Область определения функции задания: Дистанционный репетитор — онлайн-репетиторы России и зарубежья

alexxlab / / Разное

Нахождение области определения и вычисление частных значений для функции нескольких переменных

Цель: Формирование навыков нахождения области определения и вычисления частных значений для функции нескольких переменных

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Уравнение

(неявная форма) (17.1)

или

(явная форма) (17.2)

определяет переменную как функцию независимых переменных . Областью определения функции переменных является множество точек -мерного пространства, в которых функция принимает определенное действительное значение.

При уравнение (17.1) определяет функцию трех переменных

или ,

Областью определения которой является множество точек трехмерного пространства .

При уравнение (17.1) определяет функцию двух переменных

или .

Частным значением функции называется такое ее значение, которое соответствует системе значений .

Примеры

Задание 1: Найти области определения функций:

1) ; 2) .

Решение: 1) Область определения функции состоит из всех точек плоскости, для которых , то есть . Таким образом, искомая область есть круг с центром в начале координат и радиусом 1. она является замкнутой, так как включает свою границу – окружность .

2) Так как логарифм определен только при положительных значениях аргумента, то , откуда . Следовательно, областью определения данной функции служит внутренняя часть круга с центром в начале координат и радиусом 3. эта область открытая, поскольку она не включает свою границу – окружность .

Задание 2:

Найти частное значение функции в точке .

Решение: Подставляя в выражение функции значения и , получим .



Задания для практической работы

1. На плоскости постройте область изменения переменных и , заданные нижеследующими неравенствами. Укажите тип области.

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

2. Найдите области определения функций и укажите, что будет являться областью определения:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

3. Вычислите частные значения функций:

1) при и ;

2) в точке ;

3) при и .

4. Дана функция . Вычислите , , , , , , .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется функцией нескольких переменных?

2. Что называется областью определения функции переменных?

3. Что называется частным значением функции двух переменных?

4. Что называется границей области?

5. Какая область называется замкнутой, а какая открытой?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

Практическая работа №18

Тема: Вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных

Цель: Формирование навыков вычисления частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных

Время выполнения: 2 часа

Требования к выполнению практической работы:

1.Ответить на теоретические вопросы.

2.Оформить задания в тетради для практических работ.

Теоретический материал

Частная производная (первого порядка) функции нескольких переменных по одному из независимых аргументов определяется как производная этой функции по соответствующему аргументу при условии, что остальные переменные считаются постоянными. При вычислении частных производных используются обычные формулы дифференцирования.

Частной производной функции двух независимых переменных и по аргументу называется производная этой функции по при постоянном . Аналогично, частной производной функции по аргументу называется производная этой функции, вычисленная при постоянном . Частные производные обозначаются следующим образом: , , , .

Полный дифференциал дифференцируемой функции в некоторой точке есть выражение вида:

, (18.1)

где и вычисляются в точке , а дифференциалы независимых переменных равны их приращениям: , .

Формула (18.1) для дифференциала остается в силе, если и являются функциями каких-либо других аргументов – в этом заключается свойство инвариантности полного дифференциала первого порядка.

Аналогично определяется и вычисляется полный дифференциал функции любого числа независимых переменных.

Теоремы и формулы для дифференциалов функций двух, трех и так далее аргументов аналогичны соответствующим теоремам и формулам для функции одного аргумента.

Примеры

Задание 1: Найти частные производные следующих функций:

1) ;

2) ;

3) .

Решение: 1) При нахождении частной производной по будем рассматривать как величину постоянную. Тогда получим

.

Аналогично, рассматривая как величину постоянную, найдем частную производную по :

.

2) Имеем

;

.

3) Здесь есть функция трех независимых переменных , и . При вычислении частной производной по каждой из этих переменных две другие следует считать постоянными величинами. Следовательно,

; ;

 

 

(так как при дифференцировании по и по берется производная от показательной функции, а при дифференцировании по — от степенной функции).

Задание 2: Вычислить полный дифференциал функции в точке .

Решение: Находим частные производные:

;

;

;

.

Таким образом, по формуле (1) получим .

Задания для практической работы

1. Найдите частные производные следующих функций:

1) ; 3) ; 4) ;

5) ; 6) ; 7) ;

8) ; 9) .

2. Найдите полные дифференциалы заданных функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

3. Вычислите значения полных дифференциалов функций:

1) при , , , ;

3) при , , , ;

4) при , , , , , .

4. Проверьте, что функция удовлетворяет уравнению .

Вопросы для самоконтроля:

1. Что называется частной производной функции по аргументу ?

2. Что называется частной производной функции по аргументу ?

3. Дайте определение полного дифференциала функции в некоторой точке.

4. В чем заключается свойство инвариантности полного дифференциала первого порядка?

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Основная:

1.1 Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений. – 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003 – 495 с.

1.2 Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. Элементы высшей математики: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 320 с.

1.3 Григорьев С.Г. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений / под ред. В.А. Гусева. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2008. – 384 с.

1.4 Дадаян А.А. Сборник задач по математике: учеб. пособие. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2008. – 352 с. – (Профессиональное образование).

1.5 Математика: учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. – 552 с. – (Серия «Профессиональное образование»)

 

2. Дополнительная:

1.1 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1: учеб. пособие для вузов. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005. – 304 с.: ил.

1.2 Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.2: учеб. пособие для вузов. – 6-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005. – 416 с.: ил.

1.3 Малыхин В.И. Высшая математика: учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 365 с. – (Высшее образование).

1.4 Шипачев В.С. Основы высшей математики: учеб. пособие для вузов / под ред. акад. А. Н. Тиханова.

– 5-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.: ил.

1.5 Линьков В.М., Яремко Н.Н. Высшая математика в примерах и задачах. Компьютерный практикум: учеб. пособие / под ред. А.А. Емельянова. – М.: Финансы и статистика, 2006, — 320 с.: ил.

 

Информационные ресурсы:

 

Сайты журналов 1. Алгебра и анализ Режим доступа: http://www.mathnet.ru
Образовательные сайты 1. Математика Режим доступа: http://energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/mainlist.htm 2. Учебник высшей математики Режим доступа: http://www.bez-dvoek.ru/matem/dif/index10.html 3. Математика Режим доступа: http://www.bymath.net/index.html 4. Лекции по высшей математике Режим доступа: http://www.mathelp.spb.ru/index1.htm 5. Математика Режим доступа: http://www.intuit.ru/courses.html
Порталы 1. Информационно-коммуникационные технологии в образовании Режим доступа: http://www.ict.edu.ru

 

Методические указания

по выполнению практических работ

для студентов специальностей

230115 Программирование в компьютерных системах

230401 Информационные системы (по отраслям)

 

 

Что такое функция и ее свойства

Если задано множество чисел X и указан способ f, по которому для каждого значения хЄX ставится в соответствие только одно число у. Тогда считается заданной функция y = f(х), у которой область определения X (обычно обозначают D(f) = X). Множество Y всех значений у, для которых есть как минимум одно значение хЄX, такое, что y = f(х), такое множество называют множеством значений функции f (чаще всего обозначают E(f)= Y).

Или зависимость одной переменной у от другой х, при которой каждому значению переменной х из определенного множества D соответствует единственное значение переменной у, называется функцией.

Функциональную зависимость переменной у от х часто подчеркивают записью у(х), которую читают игрек от икс.

Область определения функции у(х), т. е. множество значений ее аргумента х, обозначают символом D(y), который читают дэ от игрек.

Область значений функции у(х), т. е. множество значений, которые принимает функция у, обозначают символом Е(у), который читают е от игрек.

Основными способами задания функции являются:

а) аналитический (с помощью формулы y = f(х)). К этому способу можно отнести и случаи, когда функция задается системой уравнений. Если функция задана формулой, то область ее определения составляют все те значения аргумента, при которых выражение, записанное в правой части формулы, имеет значения.

б) табличный (с помощью таблицы соответствующих значений х и у). Таким способом часто задается температурный режим или курсы валют, но этот способ не такой наглядный, как следующий;

в) графический (с помощью графика). Это один из самых наглядных способов задания функции, поскольку по графику сразу «читаются» изменения. Если функция у(х) задана графиком, то область ее определения D(y) есть проекция графика на ось абсцисс, а область значений Е(у) — проекция графика на ось ординат (смотри рисунок).

г) словестный. Этот способ часто применяется в задачах, а точнее в описании их условия. Обычно этот способ заменяют одним из приведенных выше.

Функции y = f(х), xЄX, и y = g(х), xЄX, называются тождественно равными на подмножестве МСX, если для каждого x0ЄМ справедливо равенство f(х0) = g(х0).

График функции y = f(х) можно представить, как множество таких точек (х; f(х)) на координатной плоскости, где х — произвольная переменная, из D(f). Если f(х0) = 0, где х0 то точка с координатами (x0; 0) — это точка, в которой график функции y = f(х) пересекается с осью Оx. Если 0ЄD(f), то точка (0; f(0)) — это точка, в которой график функции у = f(x) пересекается с осью Оу.

Число х0 из D(f) функции y = f(х)  это нуль функции, тогда, когда f(х0) = 0.

Промежуток МСD(f) это промежуток знакопостоянства функции y = f(х), если либо для произвольного xЄМ верно f(х) > 0, либо для произвольного хЄМ верно f(х) < 0.

Есть приборы, которые вырисовывают графики зависимостей между величинами. Это барографы — приборы для фиксации зависимости атмосферного давления от времени, термографы — приборы для фиксации зависимости температуры от времени, кардиографы — приборы для графической регистрации деятельности сердца. У термографа есть барабан, он равномерно вращается. Бумаги, намотанной на барабан, касается самописец, который в зависимости от температуры поднимается и опускается и вырисовывает на бумаге определенную линию.

От представления функции формулой можно перейти к ее представлению таблицей и графиком.

При изучении математики очень важно понимать, что такое функция, ее области определения и значения. С помощью исследования функций на экстремум можно решить многие задачи по алгебре. Даже задачи по геометрии иногда сводятся к рассмотрению уравнений геометрических фигур на плоскости.

12.1. Определение функции. Функциональная зависимость. Область определения функции и способы ее задания

При изучении закономерностей, встречающихся в природе, все время приходится иметь дело с величинами постоянными и переменными.

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение (параметр).

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Например, диаметр окружности может принимать различные значения, т.е. является величиной переменной. Отношение длины окружности к ее диаметру называемое числом величина постоянная.

Изучая какое-нибудь явление, мы имеем дело с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин (независимые переменные) полностью определяют значения других (зависимые переменные или функции).

Понятие функции является одним из центральных понятий высшей математики.

Переменная величина называется функцией от переменной величины если они связаны между собой так, что каждому рассматриваемому значению величины соответствует единственное вполне определенное значение величиныЭто определение впервые сформулировал Н. И. Лобачевский.

Переменная называетсяаргументом или независимой переменной, зависимая переменная. Переменныенаходятся в функциональной зависимости.

Область определения (существования) функции – это совокупность всех значений независимой переменной при которых функция не теряет своего смысла. Часто область определения представляет собой интервалили отрезок

Обозначения характеристика функции. Частное значение функции призаписывается так

Рассмотрим пример. Найти область определения функции

Функция определена, если выполняется неравенство

Рис. 24

Следовательно т.е. область определения исследуемой функции есть отрезок.

Существует несколько способов задания функции.

Аналитический способ, если функция задана формулой вида Этот способ наиболее часто встречается на практике. Так, функциязадана аналитически.

Не следует путать функцию с ее аналитическим выражением. Например, одна функция

имеет два аналитических выражения: (при) и(при).

Например, формула объема шара – функции от радиуса

Если функция задана формулой, то ее характеристикаобозначает ту совокупность действий, которую нужно в определенном порядке произвести над значением аргументачтобы получить соответствующее значение функции

Рассмотрим пример. Дана функция

требуется найти

Подставим значение аргумента в функцию

Табличный способ состоит в том, что функция задается таблицей, содержащей значения аргумента и соответствующие значения функции

Предположим, что требуется установить зависимость между средней годовой температурой и высотой местностинад уровнем моря, выраженной в километрах. В этом случае результаты наблюдений записываются в таблицу (табл.4).

Таблица 4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

+7,9

+4,6

+0,1

-5,0

-10,7

-16,9

-23,7

-30,8

-38,0

Из приведенной таблицы видно, что средняя годовая температура изменяется вместе с высотой местности над уровнем моря. Вывод: средняя годовая температура есть функция высоты местностинад уровнем моря.

Если функция задана аналитически, то ее всегда можно представить при помощи таблицы.

Графический способ состоит в изображении графика функции – множества точек плоскости, абсциссы которых есть значения аргументаа ординаты – соответствующие им значения функции

Отсутствие наглядности в аналитическом и табличном способах устраняет графический способ задания функции. Примером графического изображения функции является барограмма (запись самопишущего прибора барографа), дающая графически изменения атмосферного давления со временем.

Словесный способ, если функция описывается правилом ее составления, например, функция Дирихле: если -рационально;если-иррационально.

Определите свои обязанности с объемом работы

Определите свои обязанности с объемом работы Бретт Сембер, J. D.

Успешный проект начинается с четкого и детального определения объема работ. Прочтите о том, как создать объем работ, который разъясняет обязанности и ответственность всех участников.

Бретт Сембер, J.D.
обновлено 02 мая 2022 г. ·  3 минуты чтения

Объем работы — это описание работы, которую вы будете выполнять над проектом для клиента или работодателя. В нем указывается, что будет сделано, кто это будет делать, когда это будет сделано и как это будет оцениваться. Объем работы обеспечивает руководство для всего проекта, поэтому рекомендуется убедиться, что он четкий и конкретный, чтобы все понимали, что влечет за собой проект.

Почему объем работ важен

Объем работ важен, потому что он точно определяет, что произойдет с проектом. Ваши обязанности как работника полностью объяснены, а сам проект тщательно определен. Это помогает устранить путаницу и уточнить детали.

Представьте, что вы заключаете контракт с клиентом на проведение маркетинговой кампании для его новой марки хлопьев. Если вы оба согласны, что будете работать над этой кампанией, у вас и у клиента могут быть очень разные ожидания относительно того, что вы будете делать и когда вы это сделаете. Например, вы можете просто создать рекламную кампанию, в то время как клиент может предположить, что вы также будете заниматься управлением социальными сетями и дизайном коробок. Вот почему объем работ так важен: он описывает работу, которая будет включена в проект, и определяет, кто будет ее выполнять и когда она должна быть выполнена.

Объем работ и техническое задание

Несмотря на то, что они звучат похоже, объем работ и техническое задание — это две разные вещи:

  • Техническое задание — это общее заявление, описывающее проект и подчеркивающее его цели. и результаты.
  • Объем работ является более конкретным и включает в себя суть предстоящей работы, шаги, которые будут предприняты, временные рамки и критерии оценки, которые будут использоваться для проекта.

Что включать в объем работ

Объем работ должен устанавливать конкретные ожидания и быть очень подробным. Чем яснее вы сможете быть, тем лучше это послужит вам, потому что поможет устранить путаницу и серые зоны. Расползание проекта — огромная проблема, с которой сталкиваются многие менеджеры проектов, поэтому вы должны потратить время на то, чтобы полностью обдумать объем работ, предвидеть возможное расползание проекта и принять меры. Включите следующее:

  • Люди и места. Укажите, кто выполняет работу, а если задействовано несколько человек, агентств или подразделений, укажите, кто что делает. Также объясните, где будет выполняться работа; например, вне офиса в вашем внештатном агентстве или на месте, если вы являетесь сотрудником.
  • Результаты. В этом разделе точно описывается, что вы будете создавать и предоставлять для проекта. Вероятно, вы доставите много элементов; в примере с маркетингом хлопьев это может быть новый дизайн упаковки, телевизионная реклама, печатные кампании, купоны и многое другое. Не забудьте конкретно перечислить все результаты, которые будет включать проект.
  • Отчеты. В ходе проекта вы будете создавать отчеты, поэтому объясните, когда именно вы их предоставите и что они будут содержать. Четко определите, насколько подробными они будут и какую информацию они будут включать.
  • Хронология. Временная шкала является важнейшей частью проекта, поэтому вы должны очень четко изложить ее от начала до конца. График должен указывать, когда должен быть выполнен каждый результат. Может быть полезно представить реальный линейный график для клиента, заинтересованных сторон или работодателей.
  • Вехи. Поскольку проекты включают в себя очень много элементов и рабочих частей, важно назвать и описать вехи или основные разделы проекта. Разбивая проект на этапы, вы упрощаете его понимание, управление и работу.
  • Разрешения и одобрения. В вашем объеме работ должно быть указано, когда требуются разрешения или одобрения от клиента или заинтересованного лица, а также ожидаемое время их выполнения. Слишком много проектов сбиваются с графика из-за задержек в получении согласований на разных этапах. Вы также хотите обсудить стандарты, которые будут использоваться для оценки проекта после его завершения.

Объем работ может быть выполнен в виде письма, предложения или контракта. Вы можете написать объем работы самостоятельно в рамках внештатного контракта или в виде документа, который вы создаете в качестве сотрудника. Если вы пишете полный контракт, вы можете проконсультироваться с юристом Четкое определение объема работ может помочь обеспечить бесперебойную работу проекта и обеспечить удовлетворенность клиента.

Получите помощь в управлении своим бизнесом. УЗНАТЬ БОЛЬШЕ

Об авторе

Бретт Сембер, д. д.

Бретт Сембер, доктор юридических наук, занималась юридической практикой в ​​Нью-Йорке, включая развод, посредничество, семейное право, усыновление, наследство и недвижимость,… Читать далее

Похожие темы

Эта часть сайта предназначена только для информационных целей. Содержание не юридическая консультация. Заявления и мнения являются выражением автора, не LegalZoom, и не были оценены LegalZoom на точность, полноты или изменения в законе.

6 Элементы хорошей должностной инструкции

Процент Неделя Год
5% 2 часа 2 ½ недели
10% 4 часа 5 недель
15% 6 часов 1 ½ месяца
20% 8 часов 2 ½ месяца
25% 10 часов 3 месяца