных исходов вместе, чтобы получить 6 × 6 = 36 . При последующих бросаниях просто умножьте результат на 6 . Если вы используете кости другой формы, вместо 6 введите число их граней .
Какова вероятность того, что при броске 2 игральных костей выпадет 7?
Это 1/6 или 0,1666667 . Предположим, что всего 7 встречается хотя бы один раз . На 2 игральных костях есть 6 способов бросить сумму 7 — (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6 ,1) . Общее количество комбинаций для пары кубиков равно 36 . Таким образом, вероятность суммирования до 7 равна 6/36 = 1/6 = 0,1666667 .
Сколько раз я выбрасываю 5 на паре игральных костей?
20 . Предположим, что пару игральных костей бросают 180 раз . У вас есть 4 способа получить сумму 5 — (1,4), (2,3), (3,2) и (4,1) .