Электронный учебник по математическому анализу
3.3 Непрерывные функции
3.2 Функции непрерывной переменной
3.3.1 Определения
Обсуждаются функции вещественной переменной, заданные на некотором интервале вещественной оси $(a,b) \subset \mathbb{R}$.
Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0 \in (a,b)$, если
1. Имеется конечный предел \[ A=\lim _{x \rightarrow x_0}f(x) . \]
2. Этот предел совпадает со значением функции $f(x)$ в точке $x_0$, $A=f(x_0)$.
Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0 \in (a,b)$ слева, если
1. Имеется конечный предел \[ A=\lim _{x \rightarrow x_0-0}f(x) . \]
2. Этот предел совпадает со значением функции $f(x)$ в точке $x_0$, $A=f(x_0)$.
Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной в точке $x_0 \in (a,b)$ справа, если
1. Имеется конечный предел \[ A=\lim _{x \rightarrow x_0+0}f(x) . \]
2. Этот предел совпадает со значением функции $f(x)$ в точке $x_0$, $A=f(x_0)$.
Теорема. Функция $f(x)$ непрерывна в точке $x_0 \in (a,b)$ тогда и только тогда, когда она одновременно непрерывна слева и справа в этой точке.
Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной на интервале $(a,b)$, если она непрерывна в любой точке этого интервала.
Определение. Функция $f(x)$ называется непрерывной на интервале $\left[a,b\right]$, если она непрерывна в любой точке интервала $(a,b)$, в точке $a$ непрерывна справа, а в точке $b$ непрерывна слева.
3.3.2 Основные свойства
С помощью арифметики пределов нетрудно доказать соответствующие свойства непрерывных функций.
Если функции $f(x)$, $g(x)$ непрерывны в точке $x_0$, то
1. Функция $f(x)+g(x)$ непрерывна в точке $x_0$,
2. Функция $f(x)\cdot g(x)$ непрерывна в точке $x_0$,
3. Если при этом $g(x_0)\neq 0$, то функция $\frac{f(x)}{g(x)}$ непрерывна в точке $x_0$.
Теорема.
Любая элементарная функция непрерывна в тех точках, где она не обращается в бесконечность.Теорема. Если $f(x)$ непрерывна в точке $x_0$, функция $g(y)$ непрерывна в точке $y_0=f(x_0)$, то сложная функция $h(h)=g(f(x))$ непрерывна в точке $x_0$.
Теорема. Пусть $f(x)$ непрерывна на интервале $\left [a,b\right ]$. Тогда существуют конечные числа $m$ и $M$ со следующими свойствами.
1. Для всех $x \in \left [a,b\right ]$ выполняются неравенства: $ m \leq f(x) \leq M $.
2. Существуют точки $ x_1,x_2 \in \left [a,b\right ] $ такие, что $ f(x_1)=m $, $ f(x_2)=M $.
3. Для любого числа $ C $, удовлетворяющего неравенству $ m
Число $m$ называется глобальным минимумом функции $f(x)$ на интервале $\left [a,b\right ]$ (наименьшим значением), Число $m$ называется глобальным максимумом функции $f(x)$ на интервале $\left [a,b\right ]$ (наибольшим значением). Теорема, в частности, утверждает, что на интервале $\left [a,b\right ]$ существует решение уравнения $f(x)=C$ для любого $C$, $m \leq C \leq M$.
3.3.3 Разрывы функции
Нарушение того или иного условия, фиксирующего непрерывность функции в точке $x_0$, приводит к появлению особенности в локальном поведении функции в данной точке.
Определение. Если существует конечный предел $A=\lim _{x \to x_0} f(x)$, причем $A \neq f(x_0)$, точка $x=x_0$ называется устранимой особой точкой функции $f(x)$.
Устранимую особую точку можно «исправить», определив $f(x)=A$, так что точка $x_0$ становится точкой непрерывности «исправленной» $f(x)$.
Определение. Если существуют конечные левые и правые пределы $f(x)$ в точке $x_0$, но они не совпадают, точка $x_0$ называется точкой \textbf{разрыва первого рода} функции $f(x)$.
Пример.
Типичным примером функции с разрывом первого рода является функция-ступенька $\theta (x)$, которая определяется следующим образом: $\theta (x) =0, x
Определение. Если существуют левый и правый пределы функции $f(x)$ в точке $x=x_0$, причем хотя бы один из них бесконечен, точка $x=x_0$ называется точкой \textbf{разрыва второго рода} функции $f(x)$. 2-4}.$$
3. $$ y=\sin \left(\frac{\pi }{x+3}\right).$$
4. $$ y=arctg \left( \frac{1}{x}\right ). $$
3.2 Функции непрерывной переменной
10.3. Свойства непрерывных на отрезке функций
Свойства непрерывных на отрезке функций
Приведем без доказательства ряд теорем, относящихся к функциям, непрерывным на отрезке. Каждая из этих теорем имеет важное самостоятельное значение в математическом анализе. Несмотря на кажущуюся простоту и очевидность смысла данных теорем, доказать их оказалось делом нелегким. Это удалось осуществить сравнительно недавно – в XIX веке – выдающимся математикам: Вейерштрассу, Больцано, Коши. Современные ученые по достоинству оценили эти результаты и распространили их на наиболее сложные математические объекты исследования.
ТЕОРЕМА 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.
Рис. 10.4. Достижение непрерывной функцией своих |
Геометрический смысл данной теоремы иллюстрируется на рис. 10.4.
Наибольшее значение функции достигается сразу в двух точках области определения функции: на конце отрезка в точке и в его внутренней точке C, которая является ее максимумом. Наименьшее значение достигается не в точке минимума, а на конце B этого отрезка. Этот пример показывает, что минимум и максимум функции не всегда являются ее наименьшим и наибольшим значениями.
Условия непрерывности функции и замкнутости промежутка, на котором она рассматривается, чрезвычайно важны. Невыполнение хотя бы одного из этих условий может нарушить справедливость теоремы. Например, функция на отрезке [-3,1] не является непрерывной, она имеет при бесконечный разрыв, поэтому указать для нее наибольшее и наименьшее значения невозможно. Более того, если непрерывную на отрезке функцию переопределить всего лишь в одной (!) точке, то есть допустить устранимый разрыв, то сформулированная теорема может оказаться неверной. Например, функция на достигает наименьшее значение, равное нулю, при и . Наибольшее значение, равное единице, достигается при . Однако стоит только переопределить эту функцию, положив, что
(рис. 10.5), как возможность достижения наибольшего значения новой функцией окажется неосуществима: как бы близко мы ни подошли к значению , функция будет принимать значения, сколь угодно близкие к единице, но не равные ей. Следует отметить, что если принять , то утверждения теоремы 1 будут выполнены; то есть теорема 1 дает лишь достаточное условие достижения наибольшего и наименьшего значений функции.
Рис. 10.5. Существование глобального экстремума при нарушении одного из условий теоремы 1. |
Аналогично, если только допустить, что функция непрерывна не на отрезке , а, предположим, на полуинтервале, например, , то утверждение теоремы 1 может оказаться верным, а может и не быть таковым. Например, функция на Достигает наименьшего значения – нуля, в точке , а наибольшего – единицы, когда . Однако этой же функцией на наименьшее значение, равное нулю, при достигается, а наибольшее значение достигнуто быть не может.
ТЕОРЕМА 2. Если функция непрерывна на отрезке и принимает на его концах значения разных знаков, то в интервале найдется хотя бы одна такая точка c , в которой функция обратится в нуль:
.
Сохранится ли утверждение теоремы, если функция имеет в некоторой точке отрезка устранимый разрыв? |
Геометрический смысл теоремы иллюстрируется рисунком 10.6. Функция, график которой здесь приведен, обращается в нуль даже в трех точках.
Данная теорема имеет важное значение для обоснования методов отыскания приближенных решений уравнения:
Рис. 10.6. Функция, удовлетворяющая условиям |
.
Согласно ей, достаточно найти для непрерывной функции отрезки, на концах которых она имеет разные знаки, чтобы утверждать о существовании на них хотя бы одного действительного корня. Эта теорема могла бы иметь еще большее значение, если бы она указывала способ отыскания таких корней. В настоящее время математика богата самыми разнообразными методами приближенного решения уравнения . Все они основываются на теореме 2.
Она важна также для обоснования метода интервалов при решении неравенств
,
Где – непрерывная функция.
Пусть … – Корни уравнения
.
Они разбивают область определения функции на отрезки так, что на их концах функция обращается в нуль. Внутри этих отрезков функция сохраняет знак, так как в противном случае существовали бы внутренние точки промежутков, в которых функция обратилась бы в нуль, что невозможно: ведь все корни уравнения мы уже выделили. Если функция имеет разрывы, то при решении неравенства их надо присоединить к корням уравнения. Взяв произвольную точку на каждом из полученных интервалов, мы определим на нем знак функции.
Рассмотрим пример:
.
Свяжем с данным неравенством функцию
.
Отметим на числовой оси нули, точки разрыва функции, а также интервалы знакопостоянства (рис. 10.7).
Рис. 10.7. Интервалы знакопостоянства данной функции. |
Отсюда видно, что решением неравенства будет
.
ТЕОРЕМА 3. Если функция непрерывна на отрезке и M – ее наименьшее значение, а М – наибольшее, то для любого числа , лежавшего между m и М, найдется такое значение аргумента , что (рис. 10.8).
Рис. 10.8. Функция, удовлетворяющая условиям Теоремы 3. |
Смысл данной теоремы состоит в том, что непрерывная на отрезке функция принимает все значения, заключенные между ее наименьшим и наибольшим значениями, а потому ее называют теоремой о промежуточных значениях непрерывных функций.
< Предыдущая | Следующая > |
---|
7. Непрерывные и прерывистые функции
М. Борна
Этот раздел связан с предыдущим разделом, посвященным домену и диапазону функции. Есть некоторые функции, которые не определены для определенных значений x .
Непрерывные функции
Рассмотрим график f ( x ) = x 3 — 6 x 2 — x + 30:
1234567-1-2-3-43060-30-60-92 — x + 30`, непрерывный граф.Мы видим, что на кривой нет «пробелов». Любое значение x даст нам соответствующее значение y . Мы могли бы продолжить график в отрицательном и положительном направлениях, и нам никогда не пришлось бы отрывать карандаш от бумаги.
Такие функции называются непрерывными функциями .
Функции с разрывами
Теперь рассмотрим функцию `f(x) = 1/(x-1)`
Заметим, что кривая не является непрерывной при `x = 1`.
12345-1-2-351015-5-10-15xyОткрыть изображение на новой страницеГрафик `y=1/(x-1)`, прерывистый граф.
Мы видим, что мелочи в x вблизи `x = 1` дает очень большое изменение значения функция.
Чтобы функция была непрерывной в точке, функция должна существовать в точке, и любое небольшое изменение в 92-x)`, разрывная функция.
Мы видим, что небольшие изменения в x около 0 (и около 1) производят большие изменения значения функции.
Мы говорим, что функция является прерывистой , когда x = 0 и x = 1.
Для этой функции существует 3 асимптот (линий, к которым кривая приближается, но не касается). Это ось «x», ось «y» и вертикальная линия «x=1» (обозначена пунктирной линией на графике выше). 92-x)` в представлении графика по умолчанию в Scientific Блокнот:
Он показывает нам все вертикальные значения, которые он может (от чрезвычайно малое отрицательное число в очень большое положительное число) — но мы не можем видеть никаких деталей (конечно, ни одной из кривых).
Нам нужно ограничить значения и , чтобы мы могли видеть истинные форму кривой, вот так (я изменил вид вертикальная ось от -12 до 10):
Непрерывность и дифференциация
Позже вы познакомитесь с концепцией дифференциации. Мы узнаем, что функция дифференцируема только тогда, когда она непрерывна.
Непрерывные функции, три сильные теоремы |
Какими должны быть функции стоимости машинного обучения
В этом посте мы рассмотрим некоторые теоремы, необходимые для применения непрерывных функций.
В прошлом посте наши теоремы включали непрерывность в какой-то точке, в следующих они требуют непрерывности на всем интервале, если непрерывность не выполняется в одной точке, выводы этих теорем могут быть неверны.
Теорема 1
IF F — непрерывность [A, B] и F (A) <0
Проще говоря, это означает, что график непрерывной функции, начинающийся ниже горизонтальной оси и заканчивающийся над ней, должен пересечь эту ось в какой-то точке.
Пример теоремы 1, сгенерированный самостоятельно.Теорема 2
Если f непрерывна на [a,b] , то f ограничена сверху на [a,b] , то есть, есть около N , так что F (x) ≤n для всех x в x в x в x в x . .
Проще говоря, это означает, что график f линий ниже некоторой линии, параллельной горизонтальной оси.
Пример теоремы 2, сгенерированный самостоятельно.Теорема 3
Если f непрерывно на [A, B] , затем приходит около номера Y в [A, B] Такой, что F (Y)> F (x) для всех x в [a,b] .
Проще говоря, это означает, что непрерывная функция на замкнутом интервале принимает максимальное значение на этом интервале.
Пример теоремы 3, сгенерированный самостоятельно.Четвертая и пятая теоремы являются обобщениями теоремы 1, где вы можете переместить 0 строк в любое c между концом и началом функции:
Теоремы 4 и 5
непрерывно на [A, B] и F (A)
IF F — непрерывно на [A, B] и F (A)> C> F (B) , то есть около 6. x в [a,b] такое, что f (x)= c .
Теоремы 4 и 5 вместе показывают, что f принимает любое значение от f(a) до f(b) .
Теорема 6
IF F — непрерывно на [A, B] , затем F . , то есть существует некоторое число N такое, что f(x) > N для всех x в [a,b] .
Теоремы 2 и 6 вместе показывают, что непрерывная функция f на [a,b] ограничена на [a,b] .
Теорема 7
IF F — непрерывность [A, B] , затем около Y в Y в Y . Таким образом, F (Y) ≤ F (x) для всех x в [A, B] .
Это означает, что непрерывная функция на замкнутом интервале принимает свое минимальное значение на этом интервале.
Теоремы 8 и 9
Каждое положительное число имеет квадратный корень. Другими словами, если a > 0 , то существует некоторое число 9(n-1)+…+a0 = c и предположим, что n четно. Тогда существует число m такое, что уравнение имеет решение для c ≥m и не имеет решения для c < m 6 .
Ограниченное множество
Множество действительных чисел ограничено выше , если есть число x таким образом, что x ≥ a для каждого a в A . Такое число называется верхней границей.
Это может определить функцию, ограниченную сверху и снизу, используя x ≤ a.
Некоторые примеры неограниченных множеств: R (действительные числа), N (натуральные числа), ограниченное множество A = {x:1 ≤ x < 4} .
Наименьшая верхняя граница
Число x — Наименьшая верхняя граница из A IF x — верхняя граница A и Y — верхняя ограниченная ограничение 9963 99669 3 . , затем x≤y .
Как и в случае с ограничениями выше, мы можем определить наибольшую нижнюю границу, просто инвертируя определение:
Число x является наибольшей нижней границей из A IF x — нижняя граница A и Y — нижняя граница A , затем 5666.
Отсюда мы можем показать, что существуют две верхние границы x и y , x≤y и y≤x, , поэтому x3 6 y 9000.
Мы будем использовать супремум из A для выражения наименьшей верхней границы и сокращения до sup A . Мы будем называть наибольшую нижнюю границу infimum of A , сокращенно inf A .
Наличие только одной наименьшей верхней границы
Если A не ограничено сверху, то A вообще не имеет верхней границы, поэтому нельзя ожидать, что A будет иметь наименьшую верхнюю границу.
Свойство наименьшей верхней границы : Если A является набором действительных чисел, A ≠ ∅ и A ограничено сверху, то A имеет наименьшую верхнюю границу.