{2}+1}
. Подставьте в нее следующие значения x {\displaystyle x}
:Проверьте, симметричен ли график функции относительно оси Y. Под симметрией подразумевается зеркальное отображение графика относительно оси ординат. Если часть графика справа от оси Y (положительные значения независимой переменной) совпадает с частью графика слева от оси Y (отрицательные значения независимой переменной), график симметричен относительно оси Y. Если функция симметрична относительно оси ординат, такая функция четная.
Проверьте, симметричен ли график функции относительно начала координат. Начало координат – это точка с координатами (0,0). Симметрия относительно начала координат означает, что положительному значению y {\displaystyle y}
(при положительном значении x {\displaystyle x}
) соответствует отрицательное значение y {\displaystyle y}
(при отрицательном значении x {\displaystyle x}
), и наоборот. Нечетные функции обладают симметрией относительно начала координат.
{2}}
. Будучи записанной в такой форме, функция кажется четной, потому что присутствует четный показатель степени. Но этот пример доказывает, что вид функции нельзя быстро определить, если независимая переменная заключена в скобки. В этом случае нужно раскрыть скобки и проанализировать полученные показатели степени.
Четная функция.
Четной называется функция, знак которой не меняется при изменении знака x .
x выполняется равенство f (–x ) = f (x ). Знак x не влияет на знак y .
График четной функции симметричен относительно оси координат (рис.1).
Примеры четной функции:
y = cos x
y = x 2
y = –x 2
y = x 4
y = x 6
y = x 2 + x
Пояснение:
Возьмем функцию y = x 2 или y = –x 2 .
При любом значении x функция положительная.
Знак x не влияет на знак y . График симметричен относительно оси координат. Это четная функция.
Нечетная функция.
Нечетной называется функция, знак которой меняется при изменении знака x .
Говоря иначе, для любого значения x выполняется равенство f (–x ) = –f (x ).
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис.2).
Примеры нечетной функции:
y = sin x
y = x 3
Пояснение:
Возьмем функцию y = –x 3 .
Все значения у в ней будут со знаком минус. То есть знак x влияет на знак y . Если независимая переменная – положительное число, то и функция положительная, если независимая переменная – отрицательное число, то и функция отрицательная: f (–x ) = –f (x ).
График функции симметричен относительно начала координат.
Это нечетная функция.
Свойства четной и нечетной функций:
ПРИМЕЧАНИЕ:
Не все функции являются четными или нечетными. Есть функции, которые не подчиняются такой градации. К примеру, функция корня у = √х не относится ни к четным, ни к нечетным функциям (рис.3). При перечислении свойств подобных функций следует давать соответствующее описание: ни четна, ни нечетна.
Периодические функции.
Как вы знаете, периодичность – это повторяемость определенных процессов с определенным интервалом. Функции, описывающие эти процессы, называют периодическими функциями . То есть это функции, в чьих графиках есть элементы, повторяющиеся с определенными числовыми интервалами.
В июле 2020 года NASA запускает экспедицию на Марс. Космический аппарат доставит на Марс электронный носитель с именами всех зарегистрированных участников экспедиции.
Если этот пост решил вашу проблему или просто понравился вам, поделитесь ссылкой на него со своими друзьями в социальных сетях.
Один из этих вариантов кода нужно скопировать и вставить в код вашей веб-станицы, желательно между тегами
и или же сразу после тега . По первому варианту MathJax подгружается быстрее и меньше тормозит страницу. Зато второй вариант автоматически отслеживает и подгружает свежие версии MathJax. Если вставить первый код, то его нужно будет периодически обновлять. Если вставить второй код, то страницы будут загружаться медленнее, зато вам не нужно будет постоянно следить за обновлениями MathJax.
Подключить MathJax проще всего в Blogger или WordPress: в панели управления сайтом добавьте виджет, предназначенный для вставки стороннего кода JavaScript, скопируйте в него первый или второй вариант кода загрузки, представленного выше, и разместите виджет поближе к началу шаблона (кстати, это вовсе не обязательно, поскольку скрипт MathJax загружается асинхронно). Вот и все. Теперь изучите синтаксис разметки MathML, LaTeX и ASCIIMathML, и вы готовы вставлять математические формулы на веб-страницы своего сайта.
Очередной канун Нового Года… морозная погода и снежинки на оконном стекле… Все это побудило меня вновь написать о… фракталах, и о том, что знает об этом Вольфрам Альфа. По этому поводу есть интересная статья , в которой имеются примеры двумерных фрактальных структур. Здесь же мы рассмотрим более сложные примеры трехмерных фракталов.
Фрактал можно наглядно представить (описать), как геометрическую фигуру или тело (имея ввиду, что и то и другое есть множество, в данном случае, множество точек), детали которой имеют такую же форму, как и сама исходная фигура. То есть, это самоподобная структура, рассматривая детали которой при увеличении, мы будем видеть ту же самую форму, что и без увеличения. Тогда как в случае обычной геометрической фигуры (не фрактала), при увеличении мы увидим детали, которые имеют более простую форму, чем сама исходная фигура. Например, при достаточно большом увеличении часть эллипса выглядит, как отрезок прямой. С фракталами такого не происходит: при любом их увеличении мы снова увидим ту же самую сложную форму, которая с каждым увеличением будет повторяться снова и снова.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3 ; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.
Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x . Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.
Четная и нечетная функция
Функция является четной функцией , когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy .
{2}} \neq 1
для любого x \in [-1;1]
.Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0 , для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X .
Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1 .
Возрастающая и убывающая функция
О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) > y(x_{2}) .
Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1})
Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x)
пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0
).
а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x
б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x
в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x
г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0 , то она будет убывать и при x
Экстремумы функции
Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}) . y_{min} — обозначение функции в точке min.
Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x)
Необходимое условие
Согласно теореме Ферма: f»(x)=0
тогда, когда у функции f(x)
, что дифференцируема в точке x_{0}
, появится экстремум в этой точке.
Достаточное условие
- Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
- x_{0} — будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0} .
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Шаги вычислений:
- Ищется производная f»(x) ;
- Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку ;
- Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .
Функция — это одно из важнейших математических понятий. Функция — зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у . Переменную х называют независимой переменной или аргументом.
Переменную у называют зависимой переменной. Все значения независимой переменной (переменной x ) образуют область определения функции. Все значения, которые принимает зависимая переменная (переменная y ), образуют область значений функции.
Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции, тоесть по оси абсцисс откладываются значения переменной x , а по оси ординат откладываются значения переменной y . Для построения графика функции необходимо знать свойства функции. Основные свойства функции будут рассмотрены далее!
Для построения графика функции советуем использовать нашу программу — Построение графиков функций онлайн. Если при изучении материала на данной странице у Вас возникнут вопросы, Вы всегда можете задать их на нашем форуме. Также на форуме Вам помогут решить задачи по математике, химии, геометрии, теории вероятности и многим другим предметам!
Основные свойства функций.
1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена.
Область значений функции — это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Значения х , при которых y=0 , называется нулями функции . Это абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие промежутки значений x , на которых значения функции y либо только положительные, либо только отрицательные, называются промежутками знакопостоянства функции.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любогох из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Четная функция
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0), то есть если точка a принадлежит области определения, то точка -a также принадлежит области определения.
2) Для любого значения x f(-x)=f(x)
3) График четной функции симметричен относительно оси Оу.
Нечетная функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения симметрична относительно точки (0; 0).
2) для любого значения x , принадлежащего области определения, выполняется равенство f(-x)=-f(x)
3) График нечетной функции симметричен относительно начала координат (0; 0).
Не всякая функция является четной или нечетной. Функции общего вида не являются ни четными, ни нечетными.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими.
(Тригонометрические формулы).
Функция f называется периодической, если существует такое число, что при любом x из области определения выполняется равенство f(x)=f(x-T)=f(x+T) . T — это период функции.
Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. На практике обычно рассматривают наименьший положительный период.
Значения периодической функции через промежуток, равный периоду, повторяются. Это используют при построении графиков.
Учебная сессия 5: Четные и нечетные функции
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 32774
- Нэнси Левингер
- Университет штата Колорадо
Имя: ____________________________
Секция: _____________________________
Идентификационный номер учащегося:__________________________
Работайте над этими задачами в группах.
Вы должны попытаться ответить на вопросы, не обращаясь к учебнику. Если вы застряли, попробуйте обратиться за помощью к другой группе.
Симметрия в 1D
В математике четные и нечетные функции — это функции, которые удовлетворяют определенным соотношениям симметрии. Функция \(f\) четная, если график \(f\) равен симметричен относительно оси Y. Алгебраически \(f\) четно тогда и только тогда, когда \(f(-x) = f(x)\) для всех \(x\) в области определения \(f\). Функция \(f\) нечетна, если график \(f\) -симметричен относительно начала координат. Иногда форма функции помогает нам решать проблемы. Это особенно верно для четных или нечетных функций .
Q1
Четная функция — это функция, в которой \(f(x)=f(-x)\). Нечетная функция — это та, где \(f(x)=-f(-x)\). 92}\), является ли \(f(x)\) четным или нечетным?
Эскиз \(f(x)\) по осям внизу.
Что это говорит вам о произведении четной и нечетной функций друг на друга?
Является ли произведение двух четных функций четным или нечетным?
Является ли произведение двух нечетных функций четным или нечетным (приведите пример, чтобы убедиться в этом)?
Q6
Ниже приведены собственные функции для низших уровней гармонического осциллятора \((v=1-7)\).
Какие уровни являются четными функциями?
Какие нечетные функции?
Q7
Плотности вероятности для нижних четырех уровней гармонического осциллятора \((v=1-7\)) ниже.
Рисунок: Волновые функции квантового гармонического осциллятора. (Общественное достояние; AllenMcC. через Википедию)Какие уровни являются четными функциями?
Какие уровни являются нечетными функциями?
Как это соотносится с вашими более ранними утверждениями о произведениях функций?
Рассмотрим графики плотности вероятности гармонического осциллятора. Что такое \(\langle x\rangle\) без вычисления интеграла?
Как вы объясните свой ответ с точки зрения графиков плотности вероятности?
Как вы объясните свой ответ с точки зрения четности/нечетности плотности вероятности?
Эта страница под названием «Учебная сессия 5: четные и нечетные функции» распространяется по незаявленной лицензии, ее автором, ремиксом и/или куратором является Нэнси Левингер.
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- Нэнси Левинджер
- Показать страницу TOC
- № на стр.
- Включено
- да
- Теги
исчисление — Почему важно записывать функцию как сумму четных и нечетных функций?
Когда я учился в старшей школе, я думал, что разложение на чет/нечет, о котором вы пишете, кажется довольно странным и не таким фундаментальным.
\top}{2}
$$
Комплексное сопряжение (где $\overline{\overline{z}} = z$) дает точку зрения типа «чет/нечет» на запись комплексного числа в стандартной форме $a+bi$, поскольку это сумма а действительное число (подгонка $\overline{w} = w$) и чисто мнимое число (подгонка $\overline{w} = -w$): $$ z = \frac{z + \overline{z}}{2} + \frac{z — \overline{z}}{2} = a + bi $$ где $z = a + bi$ и $\overline{z} = a — bi$.
Оператор перестановки функций ($f(x,y) \mapsto f(y,x)$) или тензоров ($v \otimes w \mapsto w \otimes v$) приводит к выражению функции или тензора как сумма симметричных и антисимметричных функций или тензоров:
$$
f(x,y) = \frac{f(x,y) + f(y,x)}{2} + \frac{f(x,y) — f(y,x)}{2}
$$
а также
$$
v \otimes w = \frac{v \otimes w + w \otimes v}{2} + \frac{v \otimes w — w \otimes v}{2}.
$$
Это играет роль в квантовой механике, где оно лежит в основе различия между бозонами (имеющими симметричные волновые функции) и фермионами (имеющими антисимметричные волновые функции).
9{2\pi i/n}$) и все комплексные числа $z$, где $0 \leq k \leq n-1$. Случай $n=2$ — четные/нечетные функции на $\mathbf C$ ($f_0(-z) = f_0(z)$ означает, что $f_0$ — четная функция, а $f_1(-z) = -f_1( z)$ означает, что $f_1$ — нечетная функция). Принимая $n = 4$, мы можем попытаться разложить каждую функцию $f:\mathbf C \to \mathbf C$ в сумму четырех функций
$$
f(z) = f_0(z) + f_1(z) + f_2(z) + f_2(z)
$$
где $f_0(iz) = f_0(z)$, $f_1(iz) = if_1(z)$, $f_2(iz) = -f_2(z)$ и $f_3(iz) = -if_3(z) $ для всех $z \in \mathbf C$. Вот формулы для каждой из функций:
$$
f_0(z) = \frac{f(z) + f(iz) + f(-z) + f(-iz)}{4},
$$
$$
f_1(z) = \frac{f(z) — if(iz) — f(-z) + if(-iz)}{4},
$$
$$
f_2(z) = \frac{f(z) — f(iz) + f(-z) — f(-iz)}{4},
$$
$$
f_3(z) = \frac{f(z) + if(iz) — f(-z) — if(-iz)}{4}.
$$
Эти формулы усреднения являются обобщениями написанных вами формул для определения четных/нечетных частей функции $\mathbf R \to \mathbf R$. И это полезно в анализе Фурье, поскольку преобразование Фурье по функциям имеет порядок $4$.