Найти производную указанного порядка: Понятие и вычисление производной n-го порядка — урок. Алгебра, 10 класс.

alexxlab / / Разное

Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница : Чулан (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.


 
Angellok 

 Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

09.12.2012, 20:29 

06/12/12
19

Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

найти .

Расписала по формуле Лейбница:

Нахожу производные высших порядков и нахожу комбинации:

Подставляю в формулу, а дальше не знаю как сократить и представить в двойных факториалах(с ответом не сходится):


   

                  

arseniiv 

 Re: Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

09.12.2012, 20:34 

Заслуженный участник

27/04/09
28128

И как, по-вашему, выглядит формула Лейбница? Напишите — попробуем поунифицировать вместе.


   

                  

ИСН 

 Re: Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

09.12.2012, 20:35 

Заслуженный участник

18/05/06
13393
с Территории

Где найти? В нуле или вообще?


   

                  

AKM
 

 Re: Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

09. 12.2012, 20:38 

Заблокирован по собственному желанию

18/05/09
3612

Ну и?
Формулу я посмотрел, забавная. Я бы, наверное, справился с задачкой.

 i А Вам, по Правилам этого раздела, надлежит предъявить свои попытки решения и конкретные трудности. Иначе это смахивает на поиск халявы.
Тему в Карантин пока не отправляю.


   

                  

AKM 

 Posted automatically

09. 12.2012, 23:02 

Заблокирован по собственному желанию

18/05/09
3612

 i Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.


   

                  

Mitrius_Math 

 Re: Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

10. 12.2012, 00:05 

22/05/09
∞
685

Уже вторая производная равна нулю.


   

                  

EtCetera 

 Re: Найти производную указанного порядка, через формулу Лейбница

10. 12.2012, 00:11 

Заслуженный участник

28/04/09
1933

Mitrius_Math в сообщении #656452 писал(а):

Уже вторая производная равна нулю.

ТС, кажется, в курсе. Он лишь не может сложить два страшных члена с 100-ой и 99-ой производными. А помочь ему в этом может тот факт, что 100-ая производная это производная 99-ой.


   

                  

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию 
  Страница 1 из 1
 [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:

24.

Производные высших порядков

Билет 24

 Производные высших порядков явно заданной функции

Производная у’=ƒ'(х) функции у=ƒ(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка.

Если функция ƒ'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у»

Итак, у»=(у’)’.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'» (или ƒ'»(х)). Итак, у'»=(y»)’

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной  (n-1) порядка:

y(n)=(y(n-1)) .

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (уν или у(5)— производная пятого порядка).

<< Пример 23.1

Найти производную 13-го порядка функции у=sinx.

Решение:

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

В определении функции у=ƒ(х) не говорится о том, при помощи каких средств находятся значения у по значениям х. В тех случаях, когда функция является формулой вида у=х3/5-5х+7, значения функции найти легко с помощью четырех арифметических действий. Но как найти значения, например, функций у=sinx, у=ln(1+х) при любых (допустимых) значениях аргумента?

Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=ƒ(х), ее заменяют многочленом Рn(х) степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

26.1. Формула Тейлора для многочлена

Пусть функция ƒ(х) есть многочлен Рn(х) степени n:

ƒ(х)=Рn(х)=а0+а1х+а2х2+…+аnхn.

Преобразуем этот многочлен также в многочлен степени n относительно разности х-х0, где х0 — произвольное число, т. е. представим Рn(х) в виде

Рn(х)=А0+A1(x-х0)+А2(х-х0)2+…+Аn(х-х0)n        (26.1)

Для нахождения коэффициентов А0, А1 ,…, Аn продифференцируем n раз равенство (26.1):

Р’n(х)=А1+2А2(х-x0)+3A3(x-x0)2+…+nAn(x-x0)n-1,

Рn»(х)=2А2+2•3А3(х-х0)+…+n(n-1)Аn(х-х0)n-2,        

Рn«‘(х)=2•3А3+2•3•4А4(х-х0)+…+n(n-1)(n-2)Аn(х-х0)n-3,

— — — — — — — — — — — — — — — — — —

Рn(n)(х)=n(n-1)( n-2)…2•1Аn

Подставляя х=х0 в полученные равенства и равенство (26.1), имеем:

Подставляя найденные значения A0,A1,. ..,An в равенство (26.1), получим разложение многочлена n-й степени Рn(х) по степеням (х-х0):

Формула (26.2) называется формулой Тейлора для многочлена Рn(х) степени n.

<< Пример 26.1

 Разложить многочлен Р(х)=-4х3+3х2-2х+1 по степеням х+1.

Решение: Здесь х0=-1, Р'(х)=-12х2+6х-2, Р»(х)=-24х+6, Р'»(х)=-24. Поэтому Р(-1)=10, Р'(-1)=-20, Р»(-1)=30, Р'»(-1)=-24. Следовательно,

т. е.  -4х3+3х2-2х+1=10-20(х+1)+15(х+1)2-4(х+1)3.

Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1), где f(x) — функция, имеющая при х=а производные всех порядков. Rn — остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением 

2)

k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0 

члены ряда определяются по формуле

Условия применения рядов Тейлора.

1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

Свойства рядов Тейлора.

  1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.

  2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение — научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от  linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.

Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.

Практическое занятие 13

Главная | Обратная связь

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3

Найти производные следующих функций.

 

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

168. 169.

13. 14.

15. 16.

17 Найти

18. Найти

19. Найти .

20. Найти

21. Найти

22 23.

24. 25.

26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34

35. 36.

37 . 38.

39. 40.

41. 42.

43 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.

51. 52.

53 54.

55. 56.

57. 58.

 

Для функций, заданных параметрически, найти

 

59. 60.

61. 62.

63. 64.

65. 66.

67. 68.

69. 70.

71. 72.

 

 

Найти в указанных точках.

73. 74.

75. 76.

 

Найти для следующих функций, заданных неявно.

 

77. 78.

79. 80.

81. 82.

 

83. Найти в точке (0;1), если

84. Найти значение в точке х = 1, если

Практическое занятие 14

Найти дифференциалы следующих функций.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. Вычислить приближенно:

а) б) в) г)

д) е) при х = 2,01.

ж) при х = 2,9.

 

Найти производные второго порядка.

 

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

Найти производные указанного порядка от данных функций.

9. 10.

11. 12.

Контрольная работа по теме «Производная и дифференциал»

Вариант 1

 

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=1.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

Вариант 2

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=1.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой

х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

 

Вариант 3

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х= .

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=2.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

Вариант 4

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=1.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

Вариант 5

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=0.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

 

Вариант 6

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=0.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=0.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

 

Вариант 7

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=1.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

 

Вариант 8

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=0.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

 

Вариант 9

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=0.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=0.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

 

Вариант 10

Найти производные:

1. 2.

3. 4.

5. Найти частное значение производной от функции при х=1.

6. Написать уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х=1.

7. Найти дифференциал функции

8. Найти вторую производную от функции

 

⇐ Предыдущая123

©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.

Производные — Calcworkshop

Узнайте, что такое деривативы и как их найти.