Найти производную функции заданной неявно: Дифференцирование функции, заданной неявно

2 = 3ху + 3 $$ Дело в том: $$ Р(1,−1) $$ и направление (вектор): $$ и = [1, 1] $$ Не могли бы вы дать мне формулу для этого? Я также знаю, как вычислять производные неявной функции.

• исчисление
• производные
• частная производная
• неявное дифференцирование

$\endgroup$

$\begingroup$

Неявное дифференцирование (официально Теорема о неявной функции, если вы перепишете уравнение как $F(x,y,z)=0$) позволяет вычислить градиент $z=g(x,y)$, а затем вы используете свой обычный скалярный продукт.

$\endgroup$

8

$\begingroup$

LOL, этот парень вообще не поможет вам, лучше, если вы будете думать об этом так:

(dz/dx) = -(Fx/Fz); это стандартная формула

, которая является отрицательной раз производная f по x, деленная на производную f по z.

так и должно быть,

(dz/dx) = -(z+3y)/(x+y*2z)

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но никогда не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.

Неявное дифференцирование — дифференциальное исчисление

Цели обучения

• Найти производную сложной функции с помощью неявного дифференцирования.
• Использовать неявное дифференцирование для определения уравнения касательной.

Мы уже изучили, как находить уравнения касательных прямых к функциям и скорость изменения функции в конкретной точке. Во всех этих случаях мы имели явное уравнение для функции и явно дифференцировали эти функции. Предположим вместо этого, что мы хотим определить уравнение касательной к произвольной кривой или скорость изменения произвольной кривой в точке. В этом разделе мы решаем эти проблемы, находя производные функций, которые неявно определяются в терминах .

В большинстве дискуссий по математике, если зависимая переменная является функцией независимой переменной , мы выражаем через . Если это так, мы говорим, что это явная функция . Например, когда мы пишем уравнение , мы определяем явно в терминах . С другой стороны, если отношение между функцией и переменной выражается уравнением, где не выражается полностью через , мы говорим, что уравнение определяет неявно с точки зрения . Например, уравнение неявно определяет функцию.

Неявное дифференцирование позволяет нам найти наклоны касательных к кривым, которые явно не являются функциями (они не проходят тест вертикальной прямой). Мы используем идею о том, что части являются функциями, которые удовлетворяют данному уравнению, но на самом деле не являются функцией от .

В общем, уравнение неявно определяет функцию, если функция удовлетворяет этому уравнению. Уравнение может неявно определять множество различных функций. Например, функции

, , и , показанные на (рис.), являются лишь тремя из многих функций, неявно определенных уравнением .

Рисунок 1. Уравнение неявно определяет многие функции.

Если мы хотим найти наклон линии, касательной к графику в точке , мы можем вычислить производную функции в точке . С другой стороны, если нам нужен наклон касательной в точке , мы могли бы использовать производную от . Однако не всегда легко решить функцию, неявно заданную уравнением. К счастью, техника неявного дифференцирования позволяет нам найти производную неявно определенной функции без явного решения этой функции. Процесс поиска с использованием неявного дифференцирования описан в следующей стратегии решения задач.

Стратегия решения задач: неявное дифференцирование

Чтобы выполнить неявное дифференцирование уравнения, которое неявно определяет функцию через переменную , выполните следующие действия:

1. Найдите производную от обеих частей уравнения. Имейте в виду, что это функция . Следовательно, поскольку мы должны использовать цепное правило для дифференциации по отношению к .
2. Перепишите уравнение так, чтобы все члены, содержащие его, находились слева, а все члены, не содержащие, — справа.
3. Фактор слева.
4. Решите, разделив обе части уравнения на соответствующее алгебраическое выражение.

Использование неявного дифференцирования

Предполагая, что определяется неявно уравнением, найти .

Решение

Следуйте шагам стратегии решения проблем.

Использование неявного дифференцирования и правила произведения

Предполагая, что это неявно определено уравнением, найти .

Решение

Использование неявного дифференцирования для нахождения второй производной

Найти, если .

Решение

На (рис.) мы показали, что . Мы можем взять производную от обеих частей этого уравнения, чтобы найти .

На данный момент мы нашли выражение для . Если мы выберем, мы можем еще больше упростить выражение, вспомнив это и сделав эту замену в числителе, чтобы получить .

Найти для определяется неявно уравнением .

Решение

Теперь, когда мы познакомились с техникой неявного дифференцирования, мы можем применить ее к задаче нахождения уравнений касательных линий к кривым, описываемым уравнениями.

Нахождение касательной к окружности

Найдите уравнение касательной к кривой в точке .

Решение

Хотя мы могли бы найти это уравнение без использования неявного дифференцирования, использование этого метода значительно упрощает задачу. На (рис.) мы нашли .

Наклон касательной находится путем подстановки в это выражение. Следовательно, наклон касательной равен .

Используя точку и наклон в уравнении точка-наклон линии, мы затем решаем для, чтобы получить уравнение ((Рисунок)).

Рис. 2. Прямая касается в точке .

Нахождение уравнения касательной к кривой

Найдите уравнение касательной к графику в точке ((Рисунок)). Эта кривая известна как лист (или лист) Декарта.

Рис. 3. Нахождение касательной к листу Декарта в точке .

Решение

Начните с нахождения

Затем подставьте в , чтобы найти наклон касательной:

.

Наконец, подставьте в уравнение точки-наклона линии и решите, чтобы получить

.

Применение неявного дифференцирования

В простой видеоигре ракета движется по эллиптической орбите, траектория которой описывается уравнением . Ракета может запускать ракеты вдоль линий, касательных к ее траектории. Цель игры состоит в том, чтобы уничтожить приближающийся астероид, движущийся вдоль положительной оси в направлении . Если ракета выпустит ракету, когда она находится в точке , где она пересечет ось?

Решение

Чтобы решить эту задачу, мы должны определить, где линия, касательная к графику

, пересекает -ось. Начните с неявного поиска.

Дифференцируя, имеем

.

Решая для , имеем

.

Наклон касательной равен . Уравнение касательной есть. Чтобы определить, где линия пересекает -ось, решите . Решение есть. Ракета пересекает ось в точке .

Найдите уравнение касательной к гиперболе в точке .

Раствор

Ключевые понятия

• Мы используем неявное дифференцирование для нахождения производных неявно определенных функций (функций, определяемых уравнениями).
• Используя неявное дифференцирование, мы можем найти уравнение касательной к графику кривой.

В следующих упражнениях используйте неявное дифференцирование, чтобы найти .

1. 

2. 

Solution

3. 

4. 

Solution

5. 

6. 

Solution

7.

8.

Решение

9.

10.

Show Show Dolid данного уравнения в указанной точке. Используйте калькулятор или компьютерную программу, чтобы построить график функции и касательной.

11. [T]

12. [T]

Раствор

13. [T]

14. [T] 99999292492492492492492492492492492492492492492492492492492492492492492492492499249анг. 15. [T] 

16. [T] 

Решение

17. [T] График листа Декарта приведен на следующем графике уравнения.

1. Найдите уравнение касательной в точке . Нарисуйте касательную линию вместе с листом.
2. Найдите уравнение нормали к касательной в a. в точку.

18.  Для уравнения ,

1. Найдите уравнение нормали к касательной в точке .
2. В какой другой точке нормальная линия в a. пересекают график уравнения?

Раствор

а.
б.

19.  Найдите на графике все точки, в которых касательная вертикальна.

20.  Для уравнения ,

1. Найдите точку пересечения.
2. Найдите наклон касательной (линий) в точках пересечения.
3. Что означает значение(я) в b. указать о касательной линии (линиях)?

Раствор

а.
б. Наклон -2 на обоих пересечениях
c. Они параллельны, так как наклон на обеих точках одинаков.

21.  Найдите уравнение касательной к графику уравнения в точке .

22.  Найдите уравнение касательной к графику уравнения в точке .

Решение

23.  Найти и для .

24. [T] Количество сотовых телефонов, произведенных, когда доллары тратятся на труд и доллары тратятся на капитал, вложенный производителем, можно смоделировать уравнением .

1. Найдите и оцените в точке.
2. Интерпретировать результат a.

Раствор

а. -0,5926
б. Когда 81 доллар тратится на труд, а 16 долларов тратится на капитал, сумма, потраченная на капитал, уменьшается на 0,5926 доллара на 1 доллар, потраченный на труд.

25. [T] Количество автомобилей, произведенных, когда доллары тратятся на труд и доллары тратятся на капитал, вложенный производителем, может быть смоделировано уравнением .