Найти собственные числа и собственные векторы матрицы: Собственные числа матрицы онлайн

66. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования

Ненулевой вектор Х назовем собственным вектором линейного оператора , если существует такое число l, что выполняется равенство: Х = lх.

Число l называется собственным числом или собственным значением оператора .

Т. к. оператор преобразует пространство само в себя, то матрица этого оператора квадратная. Если базис пространства {en}, то

Матрица оператора:

Запишем в координатной форме равенство Х = lх:

( — lЕ) х = 0

Эта система линейных однородных уравнений относительно координат искомого вектора х. Т. к. х ¹ 0, то системы должна иметь ненулевое решение. Значит, для этого, должно быть det ( A — l E ) = 0, или

Уравнение D( l ) = 0 называется характеристическим уравнением для линейного оператора , а многочлен

Степени n относительно l — характеристическим многочленом.

По основной теореме алгебры, каждый многочлен степени n имеет n корней с учетом их кратности.

Значит, характеристическое уравнение имеет по крайней мере один корень, т. е. каждый оператор имеет хотя бы один собственный вектор. Правда в вещественном пространстве многочлен может не иметь вещественных корней и поэтому в нашем линейном пространстве не каждый линейный оператор имеет собственные векторы.

Т. о. для нахождения собственного вектора надо составить характеристический многочлен, найти все его корни, которые будут собственными числами. После этого нужно каждое собственное число li подставить вместо l в систему и найти все ее линейно – независимые решения. Число таких решений есть n – ri, где ri – ранг матрицы A — liE. Отсюда следует, что размерность пространства собственных векторов, соответствующих одному собственному числу li равна n – ri.

Вспомним, что матрица линейного оператора изменяется при изменении базиса:

A* = T-1AT.

Найдется ли такой базис, в котором матрица А* имела бы диагональный вид? Справедлива следующая теорема: для того, чтобы матрица

А В данном базисе {Ek} была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы Ek были собственными векторами этого оператора.

Доказательство: пусть Ek являются собственными векторами оператора А. Тогда

Aek = lkEk (*)

А отсюда матрица А необходимо имеет вид

И наоборот. Пусть А – диагональная матрица оператора А в данном базисе {Ek}. Тогда соотношнния

Aek = a11E1+a12E2+¼a1nEn (k = 1,…,n)

Примут вид (*), а это значит, что Ek — собственные векторы.

Запишем без доказательства свойство линейного оператора: собственные векторы линейного оператора, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Определение: назовем оператор А, матрица которого приводится к диагональному виду, оператором простой структуры. Запишем без доказательства, что оператор имеет простую структуру в двух случаях: 1) характеристический многочлен имеет

N различных корней; 2) для каждого корня li кратности ki ранг матрицы (A-liE) был равен n-ki.

Рассмотрим, чему равен определитель матрицы линейного оператора А при смене базиса.

det(A*) = det(T-1AT) = det(T-1)det(A)det(T) = det(A)det(T-1T) = det(A)det(E) = det(A)

Таким образом, можно сделать вывод, что величина определителя матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. Для поиска собственных чисел линейного оператора мы составляли характеристический многочлен

Поскольку величина определителя не зависит от выбора базиса, то величины dk являются инвариантами – не зависят от базиса. Принято называть коэффициент при ln-1 : dn-1 = a11+a22+…+ann следом оператора

А и обозначать trA (trace – след).

trA = a11+a22+…+ann = l1+l2+¼ln.

Нетрудно проследить связь между инвариантами преобразования систем координат, с которыми мы сталкивались при преобразовании уравнений поверхностей второго порядка:

И коэффициентами характеристического уравнения Dk для линейного оператора, действующего в трехмерном пространстве, при n = 3. Учитывая это, можно записать удобную формулу для нахождения характеристического уравнения линейного оператора, дейстующего в трехмерном пространстве:

< Предыдущая		Следующая >

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей А.

Пример 1:

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей А.

Решение от преподавателя:

Находим собственные числа оператора:

Находим собственные векторы оператора:

Полагая х₁=3, получаем собственный вектор Х₁=(3;-6;20).

       

Полагая х₃=1, получаем собственный вектор Х₂=(0;0;1).

 

Ответ: .

Пример 2:

Найти собственные числа и векторы матрицы:

7 -12 6 10 -19 10 12 -24 13

 

Решение от преподавателя:

Составляем систему для определения координат собственныхвекторов:
(7 — λ)x₁-12x₂ + 6x₃ = 0
10x₁ + (-19 — λ)x₂ + 10x₃ = 0
12x₁-24x₂ + (13 — λ)x₃ = 0
Составляемхарактеристическоеуравнение и решаем его.

7 — λ -12 6 10 -19 — λ 10 12 -24 13 — λ

Для этого находим определительматрицы и приравниваемполученноевыражение к нулю.
(7 — λ) • ((-19 — λ) • (13 — λ)-(-24 • 10))-10 • (-12 • (13 — λ)-(-24 • 6))+12 • (-12 • 10-(-19 — λ) • 6) = 0
Послепреобразований, получаем:
-λ³+λ²+λ-1 = 0
λ₁ = -1
Подставляя λ₁ = -1 в систему, имеем:

7 — (-1) -12 6 10 -19 — (-1) 10 12 -24 13 — (-1)

или

8 -12 6 10 -18 10 12 -24 14

Решаемэту систему линейныходнородныхуравнений.
Выпишемосновнуюматрицусистемы:

8 -12 6 10 -18 10 12 -24 14 x1 x2 x3

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работатьтолькосо строками, так какумножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другойстроке для системыозначаетумножениеуравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняетрешениясистемы.
Умножим 1-ую строку на (-5). Умножим 2-ую строку на (4). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0 -12 10 10 -18 10 12 -24 14

Умножим 2-ую строку на (-6). Умножим 3-ую строку на (5). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0 -12 10 0 -12 10 12 -24 14

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можновычеркнуть. Эторавносильновычеркиванию 1-го уравнениясистемы, так каконоявляетсяследствием 2-го.

0 -12 10 12 -24 14

Найдем ранг матрицы.

0 -12 10 12 -24 14

Выделенныйминоримеетнаивысший порядок (извозможныхминоров) и отличен от нуля (он равенпроизведениюэлементов, стоящих на обратнойдиагонали), следовательноrang(A) = 2.
Этотминорявляетсябазисным. В неговошликоэффициенты при неизвестных x₁,x₂, значит, неизвестные x₁,x₂ – зависимые (базисные), а x₃ – свободные.
Преобразуемматрицу, оставляяслеватолькобазисныйминор.

0 -12 -10 12 -24 -14

Система с коэффициентамиэтойматрицыэквивалентнаисходнойсистеме и имеет вид:
— 12x₂ = — 10x₃
12x₁ — 24x₂ = — 14x₃
Методом исключениянеизвестных находим нетривиальноерешение:
Получили соотношения, выражающиезависимыепеременные x₁,x₂ через свободные x₃, то естьнашли общеерешение:
x₂ = ⁵/₆x₃
x₁ = ¹/₂x₃
Множествособственныхвекторов, отвечающихсобственному числу λ₁ = -1, имеет вид: 
(0. 50000x₃,0.83333x₃,1.0000x₃) = x₃(0.50000,0.83333,1.0000)
где x₃ — любое число, отличное от нуля. Выберемизэтогомножества один вектор, например, положив x₃ = 1.0000:

λ₂ = 1
Подставляя λ₂ = 1 в систему, имеем:

7 — 1 -12 6 10 -19 — 1 10 12 -24 13 — 1

или

6 -12 6 10 -20 10 12 -24 12

Решаемэту систему линейныходнородныхуравнений
Выпишемосновнуюматрицусистемы:

6 -12 6 10 -20 10 12 -24 12 x1 x2 x3

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работатьтолькосо строками, так какумножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другойстроке для системыозначаетумножениеуравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняетрешениясистемы.
В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можновычеркнуть. Эторавносильновычеркиванию 1-го уравнениясистемы, так каконоявляетсяследствием 2-го.

10 -20 10 12 -24 12

Умножим 1-ую строку на (-6). Умножим 2-ую строку на (5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0 0 0 12 -24 12

В матрице B 1-ая строканулевая, следовательно, вычеркиваемее. Эторавносильновычеркиванию 1-го уравнениясистемы.

12 -24 12

Найдем ранг матрицы.

12 -24 12

Выделенныйминоримеетнаивысший порядок (извозможныхминоров) и отличен от нуля (он равенпроизведениюэлементов, стоящих на обратнойдиагонали), следовательноrang(A) = 1.
Этотминорявляетсябазисным. В неговошликоэффициенты при неизвестных , значит, неизвестные – зависимые (базисные), а x₁,x₂,x₃ – свободные.
Преобразуемматрицу, оставляяслеватолькобазисныйминор.

-12 24 -12 x1 x2 x3

Система с коэффициентамиэтойматрицыэквивалентнаисходнойсистеме и имеет вид:
— 12×1 = 24x₂ — 12x₃
Получили соотношения, выражающиезависимыепеременные через свободные x₁,x₂,x₃, то естьнашли общеерешение:
x1 = — 2x₂ + x₃
Находим фундаментальную систему решений, котораясостоитиз (n-r) решений.
В нашемслучае n=3, r=1, следовательно, фундаментальная система решенийсостоитиз 2-х решений, причемэтирешениядолжныбытьлинейнонезависимыми.
Чтобы строки былилинейнонезависимыми, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы, составленнойизэлементов строк, былравенколичеству строк, то есть 2.
Достаточнопридатьсвободнымнеизвестным x₁,x₂,x₃ значенияиз строк определителя 2-го порядка, отличного от нуля, и подсчитать .

Множествособственныхвекторов, отвечающихсобственному числу λ₂ = 1, имеет вид: 
(2.0000x₁,x₂,x₃,1.0000x₁,x₂,x₃,0x₁,x₂,x₃) = x₁,x₂,x₃(2.0000,1.0000,0)
где x₁,x₂,x₃ — любое число, отличное от нуля. Выберемизэтогомножества один вектор, например, положив x₁,x₂,x₃ = 2.0000:

(-1.0000x₁,x₂,x₃,0x₁,x₂,x₃,1. 0000x₁,x₂,x₃) = x₁,x₂,x₃(-1.0000,0,1.0000)
где x₁,x₂,x₃ — любое число, отличное от нуля. Выберемизэтогомножества один вектор, например, положив x₁,x₂,x₃ = -1.0000:

Ответ: λ=-1, (1/2x₃, 5/6x₃, x₃)

λ=1, (2x₂-x₃, x₂, x₃)

Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!

Заполните, пожалуйста, данные для автора:

• 22423 авторов готовы помочь тебе.
• 2402 онлайн

Собственные значения и собственные векторы: свойства

Собственные значения и собственные векторы: свойства

Майкл Френдли

08.12.2022

Настройка

В этой виньетке используется пример \(3 \times 3\) матрица для иллюстрации некоторых свойств собственных значений и собственные векторы. Мы могли бы рассматривать это как дисперсию-ковариацию матрица трех переменных, но главное, что матрица

квадратный и симметричный , что гарантирует что собственные значения \(\lambda_i\) равны вещественные числа. Ковариационные матрицы также положительны. полуопределенное , что означает, что их собственные значения неотрицательны, \(\lambda_i \ge 0\).

 A <- матрица(c(13, -4, 2, -4, 11, -2, 2, -2, 8), 3, 3, по ряду=ИСТИНА)
А 

 ## [1] [2] [3]
## [1,] 13 -4 2
## [2,] -4 11 -2
## [3,] 2 -2 8 

Получить собственные значения и собственные векторы, используя собственный() ; этот возвращает именованный список с собственными значениями с именами , значениями

и собственные векторы с именем векторов .

 эв <- собственное (A)
# извлечь компоненты
(значения <- ev$values) 

 ## [1] 17 8 7 

 (векторы <- ev$vectors) 

 ## [1] [2] [3]
## [1,] 0,7454 0,6667 0,0000
## [2,] -0,5963 0,6667 0,4472
## [3,] 0,2981 -0,3333 0,8944 

Собственные значения всегда возвращаются в порядке убывания, и каждое столбец векторов соответствует элементам в значений .

Свойства собственных значений и собственных векторов

Следующие шаги иллюстрируют основные свойства собственных значений и собственные векторы. Мы используем обозначение \(A = V' \Lambda V\) для выражения разложения матрицы \(A\), где \(V\) — матрица собственных векторов и \(\Lambda = diag(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_p)\) — диагональная матрица, составленная из упорядоченных собственные значения, \(\lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \точки \лямбда_р\).

0. Ортогональность: Собственные векторы всегда ортогональны, \(V' V = I\). zapsmall() есть удобно для очистки крошечных значений.

 crossprod(vectors) 

 ## [1] [2] [3]
## [1,] 1.000e+00 3.053e-16 5.551e-17
## [2,] 3.053e-16 1.000e+00 0.000e+00
## [3,] 5.551e-17 0.000e+00 1.000e+00 

 zapsmall(crossprod(vectors)) 

 ## [1] [2] [3]
## [1,] 1 0 0
## [2,] 0 1 0
## [3,] 0 0 1 9{-1}\) =
1/собственные значения A. Собственные векторы те же, за исключением порядка,
потому что собственные значения возвращаются в порядке убывания.  
  
 AI <- решить(A)
AI 
 ## [1] [2] [3]
## [1,] 0,08824 0,02941 -0,01471
## [2,] 0,02941 0,10504 0,01891
## [3,] -0.01471 0.01891 0.13340 
 собственные(AI)$значения 
 ## [1] 0.14286 0.12500 0.05882 
 собственные(AI)$векторы 
 ,
] [#], 3]
## [1,] 0,0000 0,6667 0,7454
## [2,] 0,4472 0,6667 -0,59р  , где
  mpower(A,2) = A %*% A  и т. д. 
  
 eigen(A %*% A) 
 ## eigen() разложение
## $значения
## [1] 289 64 49
##
## $векторы
## [1] [2] [3]
## [1,] 0,7454 0,6667 0,0000
## [2,] -0,5963 0,6667 0,4472
## [3,] 0.2981 -0.3333 0.8944 
 eigen(A %*% A %*% A)$values ​​
 ## [1] 4913 512 343 
 eigen(mpower(A, 4))$values ​​
 ## [1] 83521 4096 2401 
 Собственные векторы и собственные значения в Sage 
 Найти собственные векторы и собственные значения сложно. Наша общая стратегия была такой:
 Вычислить характеристический многочлен. Для матрицы размера n x n это включает в себя определение определителя матрицы размера n x n с полиномами элементов, что является медленным. (Быстрый метод вычисления определителей, редукция строк, мало помогает, так как элементы представляют собой полиномы.)
 
 Найдите корни характеристического многочлена. Вы знаете только формулу в закрытой форме для случая n=2. Существуют формулы в терминах корней для n=3 и 4, но не для n=5 и выше. Вы всегда можете аппроксимировать корни, используя, скажем, метод Ньютона, но это в лучшем случае несколько утомительно.
 Для каждого корня (собственного значения) найти соответствующие собственные векторы. Это включает сокращение строки матрицы, элементы которой, возможно, являются сложными действительными числами, по одному разу для каждого собственного значения.
 К счастью, поскольку поиск собственных значений и собственных векторов важен на практике, существует множество методов и компьютерных кодов для этого символически (точно) и приблизительно для общих матриц и специальных классов.
 Философия окончена; вот несколько команд для начала.
  
 Прежде чем начать, чтобы сделать вывод читаемым, введите: 
  %typeset_mode True 
  Собственные значения и собственные векторы за один шаг. 
 Составим матрицу из примера 5.1.4 в тексте и найдем ее собственные значения и собственные векторы: 
  M = matrix([[4,-1,6],[2,1,6],[2 ,-1,8]]) 
 M.eigenvectors_right() 
  
 Здесь Сейдж дает нам список троек (собственное значение, собственные векторы, образующие основу для этого собственного пространства, алгебраическая кратность собственного пространства). На данный момент вас, вероятно, больше всего интересуют первые две записи. (Как обычно, это  векторов-столбцов , хотя Sage отображает их как строки.)
 Мы можем проверить, что это собственные векторы, умножив на них M. Например: 
  M*вектор([1,0,-1/3]) 
 M*вектор([1,0,-1/3])==2*вектор([1,0,-1/ 3]) 
  
 Если вам просто нужен список собственных значений, введите: 
   M.
No related posts.