Найти производную указанного порядка: Понятие и вычисление производной n-го порядка — урок. Алгебра, 10 класс.

Содержание

Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница : Чулан (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Angellok

Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

09.12.2012, 20:29

06/12/12
19

Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

найти .

Расписала по формуле Лейбница:

Нахожу производные высших порядков и нахожу комбинации:

Подставляю в формулу, а дальше не знаю как сократить и представить в двойных факториалах(с ответом не сходится):

arseniiv

Re: Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

09.12.2012, 20:34

Заслуженный участник

27/04/09
28128

И как, по-вашему, выглядит формула Лейбница? Напишите — попробуем поунифицировать вместе.

ИСН

Re: Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

09.12.2012, 20:35

Заслуженный участник

18/05/06
13393
с Территории

Где найти? В нуле или вообще?

AKM

Re: Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

09. 12.2012, 20:38

Заблокирован по собственному желанию

18/05/09
3612

Ну и?
Формулу я посмотрел, забавная. Я бы, наверное, справился с задачкой.

i	А Вам, по Правилам этого раздела, надлежит предъявить свои попытки решения и конкретные трудности. Иначе это смахивает на поиск халявы. Тему в Карантин пока не отправляю.

AKM

Posted automatically

09. 12.2012, 23:02

Заблокирован по собственному желанию

18/05/09
3612

i	Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)» Причина переноса: не указана.

Mitrius_Math

Re: Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

10. 12.2012, 00:05

22/05/09
∞
685

Уже вторая производная равна нулю.

EtCetera

Re: Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

10. 12.2012, 00:11

Заслуженный участник

28/04/09
1933

Mitrius_Math в сообщении #656452 писал(а):

Уже вторая производная равна нулю.

ТС, кажется, в курсе. Он лишь не может сложить два страшных члена с 100-ой и 99-ой производными. А помочь ему в этом может тот факт, что 100-ая производная это производная 99-ой.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 7 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:

24.

Производные высших порядков

Билет 24

Производные высших порядков явно заданной функции

Производная у’=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у»

Итак, у»=(у’)’.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'» (или ƒ'»(х)). Итак, у'»=(y»)’

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:

y⁽ⁿ⁾=(y^(n-1)) .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у^ν или у⁽⁵⁾— производная пятого порядка).

<< Пример 23.1

Найти производную 13-го порядка функции у=sinx.

Решение:

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

В определении функции у=ƒ(х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида у=х³/5-5х+7, значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у=sinx, у=ln(1+х) при любых (допустимых) значениях аргумента?

Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=ƒ(х), ее заменяют многочленом Р_n(х) степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

26.1. Формула Тейлора для многочлена

Пусть функция ƒ(х) есть многочлен Р_n(х) степени n:

ƒ(х)=Р_n(х)=а₀+а₁х+а₂х²+…+а_nхⁿ.

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени n относительно разности х-х₀, где х₀ — произвольное число, т. е. представим Р_n(х) в виде

Р_n(х)=А₀+A₁(x-х₀)+А₂(х-х₀)²+…+А_n(х-х₀)ⁿ (26.1)

Для нахождения коэффициентов А₀, А₁ ,…, А_n продифференцируем n раз равенство (26.1):

Р’_n(х)=А₁+2А₂(х-x₀)+3A₃(x-x₀)²+…+nA_n(x-x₀)^n-1,

Р_n»(х)=2А₂+2•3А₃(х-х₀)+…+n(n-1)А_n(х-х₀)^n-2,

Р_n«‘(х)=2•3А₃+2•3•4А₄(х-х₀)+…+n(n-1)(n-2)А_n(х-х₀)^n-3,

— — — — — — — — — — — — — — — — — —

Р_n⁽ⁿ⁾(х)=n(n-1)( n-2)…2•1А_n

Подставляя х=х₀ в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:

Подставляя найденные значения A₀,A₁,. ..,An в равенство (26.1), получим разложение многочлена n-й степени Р_n(х) по степеням (х-х0):

Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочлена Р_n(х) степени n.

<< Пример 26.1

Разложить многочлен Р(х)=-4х³+3х²-2х+1 по степеням х+1.

Решение: Здесь х₀=-1, Р'(х)=-12х²+6х-2, Р»(х)=-24х+6, Р'»(х)=-24. Поэтому Р(-1)=10, Р'(-1)=-20, Р»(-1)=30, Р'»(-1)=-24. Следовательно,

т. е. -4х³+3х²-2х+1=10-20(х+1)+15(х+1)²-4(х+1)³.

Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1), где f(x) — функция, имеющая при х=а производные всех порядков. R_n — остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0

члены ряда определяются по формуле

Условия применения рядов Тейлора.

1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

Свойства рядов Тейлора.

Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.
Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.

Практическое занятие 13

Главная | Обратная связь

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Найти производные следующих функций.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

168. 169.

13. 14.

15. 16.

17 Найти

18. Найти

19. Найти .

20. Найти

21. Найти

22 23.

24. 25.

26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34

35. 36.

37 . 38.

39. 40.

41. 42.

43 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53 54.

55. 56.

57. 58.

Для функций, заданных параметрически, найти

59. 60.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

69. 70.

71. 72.

Найти в указанных точках.

73. 74.

75. 76.

Найти для следующих функций, заданных неявно.

77. 78.

79. 80.

81. 82.

83. Найти в точке (0;1), если

84. Найти значение в точке х = 1, если

Практическое занятие 14

Найти дифференциалы следующих функций.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. Вычислить приближенно:

а) б) в) г)

д) е) при х = 2,01.

ж) при х = 2,9.

Найти производные второго порядка.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Найти производные указанного порядка от данных функций.

9. 10.

11. 12.

Контрольная работа по теме «Производная и дифференциал»

Вариант 1

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=1.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

Вариант 2

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=1.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой

х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

Вариант 3

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х= .

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=2.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

Вариант 4

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=1.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

Вариант 5

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=0.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

Вариант 6

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=0.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=0.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

Вариант 7

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=1.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

Вариант 8

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=0.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

Вариант 9

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=0.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=0.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

Вариант 10

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=1.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

⇐ Предыдущая123

Производные — Calcworkshop

Узнайте, что такое деривативы и как их найти.

Чтобы найти вторую производную, сначала нужно найти первую производную. Производная натурального логарифма — это производная операнда, умноженная на обратную операнду. Таким образом, для данной функции мы получаем, что первая производная равна

Теперь нам нужно взять производную от первой производной. Чтобы упростить это, мы можем переписать функцию так, чтобы она была . Отсюда мы можем использовать цепное правило для нахождения производной. Сначала умножьте на показатель степени и найдите новый показатель, вычитая старый один за другим. Затем умножьте на производную от (2x-1), а затем упростите. Таким образом, мы получаем

Чтобы найти вторую производную, сначала нужно найти первую производную. Чтобы найти первую производную, нам нужно использовать правило отношения следующим образом. Таким образом, для данной функции мы получаем первую производную
.

Знаете ли вы, что мы можем найти несколько производных одной и той же функции? Производные за пределами первой производной известны как производные высшего порядка. В этой статье мы объясним, как найти высшие производные функции с некоторыми примерами. Во-первых, давайте посмотрим, каковы производные функции более высокого порядка и как мы можем их вычислить.

Если снова продифференцировать эту функцию, получится третья производная f»'(x) .
Если дифференцируется третья производная, f»'(x) , получается четвертая производная, f’ ^v (x) . Этот процесс может продолжаться, и эти результирующие функции называются производные высшего порядка.
Давайте теперь объясним таким образом производные высших порядков. Предположим, есть функция. Если эта функция имеет конечную производную на определенном интервале, то производная функции, обозначаемой через, также является функцией на этом интервале. Мы можем найти вторую производную дифференцируемой функции. Ниже приведены различные обозначения вторых производных:
Теперь, если вторая производная функции дифференцируема далее, то мы можем найти третью производную функции. Обозначение третьей производной функции приведено ниже:
Различные обозначения. означают, что вторая и третья производные могут быть обозначены любым из приведенных выше обозначений. Теперь давайте перейдем к некоторым примерам, в которых мы найдем производные функций более высокого порядка.
Лучшие репетиторы по математике
Поехали
Пример 1
Вычислить 1-ю, 2-ю, 3-ю и 4-ю производные следующей функции: вышеуказанная функция в первую очередь. Чтобы вычислить производную вышеуказанной функции, мы будем использовать несколько производных правил, которые включают сумму и разность, силу и постоянное правило.
Шаг 2. Вторая производная
Теперь мы вычислим вторую производную функции. Для этого мы просто продифференцируем первую производную функции, используя различные правила производных, такие как:
Шаг — 3 Третья производная
Мы вычислим третью производную, продифференцировав вторую производную функции следующим образом:
Шаг 4. Четвертая производная
Теперь найдем производную функции, полученной после вычисления третьей производной следующим образом:
Поскольку производная константы равна 0, то и четвертая производная будет равна 0. Теперь функцию нельзя дифференцировать дальше.
Пример 2
Вычислите 1-ю, 2-ю, 3-ю, 4-ю и 5-ю производные следующей функции:
Шаг 1 — Первая производная
Сначала вычислим первую производную приведенной выше функции. Чтобы вычислить производную вышеуказанной функции, мы будем использовать несколько производных правил, которые включают сумму и разность, силу и постоянное правило.
Шаг 2. Вторая производная
Теперь мы вычислим вторую производную функции. Для этого мы просто продифференцируем первую производную функции, используя различные правила производных, такие как:
Шаг — 3 Третья производная
Мы вычислим третью производную, продифференцировав вторую производную функции следующим образом:
Шаг 4 — Четвертая производная
Теперь найдем производную функции, полученной после вычисления третьей производной , например:
Шаг 5. Пятая производная
Теперь найдем пятую производную функции, например:
Потому что производная константы равна 0, поэтому пятая производная константы 120 будет равна 0. Очевидно, что 0 дальше дифференцировать нельзя, поэтому на этом дифференцирование остановим.
Пример 3
Вычислить 1-ю, 2-ю и 3-ю производные следующей функции:
Первую производную
Вышеприведенную функцию можно записать в виде . Применим правило производного корня к . Согласно правилу производного корня, . Следовательно, первая производная функции будет:
Вторая производная
Теперь найдем вторую производную указанной выше функции, которая получается после дифференцирования исходной функции.
Третья производная
На этом шаге нам нужно вычислить третью производную функции, полученной на последнем шаге.
Так как, может быть записано как , следовательно, мы можем использовать правило степени здесь следующим образом:
=
Шаг 1. Первая производная
Чтобы найти первую производную функции, мы применим здесь правило цепочки производных. Самый простой способ применить его — использовать правило степени производной, а затем умножить на производную внутреннего члена. Обратите внимание, что производная от .
Шаг 2. Вторая производная
Теперь мы вычислим вторую производную функции. Мы можем записать эту функцию как:
Теперь мы можем легко применить правило произведения производных, чтобы найти вторую производную функции. Правило производного произведения гласит, что .
Производная is и производная is . Подставим эти производные в формулу произведения производных:
После упрощения получим следующую вторую производную функции:
Пример 5
Найдите 1-ю, 2-ю и 3-ю производные функции .
No related posts.