$\int \cos (k x+b) d x=\frac{1}{k} \sin (k x+b)+C$
$\int \sin (k x+b) d x=-\frac{1}{k} \cos (k x+b)+C$
Подобные соотношения можно было вывести и с использованием метода внесения под дифференциал.
Читать дальше: метод интегрирования по частям.
Замена переменных под интегралом
Готовые интегралы функций из контрольной работы для студентов 1, 2 курсов математических факультетов помогут изучить не только схемы интегрирования, но и познакомят с разнообразными приемами, облегчат нахождение интегралов. Некоторые задания сложные и их могут встретить в обучении студенты — математики, экономисты, статисты, химики и физики. Примеры задач задавали на контрольной работе в ЛНУ им. И. Франка. Чтобы формулы в задачах и ответах не повторялись дважды условия заданий выписывать не будем. Вам и так известно что в задачах нужно или «Найти интеграл», или «Вычислить интеграл».
Пример 1. Превращаем корень знаменателя на показатель, далее выполняем деление и после этого интегрируем по формулам интегрирования степенных функций
После интегрирования ответ переписываем через корни
Пример 2.
Разбиваем подынтегральную функцию на две, первую из которых находим по правилу интегрирования показательных функций
Пример 3. Превращаем подынтегральную функцию так, чтобы под корнем при переменной коэффициент был равен единице. По формулам интегрирования получим арксинус
Пример 4. Числитель дроби превращаем таким образом, чтобы он стал равным дифференциалу от знаменателя. Это позволит применить замену переменных и упростит интегрирование. В результате получим логарифм от функции, которая находится в знаменателе выходного интеграла
Пример 5. В такого рода заданиях на интегралы следует знать чему равны производные от тригонометрических функций. В данном случае, если за новую переменную выбрать котангенс и продифференцировать его то при подстановке получим интеграл от линейной функции. Его найти может ученик 11 класса, однако не каждый ученик сможет увидеть приведенную замену.
После интегрирования везде вместо переменной подставляем котангенс.
Пример 6.
Имеем дробную функцию, которая равна синусу разделенному на экспоненту в степени косинус. Чтобы перейти ко второй основе интегрирования за переменную выберем показатель экспоненты, продифференцируем переменную и подставим в интеграл. При таких действиях получим интеграл от экспоненты с отрицательным показателем. Его вычисляем согласно табличной формуле интегрирования
Пример 7. Единицу минус логарифм обозначим за новую переменную, производная нам даст нужную часть интеграла. После подстановки придем к интегрированию степенной функции с отрицательным показателем.
Наконец не забывайте во всех примерах где выполняли замену подставлять начальную функцию (1-ln(x)).
Интегрирование по частям
Пример 8. Несколько следующих заданий нужно решать по правилу интегрирования частями u*dv. За dv выбирают функцию, которая за 1 два хода приведет к рекуррентной формуле или после ряда повторного применения правила интегрирования частями получим окончательный ответ. Здесь косинус тройного аргумента нужно внести под дифференциал
Повторно применяем интегрирование по частям
Как видите ничего сложного в интегрировании нет, главное следить за знаками синуса, косинуса.
Пример 9. Всегда где видите произведение экспоненты на любую функцию знайте, что придется интегрировать частями. Причем за dv выбираем экспоненту на dx.
После повторного интегрирования по частям получим
Следует отметить, что дальше интегрировать мы не будем. В таком виде получили рекуррентную формулу (справа и слева от знака равенства имеем нужный интеграл).
Переносим неизвестные по один знак равенства и вычисляем интеграл.
В подобных задачах при интеграле могут быть не только константы, но и функции.
Пример 10. Проинтегрируем частями — за функцию выбираем арктангенс, за дифференциал — dv=x*dx. После дифференцирования арктангенса и интегрирования частями второй интеграл упростится до двух табличных формул.
Пример 11. Проинтегрируем методом замены переменных. Переменную выбираем таким образом, чтобы в показателе экспоненты избавиться иррациональности. Далее приходим к интегрированию частями и загнав экспоненту под дифференциал применяем формулы u*dv
.
Пример 12. В таких задачах квадратный трехчлен в знаменателе следует записать в виде разницы или суммы квадратов. Далее придем к интегралу который в итоге даст арктангенс
Пример 13. Выделяем квадраты под корнем и сводим интеграл к арксинусу.
При группировке внимательно следите за суммой дробей, в такой простой операции львиная доля ошибок при интегрировании, по крайней мере для те, кто пришел хоть до какого-то ответа. Также запомните схему вычисления этого и предыдущего примеров — они являются наиболее распространенными на контрольных и тестах.
Готовые решения контрольной по интегрированию
- > Следующие ответы
- Контрольная работа по интегрированию № 1
- Контрольная работа по интегрированию № 3
- Назад
- Вперёд
- интеграция
- многомерное исчисление
$\begingroup$
Вам нужно решить $u=x+y$ и $v=y/x$ для $x$, исключив $y$.
Например, $y=vx$ и, следовательно, $u=x+vx$, поэтому $x=u/(v+1)$. Конечно, вы получите тот же результат, используя уравнения наоборот: $y=u-x$ и, следовательно, $v=(u-x)/x$, поэтому $x=u/(v+1)$.
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Теперь вам нужно представить x и y через u и v.
Поскольку у вас есть два уравнения: $x+y=u$ и $\frac{y}{x}=v$, вы можете написать $y=xv$ и подставить это в первое уравнение. Вы получите $x+xv=u$, перепишите это как $x=\frac{u}{1+v}$.
Затем вы заменяете все x и y в интеграле на u и v и пытаетесь решить этот интеграл через u и v.
$\endgroup$$\begingroup$ 92}$$Хорошо?
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
двойных интегралов — Криста Кинг Математика | Онлайн-помощь по математике
Сообщения с тегами двойные интегралы Нахождение среднего значения из двойного интегралаМы можем оценить среднее значение области кривых уровня, используя формулу (1/A(R)) int int_R f(x,y) Delta(A), где A(R) — площадь прямоугольника, определенного на R=[x1,x2]x[y1,y2], где двойной интеграл дает объем под поверхностью f(x,y) в области R.
Читать далее
Learn mathКриста Кинг
математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 3, исчисление iii, вычисление 3, вычисление iii, множественные интегралы, двойные интегралы, среднее значение, среднее значение из двойных интегралов, функции многих переменных , многомерные функции, кривые уровня, оценка среднего значения с помощью кривых уровня 92.
Помните также, что когда вы конвертируете dA или dy dx в полярные координаты, они преобразуются как dA=dy dx=r dr dtheta.Читать далее
Learn mathКриста Кинг математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление iii, исчисление 3, исчисление iii, исчисление 3, многомерное исчисление, многомерное исчисление, многомерное исчисление, многомерное исчисление, множественные интегралы, двойные интегралы , повторные интегралы, полярные координаты, преобразование повторных интегралов, преобразование двойных интегралов
Чтобы набросать область интегрирования двойного полярного интеграла, вам нужно будет проанализировать функцию и оценить оба набора пределов по отдельности. Помните, что вам нужно будет нарисовать полярную функцию на осях полярных координат, где значения r представляют радиус круга, а значения тета будут давать прямые линии.
Читать далее
Learn mathКриста Кинг математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление iii, исчисление 3, исчисление iii, вычисление 3, множественные интегралы, двойные интегралы, полярные координаты, двойные полярные интегралы, повторные интегралы, двойные интегралы в полярных координатах, повторные интегралы в полярных координатах, зарисовка области
Нахождение площади двойных интегралов в полярных координатах Вы можете использовать двойной интеграл, чтобы найти площадь внутри полярной кривой. Предполагая, что сама функция и пределы интегрирования уже имеют полярную форму, вы сможете напрямую вычислить повторный интеграл. В противном случае, если функция и/или пределы интегрирования имеют прямоугольную форму, вам нужно будет преобразовать ее в полярную перед оценкой.
Читать далее
Learn mathКриста Кинг математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 3, исчисление iii, исчисление 3, исчисление iii, множественные интегралы, двойные интегралы, полярные координаты, двойные полярные интегралы, объем из двойных интегралов , повторные интегралы, двукратные повторные интегралы
Нахождение объема двойными интегралами в полярных координатахЕсли нам дан двойной интеграл в прямоугольных координатах и его попросят оценить как двойной полярный интеграл, нам потребуется преобразовать функцию и пределы интегрирования из прямоугольных координат (x, y) в полярные координаты (r, тета), а затем вычислить интеграл. Мы можем сделать это, используя формулы для преобразования между прямоугольными и полярными координатами.
Читать далее
Learn mathКриста Кинг математика, выучить онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 3, исчисление iii, исчисление 3, исчисление iii, множественные интегралы, двойные интегралы, полярные координаты, двойные полярные интегралы, нахождение объема, объема с двойными интегралами, перевод в полярные координаты, объем твердого тела
Использование двойного интеграла для нахождения объема объектаМы уже знаем, что можем использовать двойные интегралы, чтобы найти объем под функцией в некоторой области, заданной R=[a,b]x[c,d]. Мы используем формулу двойного интеграла V=int int_D f(x,y) dA, чтобы найти объем, где D представляет собой область, по которой мы интегрируем, а f(x,y) – это кривая, ниже которой мы хотим найти объем. .
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 3, исчисление iii, исчисление 3, исчисление iii, множественные интегралы, множественное интегрирование, двойные интегралы, двойное интегрирование, объем, объем с двойным интегралы, двойные интегралы для нахождения объема, объем по области
Правило средней точки для аппроксимации двойных интегралов В прошлом мы использовали правило средней точки для оценки площади под функцией одной переменной.
Мы рисовали прямоугольники под кривой так, чтобы средняя точка в верхней части каждого прямоугольника касалась графика функции. Затем мы суммировали площади каждого прямоугольника, чтобы найти приблизительное значение площади под кривой. Когда мы переводим это в трехмерное пространство, это означает, что мы используем трехмерные прямоугольные призмы вместо двумерных прямоугольников, чтобы аппроксимировать объем под функцией многих переменных.
Читать далее
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, онлайн-курс, онлайн-математика, исчисление 3, исчисление iii, исчисление 3, исчисление iii, множественные интегралы, многомерное исчисление, многомерное исчисление, многомерное исчисление, многомерное исчисление, многомерное, многомерный, двойные интегралы, правило средней точки, правило средней точки для двойных интегралов, аппроксимация двойных интегралов
Якобиан от трех переменных для замены переменных Имея область, определенную в uvw-пространстве, мы можем использовать преобразование Якоби, чтобы переопределить ее в xyz-пространстве или наоборот.
Мы будем использовать формулу определителя 3×3 для вычисления якобиана.
Читать далее
Изучайте математикуКриста Кинг математика, учитесь онлайн, исчисление 3, исчисление iii, исчисление 3, исчисление iii, множественные интегралы, множественное интегрирование, двойные интегралы, тройные интегралы, якобиан, 3×3, 3×3 якобиан, якобиан преобразования , преобразования, преобразование переменных, многомерные функции, многомерное исчисление, онлайн-математика, онлайн-курс
Нахождение площади поверхности одной функции, ограниченной другой функцией, с помощью двойного интегралаВы можете использовать двойной интеграл, чтобы найти площадь поверхности, ограниченной другой поверхностью. Самой сложной частью этого будет нахождение границ каждого из интегралов в двойном интеграле.
Читать далее
Learn mathКриста Кинг