1.4. Функциональные ряды. Область сходимости функционального ряда. Степенные ряды
Ряд вида , членами которого являются функции , называется функциональным.
Множество всех действительных значений аргумента x, для которых функциональный ряд
(10)
становится сходящимся числовым рядом, называется областью сходимости этого ряда. Функция , где , а x принадлежит области сходимости, называется суммой ряда, функция – остатком функционального ряда.
Для определения области сходимости ряда (10) можно использовать известные признаки сходимости числовых рядов, считая x фиксированным.
Функциональный ряд (10)
называется равномерно
сходящимся на промежутке p R,
если для любого >0
существует номер no,
не зависящий от x, что
для всех n >no и для всех x p выполняется неравенство ,
то есть ,
где R
Признак Вейерштрасса. Если |un(x)|Cn, (n=1,2,…) при и числовой ряд сходится, то функциональный ряд (10) сходится на отрезке [a,b] абсолютно и равномерно.
Теорема 4. Если члены сходящегося ряда (10) имеют непрерывные производные при и ряд из производных сходится равномерно на [a,b], то ряд (10) можно дифференцировать почленно: .
Теорема 5. Если члены ряда (10) непрерывны на [a,b] и этот ряд сходится равномерно на отрезке [a,b], то ряд (10) можно интегрировать почленно: .
Степенным рядомназывается функциональный ряд вида
, (11)
где Cn
и a – действительные числа. Область сходимости степенного ряда (11) имеет один из следующих видов: (a —R ,a +R),
[a —R ,a +R),
(a —R ,a +R],
[a —R ,a +R].
Число R называется радиусом сходимости, а интервал (a —R ,a +R) – интервалом сходимости степенного ряда (11). Радиус сходимости можно находить по формулам: , если эти пределы существуют. В частных случаях R может быть равен 0 или .
Вопрос о сходимости степенного ряда (11) в концевых точках области сходимости, то есть при x =a —R, x =a +R, исследуется особо (с применением известных признаков сходимости числовых рядов).
Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же радиус и интервал сходимости, и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда.
Пример 1. Найти область сходимости ряда .
Решение. При фиксированном x этот ряд – знакоположительный.
Применим
к нему признак Коши. Найдем предел ; l<1 — при <1,
т.е. при x <0.
При l =1,
т.е. при x =0
данный функциональный ряд станет рядом
.
Общий член ряда
при n
стремится
к числу e,
и поэтому ряд расходится (не выполнен
необходимый признак
сходимости). Итак, область сходимости
данного ряда
(-,0).
Пример 2. Можно ли почленно дифференцировать ряд в области его сходимости?
Решение. Областью сходимости данного ряда является вся числовая ось R=(-,+), так как для любого xR верно неравенство , а ряд сходится. Члены исходного ряда имеют непрерывные производные , ряд из производных сходится равномерно на R по признаку Вейерштрасса. Действительно, верны неравенства , а ряд сходится. По теореме 4 исходный ряд можно почленно дифференцировать в области R его сходимости, т.е. .
Пример 3.
Найти область сходимости степенного
ряда .
Решение.Находим радиус сходимости ряда. . Это означает, что исходный ряд сходится абсолютно при . Далее, исследуем сходимость ряда при x = 1. Если x = 1, то данный ряд становится гармоническим рядом , который расходится. Если
Пример 4.Найти сумму ряда
.
Решение. Обозначим искомую сумму ряда через S(x), т.е.
. (12)
Можно проверить, что исходный ряд при сходится абсолютно. Дифференцируем почленно равенство (12): (применена формула суммы членов убывающей геометрической прогрессии). Отсюда, интегрируя и учитывая, что S(0)=0, находим
Пример 5.
Найти сумму ряда
.
Решение. Обозначим эту сумму ряда через S(x), т.е. . Данное равенство перепишем так: S(x)=xQ(x), где . Почленное интегрирование последнего равенства приводит к сумме членов убывающей геометрической прогрессии:
Отсюда найдем Q(x): , поэтому искомая сумма S(x) такова: .
Ряды (Математический анализ)
Ряды (Математический анализ)
реальный анализ — Задайте сходимость функциональных рядов Сначала заметьте, что каждый из рядов сходится поточечно на заданном интервале (используя стандартные сравнительные тесты и результаты для $p$-рядов, геометрических рядов и
чередование серий. Для определения равномерной сходимости сначала вспомним $M$-критерий Вейерштрасса:
Стоит рассмотреть суть доказательства этой теоремы: При данных предположениях, если $m>n$, то для любого $x\in I$
$$\тег{1}
\bigl| f_{n+1}(x)+\cdots+f_m(x)\bigr|
\ле| f_{n+1}(x)|+\cdots+|f_m(x)\bigr|
\le M_{n+1}+\cdots M_n.
$$
Таким образом, если $\sum M_n$ сходится, мы можем сделать правую часть $(1)$ сколь угодно малой. Заметив, что правая часть $(1)$ независима от $x$, мы можем заключить, что $\sum f_n$ равна 9m\over m+x}\,\Biggl|\ \le\ {1\over n+x}\le {1\over n}.
$$
Член в правой части $(2)$ не зависит от $x$, и его можно сделать сколь угодно малым. Видео-вопрос: Определение интервала сходимости степенного ряда рациональных функцийСтенограмма видеоРассмотрим функцию 𝑓 от 𝑥, которая равна единице, деленной на один минус девять 𝑥 в квадрате. Найдите степенной ряд для 𝑓 числа 𝑥. Определите его интервал сходимости. Нам дана рациональная функция 𝑓 от 𝑥, и нас спрашивают о двух вещах. Во-первых, нам нужно найти представление в виде степенного ряда нашей рациональной функции 𝑓 от 𝑥. Нам также необходимо определить его интервал сходимости. И есть несколько разных способов, которыми мы могли бы подойти к этому. Однако, если мы видим нашу функцию 𝑓 от 𝑥, она задана в специальной форме. Наша функция 𝑓 от 𝑥 очень похожа на следующую форму: 𝑎 разделить на один минус 𝑟. И мы знаем об этом кое-что очень интересное, связанное с бесконечными геометрическими рядами. Мы знаем для геометрической последовательности начальное значение 𝑎 и отношение последовательных членов 𝑟, если бы мы просуммировали бесконечное число значений этой последовательности — сумма от 𝑛 равна нулю до ∞ из 𝑎, умноженных на 𝑟 в 𝑛-й степени — то это будет сходиться, когда абсолютное значение 𝑟 меньше единицы. Итак, давайте начнем с того, что найдем представление степенного ряда для 𝑓 из 𝑥. В нашем числителе у нас есть единица, поэтому мы можем просто установить значение 𝑎 равным единице. А в нашем знаменателе у нас один минус девять 𝑥 в квадрате, поэтому нам нужно установить значение 𝑟 равным девяти 𝑥 в квадрате. Итак, если мы установим наше значение 𝑎 равным единице, а 𝑟 равным девяти 𝑥 в квадрате, мы получим единицу на единицу минус девять 𝑥 в квадрате равно сумме от 𝑛 равно нулю до ∞ одного умноженного на девять 𝑥 в квадрате, все возведенное в 𝑛-ю мощности при условии, что абсолютное значение нашего отношения девять 𝑥 в квадрате меньше единицы. И, конечно же, все это как раз равно нашей функции 𝑓 от 𝑥 при условии, что наш ряд сходится. И мы можем упростить это. Во-первых, умножение на единицу внутри нашего слагаемого ничего не меняет. Далее мы можем распределить показатель степени 𝑛 по скобкам. Это дает нам сумму от 𝑛, равной нулю до ∞, от девяти до 𝑛-й степени, умноженную на 𝑥 в квадрате, возведенную в 𝑛-ю степень. И мы можем упростить это еще больше. Во-первых, используя наши законы показателей степени, 𝑥 в квадрате, возведенном в 𝑛-ю степень, равно 𝑥 в степени двойки 𝑛. Далее мы хотим упростить девять в 𝑛-й степени. Итак, мы знаем, что девять равно трем в квадрате. И, используя те же самые рассуждения, что и раньше, три в квадрате, возведенные в 𝑛-ю степень, равно трем в степени двойки 𝑛. И это дает нам представление степенного ряда для 𝑓 числа 𝑥 равно сумме от 𝑛 равно нулю до ∞ числа трех в степени двойки 𝑛, умноженной на 𝑥 в степени двойки 𝑛, при условии, что этот степенной ряд сходится. Итак, давайте попробуем записать это в интервальной нотации. Мы начнем с использования того, что мы знаем об абсолютных значениях. Во-первых, абсолютное значение девяти 𝑥 в квадрате можно записать как абсолютное значение девяти, умноженное на абсолютное значение 𝑥 в квадрате. Но на самом деле это можно упростить. Во-первых, девять — константа. А на самом деле это положительная константа. Таким образом, абсолютное значение числа девять равно девяти. И на самом деле, мы можем сказать что-то очень похожее о 𝑥 в квадрате. Таким образом, наш степенной ряд должен сходиться всякий раз, когда девять 𝑥 в квадрате меньше единицы. И мы можем просто решить это неравенство. Сначала разделим на девять. Это дает нам 𝑥 в квадрате меньше одной девятой. Итак, нам нужно найти значения 𝑥, где 𝑥 в квадрате меньше одной девятой. Есть несколько разных способов сделать это. Например, мы могли бы сделать это графически или используя то, что мы знаем о квадратных корнях. Используя любой метод, поскольку квадратный корень из одной девятой равен одной трети, мы получаем значения 𝑥, которые решают это неравенство, когда 𝑥 больше отрицательной одной трети и меньше одной трети. И мы можем записать это в интервальной нотации. Это открытый интервал от отрицательной одной трети до одной трети. Однако мы еще не закончили. Помните, интервал сходимости должен содержать все значения 𝑥, где наш степенной ряд сходится. Итак, мы проверили каждое отдельное значение 𝑥, за исключением случаев, когда 𝑥 равно одной трети и когда 𝑥 равно отрицательной одной трети. Поэтому мы подставим оба этих значения непосредственно в наш степенной ряд. Начнем с того, что 𝑥 равно одной трети. Мы получаем сумму от 𝑛, равной нулю, до ∞ от трех до степени двух 𝑛, умноженной на одну треть, все возводится в степень двойки 𝑛. И поскольку оба они возводятся в один и тот же показатель степени двух 𝑛, мы можем вместо этого умножить три на одну треть, а затем возвести это в степень двойки 𝑛. Итак, это упрощено, чтобы дать нам сумму от 𝑛, равной нулю до ∞ от единицы до степени двойки 𝑛. Конечно, один в степени двойки 𝑛 просто равен единице. И мы видим, что эта сумма расходится. Например, его частичная сумма стремится к ∞. И мы можем сделать что-то очень похожее, когда 𝑥 равно отрицательной одной трети. Мы сделаем то же самое, что и с нашими экспонентами. На этот раз мы получаем сумму от 𝑛 равной нулю до ∞ трех умноженных на минус одну треть, возведенную в степень двойки 𝑛. И опять же, мы можем упростить это. Трижды минус одна треть равна минус единице. Таким образом, это дает нам сумму от 𝑛, равной нулю, до ∞ отрицательной единицы, возведенной в степень двойки 𝑛. Однако два 𝑛 четны для всех значений 𝑛. Так что это просто равно единице. И снова мы видим, что этот ряд расходится. |
а, где |x| 7. Разложение других элементарных функций.
Показательная функция в комплексной области.
Итак, ряд в б) равномерно Коши на $[0,\infty)$ и, следовательно, равномерно сходится на $[0,\infty)$.
И оно будет сходиться к равенству 𝑎, деленному на один минус 𝑟. И мы также знаем, что это должно расходиться, когда абсолютное значение 𝑟 больше единицы. Также стоит отметить, что технически это предполагает, что значение 𝑎 не равно нулю. И это, на самом деле, полезно в двух отношениях. Мы можем использовать это, чтобы найти степенное представление нашей функции 𝑓 от 𝑥. Однако мы также можем использовать это, чтобы найти информацию о сходимости этого ряда.
И мы знаем, что это будет расходиться, если абсолютное значение девяти 𝑥 в квадрате больше единицы.
Но мы еще не закончили. Помните, нам также нужно найти интервал сходимости для этого степенного ряда. Мы можем сделать это, используя то, что мы узнали о бесконечных геометрических рядах. Во-первых, мы знаем, что наш степенной ряд должен сходиться, когда абсолютное значение девяти 𝑥 в квадрате меньше единицы. Это потому, что мы записали это как бесконечный геометрический ряд. А мы знаем, что все геометрические ряды будут сходиться, когда модуль их отношения меньше единицы.
𝑥 в квадрате никогда не бывает отрицательным. Таким образом, его абсолютное значение будет равно самому себе, 𝑥 в квадрате.
Поэтому нам нужно проверить все остальные значения 𝑥. Ну, во-первых, мы уже знаем, что оно должно расходиться, когда абсолютное значение девяти 𝑥 в квадрате больше единицы. И мы можем решить это неравенство так же, как и раньше. Во-первых, абсолютное значение девяти 𝑥 в квадрате как раз равно девяти 𝑥 в квадрате. Затем, разделив на девять и либо используя то, что мы знаем о квадратных корнях, либо используя графический подход, мы можем показать, что это верно, когда 𝑥 больше одной трети или когда 𝑥 меньше отрицательной одной трети.
Таким образом, это дает нам сумму от 𝑛, равной нулю до ∞ трех умноженных на одну треть, возведенную в степень двойки 𝑛. И, конечно, мы можем упростить в три раза, одна треть просто равна единице.