Найти радиус и область сходимости степенного ряда. Решение задач и контрольных работ по высшей математике онлайн
Краткая теория
Функциональным рядом называется ряд вида:
где – функции, определенные на некотором множестве .
Множество всех точек сходимости ряда (*) называется его областью сходимости.
В области сходимости определены функции:
( n-я частичная сумма ряда)
(сумма ряда)
(остаток ряда)
Ряд
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
Из всех функциональных рядов наиболее часто применяют степенные ряды, которыми называют ряды вида
Действительные числа называют коэффициентами ряда.
Неотрицательное число
,
такое, что ряд (**) сходится в интервале
и расходится вне этого интервала, называется
радиусом сходимости этого ряда, а интервал
– интервалом сходимости ряда.
Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формулам:
или
Свойства степенных рядов
1. Сумма степенного ряда при всех значениях из интервала сходимости есть непрерывная функция.
2. Степенной ряд в его интервале сходимости можно почленно дифференцировать, то есть:
3. Степенной ряд можно интегрировать по любому отрезку, содержащемуся в интервале сходимости, причем:
Пример решения задачи
Задача
Найдите область сходимости степенного ряда:
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формуле:
В нашем случае:
Интервал сходимости:
Исследуем сходимость ряда на концах интервала:
При
Это знакопеременный ряд.
-абсолютные величины членов ряда монотонно убывают
По признаку Лейбница ряд сходится
При
Это ряд Дирихле — сходится, так как показатель степени в знаменателе больше единицы
Область сходимости:
Ответ: .
Презентация на тему: «{функциональные ряды – степенные ряды – область сходимости – порядок нахождения интервала сходимости
1 {функциональные ряды – степенные ряды – область сходимости – порядок нахождения интервала сходимости — пример – радиус интервала сходимости – примеры }
2
Функциональные ряды Выражение вида: Если в выражении (1) положим x = x 0, то получим некоторый числовой ряд: Пусть задана бесконечная последовательность функций, определенных в области D: называется функциональным рядом.
3 Функциональные ряды Функциональный ряд (1) называется сходящимся в точке x 0, если числовой ряд (2), получившийся из ряда (1) подстановкой x = x 0, является сходящимся рядом. При этом x 0 называется точкой сходимости ряда. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости данного ряда. Обозначим область сходимости ряда – D s. Как правило, область D s не совпадает с областью D, а является ее частью:
4 @ Найти область сходимости функционального ряда: Область определения функций ln n x : Данный ряд является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем q = ln x Такой ряд сходится, если Поэтому: Область сходимости ряда — D s Решение Пример
5
Область определения сходимости функционального ряда Сумма функционального ряда (1) зависит от взятой точки области сходимости, следовательно сама является некоторой функцией от х : Область определения этой функции совпадает с областью сходимости ряда D s.
6 @ Пример Найти сумму ряда: Это геометрическая прогрессия со знаменателем q = x и первым членом b 1 = 1. Имеет место разложение: Решение
7
n-частичная сумма и остаток ряда Тогда: Как и в случае числовых рядов, для функционального ряда (1) можно составить последовательность частичных сумм : для любых x из области сходимости.
8
Степенные ряды Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, то есть так называемый степенной ряд. где а 0, а 1,а 2,…, а n : постоянные числа – коэффициенты степенного ряда. (1) Ряд (1) расположен по степеням x. Рассматривают также степенной ряд, расположенный по степеням (x — x 0 ), то есть ряд вида: (2) Ряд (2) легко приводится к ряду (1) подстановкой x — x 0 = z, поэтому при изучении степенных рядов мы ограничимся степенными рядами вида (1).
9 Сходимость степенных рядов Об области сходимости степенного ряда (1) можно судить, исходя из следующей теоремы Абеля: Любой степенной ряд вида (1) сходится в точке x = 0 : 1. Если степенной ряд (1) сходится при некотором значении то он абсолютно сходится при всех значениях х, для которых выполняется условие: то он расходится при любом значении x при котором: 2. Если степенной ряд (1) расходится при некотором значении Теорема Абеля
10
Сходимость степенных рядов Из теоремы следует, что существует такая точка,что интервал: ряд сходится весь состоит из точек сходимости ряда, а при всех х вне этого интервала ряд расходится.
11
Сходимость степенных рядов В частности, если ряд сходится лишь в одной точке x 0 = 0, то считаем R = 0. Если ряд сходится при всех действительных значениях х, то считаем На концах интервала сходимости, то есть при x = — R и при x = R сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно. Для нахождения радиуса сходимости составим ряд из модулей членов данного степенного ряда и применим к нему признак Даламбера.
Допустим существует предел:
12 Сходимость степенных рядов По признаку Даламбера ряд сходится, если: Таким образом, для степенного ряда (1) радиус сходимости равен: Аналогично, пользуясь признаком Коши, можно установить, что
13
Сходимость степенных рядов Если, то можно убедиться, что ряд сходится на всей числовой оси, то есть.
Интервал сходимости степенного ряда (2): находят из неравенства Если степенной ряд содержит не все степени х, то есть задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяя признаки Даламбера или Коши для ряда, составленного из модулей членов данного ряда.
14 @ Пример Найти область сходимости степенного ряда : Найдем радиус сходимости по формуле: Следовательно, ряд сходится при всех действительных значениях х. Решение
Калькулятор радиуса сходимости | Лучшие шаги полного решения
Калькулятор радиуса сходимости
f(x) =
Как пользоваться этим калькулятором
Решение
Вернуться к калькулятору
Заполните поля ввода для расчета решения.
Хотите неограниченный доступ к калькуляторам, ответам и шагам решения? 9n}}$$
Где c n — коэффициент, который зависит от n , а ряд — функция x , члены которой меняются в зависимости от n th члена ряда.
Теперь давайте углубимся в то, что означает сходимость в контексте степенного ряда. Когда мы добавляем бесконечное число членов, как мы это делаем со степенным рядом, сумма этих членов будет либо конечным числом, либо бесконечной.
Когда сумма этих членов конечна, считается, что она сходится абсолютно. Если сумма этих членов бесконечна, считается, что она расходится. когда мы решить радиус сходимости , мы находим значение R в |x — a| < R такое, что ряд сходится .
Зачем мы изучаем радиус сходимости?
По сравнению с людьми компьютеры действительно хороши в определенных типах вычислений, но с трудом выполняют другие виды вычислений.
Например, кажущаяся простой кнопка e x , обычно встречающаяся на ручных калькуляторах, — это кнопка, которую компьютер калькулятора не может легко и точно решить напрямую.
Узнав, как найти радиус сходимости, мы можем запрограммировать неспособный иначе компьютер косвенно найти значение e x с помощью степенного ряда.
Если мы вычисляем e x с большим показателем степени, компьютеру калькулятора приходится много раз умножать большие, беспорядочные числа на большие, беспорядочные числа. Из-за того, как компьютеры хранят числа с плавающей запятой и создают ошибку округления, этот процесс может занять у компьютера очень много времени и может дать неточный ответ.
К счастью, степенной ряд f(x) = x n ⁄ n! представляет собой выражение e x при выполнении для многих терминов. Если мы проверим радиус сходимости этого степенного ряда, то обнаружим, что он равен r = ∞, а интервал сходимости равен ∞ < x < ∞.
Это отличная новость, потому что это означает, что степенной ряд будет сходиться везде и может быть использован для e x со всеми возможными входными данными x значений.
Запрограммировав эту процедуру на компьютер, мы даем ему возможность быстро и точно найти значение e x с любым значением x. Это всего лишь один пример использования радиуса конвергенции, и существует множество других приложений, которые работают за кулисами компьютерного программного обеспечения и помогают нам каждый день!
Вычисление радиуса сходимости степенного ряда
Есть несколько тестов, которые мы можем использовать для решения радиуса сходимости, включая тест отношения и тест корня. Тест отношения прост, часто работает и используется калькулятором на этой странице, поэтому мы узнаем об этом здесь.
В тесте отношения используется отношение степенного ряда и его модифицированная версия n + 1 для определения радиуса x, который удовлетворяет критериям сходимости.
Формула теста отношения имеет следующий вид:
$$\text{Сходимость при} \; Л < 1, \; L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\rvert$$
Где a n — степенной ряд а a n + 1 — степенной ряд со всеми членами n заменен на n + 1 .
Сначала мы подставляем каждую версию степенного ряда в соответствующую часть дроби внутри формулы. Затем мы упрощаем дробь, когда это возможно.
Далее мы оцениваем предел, поскольку n приближается к бесконечности. Когда мы подставляем бесконечность для каждого экземпляра n , мы получаем выражение, которое может показаться неразрешимым. Однако мы можем использовать стандартные стратегии сокращения бесконечных пределов, такие как устранение незначительных, не бесконечных терминов.
Как только предел вычислен и приведен к его простейшей форме, мы устанавливаем его в неравенстве L < 1. Теперь у нас будет неравенство, напоминающее форму 1 ⁄ c ×|x — a| < 1.
n}{n}\\ \\ & \hspace{2ex} \text{Для этого мы:} \\ \\ & \hspace{ 5ex} \text{1) Примените тест отношения к нашему ряду} \\ \\ & \hspace{5ex} \text{2) Решите полученное уравнение сходимости, чтобы определить радиус сходимости}\\ \\ \\ & \ hspace{2ex} \text{1) Во-первых, давайте применим критерий отношения к нашему ряду.} \\ & \hspace{5ex} \text{Используя тест отношения, сходимость происходит, когда: } \; Л < 1, \; L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\rvert\\ \\ & \hspace{4ex} \text{1.1) Подставив наш ряд в формулу проверки отношения, мы получим: } \\ \\ & \hspace{9{1}} \cdot \infty \cdot x\right\rvert\\ \\ & \hspace{4ex} \text{1.4) Для дальнейшего упрощения мы сократим члены, содержащие бесконечности.} \\ & \hspace{ 9ex} \text{Поступая так, получаем:} \\ \\ & \hspace{9ex} L = \left\lvert\frac{x}{1}\right\rvert\\ \\ & \hspace{4ex} \text{1.5) Применение критериев сходимости } \; L < 1 \text{, получаем:} \\ \\ & \hspace{9ex} \left\lvert\frac{x}{1}\right\rvert < 1\\ \\ \\ & \hspace{2ex } \text{2) Теперь давайте решим новое уравнение сходимости для определения радиуса сходимости.
}\\ \\ & \hspace{4ex} \text{2.1) Решив неравенство сходимости для радиуса сходимости, получим: } \\ \\ & \hspace{9ex} \left\lvert\frac{x}{1}\right\rvert < 1 \; \Длинная праваястрелка\; \text{радиус} = \boxed{1} \\ \\ & \hspace{4ex} \boxed{\text{Радиус сходимости} = \boxed{1}}\\ & \end{align}$$
Калькулятор на этой странице написан на трех распространенных языках веб-интерфейса: HTML, CSS и JavaScript (JS). Он также использует систему компьютерной алгебры (CAS), основанную на JS, которая выполняет некоторые алгебраические шаги в процессе вычислений. Поскольку калькулятор работает на основе кода JS, он полностью работает внутри встроенного механизма JS вашего браузера и предоставляет мгновенные решения и шаги (не требуется перезагрузка страницы).
Когда вы нажимаете кнопку «Рассчитать», вызывается процедура решения, которая проходит через несколько символических операций. Эти операции отражают шаги теста отношения. Подпрограмма также сохраняет состояние предела/выражения на протяжении всего процесса.
Эти «состояния» используются для построения шагов решения, которые отражают шаги теста отношения.
После вычисления окончательного ответа он печатается в поле решения. Шаги решения печатаются под ответом, когда пользователь с доступом входит в систему. Если калькулятор сталкивается с ошибкой во время вычислений, вместо ответа и шагов будет отображаться сообщение об ошибке.
Нахождение радиуса и интервала сходимости ряда Тейлора — Криста Кинг Математика
Начните с представления ряда Тейлора в виде степенного ряда
Иногда нас будут спрашивать о радиусе и интервале сходимости ряда Тейлора. Чтобы найти эти вещи, нам сначала нужно найти представление степенного ряда для ряда Тейлора.
Как только ряд Тейлора будет представлен в виде степенного ряда, мы идентифицируем ???a_n??? и ???a_{n+1}??? и подставьте их в предельную формулу из теста отношений, чтобы сказать, где ряд сходится.
Привет! Я Криста.
Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.
Как найти радиус и интервал сходимости ряда Тейлора
Пройти курс
Хотите узнать больше об исчислении 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂
Узнать больше
Пошаговое решение для нахождения радиуса и интервала сходимости
Пример
Используя приведенную ниже таблицу, найдите ряд Тейлора третьей степени относительно ???a=3??? для ???f(x)=\ln(2x)???. Затем найдите степенное представление ряда Тейлора, а также радиус и интервал сходимости.
Ряд ТейлораПоскольку у нас уже есть диаграмма, значение в крайнем правом столбце становится коэффициентом при каждом члене полинома Тейлора в форме 9{-1}\cdot\frac{n}{n+1}\право|???
???L=\lim_{n\to\infty}\left|-\frac13(x-3)\frac{n}{n+1}\right|???
Поскольку мы имеем дело с абсолютным значением, ???-1??? можно удалить.
???L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n(x-3)}{3(n+1)}\right|???
Ограничение действует только на ???n???, поэтому мы можем удалить ???(x+3)???.
???L=|x-3|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n}{3(n+1)}\right|???
???L=|x-3|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n}{3n+3}\right|???
Так как мы получим неопределённую форму ???\infty/\infty??? если мы попытаемся оценить предел, мы разделим числитель и знаменатель на переменную самой высокой степени, чтобы уменьшить дробь.
???L=|x-3|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{n}{3n+3}\left(\frac{\frac{1}{n}}{ \frac{1}{n}}\right)\right|???
???L=|x-3|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{n}{n}}{\frac{3n}{n}+\frac{3 {п}}\право|???
???L=|x-3|\lim_{n\to\infty}\left|\frac{1}{3+\frac{3}{n}}\right|???
???L=|x-3|\left|\frac{1}{3+\frac{3}{\infty}}\right|???
???L=|x-3|\left|\frac{1}{3+0}\right|???
???L=|x-3|\left|\frac13\right|???
???L=\frac13|x-3|???
Чтобы найти интервал сходимости, возьмем неравенство, которое мы использовали для нахождения радиуса сходимости, и решим его относительно x.
Поскольку критерий соотношения говорит нам, что ряд сходится, когда ???L<1???, мы составим неравенство.
???\frac13|x-3|<1???
???|x-3|<3???
Поскольку неравенство имеет вид ???|x-a| Чтобы найти интервал сходимости, возьмем неравенство, которое мы использовали для нахождения радиуса сходимости, и решим его для ???x???. 9{n+1}}{n}??? Это чередующийся ряд, где ???a_n=\frac{1}{n}??? Тест переменного ряда на сходимость говорит, что ряд сходится, если ???\lim_{n\to\infty}a_n=0???. ???\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}??? ???\frac{1}{\infty}??? ???0??? Ряд сходится в конечной точке ???x=6???. Мы показали, что ряд расходится при ???x=0??? и сходится при ???x=6???, что означает, что интервал сходимости равен ???0 Подведем итоги. Начать Learn mathКриста Кинг Получите доступ к полному курсу Calculus 2