Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В8 (2014)
Для решения задач на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника нужно вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса.
Рассмотрим прямоугольный треугольник:
Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Противолежащий катет — это тот катет, который лежит напротив угла, синус которого мы рассматриваем.
Например, для треугольника, который изображен на рисунке, ,
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Прилежащий катет — это тот катет, который является одной из сторон угла, косинус которого мы рассматриваем.
Например, для треугольника, который изображен на рисунке, ,
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Например, для треугольника, который изображен на рисунке, ,
Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:
1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.
2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.
3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,
Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
1. Задание В7 (№ 27217) В треугольнике угол равен , . Найдите
рис.1
Решим эту задачу двумя способами.
а. Так как требуется найти косинус угла, синус которого известен, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.
б.
Введем единичный отрезок , тогда ,
По теореме Пифагора .
Тогда
Ответ:
2. Задание В7 (№27220)
В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите
Смотрим на рис.1:
Значит,
Ответ:
3. Задание В7 (№27221)
В треугольнике ABC угол C равен , . Найдите
Введем единичный отрезок , тогда ,
По теореме Пифагора
Ответ:
4. Задание В7 (№27221)
В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AC.
Введем единичный отрезок , тогда ,
По теореме Пифагора
Найдем : — по условию.
Значит, . Отсюда
Ответ:
5. Задание В7 (№27259)
В треугольнике ABC угол C равен , , . Найдите AH.
Найдем из треугольника
— прилежвщий к углу катет, поэтому он связан с через
Найдем с помощью основного тригонометрического тождества:
, отсюда
Теперь рассмотрим треугольник , в котором — гипотенуза, а — катет, связанные между собой через :
, отсюда
Ответ: AH=15.
Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр «Час ЕГЭ», попробуйте скачатьFirefox
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»
ege-ok.ru
Площадь треугольника через синус и косинус
I. Площадь треугольника через синус
Если в задаче даны длины двух сторон треугольника и угол между ними, то можно применить формулу площади треугольника через синус.
Пример расчета площади треугольника через синус. Даны стороны a = 3, b = 4, и угол γ= 30°. По таблице синусов синус угла в 30° равен 0.5Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.
Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т.к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то: Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам: Например, дан треугольник со стороной a=3 и углами γ=60°, β=60°. Вычисляем третий угол:
Подставляем данные в формулу
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.
II. Площадь треугольника через косинус
Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.
Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:
Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.
2mb.ru
Нахождение сторон треугольника через косинус и синус
Скачать к уроку математики Конспект урока по математике в 6 классе по теме «Параллельные прямые». Методы обучения: словесные (беседа, рассказ), наглядные (презентация, работа с чертежным треугольником), практические (упражнения для коллективного, индивидуального выполнения в.
Прямоугольный треугольник. Вычисление сторон и углов. Задание В7 (2015
Для решения задач на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника нужно вспомнить определения синуса, косинуса и тангенса.
Рассмотрим прямоугольный треугольник:
Противолежащий катет — это тот катет, который лежит напротив угла, синус которого мы рассматриваем.
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Прилежащий катет — это тот катет, который является одной из сторон угла, косинус которого мы рассматриваем.
Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
Задачи на нахождение сторон и углов прямоугольного треугольника решаются по такому алгоритму:
1. Выделяем треугольник, в который входит сторона или угол, который нам нужно найти.
2. Смотрим, какие элементы треугольника нам известны, и с помощью какой тригонометрической функции они между собой связаны.
3. Записываем соотношение, которое связывает между собой эти элементы,
Рассмотрим примеры решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике:
Решим эту задачу двумя способами.
А. Так как требуется найти косинус угла, синус которого известен, мы можем воспользоваться основным тригонометрическим тождеством.
2 . Задание В7 (№27220)
Смотрим на рис.1:
3 . Задание В7 (№27221)
4 . Задание В7 (№27221)
5 . Задание В7 (№27259)
Купить видеокурс «ВСЯ ГЕОМЕТРИЯ. Часть В»
Для вас другие записи этой рубрики:
Отзывов ( 7 )
Здравствуйте, Инна. Благодаря Вашему сайту, я белый свет увидела. А то все выходные сижу, выбираю из всех пособий ЕГЭ задачи, естественно решаю их. Учителя математики, работающие в 11 классе, очень хорошо меня понимают. Огромное Вам, Инна, спасибо, очень хороший подбор геометрических задач.
Учась в школе, больше любил геометрию, чем алгебру. Вот и сейчас очень часто приходится «решать» прямоугольные треугольники: то угол нужно вычислить, то длину катета…
У меня вопрос, а почему в задаче номер пять, где вы находите косинус через основное тригонометрическое тождество, равняется корень из пяти деленного на три? А то у меня получилось, что квадрат сокращается остается 1-2/3, и, получается равно 1/3, не как у вас. Обьясните пожалуйста, как вы решили
Добавте плииз задачу где есть гипотенуза и там надо найти меньший из отрезков на которые делит гипотенуза биссектриса прямого угла
А можно условие задачи, или хотя бы номер в банке заданий
Ребята ну что это такое? Это же школьная программа 8 класса, если хотите что то интересное зайдите в квант) все ведь в школе учились?
Нахождение сторон треугольника через косинус и синус
Треугольник. Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции.
Вполне логично сделать вывод, будут верны следующие Равенства:
Значит Катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведение Гипотенузы и Синуса угла, Противолежащего этому катету, либо и Косинуса угла, прилежащего к нему.
На основе этих соотношений так же можно определить Гипотенузу прямоугольного треугольника:
Иначе говоря, Гипотенуза будет Частным от деления катета либо на синус противолежащего к нему угла, либо на косинус Прилежащего к катету Угла.
Значит, Катет прямоугольного треугольника допускается представить как произведением другого катета на Тангенс угла, противолежащего первому катету, либо на Котангенс угла, прилежащего к первому катету.
Нахождение сторон треугольника через косинус и синус
Площадь треугольника через синус и косинус
I. Площадь треугольника через синус
Площадь треугольника будет равна 3 кв. см.
Также могут быть и другие условия. Если дана длина одной стороны и углы, то для начала нужно вычислить недостающий угол. Т. к. сумма всех углов треугольника равняется 180°, то:
Площадь будет равна половине квадрата стороны, умноженной на дробь. В ее числителе находится произведение синусов прилегающих углов, а в знаменателе синус противолежащего угла. Теперь рассчитываем площадь по следующим формулам:
Получаем, что площадь треугольника равняется 3,87 кв. см.
II. Площадь треугольника через косинус
Чтобы найти площадь треугольника, нужно знать длины всех сторон. По теореме косинусов можно найти не известные стороны, а уже потом использовать формулу Герона.
По теореме косинусов квадрат неизвестной стороны треугольника равняется сумме квадратов остальных сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла, находящегося между ними.
Из теоремы выводим формулы для поиска длины неизвестной стороны:
Зная как найти недостающую сторону, имея две стороны и угол между ними можно легко посчитать площадь. Формула площади треугольника через косинус помогает легко и быстро найти решение различных задач.
poiskvstavropole.ru
Как найти сторону через синус
Сторону
Инструкция
1. Если знаменита одна из сторон треугольника и угол между ней и иной его стороной, воспользуйтесь тригонометрическими функциями – синус ом и косинус ом. Представьте себе прямоугольный треугольник НBC , у которого угол ? равен 60 градусам. Треугольник НBC показан на рисунке. От того что синус , как знаменито, представляет собой отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе, для решения поставленной задачи воспользуйтесь дальнейшим соотношением между этими параметрами:sin ?=НB/BCСоответственно, если вы хотите узнать катет прямоугольного треугольника, выразите его через гипотенузу дальнейшим образом:НB=BC*sin ?
2. Если в условии задачи, напротив, дан катет треугольника, обнаружьте его гипотенузу, руководствуясь дальнейшим соотношением между заданными величинами:BC=НB/sin ?По аналогии обнаружьте стороны треугольника и с применением косинус а, изменив предыдущее выражение дальнейшим образом:cos ?=НC/BC
3. В элементарной математике существует представление теоремы синус ов. Руководствуясь фактами, которые описывает данная теорема, также дозволено обнаружить стороны треугольника. Помимо этого, она разрешает обнаружить стороны треугольника, вписанного в окружность, если знаменит вестим радиус последней. Для этого воспользуйтесь соотношением, указанным ниже:a/sin ?=b/sin b=c/sin y=2RЭта теорема применима в том случае, когда знамениты две стороны и угол треугольника, либо дан один из углов треугольника и радиус описанной вокруг него окружности.
4. Помимо теоремы синус ов, существует и аналогичная ей по сути теорема косинус ов, которая, как и предыдущая, также применима к треугольникам всех 3 разновидностей: прямоугольному, остроугольному и тупоугольному. Руководствуясь фактами, которые доказывают эта теорема, дозволено находить неведомые величины, применяя следующие соотношения между ними:c^2=a^2+b^2-2ab*cos ?
Геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не принадлежащих одной прямой называемых вершинами, и трёх попарно соединяющих их отрезков, называемых сторонами, именуется треугольником. Существует уйма задач на нахождение сторон и углов треугольника по ограниченному числу начальных данных, одна из таких задач – нахождение стороны треугольника по одной из его сторон и двум углам .
Инструкция
1. Пускай построен треугольник ?ABC и знамениты – сторона BC и углы ?? и ??.Знаменито, что сумма углов всякого треугольника равна 180?, следственно в треугольнике ?ABC угол ?? будет равен ?? = 180? – (?? + ??).Обнаружить стороны AC и AB дозволено применяя теорему синусов, которая гласитAB/sin?? = BC/sin?? = AC/sin?? = 2 * R, где R – радиус описанной около треугольника ?ABC окружности,тогда получаемR = BC/sin??,AB = 2 * R * sin??,AC = 2 * R * sin??.Теорему синусов дозволено использовать при всяких данных 2-х углах и стороне.
2. Стороны заданно треугольника дозволено обнаружить, вычислив его площадь по формулеS = 2 * R? * sin?? * sin?? * sin??,где R вычисляется по формулеR = BC/sin??, R – радиус описанной около треугольника ?ABC отсюдаТогда сторону AB дозволено обнаружить, вычислив высоту, опущенную на неёh = BC * sin??,отсель по формуле S = 1/2 * h * AB имеемAB = 2 * S/hАналогичным образом дозволено вычислить сторону AC.
3. Если в качестве углов даны внешние углы треугольника ?? и ??, то обнаружить внутренние углы дозволено с поддержкой соответствующих соотношений?? = 180? – ??,?? = 180? – ??,?? = 180? – (?? + ??).Дальше действуем подобно первым двум пунктам .
Постижение треугольников ведется математиками на протяжении нескольких тысячелетий. Наука о треугольниках – тригонометрия – использует особые величины: синус и косинус.
Прямоугольный треугольник
Изначально синус и косинус появились из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Было подмечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается неизменно идентичным.Именно так и были введены представления синуса и косинуса. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе.
Теоремы косинусов и синусов
Но косинусы и синусы могут использоваться не только в прямоугольных треугольниках. Дабы обнаружить значение тупого либо острого угла, стороны всякого треугольника, довольно применить теорему косинусов и синусов.Теорема косинусов достаточно примитивна: «Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов 2-х других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними». Существует две трактовки теоремы синусов: малая и расширенная. Согласно малой: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам». Данную теорему зачастую расширяют за счет свойства описанной около треугольника окружности: «В треугольнике углы пропорциональны противолежащим сторонам, а их отношение равно диаметру описанной окружности».
Производные
Производная – математический инструмент, показывающий, как стремительно меняется функция касательно метаморфозы ее довода. Производные применяются в алгебре, геометрии, экономике и физике, ряде технических дисциплин. При решении задач требуется знать табличные значения производных тригонометрических функций: синуса и косинуса. Производной синуса является косинус, а косинуса – синус, но со знаком «минус».
Применение в математике
Особенно зачастую синусы и косинусы применяются при решении прямоугольных треугольников и задач, связанных с ними. Удобство синусов и косинусов обнаружило свое отражение и в технике. Углы и стороны было примитивно оценивать по теоремам косинусов и синусов, разбивая трудные фигуры и объекты на «примитивные» треугольники. Инженеры и архитекторы, зачастую имеющие дело с расчетами соотношения сторон и градусных мер, тратили много времени и усилий для вычисления косинусов и синусов не табличных углов. Тогда «на подмогу» пришли таблицы Брадиса, содержащие тысячи значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов различных углов. В советское время некоторые преподаватели принуждали своих подопечных учить страницы таблиц Брадиса назубок.
jprosto.ru
КАК НАЙТИ СТОРОНУ ЧЕРЕЗ СИНУС: Расчет сторон прямоугольного треугольника через тригонометрические функции
Изначально синус и косинус возникли из-за необходимости рассчитывать величины в прямоугольных треугольниках. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, а косинус – прилежащего к гипотенузе. В случае известных прочих числовых данных, найти стороны треугольника прямоугольного достаточно по косинусу. Таким образом, синусом будет произведение косинуса на тангенс, а квадратом синуса будет квадрат этого произведения. Исторически они возникли как соотношения между сторонами прямоугольного треугольника, поэтому удобнее всего и вычислять их через прямоугольный треугольник. Было замечено, что если значение градусной меры углов в прямоугольном треугольнике не менять, то соотношение сторон, насколько бы эти стороны ни изменялись в длине, остается всегда одинаковым. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны? Вам понадобится Размеры сторон прямоугольного треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные. Чтобы найти значение тупого или острого угла, стороны любого треугольника, достаточно применить теорему косинусов и синусов. Причина в том, что значение синуса угла при вершине треугольника не определяет однозначно самого угла. Исключением является случай, когда заранее известно, что в данном треугольнике тупых углов быть не может — например, если треугольник прямоугольный.
Еще интересное:
Навигация по записямcallbollonez.ru
Формулы площади треугольника через синус
Определение и формула площади треугольника через синус
ОПРЕДЕЛЕНИЕТреугольником называется фигура, состоящая из трех вершин и трех сторон.
Существует много формул для вычисления площади треугольника. Если известны длины двух сторон треугольника и угол между этими сторонами, то для вычисления площади треугольника удобно пользоваться следующей формулой
где – стороны треугольника, – угол между сторонами и .
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1| Задание | Найти площадь треугольника со сторонами см и см, если угол между этими сторонами равен . |
| Решение | Площадь треугольника будем искать как полупроизведение сторон треугольника на синус угла между ними:
|
| Ответ | см |
| Задание | В треугольнике угол , а сторона на см больше стороны . Найти длины сторон и треугольника, если его площадь равна . |
| Решение | Обозначим сторону через , тогда сторона будет равна . Запишем формулу для площади треугольника
и подставим в нее известные данные:
Преобразуем последнее уравнение и получим квадратное уравнение
Корнями полученного уравнения будут и . По смыслу задачи подходит только первый корень. Тогда см, а см. |
| Ответ | см, см. |
ru.solverbook.com