Общий знаменатель 19 и 11: общий знаменатель 11 и 19

Сложение и вычитание алгебраических дробей

В предыдущей статье мы рассмотрели, как сокращать, умножать и делить алгебраические дроби.

Теперь рассмотрим более сложное, с моей точки зрения, действие — сложение алгебраических дробей.

Мы умеем складывать дроби с одинаковым знаменателем: при сложении дробей с одинаковым знаменателем, знаменатель остается тем же, а числители складываются:

А еще мы знаем основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

То же относится к алгебраическим дробям: мы можем умножать и делить числитель и знаменатель дроби на одно и то же выражение. (При этом не забываем про ОДЗ).

Значит, если мы складываем две дроби с разными знаменателями, мы можем сделать так, чтобы знаменатели этих дробей стали одинаковыми, то есть привести дроби к общему знаменателю.

Сначала рассмотрим алгоритм приведения к общему знаменателю числовых дробей, а затем обобщим его на случай алгебраических.

Пример 1:

Найти значение выражения:

1. Найдем общий знаменатель. Для этого нам нужно найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей (НОК(135; 63;75)), то есть найти самое маленькое число, которое  делится на знаменатель каждой дроби.

Если знаменатели дробей взаимно простые числа, то есть не имеют общих делителей, кроме числа 1 (например, числа 9 и 4), то общий знаменатель равен произведению знаменателей. Но это не наш случай.

Первый,  самый главный шаг, который мы делаем, чтобы найти общий знаменатель —

раскладываем на простые множители знаменатель каждой дроби:

Общий знаменатель равен произведению множителей, входящих в состав знаменателей каждой дроби, взятых в наибольшей степени.

То есть общий знаменатель равен

2. Найдем дополнительные множители.

Дополнительный множитель — это число, на которое нужно умножить знаменатель дроби, чтобы получить общий знаменатель. (Напомню,  что при приведении дробей к общему знаменателю, мы числитель и знаменатель дроби умножаем на это число.

3. Умножим числитель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

4. Найдем значение получившейся дроби:

Применим этот алгоритм для приведения к общему знаменателю алгебраических  дробей.

Пример 2.

Упростить выражение:

1. Разложим знаменатель каждой дроби на множители:

Заметим, что . Вынесем за скобку знак «-» в знаменателе последней дроби:

2. Запишем общий знаменатель. Он равен произведению множителей, входящих в состав знаменателей каждой дроби, взятых в наибольшей степени.

3. Найдем дополнительные множители. Дополнительный множитель — это выражение, на которое нужно умножить знаменатель дроби, чтобы получить общий знаменатель.

4. Запишем произведение числителя каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель:

Не стоит пропускать это действие и сразу начинать умножать числители на дополнительные множители — это может привести к появлению ошибок.

5. Упростим выражение в числителе получившейся дроби — раскроем скобки и приведем подобные члены.

Заметим, что перед произведением двух последних скобок стоит знак «-«. В этом случае, чтобы не ошибиться со знаками, лучше разделить это действие на два: сначала перемножить скобки, заключив полученное выражение в скобки, а затем раскрыть скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

Теперь приведем подобные члены. Подобные члены — это одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть.

Чтобы привести подобные члены, мы должны сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений.

Выделим подобные члены одинаковым цветом. Итак,

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть две дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю, после чего вычислить сумму или разность дробей с полученными одинаковыми знаменателями.

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Чтобы дробь привести к новому знаменателю, надо и числитель дроби, и ее знаменатель умножить на один и тот же множитель. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Приводить несколько дробей к наименьшему общему знаменателю можно следующим образом:

1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, это и будет наименьший общий знаменатель этих дробей;

2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели дробей, чтобы найти для каждой дроби соответствующий множитель;

3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на найденный для нее множитель.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее …

Пример 1. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби

3/5

,

7/15

,

9/100

.

Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей. Для этого разложим числа 5, 15, 100 на простые множители:

5 = 5;

15 = 3*5;

100 = 2*2*5*5.

Выбираем число 100 и в его разложение добавляем множители из разложений чисел 5 и 15, которых еще нет в разложении: 2*2*5*5*3=300. Следовательно, наименьшее общее кратное равно 300.

Теперь разделим число 300 на знаменатель каждой дроби, чтобы найти соответствующий дополнительный множитель для нее:

300:5=60 =>

3/5

=

3*60/5*60

=

180/300

;

300:15=20 =>

7/15

=

7*20/15*20

=

140/300

;

300:100=3 =>

9/100

=

9*3/100*3

=

27/300

.

Пример 2. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби

1/12

,

1/60

,

1/80

.

Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей. Для этого разложим числа 12, 60, 80 на простые множители:

12 = 2*2*3;

60 = 2*2*3*5;

80 = 2*2*2*2*5.

Выбираем число 80 и в его разложение добавляем множители из разложений чисел 12 и 15, которых еще нет в разложении: 2*2*2*2*5*3=240. Следовательно, наименьшее общее кратное равно 240.

Теперь разделим число 240 на знаменатель каждой дроби, чтобы найти соответствующий дополнительный множитель для нее:

240:12=20 =>

1/12

=

1*20/12*20

=

20/240

;

240:60=4 =>

1/60

=

1*4/60*4

=

4/240

;

240:80=3 =>

1/80

=

1*3/80*3

=

3/240

.

Пример 3. Привести к наименьшему общему знаменателю дроби

1/13

,

1/8

,

1/5

.

Сначала найдем наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей. Для этого разложим числа 13, 8, 5 на простые множители:

13 = 13;

8 = 2*2*2;

5 = 5.

Выбираем число 13 и в его разложение добавляем множители из разложений чисел 8 и 5, которых еще нет в разложении: 13*2*2*2*5=520. Следовательно, наименьшее общее кратное равно 520.

Теперь разделим число 520 на знаменатель каждой дроби, чтобы найти соответствующий дополнительный множитель для нее:

520:13=40 =>

1/13

=

1*40/13*40

=

40/520

;

520:8=65 =>

1/8

=

1*65/8*65

=

65/520

;

520:5=104 =>

1/5

=

1*104/5*104

=

104/520

.

Сложение дробей с разными знаменателями

Пример 1. Вычислить сумму

3/5

+

7/25

.

Чтобы найти сумму этих дробей, нужно сначала привести их к общему знаменателю, после чего вычислить сумму дробей с полученными одинаковыми знаменателями.

Найдем наименьший общий знаменатель этих дробей:

5 = 5;

25 = 5*5.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 5*5 = 25.

3/5

+

7/25

=

3*5/5*5

+

7/25

=

15+7/25

=

22/25

.

Пример 2. Вычислить сумму

23/24

+

15/16

.

Чтобы найти сумму этих дробей, нужно сначала привести их к общему знаменателю, после чего вычислить сумму дробей с полученными одинаковыми знаменателями.

Найдем наименьший общий знаменатель дробей:

24 = 2*2*2*3;

16 = 2*2*2*2.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 2*2*2*3*2=48.

23/24

+

15/16

=

23*2/24*2

+

15*3/16*3

=

46/48

+

45/48

=

46+45/48

=

91/48

= 1

43/48

.

Пример 3. Вычислить сумму

5/12

+

19/20

.

Найдем наименьший общий знаменатель дробей:

12 = 2*2*3;

20 = 2*2*5.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 2*2*3*5=60.

5/12

+

19/20

=

5*5/12*5

+

19*3/20*3

=

25/60

+

57/60

=

25+57/60

=

82/60

= 1

22/60

= 1

11/30

.

Вычитание дробей с разными знаменателями

Рассмотрим вычитание дробей с разными знаменателями на примерах.

Пример 1. Вычислить разность

7/8

—

3/16

.

Чтобы найти разность этих дробей, нужно сначала привести их к общему знаменателю, после чего вычислить разность дробей с полученными одинаковыми знаменателями.

7/8

—

3/16

=

7*2/8*2

—

3/16

=

14/16

—

3/16

=

14-3/16

=

11/16

.

Пример 2. Вычислить разность

8/9

—

5/6

.

Найдем наименьший общий знаменатель дробей:

9 = 3*3;

6 = 2*3.

Следовательно, наименьший общий знаменатель равен 3*3*2=18.

8/9

—

5/6

=

8*2/9*2

—

5*3/6*3

=

16/18

—

15/18

=

16-15/18

=

1/18

.

Наибольший общий делитель чисел 11 и 19 (НОД 11, 19)

Вы ищете НОД чисел 11 и 19? Так как вы находитесь на этой странице, я так думаю! В этом кратком руководстве мы расскажем, как вычислить наибольший общий делитель для любых чисел, которые вам нужно проверить. Давайте прыгать!

Хотите быстро узнать или показать учащимся, как найти НГК двух или более чисел? Включи это очень быстрое и веселое видео прямо сейчас!

Во-первых, если вы торопитесь, вот ответ на вопрос «каков GCF 11 и 19?» :

GCF 11 и 19 = 1

Что такое наибольший общий делитель?

Проще говоря, GCF набора целых чисел — это наибольшее положительное целое число (т. е. целое число, а не десятичное), которое без остатка делится на все числа набора. Он также широко известен как:

• Наибольший общий знаменатель (GCD)
• Наивысший общий множитель (HCF)
• Наибольший общий делитель (НОД)

Существует несколько различных способов расчета GCF набора чисел в зависимости от того, сколько чисел у вас есть и насколько они велики.

Для меньших чисел вы можете просто посмотреть на множители или кратные для каждого числа и найти их наибольшее общее кратное.

Для 11 и 19 эти множители выглядят следующим образом:

• Факторы для 11: 1 и 11
• Факторы для 19: 1 и 19

Как вы можете видеть, перечислив множители каждого число, 1 — наибольшее число, на которое делятся 11 и 19.

Простые множители

По мере того, как числа становятся больше, или если вы хотите сравнить несколько чисел одновременно, чтобы найти GCF, вы можете увидеть, что перечисление всех множителей стало бы слишком большим. Чтобы исправить это, вы можете использовать простые множители.

Перечислите все простые множители для каждого числа:

• Простые множители для 11: 11
• Простые множители для 19: 19

Теперь, когда у нас есть список простых множителей, нам нужно найти любые из них. общий для каждого числа.

Поскольку нет общих простых множителей между приведенными выше числами, это означает, что наибольший общий множитель равен 1:

GCF = 1

Найдите GCF с помощью алгоритма Евклида

Окончательный метод расчета GCF чисел 11 и 19использовать алгоритм Евклида. Это более сложный способ вычисления наибольшего общего множителя, который на самом деле используется только калькуляторами НОД.

Если вы хотите узнать больше об алгоритме и, возможно, попробовать его самостоятельно, загляните на страницу Википедии.

Надеюсь, сегодня вы немного изучили математику и поняли, как вычислять НОД чисел. Возьмите карандаш и бумагу и попробуйте сами. (или просто воспользуйтесь нашим калькулятором НОД — никому не скажем!)

Процитируйте, дайте ссылку или ссылку на эту страницу

Если вы нашли этот контент полезным в своем исследовании, пожалуйста, сделайте нам большую услугу и используйте приведенный ниже инструмент, чтобы убедиться, что вы правильно ссылаетесь на нас, где бы вы его ни использовали. Мы очень ценим вашу поддержку!

• Наибольший общий делитель чисел 11 и 19

• «Наибольший общий делитель чисел 11 и 19». VisualFractions.com . По состоянию на 9 декабря 2022 г. http://visualfractions.com/calculator/greatest-common-factor/gcf-of-11-and-19/.

• «Наибольший общий делитель чисел 11 и 19». VisualFractions.com , http://visualfractions.com/calculator/greatest-common-factor/gcf-of-11-and-19/. По состоянию на 9 декабря 2022 г.

• Наибольший общий делитель чисел 11 и 19. VisualFractions.com. Получено с http://visualfractions.com/calculator/greatest-common-factor/gcf-of-11-and-19./.

Калькулятор LCM — наименьшее общее кратное

Создано Матеушем Мухой и Ханной Памула, докторами наук

Отредактировано Bogna Szyk и Jack Bowater

Последнее обновление: 17 апреля 2020 г.

Содержание:

• Что такое LCM?
• Как найти наименьшее общее кратное
• Калькулятор наименьшего общего кратного
• Связанная концепция: НОД

Калькулятор LCM определит наименьшее общее кратное двух-пятнадцати чисел для вас — не надо волноваться! Этот расчет необходим при сложении или вычитании дробей с разными знаменателями. Следующий текст объяснит, что такое НОК , покажет , как найти наименьшее общее кратное и покажет , как использовать калькулятор наименьшего общего кратного .

Что такое LCM?

НОК — это наименьшее общее кратное или наименьшее общее кратное двух или более чисел. Мы можем найти наименьшее общее кратное, разбив каждое число на его простые делители . Это можно сделать вручную или с помощью калькулятора коэффициентов или калькулятора простой факторизации. Метод нахождения LCM вместе с примером, иллюстрирующим этот метод, будет рассмотрен в следующем разделе.

Как найти наименьшее общее кратное

Возьмите каждое число и найдите его простые делители. Знание

различных правил делимости помогает в этом процессе.

1. Любое четное число делится на 2 .
2. Любые числа, сумма цифр которых делится на 3 , также делится на 3
3. Число делится на 4 , если последние две цифры числа образуют число, которое делится на 4
4. Все числа, оканчивающиеся на 5 или 0 , делятся на 5 .
5. Число делится на 6 , если оно делится и на 2 , и на 3 .
6. Число делится на 8 , если последние три цифры числа образуют число, которое делится на 8 .
7. Число, сумма цифр которого делится на 9 , также делится на 9 .
8. Любое число, оканчивающееся на 0 , делится на
   10 .

После того, как числа разбиты на простые множители, умножьте наибольшую степень каждого множителя, чтобы получить LCM .

Калькулятор наименьшего общего кратного

Мы покажем, как найти НОК 24 , 80 и 121 . Сначала мы получим факторы каждого числа. Это: 24 = 2 * 2 * 2 * 3 , 80 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 , 121 = 11 * 11 . Соберите все множители, так что у нас есть 2, 3, 5, 11 . Затем умножьте наибольшую мощность каждого из этих факторов. Это дает нам 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 11 * 11 = 29 040 . Калькулятор LCM можно использовать для проверки вашего ответа или просто для выполнения этого расчета.