Онлайн калькуляторы векторов
Данный раздел содержит калькуляторы, позволяющие выполнять все основные действия над векторами. В частности, с помощью данных калькуляторов можно вычислять скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, раскладывать вектора по базису, проверять их ортогональность, компланарность и др. Всего представлено 19 калькуляторов и для каждого предусмотрено подробное решение соответствующей задачи.
Сложение векторов Калькулятор позволяет складывать вектора, заданные в координатной форме.
Разность векторов
Калькулятор позволяет вычитать вектора, заданные в координатной форме.
Умножение вектора на скаляр Калькулятор находит произведение вектора на скаляр.
Скалярное произведение векторов Калькулятор позволяет найти скалярное произведение двух векторов.
Векторное произведение векторов Калькулятор позволяет найти векторное произведение двух векторов.
Смешанное произведение векторов Калькулятор находит смешанное произведение трех векторов.
Модуль (длина) вектора
Калькулятор находит модуль (длину) вектора с описанием подробного решения на русском языке.
Угол между векторами Калькулятор позволяет найти угол между векторами. Подробное решение также имеется.
Направляющие косинусы вектора Калькулятор позволяет найти направляющие косинусы вектора с подробным решением на русском языке.
Проекция вектора Калькулятор вычисляет проекцию вектора на ось или на другой вектор.
Площадь треугольника, построенного на векторах
Площадь параллелограмма, построенного на векторах
Калькулятор позволяет вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах с описанием подробного решения на русском языке.
Объём параллелепипеда, построенного на векторах Калькулятор позволяет найти объём параллелепипеда, который построен на трёх векторах.
Объём треугольной пирамиды (тетраэдра), построенного на векторах
Калькулятор находит объём тетраэдра, построенного на трёх векторах.Проверить ортогональность векторов Калькулятор позволяет проверить ортогональность векторов с описанием подробного решения на русском языке.
Проверить коллинеарность векторов Калькулятор позволяет проверить коллинеарность двух векторов.
Проверить компланарность векторов
Калькулятор предназначен для проверки компланарности трёх векторов.
Проверить образует ли система векторов базис Калькулятор позволяет проверить образует ли система векторов базис.
Разложить вектор по базису Калькулятор позволяет разложить вектор по базису с описанием подробного решения на русском языке.
Найти скалярное произведение векторов — онлайн калькулятор
Чтобы найти скалярное произведение векторов онлайн, необходимо:
- Указать размерность векторов (векторы на плоскости или в пространстве).
- Определиться с формой задания векторов (они могут быть заданы координатами либо точками).
- Задать значения векторов в соответствующих полях.
- Нажать «рассчитать».
Как найти скалярное произведение двух векторов с помощью онлайн-калькулятора
Рассмотрим простой пример, наглядно демонстрирующий нахождение скалярного произведения двух векторов с помощью онлайн-калькулятора.
- Определяем размерность векторов. Онлайн-калькулятор позволяет находить скалярное произведение как для двумерных векторов на плоскости, так и для трехмерных векторов в пространстве.
Выберем размерность 2, что соответствует векторам на плоскости.
- Далее следует выбрать форму представления обоих векторов. Их можно задать координатами, либо точками.
Для вектора a выберем координаты, а для вектора b – точки. - Теперь в поля ниже, в соответствии с выбранной формой представления вектора, нужно вписать соответствующие значения, непосредственно задающие его. Для вектора a:
Для вектора b:Заполним поля, задав произвольные векторы, и нажмем «Рассчитать»:
После этого калькулятор предоставит ответ и решение с пояснениями и промежуточными выкладками:
Материалы, которые помогут вам лучше разобраться в теме:
- Векторы на плоскости и в пространстве — основные определения
- Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение
- Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)
- Нахождение координат вектора через координаты точек
- Векторное произведение — определения, свойства, формулы, примеры и решения
- Операции над векторами в прямоугольной системе координат
- Смешанное произведение векторов, его свойства, примеры и решения
- Скалярное произведение векторов: свойства, примеры вычисления, физический смысл
Ответ:
Решение
Ответ:
list» :key=»`error-${eIdx}`» v-html=»e»/>Похожие калькуляторы:
- Длина вектора. Модуль вектора
- Векторное произведение векторов
- Умножение вектора на число
- Угол между векторами
- Смешанное произведение векторов
- Сложение и вычитание двух векторов
- Определение вектора по двум точкам
- Разложение вектора по базису
- Проверить являются ли вектора базисом
- Ортогональность векторов
- Компланарность векторов
- Коллинеарность векторов
- Проекция вектора на вектор
- Площадь треугольника, построенного на векторах
- Площадь параллелограмма, построенного на векторах
Скалярное произведение векторов онлайн
Чтобы найти скалярное произведение векторов не обязательно помнить соответствующую формулу и иметь под рукой бумагу и ручку.
Даже если вы забыли нужную формулу или не располагаете временем для проведения расчетов, онлайн-калькулятор поможет найти скалярное произведение векторов быстро и без ошибок.
Программа выдаст не только ответ, но и подробно пояснит ход решения, а вы сможете освежить свои знания или проверить правильность своих расчетов. Данный сервис будет полезен школьникам и студентам в самостоятельной подготовке, преподавателям и просто любителям математики.
Понравился калькулятор? Поделись с друзьями!
Калькулятор перекрестного произведения (вектор)
Вы ищете онлайн-калькулятор , который быстро вычисляет и отображает результаты перекрестного произведения за доли секунды? Тогда наш бесплатный калькулятор точно поможет вам найти векторное произведение двух векторов.
ВЕКТОР X ВЕКТОР Y Решение:| я | и | к |
|---|---|---|
| x1 | у1 | z1 |
| x2 | у2 | z2 |
| у1 | z1 |
| у2 | z2 |
| x1 | z1 |
| x2 | z2 |
| x1 | у1 |
| x2 | у2 |
при расширении x * y = i (y1.
z2 – z1.y2) — j (x1.z2 – z1.x2) + k (x1.y2 – y1.x2)
Калькулятор векторного векторного произведения довольно прост в использовании. Чтобы узнать векторное произведение, выполните следующие действия:
- Шаг 2: Нажмите кнопку «Получить расчет» , чтобы получить значение перекрестного произведения.
- Шаг 3 : Наконец, вы получите значение векторного произведения двух векторов вместе с подробным пошаговым решением.
Шаг 1 : Введите заданные коэффициенты векторов X и Y в поля ввода.
Что еще? Вы можете использовать его для академических или личных целей, что обычно занимает довольно много времени при выполнении вручную.
Прочтите эту статью, чтобы лучше понять, как пользоваться калькулятором.
Что такое ПЕРЕКРЕСТНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ?
Произведение между двумя векторами, a и b, называется «Перекрестное произведение ».
Оно может быть выражено только в трехмерном пространстве, а не в двухмерном. Он представлен как « a ⨯ b » (крестик b).
Результат двух векторов обозначается как « c », который перпендикулярен обоим векторам, a и b , где θ — угол между двумя векторами. Его направление задается правилом правой руки , а величина определяется правилом 9.0167 площадь параллелограмма.
ФОРМУЛА ПЕРЕКРЕСТНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
а ⨯ б = |а| |б| sin (θ) n
- | а | и | б | — длина двух векторов.
- θ это угол между двумя векторами a и b (в диапазоне от 0° до 180°).
- n — единичный вектор, перпендикулярный обоим векторам a и б.
Если векторы a и b параллельны, то их векторное произведение равно нулю .
Направление вектора c можно просто узнать по правилу правой руки, где-
Указательный палец должен быть в направлении а.
Средний палец должен быть в направлении b.
Формула перекрестного произведения немного сложнее, чем обычные формулы. Требуется немного больше концентрации и открытый, ясный ум. Сосредоточение внимания на основах поможет вам лучше понять концепцию.
Мы можем найти направление единичного вектора, принимая во внимание правило правой руки для перекрестного произведения . Чтобы определить правильное перекрестное произведение, у нас есть правило правой руки.
Чтобы воспользоваться этим правилом, вы держите правую руку вверх, затем поднимаете указательный палец и направляетесь к первому вектору, а теперь указываете средним пальцем в направлении второго вектора. При этом большой палец правой руки будет показывать направление единичного вектора.
Решенный пример перекрестного произведения
Два вектора представлены как:
Найдите векторное произведение.
Решение:
Дано –
Представление двух приведенных выше векторов с использованием метода матрицы перекрестного произведения дается следующим образом: –
При расширении,
больше проблем с перекрестным продуктом.
Что такое вектор?
Это измерение одной точки в пространстве относительно другой точки в пространстве . Он имеет две составляющие – величину и направление. Векторы помогают узнать положение, смещение, скорость и ускорение объекта.
Величина — это значение длины вектора. Он обозначается ‘||a||.’
Направление – это угол поворота вектора относительно востока, запада, севера и юга. Обозначается ‘ → ’ , у которого два конца: хвост и головка . Направление стрелки зависит от вектора, т.е. вперед, назад, вверх или вниз (обычно только вперед и назад).
Типы векторов
Существует два типа векторов:
1. Параллельные векторы
2. Перпендикулярные векторы
1. Параллельные векторы:
Два вектора a и b параллельны , когда их скалярные кратные равны нулю.
a = k b , где «k» — константа, которая означает, что она не равна нулю.
Пусть a = (ax , ay) и b = (bx , by) a и b параллельны тогда и только тогда
если
а = к б (ах, ау) = к (Ьх, бай) = (ках, кбай)
2. Перпендикулярные векторы:
Два вектора, a и b, перпендикулярны , когда их скалярные произведения равны нулю .
a = k b , где «k» — константа, которая означает, что она не равна нулю.
Пусть a = (ax , ay) и b = (bx , by) a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда
и . б = 0
(топор , ай). (bx, by) = ax bx + ay по
Виды продукции
Нужно знать произведение двух векторов, чтобы найти, какой из них перпендикулярен обоим векторам.
Существует два способа вычисления произведения двух векторов:
- 1. Скалярное произведение
- 2. Перекрестное произведение
- 1. Скалярный продукт (также называемый скалярным произведением):
Он дает уровень, на котором два вектора указывают в одном направлении.
Обозначается 9 0151 а . б = ||а|| ||б|| cos (θ)
Где a и b – два вектора
, а θ – угол между двумя векторами, 5 b a и 1
- 2. Перекрестное произведение (также называемое векторным произведением):
Это операция между двумя векторами.
Он представлен a ⨯ b = ||a|| ||b||sin (θ)n
Где, a и b — два вектора
и θ — это угол между двумя векторами, a, и b.
- 1. Число определяется скалярным произведением, а вектор определяется перекрестным произведением.
- 2. В любом количестве измерений можно использовать скалярные произведения, но перекрестное произведение только для трех измерений.
- 3. Результатом скалярного произведения является скалярная величина, а результатом перекрестного произведения является векторная величина.
4. Сходство направлений двух векторов измеряется скалярным произведением, тогда как различие направлений двух векторов измеряется перекрестным произведением.Также проверьте это: Разница между перекрестным произведением и скалярным произведением
ОБОЗНАЧЕНИЕ КООРДИН: СТАНДАРТНЫЙ МЕТОД
Рассмотрим два вектора A и B , где
A = a i + b j + c k
B = x i + y j + z k
единичный вектор по оси Y
K является единичным вектором по оси z
Мы знаем, что отношения между i,j, и k, , которые называются равенствами, следующие: к и j × i = – k
j × k = i и k × j = – k 1 90 я = я и я × k = – j
Примечание.
Из-за антикоммутативности свойства (см. ниже) и отсутствия линейной независимости (линейной комбинации не существует), мы можем сказать, что –
i × я = j × j = k × k = 0
Итак,
A × B = (a i + b j 5x + 1 c 901) 151 я + у j + z k )
= ax( i × i ) + ay( i × j ) + 51 × i az( i 52 ) + bx( j × i ) + by( j × j ) + bz( j × k ) + cx( k × i ) + cy( k × j ) + cz( k × k )
Используя приведенные выше равенства, (0) + ay( k ) + az(- j ) + bx(- k ) + by(0) + bz( i ) + cx( j ) + cy(- i ) + cz(0)
= (bz – cy) i + (cx – az) j + (ay – bx) k
МАТРИЦА ПЕРЕКРЕСТНЫХ ПРОИЗВЕДИЙ: АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ МЕТОД
Помимо стандартного метода, другой альтернативой, применимой для применения, является метод «матрицы перекрестного произведения ».
Разница между стандартным методом и методом матрицы перекрестного произведения состоит в том, что детерминанты не используются в первом, а во втором .
Рассмотрим два вектора A и B , где
A = a i + b j + c k
B = 1 x
152 + y j + z k
Здесь i — единичный вектор по оси x
j — единичный вектор по оси y -ось
Метод матрицы перекрестного произведения представлен формулой –
Где
A × B = (bz – cy) i – (az – cx) j + (ay – bx) 9015
= (bz – cy) i + (cx – az) j + (ay – bx) k
Они также называются – « Формальные детерминанты » и приведены ниже –
Применение правила кофактора Сарура,
Результат расширения –
Свойства перекрестного произведения
Свойства играют большую роль в поиске перекрестных произведений различных заданных векторов, которые определяют рекомендации в определенных условиях.
Они связывают растворы полученных перекрестных произведений. Есть четыре свойства, из которых два верхних являются наиболее важными. Их —
- 1. Антикоммутативность
Это свойство имеет преимущественно отрицательные знаки.
Представлено как –
Антикоммутативность принимает участие в методе записи координат, поэтому равенства i, j и k становятся -i, -j, и -k, соответственно.
2. Распределительное свойство
Он показывает нам, как найти решение для выражений типа a (b + c). Его также называют «Распределительный закон умножения и деления».
Представлено как –
Обычно, решая выражение вышеприведенного шаблона, мы сначала решаем уравнение в скобках. Тем не менее, когда дело доходит до распределительного свойства , мы должны сначала умножить числа вне скобок на числа внутри него в правильном порядке.
Пример:
В приведенном выше примере мы видим, что 2 умножается на 4 , затем 8 , затем складывается их равнодействующая, и мы получаем ответ 24 .
Если мы воспользуемся упомянутым ранее стандартным методом, мы все равно получим ответ равный 24. Тогда почему мы используем распределительное свойство? Когда речь идет о векторах, часто вместо чисел присутствуют переменные в виде коэффициентов. Когда присутствуют переменные, мы должны использовать свойство дистрибутива , а не стандартный метод; в противном случае мы получим неверные ответы.
- 3. Свойство Якоби
Он назван в честь немецкого математика Карла Густава Якоба Якоби.
Представлено как –
Это свойство контролирует порядок, в котором предполагается вычислять выражения, и положение круглых скобок в выражении множественного порядка. Это необходимо для сохранения единообразия в решении однотипных выражений во всем мире.
Имеет различные формы в зависимости от предмета использования.
- 4. Свойство нулевого вектора
Представлено как –
Имеет три определяющих подсвойства.
Это –
(i) Аддитивная идентичность, означающая a + 0 = a.
(ii) Ноль, умноженный на любой вектор в пространстве, дает это свойство, что означает 0 ( a ) = 0.
(iii) Прямые углы (ортогональные) к каждому вектору в пространстве, что означает a . 0 = 0,
Решенный Пример
Вопрос: Найдите угол между a и b: при условии, что a = (-4, 3,0) и b = (2, 0,0)
Решение:
a= 5
б = 2 ; a × b = (0, 0, -6)
a × b = 6
Итак, 1/sin(6/(5*2)) = 1/sin(⅗) = 36,87°
Часто задаваемые вопросы!
Что такое векторный векторный калькулятор? Калькулятор умножения векторов для нахождения векторного произведения двух векторов.
Калькулятор довольно прост в использовании, нужен ли он вам для академического или личного использования, вы можете просто ввести цифры и нажать клавишу ввода, чтобы найти ответ.
Наш калькулятор также предоставляет подробное пошаговое решение вместе с прямым ответом.
Существует два типа калькуляторов, которые используются соответственно для 2D- и 3D-векторов, т. е. на основе количества измерений векторов, которое может быть два или три. Например, если пользователь использует векторы только с двумя измерениями, то калькулятор перекрестного произведения 2×2 можно использовать для двух векторов. Здесь пользователь заполняет только поля «i» и «j», поэтому оставляет третье поле «k» пустым. Если пользователь использует калькулятор для трехмерного вектора, как в случае калькулятора перекрестного произведения 3×3, то пользователь должен ввести все поля. Здесь есть значения, введенные для всех трех измерений в соответствующих полях i, j и k, которые перемножаются, а затем складываются, чтобы получить общий результат.
Как работает этот калькулятор? Без калькулятора векторного векторного произведения сложно вычислить векторное произведение двух векторов.
Академически или нет, вы, возможно, уже знаете формулу векторного произведения двух векторов. К счастью, этот калькулятор является таким инструментом, который поможет вам понять формулу. Вдобавок, есть целый список практических приемов, таких как правило правой руки, с помощью которого вы можете освоить трюк, как сделать перекрестное произведение двух или трех векторов.
| Формула, определение, использование
Создано Bogna Szyk и Álvaro Díez
Отредактировано Steven Wooding и Jack Bowater
Последнее обновление: 10 февраля 2023 г.
Как вычислить векторное произведение двух векторов Без калькулятора векторного векторного произведения трудно понять, как вычислить векторное произведение.
К счастью для вас, мы создали инструмент, который поможет вам понять формулу векторного произведения двух векторов. Мы также сравним определения скалярного произведения и перекрестного произведения и объясним, почему они не являются одной и той же операцией. И в качестве бонуса у нас также есть список из практических приемов , таких как правило правой руки, чтобы вы могли стать мастером в том, как делать векторное произведение двух векторов.
Определение векторного векторного произведения
Вектор — это математический инструмент , широко используемый в физике . Он позволяет очень эффективно работать с наборами чисел (каждый из которых представляет измерение). Набор операций, правил и свойств для работы с векторами называется векторной алгеброй и, подобно алгебре чисел, включает умножение.
Однако векторы более сложны, чем числа , поскольку они несут в себе гораздо больше информации, которой нужно более тщательно манипулировать.
Это одна из причин, почему в векторной алгебре есть два разных типа операций умножения или произведения: векторное произведение и скалярное произведение. Последнее можно вычислить с помощью нашего калькулятора скалярного произведения.
Определение, принятое в математике, очень техническое. Тем не менее, мы объясним, что это значит, с точки зрения непрофессионала (и менее точного), так что, даже если у вас нет сильной математической подготовки, все будет для вас понятно.
Одно из определений перекрестного произведения, также называемого векторным произведением :
Бинарная операция над двумя векторами в трехмерном пространстве, обозначаемая символом ×. Учитывая два линейно независимых вектора, a и b , векторное произведение a × b представляет собой вектор, перпендикулярный обоим a и b и, следовательно, перпендикулярный плоскости, содержащей их.
Это действительно многословно, но мы можем перевести это с математического жаргона на простое объяснение. Во-первых, определение говорит о трехмерном пространстве , подобном тому, в котором мы живем. Это потому, что это наиболее распространенное использование векторного произведения, но мы можем распространить его на большее количество измерений; однако это выходит за рамки этого текста и большинство математических степеней.
Определение говорит нам, что векторное произведение любых двух векторов является третьим вектором , который перпендикулярен обоим из них (и плоскости, которая их содержит). Это возможно в трехмерном пространстве, потому что в нем есть три независимых направления. Вы можете думать об этих трех направлениях как о высоте , ширине и глубине .
Чтобы узнать, как этот новый третий вектор будет выглядеть с точки зрения величины и математического описания, мы можем использовать формула векторного произведения двух векторов .
В следующем разделе вам будет представлена формальная математическая формула, которая говорит вам, как сделать перекрестное произведение любых двух векторов. Мы также объясним, что означает это уравнение и как его использовать простым, но точным способом.
Формула перекрестного произведения
Прежде чем представить формулу векторного произведения, нам понадобятся два вектора, которые мы назовем a и b . Эти два вектора не должны лежать на одной прямой (он же не должен быть параллельным) по причинам, которые мы объясним позже.
Итак, без лишних слов, давайте посмотрим на формулу:
c = a × b = |a| × |б| × sin θ × n
Эта формула состоит из:
-
c— новый вектор, полученный в результате перекрестного произведения; -
a– Один из начальных векторов; -
б– второй из начальных векторов; -
θ– Угол между обоими векторами; и -
n– Единичный вектор, перпендикулярныйaиbодновременно.
Фактор перпендикулярности вместе с функцией синуса, представленной в формуле, являются хорошими индикаторами геометрической интерпретации векторного векторного произведения. Подробнее об этом мы поговорим в следующих разделах.
Вы также можете понять, почему два вектора a и b не должны быть параллельны. Если бы они были параллельны, это привело бы к нулевому углу между ними ( θ = 0 ). Следовательно, и sin θ , и c будут равны нулю, что является очень неинтересным результатом . Также интересно отметить тот факт, что простая перестановка в и в изменит только направление в , поскольку -sin(θ) = sin(-θ) .
Как выполнить векторное произведение двух векторов
Мы видели математическую формулу для векторного векторного произведения, но вы все еще можете подумать, «Это все хорошо, но как на самом деле рассчитать новый вектор?» И это отличный вопрос! Самое быстрое и простое решение — воспользоваться нашим калькулятором векторного векторного произведения, но если вы дочитали до этого места, вероятно, вы ищете не только результаты, но и знания .
Процесс можно разделить на три этапа: вычисление модуля вектора, вычисление угла между двумя векторами и вычисление перпендикулярного унитарного вектора. Ставим все эти три промежуточных результата вместе с помощью простого умножения дадут желаемый вектор.
Вычисление углов между векторами может оказаться слишком сложным в трехмерном пространстве ; и, если все, что мы хотим сделать, это знать, как вычислить векторное произведение между двумя векторами, это может не стоить хлопот. Вместо этого давайте изучим более простой и практичный способ вычисления векторного перекрестного произведения с использованием другой формулы перекрестного произведения.
В этой новой формуле используется разложение трехмерного вектора на три его компонента. Эта техника является очень распространенным способом описания и работы с векторами, в которых каждый компонент представляет направление в пространстве , а число, сопровождающее его, представляет длину вектора в конкретном направлении.
Канонически три измерения трехмерного пространства, с которым мы работаем, называются x , y и z и представлены унитарными векторами 9.0003 i , j и k соответственно.
Следуя этой номенклатуре, мы можем представить каждый вектор в виде суммы этих трех унитарных векторов . Векторы обычно опускаются для краткости, но все же подразумеваются и имеют большое значение для результата векторного произведения. Таким образом, вектор v может быть выражен как: v = (3i + 4j + 1k) или, короче: v = (3, 4, 1) , где положение чисел имеет значение. Используя это обозначение, мы теперь можем понять, как вычислить векторное произведение двух векторов.
Назовем наши два вектора: v = (v₁, v₂, v₃) и w = (w₁, w₂, w₃) . Для этих двух векторов формула выглядит так:
v × w = (v₂w₃ — v₃w₂, v₃w₁ — v₁w3, v₁w₂ — v₂w₁)
Этот результат может выглядеть как случайный набор операций между компонентами каждого вектора, но нет ничего более далекого от реальности.
Для тех из вас, кто задается вопросом, откуда все это взялось, мы предлагаем вам открыть это самостоятельно. Все, что вам нужно сделать, это начать с обоих векторов, выраженных как: v = v₁i + v₂j + v₃k и w = w₁i + w₂j + w₃k и умножить каждый компонент вектора на все компоненты другого.
В качестве небольшой подсказки мы можем сказать вам, что при выполнении векторного произведения векторов, умноженных на числа, результатом будет « обычное » произведение чисел, умноженное на векторное произведение между векторами . Также будет полезно помнить, что векторное произведение параллельных векторов (и, следовательно, вектора с самим собой) всегда равно 0 .
Как пользоваться калькулятором векторного векторного произведения
После всего того, о чем мы говорили, пришло время узнать, как использовать наш калькулятор векторного произведения, чтобы сэкономить время и получить результаты для любых двух векторов в трехмерном пространстве.
космос. Как видите, переменные разделены на три секции, по одной для каждого вектора, участвующего в вычислении перекрестного произведения. Из этих трех векторов c , вероятно, является тем, о котором вам следует больше всего заботиться, поскольку он является результатом перекрестного произведения. Каждый вектор имеет три компонента, как упоминалось ранее: x , y и z , относящиеся к каждому из трех измерений: глубине, ширине и высоте.
Как только мы поймем, что делает каждое из полей, давайте кратко рассмотрим типичный вариант использования этого калькулятора. Чтобы включить пример вычисления перекрестного произведения двух векторов, мы будем использовать векторы a = (2, 3, 7) и b = (1, 2, 4) .
Первым шагом является введение компонентов вектора
a. То есть:x = 2,y = 3иz = 7.Далее следует ввести компоненты вектора
b. То есть: x = 1,y = 2иz = 4.Теперь калькулятор обрабатывает информацию; он применяет формулу, которую мы видели раньше, и…
Вуаля! Вы только что вычислили:
c = a × b = (-2, -1, 1).Повторяйте, пока не рассчитаете все необходимые перекрестные произведения.
Поделитесь с друзьями революционным опытом расчета векторных перекрестных произведений. 😉
То есть: Вы можете вычислить векторное произведение любых векторов, даже не задумываясь об этом. Тем не менее, мы настоятельно рекомендуем вам использовать упомянутые выше свойства для сложных операций, чтобы сэкономить ваше время и нервы . Например, если один из векторов просто кратен другому, вам даже не нужно использовать наш калькулятор; вы можете предсказать, что результат будет нулевым, поскольку эти два вектора коллинеарны.
Скалярное произведение против векторного произведения
Мы рассмотрели наиболее важные математические аспекты векторного произведения двух векторов в трехмерном пространстве, поэтому пришло время поговорить о некоторых интересных фактах и использовании этой векторной операции .
Для начала мы поговорим о двоюродном брате перекрестного произведения: скалярном произведении.
Эти две операции имеют обманчиво похожие названия, но на самом деле представляют разные понятия в геометрии. Кроме того, вычисление скалярного произведения, возможно, проще, чем вычисление перекрестного произведения; тем не менее, мы также сделали калькулятор, который поможет вам рассчитать скалярное произведение 2 векторов, тоже называется скалярным произведением .
Следуя тенденции очевидного сходства между скалярным произведением и перекрестным произведением, мы можем внимательно рассмотреть формулу скалярного произведения:
v = a · b = |a| × |б| × cos θ
Единственным различием между векторным произведением и скалярным произведением является тригонометрическая функция, используемая в формуле, и тот факт, что здесь результатом является число (скаляр, отсюда и название), а не вектор.
Эти незначительные различия могут заставить вас поверить, что обе операции очень похожи, но по своей природе они очень разные.
Во-первых, перекрестное произведение — это операция, которая берет два вектора и возвращает другой вектор, перпендикулярный обоим, в то время как скалярное произведение дает число без направления. Скалярный продукт более легко обобщается на более высокие или более низкие измерения, в то время как перекрестный продукт даже не существует в двумерном . Их интерпретация в геометрических терминах также сильно отличается, поскольку вы можете думать о скалярном произведении как о 9.0003 длина проекции одного из векторов на другой .
Все эти различия делают их концептуально очень разными операциями. Следовательно, эти две операции не являются взаимозаменяемыми или переводимыми. Как мы увидим в следующих разделах, обе операции полезны как в математике, так и в физике.
Взаимное произведение и физика: лучшие друзья навсегда
Большинство из нас интересуются не только чисто математическими свойствами и использованием векторного произведения, но и практическое применение в реальном мире .
И есть ли лучший способ получить полезное применение математических понятий, чем через физику? Перекрестное произведение не является исключением; это очень полезная операция в физике. Мы могли бы углубиться в квантовую теорию поля, где широко используются как скалярное произведение, так и перекрестное произведение.
Тем не менее, мы останемся в сфере осязаемых и математически совершенных теорий и рассмотрим примеры в местах и событиях, к которым мы все можем иметь отношение.
Электромагнетизм — это первая область, которую мы обсудим, в которой широко используются свойства векторного произведения . В природе электрические и магнитные поля, как правило, перпендикулярны друг другу, что идеально связано с тем, как выражается перекрестное произведение двух векторов. Такие вещи, как расчет магнитных сил на проводе с током или расчеты магнитного момента системы, требуют использования операции векторного произведения.
Другим примером, который нельзя не упомянуть, является так называемый эффект Холла, очень важный в физике твердого тела.
Об этом можно узнать из калькулятора коэффициента Холла.
Наиболее распространенные приложения векторного произведения включают исследование момента инерции (как в калькуляторе момента инерции) и вращающихся объектов. Мы могли бы бесконечно говорить о том, насколько умопомрачительна эта часть физики. Вместо этого лучше посмотреть видео, где Уолтер Левин (один из лучших преподавателей физики) объясняет и демонстрирует все об этом явлении.
Правило правой руки в физике: чем оно так полезно?
Векторы повсеместно используются в физике; от скорости до веса или даже площади, все, кажется, имеет связанный с ним вектор. И именно поэтому векторное векторное произведение очень важно в физическом мире.
Одной из самых страшных частей физики является осмысление всей математической работы , которую нужно проделать, чтобы рассчитать почти что угодно. Поскольку мы включаем векторы и несколько измерений, это может быстро превратиться в неконтролируемый беспорядок, который, кажется, не имеет ничего общего с реальностью.
Чтобы решить эти проблемы, физики разработали некоторые приемы, которые помогут вам ориентироваться в этих мутных водах .
Вероятно, самым известным из них является «Правило правой руки» , которое помогает в вычислении кросс-векторного произведения. Это правило позволяет вам предсказать, куда будет направлен результирующий вектор векторного произведения, используя только вашу руку.
Есть две версии правила правой руки в физике : одна с растопыренными пальцами и неподвижной рукой, а другая включает переход от открытой ладони к сжатому кулаку.
Первый вариант (более распространенный) состоит из расставления среднего и указательного пальцев, как показано на картинке выше. Вытянув большой палец, вы должны стремиться совместить указательный палец с первым вектором, а средний палец со вторым. В этом положении вытянутый большой палец покажет направление результирующего вектора из вычисления векторного перекрестного произведения.