Объемная геометрия: Основные геометрические фигуры 🟢🟨🔺 и их названия

Формулы объемов и площадей геометрических фигур

Главная

Новости

Формулы объемов и площадей геометрических фигур

17.09.2020

11:27

Подготовка к ЕГЭ по математике не может обойтись без изучения геометрии. Задачи на расчет площади и объема фигур, нахождение углов и длин сторон встречаются и в первой, и во второй части. В базовой математике ЕГЭ формулы на объем и площадь представлены в справочных материалах. Тем, кто сдает профильную, придется выучить их. Рассмотрим основную теорию.

Площадь — величина, которая есть у плоских фигур. Ее можно посчитать для квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, ромба, трапеции, круга. Объем присущ трехмерным объектам, таким как куб, шар, параллелепипед, призма, пирамида, конус.

Объемные тела условно делят на многогранники (состоят из нескольких многоугольников) и поверхности вращения (есть условная линия, вдоль которой вращается плоская фигура). На вычисление объема это не влияет.

В таблицах представлены основные формулы объемов и площадей фигур для ЕГЭ. Мы советуем сохранить их себе, чтобы пользоваться при подготовке к ЕГЭ и быстро повторить теорию перед экзаменом. 

 

 

09.04.2021

15:48

Формулы по планиметрии

Задачи по этому разделу связаны с нахождением площадей, сторон, углов

Читать далее

09.04.2021

15:48

Как подготовиться к ЕГЭ с нуля?

Но можно ли подготовиться к ЕГЭ вообще с нуля? Это вполне реально, но лучше пойт. ..

Читать далее

09.04.2021

15:48

День открытых дверей в РУДН!

30 января в 11:00 приглашаем всех желающих на День открытых дверей РУДН в онлайн…

Читать далее

23.08.2022

16:44

Поздравляем с Днем защитника Отечества!

Изменения в расписании в связи с праздничными днями

Читать далее

20.12.2021

13:35

Подготовим всех к вступительным испытаниям (журналистика и архитектура)

Решили стать журналистом или архитектором? Ок, весьма достойный выбор!

Читать далее

20. 12.2021

12:36

Выбираешь профессию своей мечты? Велкам в наши летние школы!

Приходите к нам в гости — узнайте всё о профессии своей мечты.

Читать далее

МНОГОГРАННИКИ (объемные геометрические фигуры): определения, формулы

Многогранники (объемные геометрические фигуры) : определения, формулы периметра поверхности и площади. Виды: призма, параллелепипед ( в т.ч. прямоугольный параллелепипед , куб), пирамида ( в т.ч. усеченная пирамида).

Призма

• Призма — многогранник, у которого две грани — равные многоугольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы, имеющие общие стороны с этими многоугольниками.
• Многоугольник, лежащий в основании, определяет название призмы: треугольник — треугольная призма, четырёхугольник — четырёхугольная призма; пятиугольник — пятиугольная призма (пентапризма) и т. д.
• Прямая призма – призма, у которой боковые ребра перпендикулярны к плоскости основания (если нет – наклонная).
• Правильна призма – призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.
• Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания. на плоскость другого.

Формулы для призмы:

Объем призмы: V = S_o∙h
Площадь поверхности: S = 2∙S_o + S_бок
Где: V — объем призмы, S_o — площадь основания, h – высота, S_бок — площади всех боковых граней.

Параллелепипед

Параллелепипед — это призма, основание которой — параллелограмм.

Свойства параллелепипеда:

• Параллелепипед имеет шесть граней и все они параллелограммы.
• Противоположные грани попарно равны и параллельны.
• Параллелепипед имеет четыре диагонали.
• Все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
• Основанием параллелепипеда может быть любая грань.

Типы параллелепипеда

• Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.
• Прямоугольный параллелепипед — это параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники.
• Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.
• Ромбоэдр — параллелепипед, грани которого являются равными ромбами.
• Куб — параллелепипед, грани которого являются квадратами.
  Все грани куба равны.

Формулы для параллелепипеда:

Объем параллелепипеда: V = S_o∙h
Площадь поверхности: S = 2∙S_o + S_бок
Где: V — объем параллелепипеда, S_o — площадь основания, h – высота, S_бок — площади всех боковых граней.

Формулы для прямоугольного параллелепипеда:

Объем прямоугольного параллелепипеда: V = a∙b∙c =  S_o∙ c
Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда:
S = 2·(S_a+S_b+S_c)  или  S= 2· (a·b+ b·c+ a·c)
Диагональ: d =√(a²+b²+c²)
Где: V — объем прямоугольного параллелепипеда, a — длина, b — ширина, с – высота, So  — площадь основания, 

S_a,S_b,S_c — площади соответствующих сторон.  

Формулы для куба:

Объем куба: V = a³
Площадь поверхности куба: S = 6·a²
Диагональ: d = a√3
Где: V — объем куба, a — длина грани куба.

Пирамида

• Пирамида — многогранник, одна из граней которого (основание) — произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники, имеющие общую вершину.
• По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д.
• Вершина пирамиды – общая точка для всех треугольников.
• Высота пирамиды – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание.
• Правильная пирамида – пирамида, у которой основание — правильный многоугольник, высота опускается в центр основания. В правильной пирамиде все боковые ребра равны, все боковые грани — равнобедренные треугольники. Высота треугольника боковой грани правильной пирамиды называется — апофема правильной пирамиды.
• Правильная треугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — правильный треугольник, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр основания из вершины.
• Правильный тетраэдр – это тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники.
• Правильная четырехугольная пирамида — это многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — квадрат, а остальные — боковые грани — равные треугольники с общей вершиной. Высота опускается в центр пересечения диагоналей квадрата основания из вершины.

Формулы для правильной пирамиды:

Объем правильной пирамиды: V = 1/3 · (S_o · h)
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: S_бок = ½ · P_о· a
Где: V — объем пирамиды, S_o — площадь основания пирамиды, S_бок — площадь боковой поверхности, P_о — периметр основания правильной пирамиды, h — высота пирамиды.

a — апофема правильной пирамиды.

Формулы для правильной треугольной пирамиды:

Объем правильной треугольной пирамиды: V =  h·a² / (4/√3) 
Где: a — сторона правильного треугольника — основания правильной треугольной пирамиды, h — высота правильной треугольной пирамиды

Формулы для правильной четырехугольной пирамиды:

Объем правильной четырехугольной пирамиды: V = 1/3 · h · a²
Где: a — сторона квадрата — основания правильной четырехугольной пирамиды, h — высота правильной четырехугольной пирамиды.

Формулы для тетраэдра:

Объем тетраэдра: V = (√2 / 12) · a³
Где: V — объем тетраэдра, a — длина ребра тетраэдра.

Усеченная пирамида

• Усеченная пирамида — часть пирамиды между ее основанием и сечением (сечение параллельно основанию пирамиды и делит ее на две части).
• Основание пирамиды и сечение — два основания усеченной прамиды.
• Высота усеченной пирамиды — расстояние между основаниями усеченной пирамиды.
• Правильная усеченная пирамида — пирамида, которая получена из правильной пирамиды. Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — это равные равнобокие трапеции. Высота трапеции боковой грани правильной усеченной пирамиды называется — апофема правильной усеченной пирамиды.

Формулы для усеченной пирамиды:

Объем усеченной пирамиды равен разности двух полных пирамид.
Объем правильной усеченной пирамиды:
V = 1/3 · h · (S_осн1 + S_осн2 + √(S_осн1S_осн2))
Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды:
S_бок = ½ (P_осн1 + P_осн2) · a
Где: S_осн1, S_осн2  — площади верхнего и нижнего основания усеченной пирамиды, h — высота усеченной пирамиды, P_осн1, P_осн2 — периметры верхнего и нижнего оснований правильной усеченной пирамиды, a — апофема правильной усеченной пирамиды.

 

Евклидова геометрия | Определение, аксиомы и постулаты

конгруэнтные треугольники

Просмотреть все СМИ

Ключевые люди:

Евклид Дэвид Гилберт Марьям Мирзахани Адриан-Мари Лежандр

Похожие темы:

теорема Пифагора метод истощения квадратура постулат параллельности метод неделимых

Просмотреть весь соответствующий контент →

Резюме

Прочтите краткий обзор этой темы

Евклидова геометрия , изучение плоских и объемных фигур на основе аксиом и теорем, используемых греческим математиком Евклидом (ок. 300 г. до н. э.). В общих чертах евклидова геометрия — это плоскостная и объемная геометрия, обычно изучаемая в средних школах. Действительно, до второй половины XIX века, когда неевклидовы геометрии привлекли внимание математиков, геометрия означает евклидову геометрию. Это наиболее типичное выражение общего математического мышления. Вместо запоминания простых алгоритмов решения уравнений наизусть требуется глубокое понимание предмета, умные идеи для применения теорем в особых ситуациях, способность обобщать известные факты и настаивать на важности доказательства. В великом труде Евклида « элементов » единственными инструментами, используемыми для геометрических построений, были линейка и циркуль — ограничение, сохранившееся в элементарной евклидовой геометрии и по сей день.

В своей строгой дедуктивной организации Элементы оставались самой моделью научного изложения до конца 19 века, когда немецкий математик Давид Гильберт написал свои знаменитые Основы геометрии (1899). Современная версия евклидовой геометрии — это теория евклидовых (координатных) многомерных пространств, где расстояние измеряется подходящим обобщением теоремы Пифагора. См. аналитическая геометрия и алгебраическая геометрия.

Евклид понял, что строгое развитие геометрии должно начинаться с основ. Следовательно, он начал « Элементов » с некоторых неопределенных терминов, таких как «точка — это то, что не имеет частей» и «линия — это длина без ширины». Исходя из этих терминов, он определил дальнейшие понятия, такие как углы, окружности, треугольники и различные другие многоугольники и фигуры. Например, угол определялся как наклон двух прямых, а окружность — это плоская фигура, состоящая из всех точек, находящихся на фиксированном расстоянии (радиусе) от данного центра.

В качестве основы для дальнейших логических выводов Евклид предложил пять общих понятий, таких как «вещи, равные одной и той же вещи, равны», и пять недоказуемых, но интуитивных принципов, известных как постулаты или аксиомы. В современных терминах аксиомы таковы:

Тест «Британника»

Тест «Все о математике»

Ваш учитель алгебры был прав. Вы будете использовать математику после выпуска — для этой викторины! Посмотрите, что вы помните из школы, и, возможно, узнаете несколько новых фактов в процессе.

• 1. Даны две точки, их соединяет прямая.

• 2. Отрезок прямой можно продолжать до бесконечности.

• 3. Окружность можно построить, если заданы точка для ее центра и расстояние для ее радиуса.

• 4. Все прямые углы равны.

• 5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние углы с одной и той же стороны меньше двух прямых углов, то две прямые, если их провести бесконечно, встретятся с той стороны, на которой углы меньше два прямых угла.

Гильберт усовершенствовал аксиомы (1) и (5) следующим образом:

• 1. Для любых двух различных точек (а) существует прямая, содержащая эти две точки, и (б) эта прямая единственна.

• 5. Для любой прямой L и точки p , не лежащей на L , (a) существует прямая через p , не пересекающаяся с L , и (b) эта прямая единственная.

Пятая аксиома стала известна как «постулат параллельности», так как она дала основу единственности параллельных линий. (Он также вызвал большой интерес, потому что казался менее интуитивным или самоочевидным, чем другие. В XIX векеX веке Карл Фридрих Гаусс, Янош Бойяи и Николай Лобачевский — все они начали экспериментировать с этим постулатом, в конце концов придя к новым, неевклидовым геометриям.) Все пять аксиом послужили основой для многочисленных доказуемых утверждений или теорем, на основе которых построил свою геометрию. Остальная часть этой статьи кратко объясняет наиболее важные теоремы евклидовой плоской и объемной геометрии.

Оформите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Твердотельная геометрия — промежуточная геометрия

Все ресурсы промежуточной геометрии

8 Диагностические тесты 250 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

← Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 32 33 Следующая →

Промежуточная помощь по геометрии » Объемная геометрия

Учитывая, что объем куба равен , какова длина любой из его сторон?

 

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Формула объема дается как

Поскольку у нас есть объем, мы должны извлечь кубический корень из объема, чтобы найти длину любой стороны (поскольку это куб, все стороны стороны равны).

 

Подставляем 216 для тома, получаем

Сообщить об ошибке

Грань куба имеет диагональ длиной . Какова длина одного из ребер куба?

 

Возможные ответы:

Недостаточно информации для вычисления ответа.

Правильный ответ:

Объяснение:

Поскольку это куб, полезно помнить, что значение диагонали одной грани равно длине остальных пяти граней. Кроме того, длина одного ребра будет равна длине всех остальных ребер куба. Это помогает снять стресс, связанный с наличием нескольких возможных правильных ответов.

Чтобы найти ребро, ищем длину одной из сторон граней квадрата. Проблему можно увидеть в упрощенном соглашении о квадратах:

Диагональ просто делит квадрат на два прямоугольных треугольника 45-45-90. Нахождение длины одной из сторон квадратов можно решить либо с помощью тригонометрических функций, либо с помощью правил для треугольников 45-45-90.

Используя правила для треугольников 45-45-90:

Гипотенуза созданного треугольника равна , которую можно установить равной для решения для , что в этом случае даст нам длину одного из ребер куба .

Следовательно, длина ребра куба равна .

Сообщить об ошибке

Если площадь поверхности куба равна , какова длина одной из сторон куба?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Площадь поверхности куба может быть представлена ​​как , так как у куба шесть сторон, а площадь поверхности каждой стороны представлена ​​его длиной, умноженной на его ширину, что для куба равно , поскольку все его ребра такой же длины.

Мы можем подставить  в это уравнение, а затем найти:

Итак, одно ребро этого куба имеет длину.

Сообщить об ошибке

Объем куба .

Найдите длину куба с точностью до десятых долей фута.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Поскольку объем куба равен длине, умноженной на ширину, умноженную на высоту, и все измерения одинаковы, нам просто нужно извлечь кубический корень из объема:

 .

Округлив до десятых, длина 3,5 фута.

Report an Error

Find the length of one of the cube’s sides:

Possible Answers:

Cannot be determined 

Correct answer:

Объяснение:

Единственная информация, которая дана, это то, что диагональ одной из граней куба равна . Поскольку это куб, это справедливо и для остальных пяти граней. Все ребра также будут одинаковой длины, что исключает возможность более чем одного правильного ответа.

Ребро куба можно решить с помощью теоремы Пифагора, потому что диагональ образует два прямоугольных треугольника. Или, если вам это удобно, вы можете вспомнить, что диагональ создает два особых прямоугольных треугольника, у которых есть свои правила относительно нахождения сторон.

Используя теорему Пифагора, мы можем упростить уравнение в соответствии с имеющейся у нас информацией и вывести правильный ответ.

Переменные  и  относятся к катетам прямоугольных треугольников. Поскольку это куб, мы можем сделать вывод, что длина катетов будет одинаковой. Следовательно, . Это означает, что теорему Пифагора (для этого случая) можно переписать в виде

Возвращаясь к задаче, можно сказать, что единственная предоставленная информация — это гипотенуза одного из двух треугольников. Это значение можно заменить на . Тогда, решая для , мы получим ответ на вопрос: длина ребра.

Следовательно, ребро куба равно .

Сообщить об ошибке

Объем куба . Какова длина одного из ребер этого куба?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Так как длины сторон куба равны, а объем определяется как , то длина стороны куба с объемом равна просто . Другими словами, какое число, умноженное на три раза, дает 512? Извлеките кубический корень из 512, чтобы получить .

Сообщить об ошибке

Если площадь поверхности куба равна , какова длина одной стороны куба?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вспомните, как найти площадь поверхности куба:

Поскольку в вопросе вам предлагается найти длину стороны этого куба, измените уравнение.

Подставьте данную площадь поверхности, чтобы найти длину стороны.

Упрощение.

Уменьшить.

Сообщить об ошибке

Если площадь поверхности куба равна , найдите длину одной стороны куба.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вспомните, как найти площадь поверхности куба:

Поскольку в вопросе вам предлагается найти длину стороны этого куба, измените уравнение.

Подставьте данную площадь поверхности, чтобы найти длину стороны.

Упрощение.

Уменьшить.

Сообщить об ошибке

Если площадь поверхности куба равна , найдите длину стороны куба.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Вспомните, как найти площадь поверхности куба:

Поскольку в вопросе вам предлагается найти длину стороны этого куба, измените уравнение.