34. Базис векторов на плоскости
Множество V2 векторов фиксированной плоскости образует векторное пространство.
Теорема 3. Любая упорядоченная система двух неколлинеарных векторов A, B € V2 образуют базис векторного пространства V2.
Доказательство. Пусть A и B неколлинеарные вектора плоскости. По следствию 2 теоремы 2 векторы A и B образует линейно независимую систему. Пусть С € V2. Отложим векторы A, B и С от точки O: A = , B = И С = (см. рис. 17). Проведем через точку C прямую L, параллельную прямой OB. Так как векторы A и B неколлинеарны, то прямые OA И L пересекаются в точке D. Тогда =+. Так как векторы И Соответственно коллинеарны векторам A и
Поэтому с = = a a + b b, и по определению 1 вектора A и B образует базис пространства V2.По теореме 3 базис векторов на плоскости образуют любые два неколлинеарные вектора, поэтому любой вектор на плоскости имеет две координаты. Тогда справедливо следующее утверждение.
Следствие 1. Вектора A = (a1, b1), B = (a2, b2) Образуют базис векторов плоскости тогда и только тогда, когда
= 0.
Теорема 4. Векторы A, B и С Компланарны тогда только тогда, когда они линейно зависимы.
Доказательство. Пусть вектора A, B и С Компланарны. По определению они могут быть изображены на одной плоскости p. Если вектора A, B коллинеарны, то по следствию 1 теоремы 2 они линейно зависимы.
Тогда по свойству по свойству линейной зависимости вектора A, B, С линейно зависимы.
Если вектора A, B неколлинеарны, то по теореме 3 они образуют базис векторов плоскости p. Тогда вектор С линейная комбинация векторов A, B, и по свойству линейной зависимости векторы A, B, С линейно зависимы.
Обратно, если векторы A, B, С линейно зависимы, то по свойству линейной зависимости, один из этих векторов линейно выражается через два другие. Тогда вектора могут быть изображены одной плоскости и поэтому Коллинеарны.
Следствие 1. Векторы A, B и С Некомпланарны тогда только тогда, когда они линейно независимы.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Базис и система координат пространства
Многие закономерности, которые мы рассмотрели на плоскости, будут справедливыми и для пространства.
Тем не менее, рекомендую внимательно
прочитать вводную часть, так как появятся новые термины и понятия.
Теперь вместо плоскости компьютерного стола исследуем трёхмерное пространство. Сначала создадим его базис. Кто-то сейчас находится в помещении, кто-то на улице, но в любом случае нам никуда не деться от трёх измерений: ширины, длины и высоты. Поэтому для построения базиса потребуется три пространственных вектора. Одного-двух векторов мало, четвёртый – лишний.
И снова разминаемся на пальцах. Пожалуйста, поднимите руку вверх и растопырьте в разные стороны большой, указательный и средний палец. Это будут векторы , они смотрят в разные стороны, имеют разную длину и имеют разные углы между собой. Поздравляю, базис трёхмерного пространства готов!
Кстати, не нужно демонстрировать такое преподавателям, как ни крути пальцами, а от определений никуда не деться =)
Далее зададимся важным вопросом, любые ли три вектора образуют базис трехмерного пространства? Пожалуйста, плотно
прижмите три пальца к столешнице компьютерного стола.
Что произошло? Три вектора расположились в одной плоскости, и, грубо говоря, у нас
пропало одно из измерений – высота. Такие векторы являются компланарными, и совершенно понятно, что базиса трёхмерного пространства они не
создают.
Следует отметить, что компланарные векторы не обязаны лежать в одной плоскости, они могут находиться в параллельных плоскостях (только не делайте этого с пальцами, так отрывался только Сальвадор Дали =)).
Определение: векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Здесь логично добавить, что если такой плоскости не существует, то и векторы будут не компланарны.
Три компланарных вектора всегда линейно зависимы, то есть линейно выражаются друг через друга. Для простоты снова
представим, что они лежат в одной плоскости. Во-первых, векторы мало того, что компланарны, могут быть вдобавок ещё и коллинеарны, тогда любой вектор можно
выразить через любой вектор.
Справедливо и противоположное утверждение: три некомпланарных вектора всегда линейно независимы, то есть никоим образом не выражаются друг через друга.
И, очевидно, только такие векторы могут образовать базис трёхмерного пространства.
Определение: базисом трёхмерного пространства называется тройка линейно независимых (некомпланарных) векторов, взятых в определённом порядке, при этом любой вектор пространства единственным образом раскладывается по данному базису , где – координаты вектора в этом базисе. Также говорят, что вектор представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.
Понятие системы координат вводится точно так же, как и для плоского случая, достаточно одной точки (начала отсчёта) и любых трёх линейно независимых векторов:
Выбранное (где угодно) начало координат , и некомпланарные векторы , взятые в
определённом порядке, задают аффинную систему координаттрёхмерного пространства:
Наиболее привычным и удобным частным случаем аффинной системы координаявляется «школьная» система.
Начало координат и ортонормированный
базис задают декартову прямоугольную систему
координат пространства
Ось абсцисс изображают под углом в по отношению к другим осям (к оси ординат и оси аппликат ). Популярный «тетрадный» масштаб: 1 ед. = 2 клетки по осям и 1 ед. = диагональ одной клетки – по оси .
И перед тем как перейти к практическим заданиям, вновь систематизируем теоретическую информацию:
Для трёх векторов пространства эквиваленты следующие утверждения:
1) векторы линейно независимы;
2) векторы образуют базис;
3) векторы не компланарны;
4) векторы нельзя линейно выразить друг через друга;
5) определитель, составленный из координат данных векторов, отличен от нуля.
Противоположные высказывания, думаю, понятны.
Линейная зависимость / независимость векторов пространства традиционно проверяется с помощью определителя (пункт 5), и оставшиеся практические задания параграфа будут носить ярко выраженный алгебраический характер. Повесим на гвоздь геометрическую клюшку и начнём орудовать бейсбольной битой линейной алгебры:
Три вектора пространства компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: .
Обращаю внимание на небольшой технический нюанс: координаты векторов можно записывать не только в столбцы, но и в строки (результат не изменится). Но гораздо лучше в столбцы, поскольку это выгоднее для решения некоторых практических задач.
Задача 42
Проверить, образуют ли векторы базис трёхмерного пространства:
а)
б)
Фактически всё решение сводится к вычислению определителей:
а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов (определитель раскрыт по первой строке):
, значит, векторы линейно независимы (не компланарны) и образуют базис трёхмерного пространства.
Ответ: данные векторы образуют базис.
б) Это пункт для самостоятельного решения. Не пропускаем! Для проверки правильности вычислений определителей я приложил к книге Алгебраический Калькулятор.
Решим творческую задачку:
Задача 43
При каком значении параметра векторы будут компланарны?
Решение: Векторы компланарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов равен
нулю:
По существу, требуется решить уравнение с определителем. Определитель выгоднее всего раскрыть по второй строке:
Проводим дальнейшие упрощения и сводим дело к простейшему линейному уравнению:
Ответ: при
Здесь легко выполнить проверку, для этого нужно подставить полученное значение в исходный определитель и убедиться, что , раскрыв его заново.
И в заключение параграфа рассмотрим ещё одну типовую задачу, которая встречается в подавляющем большинстве контрольных работ по алгебре и геометрии:
Задача 44
Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение: Сначала разбираемся с условием. По условию даны четыре вектора, и, как видите, у них уже есть координаты в некотором базисе.
Какой это базис – нас не интересует. А интересует следующая вещь: три вектора вполне могут образовывать свой базис. И первый этап полностью совпадает с решением Задачи 42 –
необходимо проверить, действительно ли векторы линейно
независимы. Для этого нужно вычислить определитель, составленный из координат векторов :
, значит, векторы линейно независимы и образуют базис трехмерного пространства.
! Важно: координаты векторов обязательно записываем в столбцы определителя, а не в строки.
Иначе будет путаница в дальнейшем алгоритме решения.
Теперь вспомним теоретическую часть: если векторы образуют базис, то любой вектор можно единственным способом разложить по данному базису: , где – координаты вектора в базисе .
Поскольку наши векторы образуют базис трёхмерного
пространства (это уже доказано), то вектор можно единственным
образом разложить по данному базису:
, где – координаты вектора в
базисе .
И по условию требуется найти координаты .
Для удобства объяснения поменяю части местами: . В целях
нахождения следует расписать данное равенство
покоординатно:
– коэффициенты левой части берём из опр-ля ,
в правую часть записываем координаты вектора .
Получилась система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Обычно её решают по формулам Крамера, часто даже в условии задачи есть такое
требование.
Главный определитель системы уже найден:
, значит, система имеет единственное решение.
Дальнейшее дело техники:
и ещё один определитель:
Таким образом:
– разложение вектора по базису .
Ответ:
Такая же задача для самостоятельного решения:
Задача 45
Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе. Систему линейных уравнений решить методом Крамера.
Полное решение и примерный образец чистового оформления в конце книги. Для самоконтроля используйте тот же Алгебраический Калькулятор, где есть макет с автоматическим расчётом системы по правилу Крамера.
1.9.1. Векторное произведение векторов. Определение и его смысл
1.8.3. Как определить коллинеарность векторов пространства?
| Оглавление |
Автор: Aлeксaндр Eмeлин
2$ — такое линейное преобразование, что $T (1,1)=(9,2)$ и $T(2,-3)=(4,-1)$.
2}$ (размерность также в порядке).$\endgroup$
$\begingroup$
Подсказка
$\{(1,1),(2,-3)\}$ является базисом тогда и только тогда, когда векторы линейно независимы (заметим, что векторное пространство двумерно). Являются ли они линейно независимыми?
Для вычисления $T(x,y)$ используйте $$(1,0)=\frac 35(1,1)+\frac 15(2,-3),$$ $$(0,1) =\frac 25(1,1)-\frac 15(2,-3)$$ и $$(x,y)=x(1,0)+y(0,1).$$
$\endgroup$
$\begingroup$
Если два вектора $x_1,x_2$ линейно зависимы, то либо $x_1 = \lambda x_2$ или $x_2=\lambda x_1$ для некоторого $\lambda$, другими словами они лежат на одной линии.
$\endgroup$
$\begingroup$
а) подсказка: проверьте линейную независимость.
б) Запишите любой вектор (x, y) как линейную комбинацию имеющегося у вас базиса и используйте свойство линейного оператора.
$\endgroup$
1
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
линейная алгебра — Как доказать, что этот новый набор векторов образует основу?
спросил
Изменено 7 лет, 4 месяца назад
Просмотрено 720 раз
$\begingroup$
Вопрос
Если ${x_1,x_2}$ является базисом для подпространства $X$, покажите, что ${x_1 +x_2,x_1 −x_2}$ также является базисом для х .
Итак, я подумал показать, что $x_1+x_2$ , $x_1-x_2$ является основой. Как я это сделал:
Так как $x_1$, $x_2$ допустимое подпространство X, то оно должно удовлетворять трем условиям: содержать ноль, замкнуто на сложение, замкнуто на скалярное умножение.
- Так как $x_1$, $x_2$ содержат нулевой вектор, то $x_1=0$, $x_2=0$ Это означает, что $x_1+x_2=0+0=0$ и $x_1-x_2=0- 0=0$. Следовательно, он содержит ноль.
- Поскольку $x_1$, $x_2$ замкнуты относительно сложения, это означает, что мы знаем, что $x_1+x_2$ должны принадлежать X. И , поскольку $x_1,x_2$ замкнуты относительно скалярного умножения, это означает, что $(-1)x_2$ принадлежит подпространству. Следовательно, $x_1-x_2$ принадлежит подпространству, так как $x_1,-x_2$ замкнуты относительно сложения.
- Я не уверен в том, как это сделать, чтобы показать, что это замкнуто при скалярном умножении.
Верна ли моя работа, и нет ли более простого и менее запутанного способа доказать это, чем мой метод? И как сделать последнюю часть?
- линейная алгебра
$\endgroup$
4
$\begingroup$
$x_{1}$ и $x_{2}$ являются основой для $X$ означает, что любое $v \in X$ может быть записано как линейная комбинация $x_{1}$ и $x_{2 }$, и что $x_{1}$ и $x_{2}$ линейно независимы.
Нам нужно показать, что $x_{1}+x_{2}$ и $x_{1}-x_{2}$ линейно независимы. Предположим, что существуют действительные числа (я предполагаю, что $X$ — вещественное векторное пространство) $a$ и $b$ такие, что $a(x_{1}+x_{2})+b(x_{1}-x_{ 2})=\vec{0}$, тогда $(a+b)x_{1}+(a-b)x_{2}=\vec{0}$. Тогда, поскольку $x_{1}$ и $x_{2}$ линейно независимы, $a+b=0$ и $a-b=0$, поэтому $2a=0$ (сложение обоих), поэтому $a=0$, поэтому $b=0$. Теперь $x_{2}=\frac{1}{2}[(x_{1}+x_{2})-(x_{1}-x_{2})]$ и $x_{1}=\ frac{1}{2}((x_{1}+x_{2})+(x_{1}-x_{2})$. Таким образом, любое $v \in X$ можно записать в терминах новых векторов
$\endgroup$
2
$\begingroup$
Что такое основа? Это набор векторов, которые охватывают векторное пространство и являются линейно независимыми.
Итак, мы должны показать, что если $x_1,x_2$ обладают этими свойствами, то $x_1+x_2, x_1-x_2$ также обладают ими.
Линейная независимость :
Предположим, что $\alpha(x_1+x_2) + \beta(x_1-x_2) = 0$ для некоторых $\alpha,\beta$ в основном поле.
Тогда $(\alpha+\beta)x_1 + (\alpha-\beta)x_2 = 0$.
Но АХААА, мы знаем, что $x_1,x_2$ линейно независимы, поэтому мы вынуждены иметь $\alpha+\beta=\alpha-\beta=0$. Решение дает $\alpha=\beta=0$.
Span :
Мы должны показать, что каждый $x\in V$ может быть записан как $\gamma(x_1+x_2) + \delta(x_1-x_2)$ для некоторого $\gamma,\delta$ в основное поле.
Теперь мы точно знаем, что можно найти такие $\gamma’,\delta’$, что $\gamma’x_1 + \delta’x_2 = x$. Затем обратите внимание, что:
$\frac{\gamma’+\delta’}{2}(x_1+x_2) + \frac{\gamma’-\delta’}{2}(x_1-x_2) = x$ и так мы закончили .
$\endgroup$
3
$\begingroup$
Очевидно, что элементы второго базиса можно записать в виде линейных комбинаций вашего первого базиса.