Найти первую производную: Дифференцирование функции, заданной неявно

c# — Как найти значение второй производной в точке?

Вопрос задан 1 месяц назад

Изменён 1 месяц назад

Просмотрен 61 раз

есть метод double Function(double x) { return Math.Log10(x) + x - 2; } Для метода хорд (метод нахождения корня нелинейного уравнения) мне нужно найти неподвижный конец из заданного интервала [a,b]. Он ищется по формуле Function(a)*Functiond2(x)>0. Если это условие выполняется, то значит что a — неподвижный конец. Я не могу понять, как найти Functiond2(a)(Functiond2 — подразумевается как вторая производная) не вводя отдельно вручную формулу второй производной функции. Как мне это сделать численно? Я нашел вроде как найти значение первой производной, это по формуле (f(x + dx) — f(x))/dx, где dx=double.

MinValue как я понял(или неправильно понял). Помогите пожалуйста.

• c#
• математика

Если надо численно, то проще всего

f''(x) = (f(x+dx)-2*f(x)+f(x-dx))/(dx*dx)

Но численное дифференцирование — занятие не самое веселое и очень подверженное ошибкам (представления, округления и т.д., в отличие от численного интегрирования).

Так что выбор подходящего dx должен выполняться с осторожностью: слишком большое — получаем погрешность метода, слишком малое — погрешность округления…

2

Производная по определению есть отношение приращения функции к приращению аргумента. То есть (y1-y0)/(x1-x0), получается если вы сделаете так на точке f0, то получите 1 производную точки f0. Для второй производной вам нужны точки f0 и f1, получаете производные в этих точках(f0′ и f1′) и далее вычисляете так же (f1′-f0′)/(x1-x0).

Таким образом напишите функцию, где будет вычислять производная и передавайте ей 2 точки (x0 y0) и (x1 y1) а что это будут за точки — дело ваше хотите туда отправляйте исходную функцию, хотите первую производную, а хотите и вторую:)

f''(x) =( f'(x+dx) - f'(x) )/ dx

4

Зарегистрируйтесь или войдите

Регистрация через Google

Регистрация через Facebook

Регистрация через почту

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Отправить без регистрации

Почта

Необходима, но никому не показывается

Нажимая на кнопку «Отправить ответ», вы соглашаетесь с нашими пользовательским соглашением, политикой конфиденциальности и политикой о куки

Вычисление производной в Excel | Блог Александра Воробьева

Опубликовано 13 Янв 2016
Рубрика: Справочник Excel | 3 комментария

Чем может помочь Excel при вычислении производной функции? Если функция задана уравнением, то после аналитического дифференцирования и получения формулы Excel поможет быстро рассчитать значения производной для любых интересующих пользователя значений аргумента.

Если функция получена практическими измерениями и задана табличными значениями, то Excel может оказать в этом случае более существенную помощь при выполнении численного дифференцирования и последующей обработке и анализе результатов.

На практике задача вычисления производной методом численного дифференцирования может возникнуть и в механике (при определении скорости и ускорения объекта по имеющимся замерам пути и времени) и в теплотехнике (при расчете теплопередачи во времени). Это также может быть необходимо, например, при бурении скважин для анализа плотности проходимого буром слоя грунта, при решении целого ряда баллистических задач, и т. д.

Похожая ситуация имеет место при «обратной» задаче расчета сложно нагруженных балок, когда по прогибам возникает желание найти значения действующих нагрузок.

Во второй части статьи на «живом» примере рассмотрим вычисление производной по приближенной формуле численного дифференцирования с применением выражений в конечных разностях и разберемся в вопросе – можно ли используя приближения производных конечными разностями по прогибам балки определять действующие в сечениях нагрузки?

Минимум теории.

Производная определяет скорость изменения функции, описывающей какой-либо процесс во времени или в пространстве.

Предел отношения изменения в точке функции к изменению переменной при стремлении изменения переменной к нулю называется производной непрерывной функции.

y’(x)=lim (Δy/Δx)  при Δx→0

Геометрический смысл производной функции в точке – это тангенс угла наклона к оси x касательной к графику функции  в этой точке.

tg (α)=Δy/Δx

Если функция дискретная (табличная), то приближенное значение ее производной в точке находят с помощью конечных разностей.

y’(x)_i≈(Δy/Δx)_i=(y_i+1-y_i-1)/(x_i+1-x_i-1)

Конечными разности называют потому, что они имеют конкретное, измеримое, конечное значение в отличие от величин, стремящихся к нулю или бесконечности.

В таблице ниже представлен ряд формул, которые пригодятся при численном дифференцировании табличных функций.

Центрально-разностные формулы дают, как правило, более точные результаты, но часто их нельзя применить на краях диапазонов значений. Для этих случаев пригодятся приближения левыми и правыми конечными разностями.

Вычисление производной второго порядка на примере расчета моментов в сечениях балки по известным прогибам.

Дано:

На балку длиной 8 метров с шарнирными опорами по краям изготовленную из двух спаренных стальных (Ст3) двутавров 30М опираются 7 прогонов с шагом 1 метр. К центральной части балки крепится  площадка с оборудованием. Предположительно усилие от покрытия, передаваемое через прогоны на балку, во всех точках одинаково и равно F₁. Подвесная площадка имеет вес 2*F₂ и крепится к балке в двух точках.

Предполагается, что балка до приложения нагрузок была абсолютно прямой, а после нагружения находится в зоне упругих деформаций.

На рисунке ниже показана расчетная схема задачи и общий вид эпюр.

На следующем скриншоте представлены исходные данные.

Расчетные исходные данные:

3. Погонная масса двутавра 30М:

γ=50,2 кг/м

Сечение балки составлено из двух двутавров:

n=2

Удельный вес балки:

q=γ*n*g=50,2*2*9,81/1000=0,985 Н/мм

5. Момент инерции сечения двутавра 30М:

I_x1=95 000 000 мм⁴

Момент инерции составного сечения балки:

I_x=I_x1*n=95 000 000*2=190 000 000 мм⁴

10. Так как балка нагружена симметрично относительно своей середины, то реакции обеих опор одинаковы и равны каждая половине суммарной нагрузки:

R=(q*z_max+8*F₁+2*F₂)/2=(0,985*8000+8*9000+2*50000)/2=85 440 Н

В расчете учитывается собственный вес балки!

Задача:

Найти значения изгибающего момента M_xi в сечениях балки аналитически по формулам сопротивления материалов и методом численного дифференцирования расчетной линии прогибов. Сравнить и проанализировать полученные результаты.

Решение:

Первое, что мы сделаем, это выполним расчет в Excel поперечных сил Q_y, изгибающих моментов M_x, углов поворота U_x оси балки и прогибов V_x по классическим формулам сопромата во всех сечениях с шагом h. (Хотя, в принципе, значения сил и углов нам в дальнейшем не понадобятся.)

Результаты вычислений находятся в ячейках I5-L54. На скриншоте ниже показана половина таблицы, так как значения во второй ее части зеркальны или аналогичны представленным значениям.

Использованные в расчетах формулы можно посмотреть здесь.

Ссылка для скачивания файла с рассмотренным в статье примером: vychisleniye-proizvodnoy (xls 250,0KB).

Итак, нам известны точные значения моментов и прогибов.

Из теории мы знаем, что:

Угол поворота – это первая производная прогиба U=V’.

Момент – это вторая производная прогиба M=V’’.

Сила – это третья производная прогиба Q=V’’’.

Предположим, что столбец точных значений прогибов получен не аналитическими расчетами, а замерами на реальной балке и у нас больше нет никаких других данных. Вычислим вторые производные от точных значений прогибов, используя формулу (6) из таблицы предыдущего раздела статьи, и найдем значения моментов методом численного дифференцирования.

M_xi=V_y’’≈((V_i+1-2*V_i+V_i-1)/h²)*E*I_x

Итог расчетов мы видим в ячейках M5-M54.

Точные значения моментов, рассчитанные по аналитическим формулам сопромата с учетом веса самой балки, отличаются от найденных по приближенным формулам вычисления производных незначительно. Моменты определены весьма точно, судя по относительным погрешностям, рассчитанным в процентах в ячейках N5-N54.

ε=(M_x-V_y’’)/M_x*100%

Поставленная задача решена. Мы выполнили вычисление производной второго порядка по приближенной формуле с использованием центральных конечных разностей и получили отличный результат.

Зная точные значения прогибов можно методом численного дифференцирования с высокой точностью найти действующие в сечениях моменты и определить степень нагруженности балки!

Однако…

Увы, не стоит думать, что на практике легко получить необходимые высокоточные результаты измерений прогибов сложно нагруженных балок!

Дело в том, что измерения прогибов требуется выполнять с точностью ~1 мкм и стараться максимально уменьшать шаг замеров h, «устремляя его к нулю», хотя и это может не помочь избежать ошибок.

Зачастую уменьшение шага замеров при значительных погрешностях измерений прогибов может привести к абсурдным результатам. Следует быть очень внимательными при численном дифференцировании, чтобы избежать фатальных ошибок.

Сегодня есть приборы — лазерные интерферометры, обеспечивающие высокую скорость, стабильность и точность измерений до 1 мкм, программно отсеивающие шум, и еще много чего программно умеющие, но их цена – более 300 000$. ..

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы просто округлим точные значения прогибов из нашего примера до двух знаков после запятой – то есть до сотых долей миллиметра и заново по той же формуле вычисления производной пересчитаем моменты в сечениях.

Если раньше максимальная ошибка не превышала 0,7%, то сейчас (в сечении i=4) превышает 23%, хотя и остается приемлемой в наиболее опасном сечении (ε₂₁=1,813%).

Кроме рассмотренного численного метода вычисления производных с помощью конечных разностей можно (а часто и нужно) применить другой способ — аппроксимировать замеры степенным многочленом и найти производные аналитически, а затем сверить результаты, полученные разными путями. Но следует понимать, что дифференцирование аппроксимационного степенного многочлена – это тоже в конечном итоге приближенный метод, существенно зависящий от степени точности аппроксимации.

Исходные данные – результаты измерений – в большинстве случаев перед использованием в расчетах следует обрабатывать, удаляя выбивающиеся из логического ряда значения.

Вычисление производной численными методами всегда необходимо выполнять очень осторожно!

Другие статьи автора блога

На главную

Статьи с близкой тематикой

Отзывы

Первая производная: определение, проверка — статистика Как сделать

Первая производная означает просто взять производную (т. е. найти наклон касательной) один раз. Обычно его просто сокращают до «производного».

Проверка первой производной — это один из способов изучения возрастающих и убывающих свойств функций. Тест поможет вам:

• Найти интервалы, в которых функция убывает или возрастает.
• Определите локальные минимумы и локальные максимумы.
• Нарисуйте график без помощи графического калькулятора (хотя вы также можете использовать «подъем над ходом», чтобы нарисовать график производной).

Здесь полезно думать о производной просто как о наклоне графика. Технически это наклон касательной в определенной точке , но упрощение концепции до увеличения или уменьшения наклона помогает в этом конкретном тесте.

Производная меняет знаки (-/+) в точках b, c и d.

Ваш результат теста первой производной сообщает вам одну из трех вещей о непрерывной функции:

1. Если первая производная (т. прямо на числовой прямой), то функция имеет локальный максимум в этой точке. Точки b и d на приведенном выше графике являются примерами локального максимума.
2. Если первая производная отличается от от отрицательного до положительного (слева направо по числовой прямой), то функция имеет локальный минимум в этой точке. Точка c на графике является локальным минимумом.
3. Если первая производная не меняет знак при критическом числе (идет слева направо по числовой прямой), то нет ни ни локального максимума, ни локального минимума при этом критическом числе. Точка и является одним из примеров, когда наклон не меняет знак. 92 + 6x + 9. Красные линии — это наклоны касательной (производной), которые меняются с отрицательных на положительные в районе x = -3.

   Шаг 1: Найдите критические числа для функции . (Нажмите здесь, если вы не знаете, как найти критические числа).

   
   
   • Взяв производную: f’= 2x + 6
   • Обнуление производной: 0 = 2x + 6
   • Используя алгебру, чтобы решить: -6 = 2x, тогда -6/2 = x, что дает нам x = -3

   Для этой конкретной функции существует одно критическое число, x = -3.

   Шаг 2: Выберите два значения рядом слева и справа от критического числа . Критическое число в этом примере — x = -3, поэтому мы можем проверить x = -2,99 и x = 3,01 (это произвольные значения, но довольно близкие к -3; вы можете попробовать -2,999999 и -3,0000001, если хотите).

   Шаг 3: Вставьте значения, выбранные вами на шаге 2 , в формулу производной, которую вы нашли при вычислении критических чисел на шаге 1:
   Для x = -3,01:
   f’ = 2(-3,01) + 6 = -0,02 → отрицательный наклон
   Для x = -2,99
   f’= 2(-2,99) + 6 = 0,02 → положительный наклон

   Шаг 4: Сравните свои ответы с тремя первыми правилами теста производных (указанными во введении выше). Производная меняется с отрицательной на положительную в районе x = -3, поэтому существует локальный минимум.

   Вот и все!

   Совет: Чтобы убедиться, что вы нашли правильные критические числа, начертите уравнение. Как ясно видно из приведенного выше графика, вы должны найти только одно критическое число для этого конкретного уравнения, при x = -3.

   В следующей таблице приведены результаты применения теста первой производной (f’) и теста второй производной (f”) для построения графиков.
   

   Наверх.

   УКАЗЫВАЙТЕ ЭТО КАК:
   Стефани Глен . «Первая производная: определение, тест» Из StatisticsHowTo.com : Элементарная статистика для всех нас! https://www.statisticshowto.com/derivatives/first-derivative-definition-test/

   ————————————————— ————————-

   Нужна помощь с домашним заданием или контрольным вопросом? С Chegg Study вы можете получить пошаговые ответы на ваши вопросы от эксперта в данной области. Ваши первые 30 минут с репетитором Chegg бесплатны!

   Комментарии? Нужно опубликовать исправление? Пожалуйста, Свяжитесь с нами .

   Проверка первой производной — примеры, шаги, приложения

   LearnPracticeDownload

   Проверка первой производной — простейший метод нахождения точек локального максимума и минимума функции. Тест первой производной работает на концепции аппроксимации, которая находит локальные максимумы и локальные минимумы, беря значения слева и справа в окрестностях критических точек и подставляя их в выражение первой производной.

   Давайте узнаем больше о тесте первой производной, этапах теста, использовании и примерах теста первой производной.

   1.	Что такое первый производный тест?
   2.	Шаги для теста первой производной
   3.	Применение теста первой производной
   4.	Примеры теста первой производной
   5.	Практические вопросы
   6.	Часто задаваемые вопросы о тесте первой производной

   Что такое первый производный тест?

   Тест первой производной помогает найти поворотные точки, где выход функции имеет максимальное или минимальное значение. Для теста первой производной. мы определяем функцию f(x) на открытом интервале I. Пусть функция f(x) непрерывна в критической точке c интервала I. Здесь у нас есть следующие условия, чтобы найти локальный максимум и минимум, используя тест первой производной.

   • Если f ′(x) меняет знак с положительного на отрицательный при увеличении x через (c, f(c)) т. е. если f ′(x) >
     0 в каждой точке, достаточно близкой и левее от (c , f(c)) и f ′(x) < 0 в каждой точке, достаточно близкой к (c, f(c)) и справа от нее, то c является точкой локальных максимумов.
   • Если f ′(x) меняет знак с отрицательного на положительный по мере увеличения x через (c, f(c)) т. е. если f ′(x) < 0 в каждой точке, достаточно близкой и левее от (c, f (c)) и f ′(x) > 0 в каждой точке, достаточно близкой к (c, f(c)) и справа от нее, то c является точкой локального минимума.
   • Если f ′(x) существенно не меняется при увеличении x через (c, f(c)), то c не является ни точкой локальных максимумов, ни точкой локальных минимумов. Фактически такая точка называется точкой перегиба.

   Локальные максимумы: Здесь на первом графике выше (c, f(c)) — точка локальных максимумов, поскольку f'(x) > 0 слева от нее, а f'(x) < 0 вправо.

   Локальные минимумы: Здесь на втором графике выше (c, f(c)) есть точка локальных минимумов, так как f'(x) < 0 слева от нее и f'(x) > 0 слева от нее правильно.

   шагов для теста первой производной

   Следующие шаги помогут выполнить тест первой производной и найти предельные точки.

   • Для заданной функции f(x) найти первую производную f'(x).
   • Найдите предельные точки, приравняв выражение первой производной к нулю f'(x) = 0.
   • Найдите по одной точке в соседней левой и соседней правой сторонах предельной точки.
   • Подставьте эти соседние точки в функции первой производной.
   • Если дифференцирование функции положительно f'(x) > 0 для соседней точки слева и отрицательно f'(x) < 0 для соседней точки справа, то предельной точкой является локальные максимумы.
   • Если дифференцирование функции отрицательно f'(x) < 0 для соседней точки слева и положительно f'(x)>0 для соседней точки справа, то предельная точка локальные минимумы.

   Применение теста первой производной

   Тест первой производной полезен по ряду причин, которые можно понять из следующих приложений.

   • Критерий первой производной можно использовать для нахождения локальных максимумов и локальных минимумов функции при определенных ограничениях.
   • Проверка первой производной полезна для поиска оптимального решения проблемной ситуации.
   • Для параболического уравнения критерий первой производной помогает найти точку поворота или вершину параболы, а также дает ориентацию параболы.
   • Тест первой производной помогает узнать крайние точки кривых.
   • Тест первой производной помогает нам узнать, вогнута ли кривая вверх или вогнута вниз.

   Кроме того, тест первой производной можно применять в следующих реальных ситуациях.

   • Прибыль от апельсиновой рощи определяется алгебраическим выражением P(x) = ax + bx ² + cx ³ + d, где a, b — константы, а x — количество манговых деревьев за акр. Чтобы найти количество манговых деревьев на акр, необходимое для максимизации прибыли, мы используем этот тест первой производной.
   • Мяч, брошенный в воздух с вершины здания высотой 10 м, движется по пути, определяемому формулой h(x) = 60 + x — x ² /60., где x — расстояние по горизонтали, а h (x) — высота мяча. Чтобы найти максимальную высоту, на которую может подняться мяч, мы используем критерий первой производной.
   • Вертолет противника движется по пути, определяемому уравнением P(x) = x + 7, и солдат, находящийся в точке (1, 2), хочет поразить вертолет. Здесь, чтобы найти минимальное расстояние, с которого солдат может поразить вертолет, мы можем использовать критерий первой производной.

   ☛ Связанные темы:

   Следующие темы помогут лучше понять тест первой производной.

   • Теорема о среднем значении
   • Теорема Ролля
   • Формула дифференциальных уравнений
   • Применение деривативов

    

   Примеры теста первой производной

   1. Пример 1: Найти локальные максимумы и локальные минимумы функции f(x) = 2x ³ + 3x ² — 12x + 5, используя критерий первой производной.

      Решение:

      Данная функция такова: f(x) = 2x ³ + 3x ² — 12x + 5

      (х) = 0; 6x ² — 6x — 12 = 0, 6(x ² + x — 2) = 0, 6(x — 1)(x + 2) = 0

      Следовательно, предельные точки равны x = 1, и х = -2.

      Возьмем точки в непосредственной близости от x = 1. Это точки {0, 2}.

      f'(0) = 6(0 ² + 0 — 2) = 6(-2) = -12 и f'(2) = 6(2 ² + 2 — 2) = 6( 4) = +24

      Производная функции отрицательна слева от x = 1 и положительна справа. Следовательно, x = 1 — локальные минимумы.

      Теперь возьмем точки в непосредственной близости от x = -2. Очки равны {-3, -1}.

      f'(-3) = 6((-3) ² + (-3) — 2) = 6(4) = +24 и f'(-1) = 6((-1) ² + (-1) -2) = 6(-2) = -12

      Производная функции положительна слева от x = -2 и отрицательна справа. Следовательно, x = -2 — локальные максимумы.

      Следовательно, локальные максимумы при x = -2, а локальные минимумы при x = -1.

      Локальные максимумы = f(-2) = 2(-2) ³ + 3(-2) ² — 12(-2) + 5 = 25
      Локальные минимумы = f(1) = 2(1) ³ + 3(1) ² — 12(1) + 5 = -2

      Ответ: Локальные максимумы находятся в точках (-2, 25) и локальные минимумы находятся в (1, -2).

   2. Пример 2: Проверьте результат Пример 1 графически.
      Решение:
      График кубической функции f(x) = 2x ³ + 3x ² — 12x + 5,
      
      Из графика очень ясно, что f(x) имеет локальный минимум в точке (1, -2) и локальный максимум в точке (-2, 25).
      Ответ: Решение примера 1 проверяется графически.

   3. Пример 3: Найдите два положительных числа, сумма которых равна 10, а сумма квадратов минимальна.

      Решение:

      Приведенную выше задачу можно решить с помощью теста первой производной. Поскольку сумма двух положительных чисел равна 10, у нас есть числа как x и 10 — x,

      Сумма квадратов этих двух положительных чисел должна быть минимальной величиной.

      Отсюда имеем f(x) = x ² + (10 — x) ² . Цель состоит в том, чтобы найти локальный минимум.

      Здесь мы можем использовать тест первой производной, чтобы найти, где f(x) имеет локальный минимум.

      f'(x) = 2x -2(10 — x) = 2x — 20 + 2x = 4x — 20

      f'(x) = 0; 4х — 20 = 0; х = 20/4; x = 5

      Возьмем теперь две точки в непосредственной близости от x = 5. И это точки {4, 6}.

      f'(4) = 4(4) — 20 = 16 — 20 = -4 и f'(6) = 4(6) — 20 = 24 — 20 = +4

      Производная функции отрицательно слева от x = 5 и положительно справа. Следовательно, x = 1 — локальные минимумы.

      Следовательно, x = 5, а 10 — x = 5.

      Ответ: Следовательно, два положительных числа, сумма которых равна 10 и сумма квадратов которых минимальна, равны 5 и 5.

   перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду

   Есть вопросы по основным математическим понятиям?

   Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила. Узнайте, что стоит за математикой, с нашими сертифицированными экспертами

   Запишитесь на бесплатный пробный урок

   Практические вопросы по тесту первой производной

    

   перейти к слайдуперейти к слайду

   Часто задаваемые вопросы о тесте первой производной

   Что такое тест первой производной?

   Проверка первой производной — простейший метод нахождения точек локального максимума и минимума функции. Тест первой производной зависит от концепции аппроксимации, чтобы найти локальные максимумы и локальные минимумы, взяв точку слева и справа в окрестности критических точек и подставив ее в выражение первой производной.

   Как провести первый производный тест?

   Тест первой производной можно выполнить, выполнив следующую последовательность шагов.

   • Найти заданную функцию f(x), найти первую производную f'(x).
   • Найдите предельные точки, приравняв выражение первой производной к нулю.
   • Найдите по одной точке в каждой из соседней левой стороны и соседней правой стороны предельной точки и подставьте в первую производную функцию.
   • Если производная функции положительна f(x) > 0 для соседней точки слева и отрицательна f(x) < 0 для соседней точки справа, то предельной точкой является локальная максимумы.
   • Если производная функции отрицательна f(x) < 0 для соседней точки слева и положительна f(x) > 0 для соседней точки справа, то предельной точкой является локальная минимумы.

   В чем разница между первым производным тестом и вторым производным тестом?

   Тест первой производной и тест второй производной помогают найти точки локального максимума и минимума. Тест первой производной берет только первую производную функции и несколько точек в окрестностях точек поворота, чтобы определить, является ли она максимальной или минимальной точкой. Вторая производная берет первую производную и вторую производную данной функции. Здесь предельные точки, полученные из первой производной, проверяются через вторую производную, чтобы найти точку максимума и минимума.

   Может ли первая производная проверка провалиться?

   Проверка первой производной может не пройти, если точка ограничения не является локальным максимумом или минимумом заданной функции. Если точки слева и справа от предельной точки имеют одинаковые значения производной, то мы не можем сделать вывод о точке, и первый тест производной не проходит.

   Когда первый производный тест не проходит?

   Первая проверка производной не пройдена, если точки слева и справа от предельной точки имеют одинаковые значения производной.

   No related posts.