[PDF] 4. Производная по направлению.
85
§4. Производная по направлению. Пусть в плоскости XOY расположена точка M0(x0,y0). Зададим произвольный угол a и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул x = x0 + t cosa, y = y0 + t sina.
(1)
Здесь t — параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1) следует: (y — y0)/(x — x0) = tga Это означает, что все точки M(x,y), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) и составляющей угол a с осью OX. Каждому значению t соответствует единственная точка M(x,y), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из §1 расстояние между точками M0(x0,y0) и M(x,y) равно t. Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, определяемым возрастанием параметра t. Обозначим положительное направление этой оси символом l. Производной функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) по направлению l называется число ¶ f x0 , y 0 f x0 + t cos a , y0 + t sin a — f x0 , y0 .
(2)
Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l, определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость пересечет поверхностьграфик функции z = f(x,y) вдоль
86 некоторой пространственной кривой L. Тангенс угла между горизонтальной плоскостью и касательной к этой кривой в точке M0(x0,y0) равен производной функции в этой точке по направлению l. В любом курсе математического анализа доказывается, что производная по направлению, определяемая формулой (2), может быть представлена в виде ¶ f x0 , y 0 ¶ f x0 , y 0 ¶ f x0 , y 0 cos a + sin a . = ¶l ¶x ¶y
(3)
Заметим, что частная производная по x тоже является производной по направлению. Это направление определяется равенствами: cosa = 1; sina = 0. Аналогично частная производная по y — это производная по направлению, которое можно задать условиями cosa = 0; sina = 1.
а тангенс угла наклона g вектора к оси OX определяется из формулы tgg = b/a (отметим, что зная величину tgg , а также знак любого из чисел a и b, мы можем определить угол g с точностью до 2p ). Представление вектора в виде пары его координат будем записывать в виде r a; b или r = {a; b}. Такое представление имеет одну характерную особенность: оно не определяет местоположение вектора на плоскости XOY.
87 координаты его начальной точки или, как её можно назвать, точки приложения вектора. Если заданы два вектора: a = {a1; a2 } и b = {b1;b2 }, то скалярным произведением ab этих векторов называется число a b cos j (j- угол между векторами). В любом курсе векторной алгебры доказывается, что скалярное произведение векторов a = {a1; a2 } и b = {b1;b2 } равно сумме произведений одноименных координат этих векторов: a b = a1b1 + a2b2.
(4)
Пусть в некоторой области G плоскости XOY задана функция z = f(x,y), имеющая непрерывные частные производные по обоим аргументам. Градиентом или вектором-градиентом grad f x; y функции f(x,y) в точке (x,y) Î G называется вектор, который задается формулой ì ¶ f x , y ¶ f x, y ü ; grad f x, y = í ý. ¶y þ î ¶x
Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки. Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов.
Первый из них — векторградиент функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0): ì ¶ f x0 , y 0 ¶ f x0 , y 0 ü ; grad f x0 , y0 = í ý. ¶x ¶y î þ Второй – вектор e = {cos = ; sin = }. Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси OX, равный a. Теперь можно сделать вывод, что производная функции z = f(x,y) по направлению, определяемому углом a наклона к оси OX, в точке M0(x0,y0) может быть вычислена по формуле ¶ f x0 , y 0 = grad f x0 ; y0 cos b . ¶l
(5)
Здесь b — угол между вектором grad f x0 , y0 и вектором e , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что e = 1 . Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение: производная по направлению от функции z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) достигает наибольшего
88 значения, если это направление совпадает с направлением вектораградиента функции в рассматриваемой точке, так как cosb £ 1, и равенство достигается только если b = 0 (очевидно, что другие решения уравнения cosb = 1 нас в данном случае не интересуют).
Иначе можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке. Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке. Пример. Требуется найти производную функции z =
y по направлению, y-x
составляющему угол в 60° с осью OX, в точке (1;3). Найдем частные производные функции: z ¢x =
y
y — x
2
; z ¢y = —
x
y — x 2
Теперь
ì3 1 ü можно определить градиент функции в точке (1;3): grad z 1;3 = í ;- ý . î4 4þ ì1 3 ü Принимая во внимание равенство e = í ; ý , воспользуемся формулой (4): î2 2 þ
¶ z 1;3 3 — 3 = . ¶l 8
Производная по направлению. Градиент — FINDOUT.SU
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Имя
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно — исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое
Нажимая кнопку «Продолжить», я принимаю политику конфиденциальности
Понятие производной по направлению
Понятие производной по направлению рассматривается для функций двух и трёх переменных.
Чтобы понять смысл производной по направлению, нужно сравнить производные по определению
1) функции одной переменной;
2) функции трёх переменных в нашем случае.
Рассматривая функцию одной переменной, мы выяснили, что на оси Oyотображается приращение функции f(x), соответствующее приращению аргумента x. Если мы имеем дело с функцией трёх переменных, то приращения аргументов x, y, zотображаются на осях Оx, Оy, Оz. Сам собой напрашивается вопрос: а где можно отобразить приращение уже не аргументов, а функции трёх переменных?
И вот ответ на этот вопрос: приращение функции трёх переменных отображается на некоторой прямой, направление которой определяется вектором, произвольно заданным в задаче.
Если рассматривается функция двух или трёх переменных, то два или три измерения задают аргументы, а упомянутая прямая, на которой отображается приращение функции, — это ещё одно измерение и для его акцентирования назовём это измерение не третьим или четвёртым, а нулевым, следуя программистской традиции (в программировании отсчёт чаще начинается не с единицы, а с нуля).
Для того, чтобы перейти к строгому математическому определению производной по направлению, нужно рассмотреть:
1) функцию u = f(M), определённую в окрестности точки M с координатами x, y, z;
2) произвольный вектор l с направляющими косинусами cosα, cosβ, cosγ.
Через точку M проводим прямую, одно из двух возможных направлений которых совпадает с направлением вектора l. На получившейся прямой отметим точку M1, координаты которой образуют суммы координат точки M и приращений соответствующих аргументов функции трёх переменных:
Величину отрезка MM1 можно обозначить .
Функция u = f(M) при этом получит приращение
.
Определение производной по направлению. Предел
отношения при , если он существует, называется производной функции u = f(M) по направлению вектора l и обозначается , то есть .
Формула, которой нужно пользоваться для нахождения производной по направлению, следующая:
.
Смысл этой формулы: производная по направлению является линейной комбинацией частных производных, причём направляющие косинусыпоказывают вклад в производную по направлению соответствующей частной производной.
Примеры нахождения производной по направлению
Пример 1. Найти производную функции в точке M0(1; 2; 3) по направлению вектора .
Решение. Найдём частные производные функции в точке M0:
Найдём направляющие косинусы, пользуясь определением
Следовательно,
Теперь можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
Нет времени вникать в решение? Можно заказать работу!
А сейчас — домашнее задание.
В нём дана функция не трёх, а лишь двух переменных, но несколько иначе задан направляющий вектор. Так что придётся вновь повторить векторную алгебру.
Пример 2. Найти производную функции в точке M0(1; 2) по направлению вектора , где M1 — точка с координатами (3; 0).
Посмотреть правильное решение и ответ.
Вектор, задающий направление производной, может быть дан и в такой форме, как в следующем примере — в виде разложения по ортам координатных осей, но эта хорошо знакомая тема из самого начала векторной алгебры.
Пример 3. Найти производную функции в точке M0(1; 1; 1) по направлению вектора .
Решение. Найдём направляющие косинусы вектора
Найдём частные производные функции в точке M0:
Следовательно, можем найти производную по направлению данной функции по её формуле:
.
Градиент функции
Градиент функции нескольких переменных в точке M0 характеризует направление максимального роста этой функции в точке M0 и величину этого максимального роста.
Как найти градиент?
Нужно определить вектор, проекциями которого на оси координат являются значения частных производных , , этой функции в соответствующей точке:
.
То есть, должно получиться представление вектора по ортам координатных осей, в котором на каждый орт умножается соответствующая его оси частная производная.
Для градиента функции двух переменных формула короче:
.
Пример 4. Найти градиент функции в точке M0(2; 4;).
Решение. Найдём частные производные функции в точке M0:
Следовательно, можем записать искомый градиент данной функции:
.
Производная неявной функции. Производная по направлению и градиент. Экстремум функции нескольких переменных
Производная неявной функции.
— неявная (для двух переменных). (1)
Теорема: Пусть , т.
е непрерывная функция задается не явно, где , , — непрерывные функции в некоторой
области D, содержащей точку ,
координаты которой удовлетворяют уравнению (1), и в которой , тогда .
Доказательство: Переменным x и y дадим приращение и соответственно.
— полное приращение функции F.
| :
- бесконечно малые величины.
- производная от функции заданной неявно.
Пример:
- производные первого порядка.
- производные второго порядка
Определение: Частной производной n-го порядка, называется первая производная от производной n-1 -го порядка.
Пример:
;
и т.д.
Теорема: Если функция и ее частные производные определены и непрерывны в некоторой точке М(х,у) и в некоторой ее окрестности то, в точке М.
Производная по
направлению и градиент.
Пусть функция задана в некоторой области D.
Проведем из точки М вектор с направляющими косинусами . На векторе рассмотрим точку М1 :
, т.е. М М1 =
Рассмотрим предел при :
- производная функции по направлению .
Пример:
Определение: Частные производные есть частный случай производной по направлению, если в качестве вектора , брать единичные векторы .
Определение: Градиентом функции u , называется вектор
Пример:
u — ?
u =
Определение: Производная по направлению некоторого вектора равна равна проекции вектора на вектор .
Свойства градиента:
1) Производная
в данной точке по направлению вектора ,
имеет наибольшее значение, если направление вектора совпадает
с направление вектора градиента, и это наибольшее значение равно модулю
градиента.
2) Производная по направлению вектора перпендикулярному вектору градиента равна нулю.
3) Если , то в точке М перпендикулярен к линии уровня , лежащей в плоскости xOy и проходящей через точку М.
Экстремум функции нескольких переменных.
Определение: Функция имеет в точке М0 (х0,у0) максимум, если больше, чем для всех точек достаточно близких к ней, но отличных от нее.
Функция имеет минимум в точке М0 (х0,у0), если меньше, чем для всех точек достаточно близких к ней, но отличных от нее.
Точки в которых частная производная функции нескольких переменных равна нулю или не существует, называются стационарными точками.
Теорема (необходимое
условие экстремума): Если достигает экстремума
в точке с координатами (х0,у0), то каждая частная
производная первого порядка от функции z, обращается в
этой точке в нуль или не существует.
Доказательство:
Теорема (достаточное условие экстремума): Пусть в некоторой области D содержащей точку М0 (х0,у0), функция имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно и точка М0 является стационарной точкой функции z. Тогда если:
1) и , то в точке М0 максимум.
2) и , то в точке М0 минимум.
3) , то нет экстремума.
4) , может быть, а может и не быть.
Пример:
1)
2)
3) в точке М0 минимум.
4) есть экстремум.
Условные экстремумы
Найти экстремум функции при условии, что х и у связаны между собой соотношением .
Составляем функцию
Пример:
Найти экстремум функции , при условии .
Элементы высшей алгебры.
Комплексные числа.
Комплексным числом z называется упорядоченная пара действительных чисел (a,b).
Число а, называется действительной частью числа z.
Число b, называется мнимой частью числа z.
Пример:
Числа вида jb называют, чисто мнимыми числами и они считаются корнями уравнения .
Геометрический смысл: комплексные числа отождествляются с точками плоскости хОу или с радиус-векторами этой плоскости.
Плоскость хОу называется комплексной плоскостью и обозначается С.
Два комплексных числа и считаются равными, если
Числа вида называют действительными числами и изображаются точками действительной оси (Ох).
Два комплексных числа у которых действительные части равны, а мнимые отличны только знаком называются взаимномопряженными.
То есть
операция сопряжения отображает комплексное число относительно действительной
оси.
— модуль комплексного числа z.
Замечание: аргумент комплексного числа многозначен и определяется с точностью до значения кратностью 2π.
— алгебраическая форма записи
— тригонометрическая форма записи
— показательная форма записи
— формула Эйлера
— формула Эйлера для косинуса.
— формула Эйлера для синуса.
— периодическая с периодом 2π.
Действия над комплексными числами
1)
2)
3)
4)
Формулы Муавра.
Определение: Корнем из числа , называется всякое комплексное число w , такое что .
, возведем w в n-ную степень
Т.е. корней n-ной степени из числа z ровно n штук и все они находятся на окружности радиуса в вершинах правильного n-угольника.
Пример:
Разложение
многочлена на множители.
3$ движется в этом направлении. (Вы можете представить себе «сведение» вашей функции к функции одной переменной, скажем, $t$, «разрезав» кривую в этом направлении; тогда производная по направлению — это просто одномерная производная этой «разрезанной» функции. )
$\endgroup$
1
$\begingroup$
Обратите внимание, что производная функции по направлению является скаляром, а градиент — вектором.
Единственная разница между производной и производной по направлению заключается в определении этих терминов. Помните:
- Производная по направлению — это мгновенная скорость изменения (которая является скаляром) $f(x,y)$ в направлении единичного вектора $u$. 92}$.
В сумме градиент представляет собой вектор с наклоном функции вдоль каждой из координатных осей, тогда как производная по направлению представляет собой наклон в произвольно заданном направлении.
$\endgroup$
$\begingroup$
- Производная по направлению — это значение , которое представляет скорость изменения
- Градиент представляет собой угол/вектор 93\стрелка вправо\mathbb{R}$. Его градиент $\nabla{g}$ является вектором, а производная по направлению является скалярным произведением другого вектора $\mathbf{v}$ в том же пространстве с $\nabla g$, обозначаемого как $\mathbf{v} \cdot\набла г$. Это означает проекцию вектора $\nabla g$ на направление вектора $\mathbf{v}$, который показывает, как функция $g$ изменяется в этом направлении.
$\endgroup$
$\begingroup$
Простыми словами, производную по направлению можно представить как наклон функции в заданной точке по определенному направлению.
Например, частная производная по x функции также может быть записана как производная по направлению этой функции по направлению x.Градиент — это вектор, и для заданного направления производная по направлению может быть записана как проекция градиента вдоль этого направления.
Пожалуйста, перейдите по этой ссылке, чтобы иметь четкое представление: http://omega.albany.edu:8008/calc3/directional-derivatives-dir/define-m2h.html
$\endgroup$
Твой ответ
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.Понимание градиента – BetterExplained
Градиент – это красивое слово для обозначения производной или скорости изменения функции. Это вектор (направление движения), который
- указывает в направлении наибольшего увеличения функции (интуитивное понимание почему)
- Является нулем на локальном максимуме или локальном минимуме (поскольку нет единого направления увеличения)
Термин «градиент» обычно используется для функций с несколькими входами и одним выходом (скалярное поле). Да, вы можете сказать, что линия имеет градиент (ее наклон), но использование «градиента» для функций с одной переменной излишне сбивает с толку. Будь проще.
«Градиент» может относиться к постепенным изменениям цвета, но мы будем придерживаться математического определения, если оно вас устраивает. Вы увидите, что значения связаны.
Свойства градиента
Теперь, когда мы знаем, что градиент является производной функции с несколькими переменными, давайте выведем некоторые свойства.
Обычная старая производная дает нам скорость изменения одной переменной, обычно $x$. Например, $\frac{dF}{dx}$ говорит нам, насколько изменится функция $F$ при изменении $x$. Но если функция принимает несколько переменных, таких как $x$ и $y$, у нее будет несколько производных: значение функции будет меняться, когда мы «качаем» $x$ ($\frac{dF}{dx}$ ) и когда мы покачиваем $y$ ($\frac{dF}{dy}$).
Мы можем представить эти множественные скорости изменения в виде вектора с одним компонентом для каждой производной. Таким образом, функция, принимающая 3 переменные, будет иметь градиент с 3 компонентами:
- $F(x)$ имеет одну переменную и единственную производную: $\frac{dF}{dx}$
- $F(x,y,z)$ имеет три переменные и три производные: $\frac{dF}{dx}, \frac{dF}{dy}, \frac{dF}{dz}$
Градиент функции с несколькими переменными имеет компонент для каждого направления.
И точно так же, как обычная производная, градиент указывает в направлении наибольшего увеличения (и вот почему: мы меняем движение в каждом направлении достаточно, чтобы максимизировать выигрыш).
Однако теперь, когда у нас есть несколько направлений для рассмотрения ($x$, $y$ и $z$), направление наибольшего увеличения больше не просто «вперед» или «назад» вдоль оси $x$, как с функциями одной переменной.
Если у нас есть две переменные, то наш двухкомпонентный градиент может задавать любое направление на плоскости. Точно так же с 3 переменными градиент может указывать и направление в трехмерном пространстве, чтобы двигаться, чтобы увеличить нашу функцию.
Искривленный пример
Я большой поклонник примеров, помогающих закрепить объяснение. Предположим, у нас есть волшебная печь, на ней написаны координаты и есть специальный экран дисплея:
Мы можем ввести любые 3 координаты (например, «3,5,2»), и дисплей покажет нам градиент температуры в этой точке.
Микроволновая печь также оснащена удобными часами. К сожалению, у часов есть своя цена — температура внутри микроволновой печи сильно различается от места к месту.
Но это того стоило: мы очень хотели эти часы.Пока со мной? Мы вводим любую координату, и микроволновка выдает градиент в этом месте.
Будьте осторожны, не перепутайте координаты и градиент. Координаты — это текущее местоположение , измеренное по осям $x,y,z$. Градиент — это направление движения от нашего текущего местоположения, например, движение вверх, вниз, влево или вправо.
Теперь предположим, что нам нужна психиатрическая помощь, и мы поместим Мальчика с тестом Pillsbury в духовку, потому что мы думаем, что он будет вкусным. Он сделан из теста для печенья, верно? Мы размещаем его в случайном месте внутри духовки, и наша цель — приготовить его как можно быстрее. Градиент может помочь!
Градиент в любом месте точек в направлении наибольшего увеличения функции. В данном случае наша функция измеряет температуру. Таким образом, градиент говорит нам, в каком направлении нужно двигать пончика, чтобы он оказался в месте с более высокой температурой, чтобы приготовить его еще быстрее.
Помните, что градиент , а не дает нам координаты, куда идти; это дает нам направление , чтобы двигаться , чтобы увеличить нашу температуру.Таким образом, мы начали бы со случайной точки, такой как (3,5,2), и проверили бы градиент. В этом случае градиент равен (3,4,5). На самом деле мы бы не переместились на целых 3 единицы вправо, на 4 единицы назад и на 5 единиц вверх. Градиент — это просто направление, поэтому мы0072 следуйте по этой траектории чуть-чуть , а затем снова проверьте градиент.
Мы подходим к новой точке, довольно близкой к нашей исходной, которая имеет собственный градиент. Этот новый градиент является новым лучшим направлением для подражания. Мы будем продолжать повторять этот процесс: немного двигаться в направлении градиента, проверять градиент и немного двигаться в новом направлении градиента. Каждый раз, когда мы продвигались вперед и следовали градиенту, мы попадали во все более и более теплое место.
В конце концов, мы доберемся до самой горячей части духовки и останемся там, чтобы насладиться свежим печеньем.
Не ешь это печенье!
Но прежде чем вы съедите это печенье, давайте сделаем несколько замечаний по поводу градиента. Это веселее, правда?
Во-первых, когда мы достигаем самой горячей точки в духовке, какой там градиент?
Ноль. Нада. пшик. Почему? Что ж, как только вы окажетесь в максимальном положении, нет направления наибольшего увеличения . Любое направление, которому вы следуете, приведет к понижению температуры. Это как быть на вершине горы: любое направление, в котором вы двигаетесь, ведет вниз. Нулевой градиент говорит вам оставаться на месте — вы находитесь на максимуме функции и не можете добиться большего.
Но что, если рядом два максимума, как две горы рядом друг с другом? Вы можете быть на вершине одной горы, но рядом с вами может быть вершина побольше. Чтобы добраться до самой высокой точки, нужно сначала спуститься вниз.
А, теперь мы отправляемся в не очень приятную изнанку градиента. Нахождение максимума в обычных функциях (с одной переменной) означает, что мы находим все места, где производная равна нулю: нет направления наибольшего возрастания.
Если вы помните, обычная производная будет указывать на местных минимумов и максимумов, а абсолютные максимумы/минимумы должны быть проверены из этих местоположений-кандидатов.Тот же принцип применим к градиенту, обобщению производной. Вы должны найти несколько мест, где градиент равен нулю — вам нужно будет проверить эти точки, чтобы увидеть, какая из них является глобальным максимумом. Опять же, вершина каждого холма имеет нулевой уклон — вам нужно сравнить высоту на каждом, чтобы увидеть, какой из них выше. Теперь, когда мы это прояснили, наслаждайтесь своим печеньем.
Математика
Мы знаем определение градиента: производная для каждой переменной функции. Символ градиента обычно представляет собой перевернутую дельту и называется «дельта» (это имеет смысл — дельта указывает на изменение одной переменной, а градиент — это изменение для всех переменных). Возьмем нашу группу из 3 производных выше
Обратите внимание, что x-компонента градиента является частной производной по $x$ (аналогично для $y$ и $z$).
Для функции с одной переменной вообще нет $y$-компоненты, поэтому градиент сводится к производной.Также обратите внимание на то, что градиент является функцией: он принимает 3 координаты в качестве положения и возвращает 3 координаты в качестве направления.
Если мы хотим найти направление движения, чтобы увеличить нашу функцию быстрее всего, мы подставляем наши текущие координаты (например, 3,4,5) в градиент и получаем:
Итак, это новый вектор (1, 8, 75) будет направлением, в котором мы будем двигаться, чтобы увеличить значение нашей функции. В этом случае наша x-компонента не сильно увеличивает значение функции: частная производная всегда равна 1,9.0005
Очевидным применением градиента является нахождение максимума/минимума функций с несколькими переменными. Другое менее очевидное, но родственное приложение — поиск максимума функции с ограничениями: функции, значения x и y которой должны лежать в определенной области, т. е. найти максимум всех точек, лежащих вдоль окружности.
Решение этой проблемы требует моего мальчика Лагранжа, но всему свое время, всему свое время: пока наслаждайтесь градиентом.Ключевым моментом является понимание градиента как обобщения производной. Градиент указывает в направлении наибольшего увеличения; продолжайте следовать градиенту, и вы достигнете локального максимума.
Вопросы
Почему градиент перпендикулярен линиям с одинаковым потенциалом?
Линии равного потенциала («эквипотенциальные») — это точки с одинаковой энергией (или значением для $F(x,y,z)$). В простейшем случае круг представляет все элементы на одинаковом расстоянии от центра.
Градиент указывает направление наибольшего изменения. Если бы у него был какой-либо компонент вдоль линии эквипотенциала, то эта энергия была бы потрачена впустую (поскольку он приближается к точке с той же энергией). Когда градиент перпендикулярен эквипотенциальным точкам, он движется как можно дальше от них (в этой статье объясняется, почему градиент является направлением наибольшего увеличения — это направление, которое максимизирует различные компромиссы внутри круга).
Другие сообщения из этой серии
- Векторное исчисление: понимание скалярного произведения
- Векторное исчисление: понимание векторного произведения
- Векторное исчисление: понимание потока
- Векторное исчисление: понимание дивергенции
- Векторное исчисление: понимание циркуляции и завитка
- Векторное исчисление: понимание градиента
- Понимание пифагорейского расстояния и градиента
17Исчисление производных по направлению 93\) в направлении \(\vec{v}=\hat{i}+\hat{j}\) в точке \((-2,1)\)
Решение
Томас Вернау — 4350 видеорешениевидео Томаса Вернау
Войдите, чтобы оценить эту практическую задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
- 9y + \cos(xy) \) в точке \( (2,0) \) в направлении \( \vec{v} = 3\hat{i} — 4\hat{j} \).
Решение
DR Chris Tisdell — 799 ВидеореалВидео DR Chris Tisdell
В журнал.
- 92/2 \) (а) возрастает быстрее всего; б) уменьшается наиболее быстро; (C) имеет нулевое изменение
- 92 \) в точке \( (2,1) \) в направлении \(\шляпа{i}+\шляпа{j}\).
Решение
Krista King Math — 807 Видео решенийвидео от Krista King Math
.
- 92 \) в \( (1,1) \).
Решение
Krista King Math — 808 Видео решенийВидео Криста Кинг Математи.
- 94 \) в точке \( (2,1) \) в направлении, заданном углом \( \theta = \pi/4 \).
- 92 — 4x + 3y \) в направлении \( 3\hat{i} — 4\hat{j} \)
Решение
Томас Вернау — 4337 видео решениевидео Томас Вернау
Войдите, чтобы оценить эту учебную задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
- 9y + 2x\) и находятся в точке, где \(x=1\) и \(y=0\), и хотят двигаться в направлении, где \(\theta = 7\pi / 6\)
- 92 -4х+3у\), решить эти задачи.
а) Если он находится в точке \((1,1,0)\) и хочет двигаться к точке \((1,0,-4)\), найдите крутизну его полета.
б) Если он прибывает в точку \((1,0,-4)\) и хочет вернуться в начало координат, найдите крутизну полета в этот момент.
в) Если муха прибывает в начало координат и хочет двигаться вверх с максимально возможной скоростью, то в каком направлении она должна двигаться и какова будет крутизна?Постановка задачи 92 -4х+3у\), решить эти задачи.
а) Если он находится в точке \((1,1,0)\) и хочет двигаться к точке \((1,0,-4)\), найдите крутизну его полета.
б) Если он прибывает в точку \((1,0,-4)\) и хочет вернуться в начало координат, найдите крутизну полета в этот момент.
в) Если муха прибывает в начало координат и хочет двигаться вверх с максимально возможной скоростью, то в каком направлении она должна двигаться и какова будет крутизна?Раствор
Thomas Wernau — 4339 видео решениевидео от Thomas Wernau
Войдите, чтобы оценить эту учебную задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
2 \) найдите следующие
а. Найдите полную точку, когда \(x=1\) и \(y=0\).
б. Найдите частные производные от \(f\)
c. Найдите функцию градиента \( \nabla f(x,y)\)
d. Найдите уравнение для производной по направлению в направлении вектора \(\langle\cos\theta, \sin\theta\rangle\) в точке, найденной в части a.
эл. Если частица находится в точке а и движется к точке \((1,3,1)\), чему будет равна \(D_u f(x,y)\)?
ф. В каком направлении должна двигаться частица, если она хочет, чтобы \( D_uf(x,y) \) было наименьшим возможным значением? 92\) найти следующие
а. Найдите полную точку, когда \(x=1\) и \(y=0\).
б. Найдите частные производные от \(f\)
c. Найдите функцию градиента \( \nabla f(x,y)\)
d. Найдите уравнение для производной по направлению в направлении вектора \(\langle\cos\theta, \sin\theta\rangle\) в точке, найденной в части a.
эл. Если частица находится в точке а и движется к точке \((1,3,1)\), чему будет равна \(D_u f(x,y)\)?
ф.
Подсказка
Чтобы получить единичный вектор в направлении движения из угла, используйте \( \vec{u} = \langle \cos \theta, \sin \theta \rangle \)
Решение
Томас Вернау — 4352 решение для видеовидео от Thomas Wernau
Войдите, чтобы оценить эту практическую задачу и увидеть ее текущий рейтинг. 92\) и находятся в точке, где \(x=1\) и \(y=0\), и мы хотим двигаться к началу координат.
Решение
Thomas Wernau — 4353 Видео решенийВидео Томаса Вернау
в журнале в Замечание.
- 94 — у\).
б. Найдите \(\nabla f(1,0)\) из той же функции.
с. Запишите производную по направлению \(D_uf(x,y)\) как скалярное произведение функции в \((1,0)\) и в направлении вектора \(\langle -5, 12 \rangle\) .Решение
Thomas Wernau — 4354 Видео решенийВидео Томаса Вернау
в журнале в Замечании. 9{xy} + y \) в направлении \(-\hat{i} + \hat{j}\sqrt{3}\)
Запишите соответствующие обозначения для производной по направлению.Решение
Thomas Wernau — 4338 ВидеоВидео Томаса Вернау
в журнале в Замечании.
- 92 -4х+3у\), решить эти задачи.
Решение
PatrickJMT — 810 видео решениевидео от PatrickJMT
90 90 Вычислить значение максимальной скорости изменения функции \( f(x,y) = \sin(xy) \) в точке \( (1,0) \).
Постановка задачи
Вычислить значение максимальной скорости изменения функции \( f(x,y) = \sin(xy) \) в точке \( (1,0) \).
Решение
Криста Кинг Математика — 1522 видео решениевидео Криста Кинг Математика
Войдите, чтобы оценить эту учебную задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
Вычислить направление максимальной скорости изменения скалярного поля \( \phi(x,y,z) = -2xy + x\ln(y+z) \) при \( P(1,3,- 2) \) и максимальное значение производной по направлению при Р .
Постановка задачи
Вычислить направление максимальной скорости изменения скалярного поля \( \phi(x,y,z) = -2xy + x\ln(y+z) \) при \( P(1 ,3,-2) \) и максимальное значение производной по направлению при P .
Решение
DR Chris Tisdell — 1776 ВидеореалВидео DR Chris Tisdell
В журнал. 92 + 2x \) в точке \((1,1)\) в направлении вектора \( (1/2)\hat{i} — (\sqrt{3}/2)\hat{j} \)
Решение
Thomas Wernau — 4335 Видео РешениеВидео Томаса Вернау
в журнале.
- 9{xy}+y \) в \((2,0)\) в направлении \(-\hat{i} + \hat{j}\sqrt{3}\)
Решение
Томас Вернау — 4336 видео решениевидео от Thomas Wernau
Войдите, чтобы оценить эту практическую задачу и увидеть ее текущий рейтинг.
- 92 — 4x + 3y \) в направлении \( 3\hat{i} — 4\hat{j} \)
- 92 \) в \( (1,1) \).
Решение
DR Chris Tisdell — 800 ВидеореалВидео DR Chris Tisdell
9 - 92-z \) в точке \( (1,1,0) \) в направлении \( \vec{v} = 2\hat{i} — 3\hat{j} + 6\hat{k} \).
Решение
DR Chris Tisdell — 801 ВидеореалВидео DR Chris Tisdell
в журнале.
- 94/4 \) в направлении \(\hat{i} + \hat{j}\) в точке \( (1,2) \).
Решение
DR Chris Tisdell — 803 ВидеореалВидео DR Chris Tisdell
в журнале.
- 92 \) в точке \( (2,1) \) в направлении \(\шляпа{i}+\шляпа{j}\).
Например, частная производная по x функции также может быть записана как производная по направлению этой функции по направлению x.
Но это того стоило: мы очень хотели эти часы.
Помните, что градиент , а не дает нам координаты, куда идти; это дает нам направление , чтобы двигаться , чтобы увеличить нашу температуру.
Если вы помните, обычная производная будет указывать на местных минимумов и максимумов, а абсолютные максимумы/минимумы должны быть проверены из этих местоположений-кандидатов.
Для функции с одной переменной вообще нет $y$-компоненты, поэтому градиент сводится к производной.
Решение этой проблемы требует моего мальчика Лагранжа, но всему свое время, всему свое время: пока наслаждайтесь градиентом.
2 \) найдите следующие 