Область значений функций как найти: виды, свойства, примеры решения задач

Область значений | это… Что такое Область значений?

ТолкованиеПеревод

Область значений

Запрос «Отображение» перенаправляется сюда. Cм. также другие значения.

В данной статье приведено общее определение математической функции. В средних школах и на нематематических специальностях высших учебных заведениях изучают более простое понятие числовой функции, являющееся частным случаем математической функции.

Содержание 1 Определения 2 Обозначения 3 Связанные определения 4 Свойства 4.1 Свойства прообразов и образов 5 Классы функций 6 Вариации и обобщения 6.1 Функции нескольких аргументов 7 Примечания 8 См. также 9 Литература

Определения

• Нестрогое определение: функция — это «закон», по которому каждому значению элемента x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.
• Строгое определение: функция или отображе́ние — это бинарное отношение, обладающее свойством:

• Функция называется инъективной, если

Обозначения

• , или для отображения F множества X в множество Y;
  • Множество X называется о́бластью определе́ния отображения F (обозначается D(F), или .).
  • Множество Y называется о́бластью значе́ний отображения F.(обозначается E(F), или ).
• , y = F(x) или или . Используется также обратная польская запись: y = xF, а иногда y = x^F.
  • Элементы x называют аргументами функции
    , а соответствующие элементы y — значениями функции.

Связанные определения

• Пусть дано отображение , и . Тогда суже́нием функции F на M называется функция , определяемая равенством

  .

  Это определение подчёркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.

• F является продолжением функции на множество . Можно рассматривать продолжения, обладающие различными свойствами, например аналитическое продолжение.

• Пусть . Тогда о́бразом множества M называется подмножество множества Y, определяемое равенством

  .

Множество F(X) называется образом отображения F и обозначается .

• Пусть задано отображение , и y = F(x). Тогда x называется проо́бразом y, а y называется о́бразом x. Согласно определению отображения, каждый элемент должен иметь ровно один образ, но элемент может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.
  • Например, пусть дана функция , где F(x) = x². Тогда

    y = − 1 не имеет прообразов;

    y = 0 имеет единственный прообраз x = 0;

    y = 1 имеет два прообраза: x₁ = 1 и x₂ = − 1.

• Пусть задано отображение , и . Тогда множество называется по́лным проо́бразом элемента y. Полный прообраз обозначается F ^{— 1}(y).
  • Например, пусть , и F(x) = sinx. Тогда

    .

• Пусть . Тогда проо́бразом множества N называется подмножество множества X, определяемое равенством

  .

  • Например, пусть , и F(x) = cosx. Тогда

    ,

    .

Свойства

Свойства прообразов и образов

• ;
• ;
• ;
• . Заметим отсутствие равенства в этом случае.

Классы функций

При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств X и Y. Если X и Y — числовые множества, такие, как или , то отображение называют функцией. Если X или Y многомерны, например, или , то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если X — произвольной природы, а Y — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.

Вариации и обобщения

• многозначная функция

Функции нескольких аргументов

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Пусть даны множества и множество Y, тогда упорядоченное множество всех кортежей называется функцией n аргументов тогда и только тогда, когда для любых и из следует, что .^[1]

Примечания

1. ↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — том 1. — М.: Высшая школа, 1981. — с. 8.

См. также

• Композиция функций
• График функции
• Сюръективность
• Инъективность
• Биективность
• Функция с множеством значений {0, 1}
• Функциональное уравнение

Литература

• Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.

Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Поможем написать курсовую

• Область войска Донского
• Область датского права

Полезное

4.7: Домен и диапазон функции

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

45169

• Виктория Домингес, Кристиан Мартинес и Санаа Сайкали
• Citrus College через Инициативу открытых образовательных ресурсов ASCCC

Определение: Область определения и область значений функции

Область определения функции — это все возможные значения x, которые могут быть использованы в качестве входных данных для функции, результатом которых будет действительное число в качестве выходных данных.

Диапазон функции — это набор всех возможных выходных значений функции.

Пример 4.7.1

Найдите домен и диапазон следующей функции:

\(f(x) = 5x + 3 \)

Решение

Любое действительное число, отрицательное, положительное или ноль, можно заменить на x в данной функции. Таким образом, областью определения функции \(f(x) = 5x + 3\) являются все действительные числа, или, как написано в интервальной нотации, это: \(D:(−\infty, \infty)\). Поскольку функция \(f(x) = 5x + 3\) является многочленом степени 1, это прямая линия (без разрывов и дыр).

Диапазон любого многочлена степени 1 состоит из всех действительных чисел или записанных в интервальной записи: \(R:(−\infty , \infty )\).

Пример 4.7.2

Найдите домен и диапазон следующей функции:

\(г(х) = 2\sqrt{х — 4}\)

Решение

Обратите внимание на квадратный корень этой функции. Подкоренное число (то, что находится внутри квадратного корня) должно быть неотрицательным. Установите подкоренное число больше или равное нулю, чтобы найти домен:

\(\begin{aligned} x − 4 &\geq 0 && \text{Установите подкоренное число больше или равное 0 }\\ x &\geq 4 &&\text{ Решите неравенство } \\ D&:[4, \infty ) &&\text{Запишите решение в интервальной записи }\end{aligned}\)

Следовательно, областью определения функции \(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\) являются все действительные числа в интервале от \([4, \infty )\), что записывается как \( D:[4, \infty )\).

Чтобы найти диапазон \(g(x) = 2\sqrt{ x − 4}\), давайте понаблюдаем за поведением функции для разных значений x, которые находятся в области определения.

Пусть \(x = 4\), \(g(4) = 2\sqrt{ 4 − 4}\), поэтому \(g(4) = 0\).

Пусть \(x = 5\), \(g(5) = 2\sqrt{ 5 − 4}\), поэтому \(g(5) = 2\).

Пусть \(x = 8\), \(g(8) = 2\sqrt{ 8 − 4}\), поэтому \(g(8) = 4\). 92\)) показывает, в какую сторону раскрывается парабола. Коэффициент равен 2, и поскольку он положительный, квадратичная функция открывается вверх. 2 − 9))\) или \((− 1, −11)\)

Диапазон начнется с −11 и продолжит увеличиваться, так как парабола открывается вверх. \(R:[-11, \infty)\)

Пример 4.7.4

Найдите домен и диапазон следующей функции:

\(j(x) = \vert z — 6 \vert — 3\)

Раствор

Эта функция содержит абсолютное значение. Для \(z\) может быть выбрано любое значение, поэтому область определения функции — все действительные числа, или, как записано в интервальной нотации, это: \(D:(−\infty , \infty )\)

Чтобы найти диапазон, изучите символы абсолютного значения внутри. Эта величина \(\vert z−6 \vert\) всегда будет либо 0, либо положительным числом для любых значений z. Во-первых, найдите, что делает выражение z−6 равным нулю, то есть числу 6.

\(\begin{aligned} j(x) &= \vert z − 6 \vert − 3 &&\text{ Исходная функция } \\ j(x) &= \vert 6 − 6 \vert − 3 && \text {Заменить z на 6 } \\j(x) &= \vert 0 \vert − 3 && \text{Упростить} \\ j(x) &= −3 && j(x) \text{ is } −3 \ конец {выровнено} \)

Следовательно, область значений функции \(j(x) = \vert z − 6 \vert − 3\) равна −3 или выше, или, как записано в интервальной записи, составляет: \(R:[-3, \ инфты)\)

С некоторыми типами функций работать сложнее. 2 — 2x — 15}\) 92 − 2x − 15 &= 0 &&\text{Приравняем функцию знаменателя к } 0 \\ (x − 5)(x + 3) &= 0 &&\text{Разложим на множители квадратное уравнение } \\ x − 5 & = 0 && \text{Установим первый биномиальный множитель равным нулю } \\ x &= 5 &&\text{Решим первый биномиальный множитель } \\ x + 3 &= 0 &&\text{Установим второй биномиальный множитель равным ноль } \\ x &= −3 &&\text{Решите второй биномиальный множитель} \end{aligned}\)

У квадратного уравнения есть два решения: 5 и −3. 9{2}-9&=0 && \text { Присвоить функции знаменателя значение } 0 \\ (x-3)(x+3)&=0 &&\text{Разложить на множители квадратное уравнение} \\ x-3&=0 && \text{Установить первый биномиальный множитель равным нулю} \\ x&=3 &&\text{Решить первый биномиальный множитель}\\ x+3&=0 && \text{Установить второй биномиальный множитель равным нулю} \\ x&=-3 && \text{Решите второй биномиальный множитель} \end{aligned}\)

У квадратного уравнения есть два решения: 3 и −3. Эти значения должны быть исключены из домена, потому что если \(x\) равно 3 или −3, знаменатель будет равен нулю. 2 − 92 + t + 6 &\geq 0 &&\text{Перепишем функцию, указав сначала старший член } \\ (−t + 3)(t + 2) &= 0 && \text{Разложим на множители квадратное уравнение } \\− t + 3 &= 0 && \text{Установим первый биномиальный множитель равным нулю } \\ t &= 3 && \text{Решим первый биномиальный множитель } \\ t + 2 &= 0 &&\text{Установим второй биномиальный множитель равен нулю } \\ t &= −2 &&\text{Решите второй биномиальный множитель} \end{aligned}\)

Есть два значения, при которых подкоренное число этой функции квадратного корня равно нулю, 3 и −2. 92 — 4}\)

---

Эта страница под названием 4.7: Домен и диапазон функций используется в соответствии с лицензией CC BY-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Викторией Домингес, Кристианом Мартинесом и Санаа Сайкали (Открытые образовательные ресурсы ACCCC) Инициатива).

1. Наверх
• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Виктория Домингес, Кристиан Мартинес и Сана Сайкали

   Лицензия

   CC BY-SA

   Версия лицензии

   4,0

   Программа OER или Publisher

   Программа ASCCC OERI

   Показать страницу TOC

   нет

2. Теги

   1. домен
   2. диапазон

как найти диапазон функции алгебраически

Оставить комментарий / К физикакатализатор / 27 января 2023 г. 27 января 2023 г.

Для функции
f:A ->B

Множество A называется областью определения функции f
Набор B называется со-областью функции
Набор изображений всех элементов в наборе A называется диапазоном, т. е. это набор значений f(x), которые мы получаем для каждого x в области

Теперь давайте посмотрим, как найти диапазон функции алгебраически, т.е. без построения графика

Как найти диапазон функции алгебраически

Общий метод описан ниже. Это называется методом обратной функции

(a) положить y=f(x)
(b) Решите уравнение y=f(x) относительно x через y, пусть x =g(y)
(c) Найдите диапазон значений y, для которых полученное значение x является реальным и находится в область f
(d) Диапазон значений, полученных для y, является диапазоном функции

Это в основном, как найти диапазон функции без построения графика

Давайте посмотрим на примеры с различными типами функций

Как найти диапазон рациональной функции

а. $f(x) = \frac {x-3}{x-1}$

Во-первых, давайте посмотрим область определения функции

Мы видим, что функция определена для всех значений x, кроме 1

Итак, диапазон равен $R -{1}$

Теперь давайте найдем диапазон, используя обратную функцию метод

$y = \frac {x-3}{x-1}$

$y(x-1) = x-3$

$xy -y = x-3$

$3-y = x -xy$

$x= \frac {3-y}{1 -y}$

Совершенно очевидно, что x принимает действительные значения для всех y, кроме y=1, поэтому диапазон равен

Что такое многочлены Класс 92 -16}{x-4}$

$f(x) = \frac {(x-4)(x+4)}{x-4}$

$f(x) = x+4$

или y =x+4

x= y -4

Совершенно очевидно, что x принимает действительные значения для всех y

Но есть одна загвоздка, мы получили это уравнение только тогда, когда $x \ne 4$, так что y=8 не будет в диапазоне функции.

Итак, диапазон равен $R – {4}$

Как найти диапазон квадратичной функции/полиномиальной функции

Квадратичная функция/полиномиальная функция похожа на $f(x) = ax^2 + bx +с $.

No related posts.