Неполный дискриминант: Как решать неполные квадратные уравнения? Примеры и Формулы

Как решать неполные квадратные уравнения? Примеры и Формулы

Поможем понять и полюбить математику

Начать учиться

219.8K

В 8 классе на алгебре проходят темы, которые точно встретятся на ЕГЭ. Пора навострить уши! В этой статье расскажем, какие квадратные уравнения называются неполными и как их решать.

Основные понятия

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Степень уравнения можно определить по наибольшей степени, в которой стоит неизвестное. Если неизвестное стоит во второй степени — это квадратное уравнение.

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b² − 4ac. А вот свойства дискриминанта:

• если D < 0, корней нет;
• если D = 0, есть один корень;
• если D > 0, есть два различных корня.

Неполное квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

Неполные квадратные уравнения бывают трех видов: Если b = 0, то квадратное уравнение принимает вид ax² + 0x+c=0 и оно равносильно ax² + c = 0. Если c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² + bx + 0 = 0, иначе его можно написать как ax² + bx = 0. Если b = 0 и c = 0, то квадратное уравнение выглядит так ax² = 0. Такие уравнения отличаются от полного квадратного тем, что их левые части не содержат слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения.

Реши домашку по математике на 5.

Подробные решения помогут разобраться в самой сложной теме.

Решение неполных квадратных уравнений

Как мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:

• ax² = 0, ему отвечают коэффициенты b = 0 и c = 0;
• ax² + c = 0, при b = 0;
• ax² + bx = 0, при c = 0.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курс подготовки к ЕГЭ по математике (профиль).

Как решить уравнение ax² = 0

Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax² = 0.

Уравнение ax² = 0 равносильно x² = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x² = 0 является нуль, так как 0² = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² = 0 имеет единственный корень x = 0.

Пример 1. Решить −5x² = 0.

Как решаем:

 

1. Замечаем, что данному уравнению равносильно x2 = 0, значит исходное уравнение имеет единственный корень — нуль.


2. По шагам решение выглядит так:

   −5x² = 0

   x² = 0

   x = √0

   x = 0

   Ответ: 0.

Как решить уравнение ax² + с = 0

Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax² + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный.

Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. То есть одно и то же, только с другими цифрами.

Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax² + c = 0:

• перенесем c в правую часть: ax² = — c,
• разделим обе части на a: x² = — c/а.

Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений

a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи.

Если — c/а < 0, то уравнение x² = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а < 0 ни для какого числа p равенство р² = — c/а не является верным.

Если — c/а > 0, то корни уравнения x² = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а)² = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а)² = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.

В двух словах квадратное уравнение ax² + c = 0 равносильно уравнению ax² + c = 0, которое:

• не имеет корней при — c/а < 0;
• имеет два корня х = √- c/а и х = -√- c/а при — c/а > 0.

Пример 1. Найти решение уравнения 9x² + 4 = 0.

Как решать:

 

1. Перенесем свободный член в правую часть:

   9x² = — 4



2. Разделим обе части на 9:

   x² = — 4/9



3. В правой части осталось число со знаком минус, значит у данного уравнения нет корней.

Ответ: уравнение 9x² + 4 = 0 не имеет корней.

Пример 2. Решить -x² + 9 = 0.

Как решаем:

 

1. Перенесем свободный член в правую часть:

   -x² = -9



2. Разделим обе части на -1:

   x² = 9



3. Найти корни:

   x = √9

   x = -3, 3

Ответ: уравнение -x² + 9 = 0 имеет два корня -3; 3.

Как решить уравнение ax² + bx = 0

Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0.

Квадратное уравнение без с непривычно решать только первые несколько примеров. Запомнив алгоритм, будет значительно проще щелкать задачки из учебника.

Неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель

x.

Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a.

Таким образом, неполное квадратное уравнение ax² + bx = 0 имеет два корня:

• x = 0;
• x = −b/a.

Пример 1. Решить уравнение 2x² — 32x = 0

Как решать:

 

1. Вынести х за скобки

   х(2x — 32) = 0



2. Это уравнение равносильно х = 0 и 2x — 32 = 0.


3. Решить линейное уравнение:

   2x = 32,

   х = 32/2



4. Разделить:

   х = 16



5. Значит корни исходного уравнения — 0 и 16.

Ответ: х = 0 и х = 16.

Пример 2. Решить уравнение 3x² — 12x = 0

Как решать:

Разложить левую часть уравнения на множители и найти корни:

Ответ: х = 0 и х = 4.

Для удобства мы собрали все виды неполных квадратных уравнений и способы их решения на одной картинке-шпаргалке.

 

Шпаргалки для родителей по математике

Все формулы по математике под рукой

Лидия Казанцева

Автор Skysmart

К предыдущей статье

126.1K

Что такое угол? Виды углов

К следующей статье

Что такое аксиома, теорема и доказательство теоремы

Получите план обучения, который поможет понять и полюбить математику

На вводном уроке с методистом

1. Выявим пробелы в знаниях и дадим советы по обучению

2. Расскажем, как проходят занятия

3. Подберём курс

Неполные квадратные уравнения.

Примеры и решение

• Решение неполных квадратных уравнений

Неполное квадратное уравнение – это уравнение вида

ax² + bx + c = 0,

в котором хотя бы один из коэффициентов  b  или  c  равен нулю. Следовательно, неполное квадратное уравнение может иметь вид:

ax2 + bx = 0,	если   c = 0;
ax2 + c = 0,	если   b = 0;
ax2 = 0,	если   b = 0   и   c = 0.

Чтобы решить уравнение вида  ax² + bx = 0,  надо разложить левую часть уравнения на множители, вынеся  x  за скобки:

x(ax + b) = 0.

Произведение может быть равно нулю только в том случае, если один из множителей равен нулю, значит:

x = 0   или   ax + b = 0.

Чтобы  ax + b  было равно нулю, нужно, чтобы

x = —	b	.
	a

Следовательно, уравнение  ax² + bx = 0  имеет два корня:

x1 = 0   и   x2 = —	b	.
	a

Неполные квадратные уравнения вида  ax² + bx = 0,  где  b ≠ 0,  решаются разложением левой части на множители. Такие уравнения всегда имеют два корня, один из которых равен нулю.

Пример 1. Решите уравнение:

a² — 12a = 0.

Решение:

a2 — 12a = 0
a(a — 12) = 0
a1 = 0	a — 12 = 0
	a2 = 12

Пример 2. Решите уравнение:

7x² = x.

Решение:

7x2 = x

7x2 — x = 0

x(7x — 1) = 0

x1 = 0	7x — 1 = 0
	7x = 1
	x2 =  1 7

Чтобы решить уравнение вида  ax² + c = 0,  надо перенести свободный член уравнения  c  в правую часть:

ax2 = —c,   следовательно,   x2 = —	c	.
	a

В этом случае уравнение не будет иметь корней, так как квадратный корень нельзя извлечь из отрицательного числа.

Если данное неполное уравнение будет иметь вид  x² — c = 0,  то сначала опять переносим свободный член в правую часть и получаем:

x² = c.

В этом случае уравнение будет иметь два противоположных корня:

x₁ = +√c ,     x₂ = -√c .

Неполное квадратное уравнение вида  ax² + c = 0,  где  c ≠ 0,  либо не имеет корней, либо имеет два корня, которые являются противоположными числами.

Пример 1. Решите уравнение:

24 = 2y².

Решение:

24 = 2y2
24 — 2y2 = 0
-2y2 = -24
y2 = 12
y1 = +√12	y2 = -√12

Пример 2. Решите уравнение:

b² — 16 = 0.

Решение:

b2 — 16 = 0
b2 = 16
b1 = 4	b2 = -4

Уравнение вида  ax² = 0  всегда имеет только один корень:  x = 0.  Так как  a ≠ 0,  то из  ax² = 0  следует, что  x² = 0,  значит, и  x = 0.  Любое другое значение  x  не будет являться корнем данного уравнения.

Дискриминантное значение психологического дистресса, профилей симптомов и сегментарной дисфункции толстой кишки у амбулаторных пациентов с тяжелым идиопатическим запором.

Текст статьи

Меню статьи

• Статья
  Текст
• Артикул
  Информация
• Цитата
  Инструменты
• Поделиться
• Быстрое реагирование
• Артикул
  метрика
• Оповещения

PDF

Исследовательская статья

Дискриминантное значение психологического дистресса, профилей симптомов и сегментарной дисфункции толстой кишки у амбулаторных пациентов с тяжелым идиопатическим запором.

Бесплатно

1. R L Grotz,
2. J H Pemberton,
3. N J Talley,
4. D M Rath,
5. AR Zinsmeister

900 07
Департамент медицинских исследований, клиника Майо, Рочестер.

Аннотация

Тяжелые идиопатические запоры могут быть классифицированы на основании физиологических тестов на подгруппы, включая запоры с медленным транзитом и дисфункцию тазового дна. Это исследование было направлено на то, чтобы определить, могут ли толстокишечные и психологические симптомы или время транзита ректосигмовидной кишки различать эти подгруппы. Пациенты, классифицированные в соответствии с общим временем транзита по толстой кишке и тестированием функции тазового дна, заполняли анкету самоотчета, в которой регистрировались симптомы и психологический дистресс. Пациенты с нормальным транзиторным запором (n = 60) имели значительно более высокие показатели депрессии по сравнению с теми, у кого был медленный транзитный запор (n = 70) или дисфункция тазового дна (n = 30). Общий индекс тяжести (GSI, мера общего психологического дистресса) отрицательно, но слабо коррелировал с общим толстокишечным транзитом (r = -0,26, p <0,01). Ощущение анальной закупорки было единственным симптомом, связанным с дисфункцией тазового дна (при нормальных транзитных запорах). Только более регулярный характер дефекации, использование различных поз для дефекации и ощущение неполной эвакуации были связаны с медленным или нормальным транзиторным запором. Однако психологические или толстокишечные симптомы не были значимыми дискриминаторами в многомерном анализе. Время ректосигмовидного транзита при чувствительности 80% имело очень низкую специфичность для дифференциации дисфункции тазового дна от других подгрупп. Сделан вывод о том, что клинические симптомы, психологический дистресс и время ректосигмовидного транзита не могут быть использованы для выделения подгрупп пациентов с трудноизлечимыми запорами.

http://dx.doi.org/10.1136/gut.35.6.798

Статистика с сайта Altmetric.

com

Запрос разрешений

направит вас к службе RightsLink Центра защиты авторских прав. Вы сможете получить быструю цену и мгновенное разрешение на повторное использование контента различными способами.

Прочитать полный текст или скачать PDF:

Подписаться

Войти под своим именем пользователя и паролем

Для личных счетов ИЛИ менеджеров институциональных счетов

Имя пользователя *

Пароль *

Забыли данные для входа? Зарегистрировать новую учетную запись?

Забыли имя пользователя или пароль?

Квадратное уравнение

Квадратное уравнение

Введение

Квадратное уравнение представляет собой уравнение вида ax ² + bx + c = 0, где a, b и c — константы, а a ≠ 0. 0003

Происхождение слова «квадратный» — латинское. На латыни «квадратный» используется для «квадратный» . Поскольку наибольшая степень неизвестной переменной, которая появляется в уравнении, равна квадрату (степень 2), поэтому подобные уравнения стали известны как квадратные уравнения.

<---- Рекламные объявления ---- >

Стандартная форма квадратного уравнения

Стандартная форма квадратного уравнения: ax ² + bx + c = 0, где

◾ a, b и c — константы и

◾ и не равны 0 (нулю).

Вот несколько примеров стандартной формы квадратного уравнения:

Уравнение	Коэффициент
х 2 + 2х + 1 = 0	, где а = 1, b = 2 и с = 1
х 2 + 5х + 11 = 0	, где а = 1, b = 5 и с = 11

<----- Рекламные объявления ----- >

Полное квадратное уравнение

◾ Когда b не равно нулю

Некоторые примеры полного квадратного уравнения
◾ x 2 + 2x + 1 = 0, где a = 1, b = 2 и c = 1
◾ x 2 + 5x + 11 = 0, где a = 1, b = 5 и c = 11

Чистое или неполное квадратное уравнение

◾ Когда b равно нулю, уравнение называется чистым или неполным квадратным уравнением относительно x.

Некоторые примеры чистой или неполной формы квадратного уравнения
◾ 6x 2 – 24 = 0, где b = 0
◾ 6x 2 – 11 = 0, где b = 0

Корни квадратного уравнения

Корни или решение квадратного уравнения оси ² + bx + c =0 — это значения переменной ‘x’, которые удовлетворяют квадратному уравнению, т.е. делают ось ² +bx+c равно нулю.

Например:

x ² + 5x — 50 = 0

x ² — 5x + 10x -50 = 0

x(x — 5) + 10(х — 5) = 0

(x — 5) (x + 10) = 0

x = 5 и x = -10

Как вы можете видеть, подстановка 5 или -10 вместо x дает квадратное уравнение x ² + 5x — 10 равно нулю. Следовательно, 5 и -10 являются корнями квадратного уравнения х ² + 5х — 50 = 0,




Решение квадратного уравнения

Существует три метода решения квадратного уравнения:

◾ С помощью факторизации

◾ Составляя квадрат

◾ С помощью формулы квадрата

Решение С помощью факторизации

Пошаговый процесс решения квадратного уравнения методом факторизации:

Шаг 1: Преобразуйте уравнение в стандартную форму, которая представляет собой ось 9. 0092 2 + bx + c = 0. Если правая часть не равна нулю, перенесите ее в левую часть и сделайте правую часть нулевой.

Шаг 2: Полностью факторизуем левую часть.

Шаг 3: Используйте закон нулевого коэффициента: если pq = 0, то p = 0 или q = 0.

Шаг 4: Решите полученные линейные уравнения, приравняв каждый из линейных коэффициентов нулю. Эти значения x будут решением квадратного уравнения.

Пример: решить 3x ² + 5x — 5 = -3

Шаг 1: Перестановка в стандартной форме

3x ² + 5x -5 + 3 = 0

3x ² + 5х — 2 = 0

Шаг 2: Факторизация левой части 2) = 0

Шаг 3: Приравняйте каждый линейный коэффициент к нулю.

3x – 1 = 0 или x + 2 = 0

3x = 1 или x = -2

х = 1/3, х = — 2 являются корнями уравнения.

Ловушка:

У вас может возникнуть соблазн разделить обе части на выражение, включающее x. Если вы сделаете это, вы получите только одно решение уравнения (одно значение или один корень из x) и можете потерять другое решение (значение x).

Например: рассмотрим x ² = 7x

Правильное решение:

x ² = 7x

x ² -7 х=0

х(х-7)=0

x=0 и X=7

Неверное решение:

x ² = 7x

Разделив обе части на x, получим

X=7

выше — неправильный способ решения уравнения, так как мы не смогли найти другое значение x, равное нулю.

Решение путем заполнения квадрата

Как вы уже знаете, все квадратные уравнения не могут быть легко разложены на множители. Например, x ² + 4x + 1 нельзя разложить на множители простой факторизацией. Это означает, что мы не можем написать x ² + 4x + 1 в виде (x — a)(x — b), где a, b — рациональные числа.

Существует альтернативный способ решения уравнений типа x ² + 4x + 1 = 0, то есть завершает квадрат .

Уравнения вида ax ² + bx + c = 0 можно преобразовать к виду (x + p) ² = q . Так легко найти решения.

Пошаговый процесс решения квадратного уравнения путем заполнения квадрата:

Шаг I: Приведите квадратное уравнение в стандартную форму ax ² + bx + c = 0.

Шаг II: теперь разделите обе части уравнения на коэффициент x ² , если он еще не равен 1.

Шаг III: Сдвиньте постоянную часть вправо.

Шаг IV: Добавьте квадрат половины коэффициента x к L.H.S. и Р.Х.С.

Шаг V: Запишите левую сторону как полный квадрат и упростите правую сторону.

Шаг VI: Найдите x, извлекая квадратный корень из L.H.S. и Р.Х.С.

Решим квадратное уравнение -3x ² + 12x + 5 = 0 через «заполнение квадрата»

-3x ² + 12x + 5 = 0

x 90 092 2 — 4x — (5 /3) = 0

x ² — 4x = (5/3)

x ² — 4x + 2 ² = (5/3) + 2 ²

(x — 2) ² = (17/3)

x — 2 = ± √(17/3)

x = 2 ± √(17/3)

x ₁ = 2 + √(17/3)

x ₂ = 2 — √(17/3)

Итак, Здесь x ₁ и x ₂ — корни уравнения.

С помощью квадратной формулы

Квадратная формула, которая также может быть использована для решения любого квадратного уравнения, получается из решения квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0 , a ≠ 0 для x путем заполнения квадрата.

В некоторых случаях решение квадратного уравнения путем разложения на множители или завершения квадрата требует много времени, долго или сложно. В таких случаях мы используем квадратную формулу для решения квадратного уравнения.

Пошаговый процесс решения квадратного уравнения по квадратной формуле:

Шаг I: Приведите квадратное уравнение в стандартную форму оси ² + b x + c = 0.

Шаг II: Сравните квадратное уравнение, которое нужно решить, со стандартным квадратным уравнением и найдите значения коэффициентов a, b и c.

Шаг III: Поместите эти значения a, b и c в квадратичную формулу.

Корни (x 1 , x 2 ) =	−b ± √ b2 − 4ac
	2a

Как видно из формулы. Квадратичная формула вычисляет два значения x: x ₁ и x ₂ , где

x 1 =	−b + √ b2 − 4ac
	2a

x 2 =	−b — √ b2 − 4ac
	2a

Эти два значения x, для которых верно ax ² + bx + c = 0, называются решениями квадратного уравнения, также называемыми корнями квадратного уравнения.

Шаг I: — Преобразуйте квадратное уравнение, которое вы хотите решить, в стандартную форму квадратного уравнения, ax ² + bx + c = 0

Например, если у вас есть квадратное уравнение в форме x ² — 10x = -24, затем преобразуйте его в стандартную форму квадратного уравнения.

х ² -10x = -24 преобразуется в x ² — 10x + 24 = 0

Шаг II: — Найдите значение коэффициента a, b и c, сравнив его со стандартной формой квадратного уравнения ax ² + bx + c = 0

Например, сравнивая x ² — 10x + 24 = 0 с ax ² + bx + c = 0, получаем

a = 1,
b = -10,
c = 24

Шаг III:

Корни (x 1 , x 2 ) =	−b ± √ b2 − 4ac
	2a

x 1 =	−b + √ b2 − 4ac
	2a

=    9013 4	−(-10) + √ (-10)2 − 4(1)(24)	= 6
	2(1)

x 2 =	−b — √ b2 − 4ac
	2a

=    9013 4	−(-10) — √ (-10)2 − 4(1)(24)	= 4
	2(1)

Дискриминация муравей

Мы узнали, что квадратичная формула равна

Корни (x 1 , x 2 ) =	−b ± √ b2 − 4ac
	2a

4ac» , стоящее под знаком квадратного корня, называется дискриминантом квадратного уравнения.

Дискриминант = b ² — 4ac

Выражение «b ² – 4ac» говорит о характере корней квадратного уравнения. Корни могут быть действительными, равными или мнимыми.

Возможны три случая:

◾ Если б ² – 4ас мнимое и неравное.

◾ Если b ² – 4ac = 0, то корни будут вещественными, равными и рациональными . (Это означает, что левая часть уравнения представляет собой идеальный квадрат).

◾ Если b ² – 4ac > 0, то корни вещественные и неравные.

Если b ² – 4ac > 0, то корни действительные и неравные и их две возможности — Здесь корни могут быть рациональными или иррациональными

◾ b ² – 4ac – полный квадрат, корни вещественные, рациональные и неравные . (Это означает, что уравнение может быть решено путем факторизации).

◾ b ² – 4ac не является совершенным, тогда корни вещественные, иррациональные и неравные.

Сводка

Значение дискриминанта Случаи	Корни квадратного числа	Факторизация квадратного числа
Значение дискриминанта > 0	два действительных различных корня	два различных линейных коэффициента
Значение дискриминанта = 0	два одинаковых действительных корня	два одинаковых линейных коэффициента
Значение дискриминанта	Нет настоящих корней	Невозможно разложить на множители

Случай I — когда дискриминант > 0 002 Ответ

x ² + 7x + 4 = 0

Дискриминант = b ² – 4ac

Здесь a = 1, b = 7 и c = 4

Дискриминант = 7 ² – 4 x 1 x 4 = 49 — 16 = 33

Дискриминант > 0, следовательно, существует два действительных корня

Случай II.

No related posts.