Неравенства примеры решения: Неравенства. Виды неравенств

Дистанционный репетитор — онлайн-репетиторы России и зарубежья

КАК ПРОХОДЯТ
ОНЛАЙН-ЗАНЯТИЯ?

Ученик и учитель видят и слышат
друг друга, совместно пишут на
виртуальной доске, не выходя из
дома!

КАК ВЫБРАТЬ репетитора

Выбрать репетитора самостоятельно

ИЛИ

Позвонить и Вам поможет специалист

8 (800) 333 58 91

* Звонок является бесплатным на территории РФ
** Время приема звонков с 10 до 22 по МСК

ПОДАТЬ ЗАЯВКУ

Россия +7Украина +380Австралия +61Белоруссия +375Великобритания +44Израиль +972Канада, США +1Китай +86Швейцария +41

Выбранные репетиторы

Заполните форму, и мы быстро и бесплатно подберем Вам дистанционного репетитора по Вашим пожеланиям.
Менеджер свяжется с Вами в течение 15 минут и порекомендует специалиста.

Отправляя форму, Вы принимаете Условия использования и даёте Согласие на обработку персональных данных

Вы также можете воспользоваться
расширенной формой подачи заявки

Как оплачивать и СКОЛЬКО ЭТО СТОИТ

от
800 до 5000 ₽

за 60 мин.

и зависит

ОТ ОПЫТА и
квалификации
репетитора

ОТ ПОСТАВЛЕННЫХ ЦЕЛЕЙ ОБУЧЕНИЯ
(например, подготовка к олимпиадам, ДВИ стоит дороже, чем подготовка к ЕГЭ)

ОТ ПРЕДМЕТА (например, услуги репетиторовиностранных языков дороже)

Оплата непосредственно репетитору, удобным для Вас способом

Почему я выбираю DisTTutor

БЫСТРЫЙ ПОДБОР

РЕПЕТИТОРА И
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПОДХОД

ОПТИМАЛЬНОЕ
СООТНОШЕНИЕ ЦЕНЫ И
КАЧЕСТВА

ПРОВЕРЕНЫ ДОКУМЕНТЫ ОБ ОБРАЗОВАНИИ У ВСЕХ РЕПЕТИТОРОВ

НАДЕЖНОСТЬ И ОПЫТ.
DisTTutor на рынке с 2008 года.

ПРОВЕДЕНИЕ БЕСПЛАТНОГО, ПРОБНОГО УРОКА

ЗАМЕНА РЕПЕТИТОРА, ЕСЛИ ЭТО НЕОБХОДИМО

375958 УЧЕНИКОВ ИЗ РАЗНЫХ СТРАН МИРА
уже сделали свой выбор

И вот, что УЧЕНИКИ ГОВОРЯТ
о наших репетиторах

Владимир Александрович Кузьмин

«

Тренинг у Кузьмина В. А. проходил в экстремальных условиях. Мой модем совершенно не держал соединение. За время часового тренинга связь прерывалась практически постоянно. Ясно, что в таких условиях чрезвычайно непросто чему-то учить. Однако Владимир Александрович проявил удивительную выдержку и терпение. Неоднократно он перезванивал мне на сотовый телефон, чтобы дать пояснения или комментарии. Ценой больших усилий нам удалось рассмотреть три программы: ConceptDraw MINDMAP Professional Ru, GeoGebra и Ultra Flash Video FLV Converter. Владимир Александрович открыл мне курс на платформе dist-tutor.info и научил подключать и настраивать Виртуальный кабинет, порекомендовав изучать возможности этого ресурса, чтобы постепенно уходить от использования Skype.

В итоге, занятие мне очень понравилось! Спокойное объяснение материала, дружелюбный настрой, подбадривание дистанционного ученика даже в самых непростых ситуациях — вот далеко не полный перечень качеств Владимира Александровича как дистанционного педагога. Мне следует учиться у такого замечательного репетитора!

«

Вячеслав Юрьевич Матыкин

Чулпан Равилевна Насырова

«

Я очень довольна репетитором по химии. Очень хороший подход к ученику,внятно объясняет. У меня появились сдвиги, стала получать хорошие оценки по химии. Очень хороший преподаватель. Всем , кто хочет изучать химию, советую только её !!!

«

Алина Крякина

Ольга Александровна Мухаметзянова

«

Подготовку к ЕГЭ по русскому языку мой сын начал с 10 класса. Ольга Александровна грамотный педагог, пунктуальный, ответственный человек. Она всегда старается построить занятие так, чтобы оно прошло максимально плодотворно и интересно. Нас абсолютно все устраивает в работе педагога. Сотрудничество приносит отличные результаты, и мы его продолжаем. Спасибо.

«

Оксана Александровна

Наталья Борисовна Карасева

«

Мы восторге от репетитора. Наталья Борисовна грамотный педагог, она любит свою профессию, любит учеников. Занятия с сыном (2 класс), он находится на домашнем обучении, проходят по скайпу в комфортной обстановке. Репетитор умеет заинтересовать ребенка и выстраивает занятие с учетом его способностей, доступно объясняя предметы русский язык и математику. По результатам занятий можно сразу заметить повышение уровня успеваемости ученика. Наталья Борисовна хороший педагог, умеет быстро найти общий язык с ребенком, внимательная, легко передающая знания ученику. С большим удовольствием будем продолжать наши занятия, т.к. мы всем довольны.

«

Елена Васильевна

Клиентам

• Репетиторы по математике
• Репетиторы по русскому языку
• Репетиторы по химии
• Репетиторы по биологии
• Репетиторы английского языка
• Репетиторы немецкого языка

Репетиторам

• Регистрация
• Публичная оферта
• Библиотека
• Бан-лист репетиторов

Партнеры

• ChemSchool
• PREPY. RU
• Class

решение с синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом

1. Решение неравенств с синусом
2. Решение неравенств с косинусом
3. Решение неравенств с тангенсом
4. Решение неравенств с котангенсом
5. Примеры

п.1. Решение неравенств с синусом

Алгоритм решения неравенства \(sinx\gt a\)

Шаг 1. В числовой окружности на оси синусов отметить точку с ординатой \(a\). Провести горизонталь \(y=a\), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(sin⁡x=a\). Про решение простейших тригонометрических уравнений – см. §19 данного справочника. Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности над проведенной горизонталью – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. k\frac\pi6+\pi k= \left[ \begin{array}{l l} \frac\pi6+2\pi k\\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Подписываем точку справа \(\frac\pi6\) и точку слева \(\frac{5\pi}{6}\).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \((\frac\pi6;\ \frac{5\pi}{6})\). Добавляем к концам интервала полный период.
Ответ: \(\left(\frac\pi6;+2\pi k;\ \frac{5\pi}{6}+2\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(sinx\geq a\) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства \(sin⁡x\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу под горизонталью \(y=a\). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания. Поэтому угол слева пишут отрицательным (отсчитывая период назад).

Наконец, в неравенстве \(sin⁡x\leq a\) всё будет то же, что и в \(sin⁡x\lt a\). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками). k\left(-\frac\pi4\right)+\pi k= \left[ \begin{array}{l l} -\frac{3\pi}{4}+2\pi k\\ -\frac{\pi}{4}+2\pi k \end{array} \right. \end{gather*} Подписываем точку справа \(-\frac{3\pi}{4}\) и точку слева \(-\frac{\pi}{4}\).
3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем отрезок: \(\left[-\frac{3\pi}{4};-\frac{\pi}{4}\right]\). Добавляем к концам отрезка полный период.

Ответ: \(\left[-\frac{3\pi}{4}+2\pi k;-\frac{\pi}{4}+2\pi k\right]\)

п.2. Решение неравенств с косинусом

Алгоритм решения неравенства \(cosx\gt a\)

Шаг 1. В числовой окружности на оси косинусов отметить точку с абсциссой \(a\). Провести вертикаль \(x=a\), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(cos⁡x=a\). Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности справа от проведенной вертикали – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \((-arccos⁡a+2\pi k;\ arccos⁡a+2\pi k)\)

Например:

$$ cosx\gt \frac{\sqrt{3}}{2} $$ 1. Проводим вертикаль \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое). 2. Решаем уравнение \(cosx=\frac{\sqrt{3}}{2}\) \begin{gather*} x=\pm\frac\pi6+2\pi k \end{gather*} Подписываем точку снизу \(-\frac\pi6\) и точку сверху \(\frac{\pi}{6}\). 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \(\left(-\frac\pi6;\frac\pi6\right)\). Добавляем к концам интервала полный период. Ответ: \(\left(-\frac\pi6;+2\pi k;\ \frac{\pi}{6}+2\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(cosx\geq a\) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства \(cosx\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу слева от вертикали \(x=a\).

При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания, сверху вниз. Значение угла снизу должно быть больше, чем угла сверху.

Наконец, в неравенстве \(cos⁡x\leq a\) всё будет то же, что и в \(cosx\lt a\). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

п.3. Решение неравенств с тангенсом

Алгоритм решения неравенства \(tgx\gt a\)

Шаг 1. На оси тангенсов (касательной к числовой окружности в точке (1,0)) отметить точку с ординатой \(a\). Провести луч из начала координат через отмеченную точку, отметить точку её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(tg⁡x=a\). Полученное базовое решение является значением точки пересечения.

Шаг 3. Дуга числовой окружности от отмеченной точки до \(\frac\pi2\) (в которой \(tgx\rightarrow +\infty\)) – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \(\left(arctga+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right)\)

Например:

$$ tg x\gt -\frac{1}{\sqrt{3}} $$ 1.  На оси тангенсов отмечаем точку \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Проводим луч из начала координат через эту точку. 2. Решаем уравнение \(tgx=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) \begin{gather*} x=-\frac\pi6+\pi k \end{gather*} Подписываем точку снизу \(-\frac\pi6.\) Верхней границей интервала будет \(\frac\pi2\), угол, в котором \(tgx\rightarrow +\infty .\) 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \(\left(-\frac\pi6;\frac\pi2\right)\). Добавляем к концам интервала период для тангенса. Строго говоря, на числовой окружности длиной \(2\pi\) получим две дуги для тангенса с периодом \(\pi\). Ответ: \(\left(-\frac\pi6;+\pi k;\ \frac{\pi}{2}+\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(tg⁡x\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу от точки \(-\frac\pi2\) (в которой \(tgx\rightarrow -\infty\)) до найденного арктангенса.

Для нестрогих неравенств будут получаться полуинтервалы, в которых точки \(\pm\frac\pi2\) (\(tgx\rightarrow \pm\infty\)) будут ограничены круглой скобкой, а найденные арктангенсы – квадратной.

п.4. Решение неравенств с котангенсом

Решение неравенств с котангенсом аналогично решению с тангенсом. Для решения используется ось котангенсов (касательная к числовой окружности в точке (0;1)).

В неравенствах вида \(ctgx\gt a\) пределу \(ctgx\rightarrow +\infty\) соответствует угол 0.

В неравенствах вида \(ctgx\lt a\) пределу \(ctgx\rightarrow -\infty\) соответствует угол \(\pi\).

п.5. Примеры

Пример 1. Решите неравенства:

a) \(sinx\leq \frac{\sqrt{2}}{2}\) $$ x\in\left[-\frac{5\pi}{4}+2\pi k;\ \frac{\pi}{4}+2\pi k\right] $$	б) \(cosx\lt -\frac{1}{2}\) $$ x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2\pi k;\ \frac{4\pi}{3}+2\pi k\right) $$
в) \(sinx\gt -\frac{\sqrt{3}}{2}\) $$ x\in\left(-\frac{\pi}{3}+2\pi k;\ \frac{4\pi}{3}+2\pi k\right] $$	г) \(tgx\geq 1\) $$ x\in\left.\left(-\frac{\pi}{2}+\pi k;\ \frac{\pi}{4}+\pi k\right.\right] $$

Пример 2*. 2\frac x2-3\leq 0\)
\(4\cdot \frac{1+cosx}{2}\leq 3\)
\(2+2cosx\leq 3\)
\(cosx\leq\frac12\)

Ответ: \(\left[\frac\pi3+2\pi k;\ \frac{5\pi}{3}+2\pi k\right]\)

в) \(-\sqrt{3}\lt tgx\leq 5\)
\(-arctg\sqrt{3}+\pi k\lt x\leq arctg5+\pi k\)
\(-\frac\pi3+\pi k\lt x\leq arctg5+\pi k\)
Ответ: \(\left.\left(-\frac{\pi}{3}+\pi k;\ arctg5+\pi k\right.\right]\)

г) \(tg\left(x-\frac\pi4\right)\gt\sqrt{3}\)
\(arctg\sqrt{3}+\pi k\lt x-\frac\pi4\lt\frac\pi2+\pi k\)
\(\frac\pi4+\frac\pi3+\pi k\lt x\lt\frac\pi4+\frac\pi2+\pi k\)
\(\frac{7\pi}{12}+\pi k\lt x\lt\frac{3\pi}{4}+\pi k\)
Ответ: \(\left(\frac{7\pi}{12}+\pi k;\ \frac{3\pi}{4}+\pi k\right)\)

неравенств — Почему некоторые уравнения или неравенства не имеют решения?

$\begingroup$

Я видел некоторые уравнения и неравенства, которые не имеют решения. Примеры: $$3m+4=3m-9$$$$128y-10\lt128y-25$$$$10t+45\ge2(5t+23)$$ Третий пример дает $$10t+45 \ge10t+46$$используя Распределительное свойство. Может быть, они не имеют решения, потому что коэффициенты переменных одинаковы с обеих сторон в каждом примере, но константы не имеют смысла с обеих сторон в соответствии с символами между выражениями. Я надеюсь, что я на правильном пути, почему у них нет решений! У меня хороший вкус в ваших ответах!

• неравенство
• системы уравнений

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Посмотрите здесь свойства неравенства, для этого важно заранее понять концепции.

В принципе, вы можете сказать, если:

$10t+45\geq10t+46$

Тогда, вычитая $10t$ с обеих сторон:

$10t+45-10t\geq10t+46-10t$

Получим:

$45\geq46$

Что, как мы знаем, является ложным утверждением. Нет значения (или диапазона значений) для $t$, чтобы сделать исходное неравенство верным.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Вы можете явно отменить условия, которые существуют с обеих сторон:

Например: $3m + 4 = 3m — 9$ эквивалентно $4 = -9$, что неверно для всех $m$.

То же самое и с другими уравнениями/неравенствами, которые вы упомянули.

$\endgroup$

1

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя адрес электронной почты и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

Неравенства, Решение линейных неравенств, Принцип неравенств

Неравенство — это предложение с глаголом , ≤ или ≥. Например, 3x — 5 решить неравенство, чтобы найти все значения переменной, которые делают неравенство верным. Каждое из этих чисел является решением неравенства, а множество всех таких решений является его набором решений . Неравенства, имеющие одно и то же множество решений, называются эквивалентными неравенствами.

Линейные неравенства

Принципы решения неравенств аналогичны принципам решения уравнений.

Принципы решения неравенств
Для любых действительных чисел a, b и c :
Принцип сложения для неравенств : Если a Принцип умножения для неравенств : Если a 0 истинны, то ac bc истинно.
Аналогичные утверждения верны для a ≤ b.

Когда обе части неравенства умножаются на отрицательное число, мы должны поменять знак неравенства.
Неравенства первой степени с одной переменной, как в примере 1 ниже, являются линейными неравенствами .

ПРИМЕР 1 Решите каждую из следующих задач. Затем начертите набор решений.
а) 3х — 5 б) 13 — 7x ≥ 10x — 4
            Решение
3x — 5 Использование принципа сложения для неравенств; сложение 2x
5x — 5

Использование принципа сложения для неравенств; сложение 5
5x

Использование принципа умножения для неравенств; умножение или деление на 5
$x

Любое число меньше $\frac{11}{5}$ является решением. Набор решений равен $\{x|x
Для проверки построим график y ₁ = 3x — 5 и y ₂ = 6 — 2x. График показывает что для $x 1 лежит ниже графика y ₂ или y ₁ 2 .

---

Решить 13 — 7x ≥ 10x — 4
Вычитание 10x
13 — 17x ≥ -4

Вычитание 13
-17x ≥ -17

Деление на -17 и изменение знака неравенства на противоположное
x ≤ 1

Множество решений: {x|x ≤ 1}, или (-∞, 1]. График множества решений: показано ниже.

Составные неравенства

При соединении двух неравенств словом и или словом или образуется составное неравенство . Составное неравенство, такое как
-3 и 2x + 5 ≤ 7
, называется конъюнкцией , потому что в ней используется слово 9.0089 и . Приговор -3 Составные неравенства можно решить, используя принципы сложения и умножения неравенств.

ПРИМЕР 2 Решить -3 Решение У нас есть

Набор решений {x| — 4
Составное неравенство типа 2x — 5 ≤ -7 или называется дизъюнкция , потому что содержит слово или . В отличие от некоторых союзов, его нельзя сокращать; то есть его нельзя написать без слова или .

ПРИМЕР 3 Решите 2x — 5 ≤ -7 или 2x — 5 > 1. Затем нарисуйте набор решений.
Решение У нас есть

-3
-8	Вычитание 5
-4	Деление на 2

2x — 5 ≤ -7 или 2x — 5 > 1.
2x ≤ -2 или 2x > 6	Добавление 5
х ≤ -1 или х > 3.	Деление на 2

Набор решений равен {x|x ≤ -1 или x > 3}. Мы также можем записать решение, используя обозначение интервала и символ объединения или включения обоих наборов: (-∞ -1] (3, ∞). График набора решений показан ниже.

Чтобы проверить, мы графически y ₁ = 2x — 5, y ₂ = -7, и y ₃ = 1. Note that for {x|x ≤ -1 or x > 3}, y ₁ ≤ y ₂ or y ₁ > y ₃ .

Неравенства с абсолютным значением

Неравенства иногда содержат запись абсолютного значения. Для их решения используются следующие свойства.
Для a > 0 и алгебраического выражения X:
|X| |Х| > a эквивалентно X или X > a.
Аналогичные утверждения справедливы для |X| ≤ а и |X| ≥ а.

Например,
|x| |у| ≥ 1 эквивалентно y ≤ -1 или y ≥ 1; и |2x + 3| ≤ 4 эквивалентно -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

ПРИМЕР 4 Решите каждое из следующих уравнений. Затем начертите набор решений.
а) |3x + 2| Решение
а) |3x + 2| -5 Запись эквивалентного неравенства -7 Вычитание 2 -7/3 Деление на 3

Набор решений равен {x|-7/3

Чтобы выполнить частичную проверку с помощью графического калькулятора, мы построим график y = |3x + 2| ось x для значений x , для которых это выражение для y верно. На графике видно, что решение, вероятно, верное.

б) |5 — 2х| ≥ 1

|5 — 2x| ≤ -1 или 5 — 2x ≥ 1	Запись эквивалентного неравенства
-2x ≤ -6 или -2x ≥ -4	Вычитание 5
х ≥ 3 или х ≤ 2	Деление на -2 и перестановка знаков неравенства

Набор решений равен {x|x ≤ 2 или x ≥ 3} или (-∞, 2] [3, ∞) . График набора решений показан ниже.

Приложение

ПРИМЕР 5 Планы доходов . За работу по покраске дома Эрику можно платить одним из двух способов:
План A: 250 долларов плюс 10 долларов в час;
План Б: $20 в час.
Предположим, что работа занимает n часов. При каких значениях n план Б лучше для Эрика? Решение 1. Ознакомиться с . Предположим, что работа занимает 20 часов. Тогда n = 20 , и по плану А Эрик заработает 250 долларов + 10,20 долларов, или 250 долларов + 200 долларов, или 450 долларов. Его заработок по плану Б составит 20,20 или 400 долларов. Это показывает, что план А лучше для Эрика, если работа занимает 20 часов. Точно так же, если работа занимает 30 часов, то n = 30 , и по плану А Эрик заработает 250 долларов + 10,30 долларов, или 250 долларов + 300 долларов или 550 долларов. Согласно плану Б, он заработает 20,30 или 600 долларов, поэтому в этом случае план Б лучше. Определить все значений n для которых план Б лучше для Эрика, решаем неравенство. Наша работа на этом шаге помогает нам написать неравенство.
2. Перевести . Переводим в неравенство.

3. Выполнить . Решаем неравенство:

20n > 250 + 10n
10n > 250	Вычитание 10н с обеих сторон
n > 25	Деление на 10 в обе стороны

4. Чек . Для n = 25 доход от плана A составляет \$250 + \$10,25, или \$250 + \$250, или \$500, а доход от плана B составляет \$20,25 или \$500. Это показывает, что для работы, выполнение которой занимает 25 часов, доход одинаков при любом плане. На шаге «Ознакомление с » мы увидели, что план Б платит больше за 30-часовую работу. Поскольку 30 > 25, это обеспечивает частичную проверку результата. Мы не можем проверить все значения n .