6.8. Обратная функция спроса
Если предположить, что p280 и m неизменны, и отложить на графике р181 по вертикальной оси и x182 по горизонтальной, то получим кривую спроса. Как сказано выше, обычно мы полагаем, что кривая спроса нисходящая, так что более высоким ценам соответствует меньший спрос, хотя пример товара Гиффена показывает, что дело может обстоять и по-другому.
До тех пор, пока мы
действительно имеем дело с нисходящей
кривой спроса, что типично, имеет смысл
говорить об обратной
функции спроса.
Это такая функция спроса, в которой цена
выступает функцией количества. Иными
словами, для каждого данного уровня
спроса на товар 1 обратная функция спроса
показывает, какова должна быть цена
товара 1, чтобы потребитель выбрал данный
объем потребления. Таким образом,
обратная функция спроса количественно
выражает ту же самую взаимозависимость,
что и прямая, но с другой точки зрения.
На рис. 6.15 изображена обратная функция
спроса — или же прямая функция спроса,
в зависимости от того, как на нее
посмотреть.
Вспомним, например, функцию спроса Кобба — Дугласа на товар 1, x1 = = am/p183. Можно с тем же успехом записать эту взаимосвязь между ценой и величиной спроса как p1 = am/x184. Первый способ представления данной взаимосвязи есть прямая функция спроса, второй способ представления — обратная функция спроса.
У обратной функции спроса имеется полезная экономическая интерпретация. Вспомним, что до тех пор, пока оба товара потребляются в положительных количествах, оптимальный выбор должен удовлетворять тому условию, что абсолютная величина MRS равна отношению цен:
85.
Это говорит о том, что при оптимальном объеме спроса на товар 1, например, должно соблюдаться равенство
p1 = p2|MRS|. (6.4)
Таким образом, при
оптимальном объеме спроса на товар 1
цена товара 1 пропорциональна абсолютной
величине предельной нормы замещения
товара 2 товаром 1.
Рис. 6.15 | Обратная функция спроса. Если считать, что данная кривая спроса представляет цену как функцию количества, то перед вами обратная кривая спроса. 86 |
Предположим для простоты, что цена товара 2 равна единице. Тогда уравнение (6.4) говорит нам о том, что при оптимальном объеме спроса цена товара 1 показывает, сколько товара 2 готов отдать потребитель, чтобы получить немного больше товара 1. В этом случае обратная функция спроса количественно выражает просто абсолютную величину MRS. Обратная кривая спроса говорит о том, сколько товара 2 потребитель хотел бы получить, чтобы при любом оптимальном объеме
Если считать, что товар 2 — деньги, расходуемые на все другие товары, то MRS можно трактовать просто как то количество долларов, которое индивид готов уступить, чтобы получить взамен чуть больше товара 1. Ранее мы предположили, что в этом случае можно рассматривать MRS просто как меру предельной готовности платить. Поскольку цена товара 1 в этом случае есть не что иное, как MRS, это означает, что сама цена товара 1 измеряет предельную готовность платить.
При любом количестве х188 обратная кривая спроса показывает то количество долларов, которое потребитель готов уступить, чтобы получить чуть больше товара 1; или, другими словами, она показывает то количество долларов, которое потребитель готов был бы отдать за последнюю покупаемую единицу товара 1. Для достаточно малого количества товара 1 эти утверждения сводятся к одному и тому же.
Если посмотреть на
нисходящую кривую спроса с данной точки
зрения, то она приобретает новый смысл.
Когда количество х189
очень мало, потребитель готов отдать
много денег, т.
е. много других товаров,
чтобы приобрести чуть больше товара 1.
По мере возрастания x190,
потребитель готов отдать все меньше
денег, чтобы в пределе приобрести чуть
больше товара 1. Следовательно, предельная
готовность платить, в смысле предельной
готовности пожертвовать товаром 2 ради
приобретения товара 1, при увеличении
потребления товара 1 убывает.
Краткие выводы
Функция спроса потребителя на товар в общем случае зависит от цен всех товаров и от дохода.
Нормальный товар — это такой товар, спрос на который с ростом дохода увеличивается. Товар низшей категории — такой товар, спрос на который с ростом дохода уменьшается.
Обычный товар — это товар, спрос на который с ростом цены умень-шается. Товар Гиффена — товар, спрос на который с ростом цены увели-чивается.
Если спрос на товар 1 при росте цены товара 2 возрастает, то товар 1 является субститутом товара 2. Если спрос на товар 1 в этой ситуации сокращается, то товар 1 является для товара 2 комплементом.
Обратная функция спроса показывает цену, при которой возникает спрос на данное количество товара. Высота кривой спроса при данном объеме потребления показывает предельную готовность заплатить за добавочную единицу товара при этом объеме потребления.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Если потребитель потребляет только два товара и всегда тратит на них весь свой доход, то могут ли оба этих товара быть товарами низшей категории?
Покажите, что совершенные субституты являют собой пример гомотетич-ных предпочтений.
Покажите, что предпочтения Кобба — Дугласа гомотетичны.
Кривая «доход — потребление» для кривой Энгеля то же, что кривая «це-на — потребление» для…?
Если предпочтения описываются кривыми безразличия, выпуклыми от начала координат, то может ли потребитель потреблять оба товара вместе?
Каков вид обратной функции спроса на товар 1 в случае совершенных комплементов?
ПРИЛОЖЕНИЕ
Если
предпочтения имеют особый вид, это
означает, что и функции спроса, возникающие
на основе этих предпочтений, также
принимают особый вид.
В гл. 4 описаны
квазилинейные предпочтения. Эти
предпочтения предполагают существование
кривых безразличия, параллельных между
собой, и могут быть представлены функцией
полезности вида
u(x1, x2) = v(x1) + x291.
Задача на нахождение максимума подобной функции полезности принимает вид
max v(x1) + x292
x1, x293
при p1x1 + p2x2 = m94.
Выразив из бюджетного ограничения х2 как функцию от х1
95 и подставив результат в целевую функцию, получаемmax v(x1) + m/p2 — p1x1/p296.
x197
Взяв производную данного выражения, получаем условие первого порядка
98.
Эта функция спроса обладает интересным свойством — спрос на товар 1 должен быть независим от дохода, что мы уже видели при использовании кривых безразличия. Обратная кривая спроса дана уравнением
p1(x1) = v’(x1)p299.
Иными словами, обратная кривая спроса на товар 1 есть производная функции полезности, умноженная на p2100. Стоит нам узнать функцию спроса на товар 1, и функция спроса на товар 2 может быть найдена из бюджетного ограничения.
Например, рассчитаем функции спроса для функции полезности вида
u(x1, x2) = ln x1 + x2101.
Применение условия первого порядка дает
102,
так что прямая функция спроса на товар 1 есть
103,
а обратная функция спроса есть
104.
Прямую функцию спроса на товар 2 находим подстановкой 105 в бюджетное ограничение:
—1106.
Необходимо сделать одно предостережение в отношении указанных функций спроса. Обратите внимание на то, что в рассматриваемом примере спрос на товар 1 независим от дохода. Это общее свойство, присущее квазилинейным функциям полезности: при изменении дохода спрос на товар 1 остается постоянным. Однако данное утверждение верно лишь для некоторых значений дохода. Функция спроса не может быть в буквальном смысле независимой от дохода для всех его значений; скажем, когда доход равен нулю, спрос тоже равен нулю. Выведенная выше квазилинейная функция спроса имеет смысл только при потреблении положительных количеств каждого товара. При низких уровнях дохода функция спроса принимает несколько иной вид. См. рассуждения по поводу квазилинейных функций спроса в кн. Hal R.Varian, Microeconomic Analysis, 3rd ed. (New York: Norton, 1992).
1
Термин «резервная
цена» обязан своим происхождением
аукционной торговле. Желающий продать
что-то на аукционе обычно объявлял
минимальную цену, по которой готов был
продать товар.
Если лучшая предложенная
цена была лучше этой объявленной цены,
продавец резервировал за собой право
купить товар самому. Указанная цена
получила название «резервной цены
продавца» и со временем стала
применяться для обозначения цены, по
которой кто-то просто хочет купить или
продать некий товар.
1.4. Практикум: Одна функция хорошо, а две
В данном разделе вы на практике попробуете создать вторую функцию, чтобы потом применить их обе для исследования некоторых математических свойств функций.
Чему научитесь:
- Редактировать файл Python
- Копировать файл Python
- Добавлять функцию
- Вычислять выражения с функцией в приложении Shell
- Создавать обратную функцию
В предыдущем уроке (Урок 1.3. Функции в языке Python) вы научились определять функцию f(x). Сейчас вы узнаете, как добавлять еще одну функцию в файл, а затем вычислять некоторые выражения с использованием этих функций.
Примечание для учителя: Данный раздел является продолжением и дополнением к предыдущему уроку (Урок 1.
3. Функции в языке Python). Здесь мы глубже окунемся в математику, особенно в область арифметических выражений с функциями, а также попробуем создать обратную функцию.
1. Начнем работу с документом TI-Nspire и программой Python, которую мы использовали в предыдущем уроке. Посмотрите на рисунок.
Сохраните документ TI-Nspire и присвойте ему другое имя. Для этого нужно выполнить следующее: doc > File > Save As… Затем напишите новое имя. На рисунке в области заголовка вы видите название файла — U1APP.
2. Создайте копию программы Python. Для этого в редакторе Python Editor выполните следующие действия: menu > Actions > Create Copy…
Присвойте этой копии новое имя (по умолчанию, если имя уже существует, система прибавляет цифру 1 в конце).
(Если опция создания копии Create Copy… недоступна, нажмите ctrl+B в программе, чтобы сохранить ее. Вверху редактора Editor перед названием файла Python «звездочки» быть не должно).
Эти действия позволят создать другое приложение редактора Python Editor, содержащее дубликат кода в документе.
Примечание для учителя: файлы Python сохраняются в том документе TI-Nspire, в котором они создаются. Все файлы Python в документе TI-Nspire могут быть доступны в любом редакторе Editor в документе, не зависимо от номера Задачи. При вставке страницы (ctrl+doc) и выборе пункта добавления файла (Add Python) вы можете открыть (Open) любой файл Python, который уже существует в документе.
Однако в задачах используется приложение Shell. Каждая задача находится в отдельной области Shell. Перезапуск одной области Shell в задаче сбрасывает все другие в задаче.
3. Новое название файла Python — second.py.
Теперь необходимо добавить шаблон второй функции, чтобы она располагалась под функцией f(x):
В пустой строке выполните следующие действия: menu > Built-ins > Functions и выберите пункт def function().
Повторимся, что синтаксис структуры функции содержит двоеточие (:) в конце строки def. Это означает, что введенный далее код является определением функции, и подразумевается использование области блока.
4. Назовем вторую функцию g(x).
5. Измените функцию f(x) путем удаления из нее компонента x**2+, чтобы она стала выглядеть следующим образом: f(x) = 3 * x — 1.
Определите функцию g(x):
def g(x):
return -2*x — 4
Удалите 3 строки кода в нижней части программы, чтобы остались только две функции.
Примечание для учителя: Работа с двумя линейными функциями позволяет исследовать обратные функции в рамках данного урока.
Кнопки вычитания и сложения на клавиатуре в редакторе Python Editor выполняют одно из действий (вычитание или сложение) в зависимости от контекста.
6. Нажмите ctrl+R и введите выражение f(1)+g(1).
Попробуйте ввести и другие выражения с использованием обеих функций, например:
f(4)+g(1), f(5)+g(2), (f+g)(4), f(g(6))
Примечание для учителя: Чтобы очистить текст (историю) в приложении Shell, в самом приложении Shell выберите следующие пункты: menu > Tools > Clear History.
Выражение (f+g)(x) является некорректным с точки зрения программирования на языке Python. В таком случае вы увидите сообщение об ошибке!
Истории приложения Shell в документе TI-Nspire не сохраняются вместе с документом. При его закрытии весь текст в приложении Shell стирается. Если вам нужно сохранить содержимое истории приложения Shell, выделите текст, скопируйте его (ctrl+A, ctrl+C), затем вставьте (ctrl+V) в приложение «Заметки» (Notes) в документе.
Следующий последний шаг может показаться слишком сложным для начинающих пользователей, так как в нем подразумевается работа с композицией функции и обратными функциями.
Но для учащихся, которые уже знакомы с данной темой, это задание будет полезной практикой.
7. Композиция функций и обратные функции
Ну что, вы готовы выполнить задание посложнее? Вернитесь в редактор Editor, измените функцию g(x) так, чтобы f(g(x)) = g(f(x)) ВСЕГДА (независимо от значения x). Внимательно протестируйте эти функции.
Примечание для учителя: Шаг 7 подразумевает написание обратной функции f(x). Для примера выше решением будет следующее:
g(x)=(x + 1) / 3.
Калькулятор производных• С шагами!
Поддержка
Пожертвование
Помог ли вам этот калькулятор? Тогда я был бы очень признателен за вашу поддержку. Вы можете сделать пожертвование через PayPal.
Выше введите функцию для получения. Переменная дифференциации и более может быть изменена в « Опции «. Нажмите « Go! », чтобы начать вычисление производной.
Результат будет показан далее.
Как работает калькулятор производных
Для тех, кто имеет техническое образование, в следующем разделе объясняется, как работает калькулятор производных.
Сначала синтаксический анализатор анализирует математическую функцию. Он преобразует его в форму, более понятную компьютеру, а именно в дерево (см. рисунок ниже). При этом производный калькулятор должен соблюдать порядок операций. Особенностью математических выражений является то, что знак умножения иногда можно опустить, например, мы пишем «5x» вместо «5*x». Калькулятор производных должен обнаруживать эти случаи и вставлять знак умножения.
Парсер реализован на JavaScript, основан на алгоритме Shunting-yard и может работать прямо в браузере. Это позволяет быстро получать обратную связь при наборе текста путем преобразования дерева в код LaTeX. MathJax позаботится об отображении его в браузере.
Когда «Вперед!» После нажатия кнопки Калькулятор производных отправляет математическую функцию и настройки (дифференцирующую переменную и порядок) на сервер, где они снова анализируются.
На этот раз функция преобразуется в форму, понятную системе компьютерной алгебры Maxima.
Maxima фактически вычисляет производную математической функции. Как и любая система компьютерной алгебры, она применяет ряд правил для упрощения функции и вычисления производных в соответствии с общеизвестными правилами дифференцирования. Вывод Maxima снова преобразуется в LaTeX и затем предоставляется пользователю.
Отображение шагов вычисления немного сложнее, потому что Калькулятор производных не может полностью зависеть от Maxima для этой задачи. Вместо этого производные должны рассчитываться вручную шаг за шагом. Правила дифференциации (правило произведения, частное правило, цепное правило и т. д.) были реализованы в коде JavaScript. Существует также таблица производных функций для тригонометрических функций и квадратного корня, логарифма и экспоненциальной функции. На каждом шаге расчета выполняется или переписывается одна операция дифференцирования. Например, из операций дифференцирования вытягиваются постоянные множители, а суммы дробятся (правило сумм).
Это, а также общие упрощения, делает Maxima. Для каждой рассчитанной производной LaTeX-представления результирующих математических выражений помечаются тегами в HTML-коде, чтобы можно было выделить их.
Функция «Проверить ответ» должна решить сложную задачу определения эквивалентности двух математических выражений. Их разница рассчитывается и максимально упрощается с помощью Maxima. Например, это включает в себя запись тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальной форме. Если можно показать, что разность упрощается до нуля, то задача решена. В противном случае применяется вероятностный алгоритм, который оценивает и сравнивает обе функции в случайно выбранных местах.
Графики интерактивных функций рассчитываются в браузере и отображаются в элементе холста (HTML5). Для каждой отображаемой функции калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется небольшими шагами, чтобы построить график. При построении графика особенности (например, полюса) обнаруживаются и обрабатываются особым образом.
Управление жестами реализовано с помощью Hammer.js.
Если у вас есть какие-либо вопросы или идеи по улучшению калькулятора производных, не стесняйтесь писать мне по электронной почте.
Интегральный калькулятор • С шагами!
Поддержка
Пожертвование
Помог ли вам этот калькулятор? Тогда я был бы очень признателен за вашу поддержку. Вы можете сделать пожертвование через PayPal.
Выше введите функцию для интеграции. Переменная интегрирования , границы интегрирования и более могут быть изменены в « Options «. Щелкните « Go! «, чтобы начать вычисление интеграла/первообразной. Результат будет показан далее.
Как работает интегральный калькулятор
Для тех, кто имеет техническое образование, следующий раздел объясняет, как работает интегральный калькулятор.
Сначала синтаксический анализатор анализирует математическую функцию. Он преобразует его в форму, более понятную компьютеру, а именно в дерево (см.
рисунок ниже). При этом интегральный калькулятор должен соблюдать порядок операций. Особенностью математических выражений является то, что знак умножения иногда можно опустить, например, мы пишем «5x» вместо «5*x». Интегральный калькулятор должен обнаруживать эти случаи и вставлять знак умножения.
Парсер реализован на JavaScript, основан на алгоритме Shunting-yard и может работать прямо в браузере. Это позволяет быстро получать обратную связь при наборе текста путем преобразования дерева в код LaTeX. MathJax позаботится об отображении его в браузере.
Когда «Вперед!» После нажатия кнопки Калькулятор интегралов отправляет математическую функцию и настройки (переменную интегрирования и границы интегрирования) на сервер, где она снова анализируется. На этот раз функция преобразуется в форму, понятную системе компьютерной алгебры Maxima.
Maxima фактически вычисляет интеграл математической функции. Вывод Maxima снова преобразуется в LaTeX и затем предоставляется пользователю.
Первообразная вычисляется с использованием алгоритма Риша, который трудно понять людям. Вот почему показать этапы вычисления интегралов очень сложно.
Чтобы показать шаги, калькулятор применяет те же методы интеграции, что и человек. Программа, которая это делает, разрабатывалась в течение нескольких лет и написана на собственном языке программирования Maxima. Он состоит из более чем 17000 строк кода. Когда подынтегральное выражение соответствует известной форме, оно применяет фиксированные правила для решения интеграла (например, разложение на частичные дроби для рациональных функций, тригонометрическая замена подынтегральных выражений, включающих квадратные корни квадратного многочлена, или интегрирование по частям для произведений определенных функций). . В противном случае он пробует различные подстановки и преобразования до тех пор, пока либо интеграл не будет решен, либо не истечет время, либо не останется ничего, что можно было бы попробовать. Калькулятору не хватает математической интуиции, которая очень полезна для нахождения первообразной, но, с другой стороны, он может перепробовать большое количество возможностей за короткое время.
Пошаговые первообразные часто намного короче и элегантнее, чем найденные Максимой.
Функция «Проверить ответ» должна решить сложную задачу определения эквивалентности двух математических выражений. Их разница рассчитывается и максимально упрощается с помощью Maxima. Например, это включает в себя запись тригонометрических/гиперболических функций в их экспоненциальной форме. Если можно показать, что разность упрощается до нуля, то задача решена. В противном случае применяется вероятностный алгоритм, который оценивает и сравнивает обе функции в случайно выбранных местах. В случае первообразных вся процедура повторяется для каждой производной функции, поскольку первообразные могут отличаться на константу.
Графики интерактивных функций рассчитываются в браузере и отображаются в элементе холста (HTML5). Для каждой отображаемой функции калькулятор создает функцию JavaScript, которая затем вычисляется небольшими шагами, чтобы построить график. При построении графика особенности (например, полюса) обнаруживаются и обрабатываются особым образом.